Calculo infinitesimal

Prueba 2 (Solucion) 22-11-2013 (Grupo A/Q-108)

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1. Enuncia y demuestra la Condicion necesaria para la convergencia de una serie numerica(1 punto)

Solucion:

La solucion esta en las transparencias vistas en clase. �

2. Sabiendo que la suma de los n primeros terminos de una serie es

sn =5n− 1

n

determina su termino general y estudia su naturaleza (1 punto)

Solucion:

Se sabe quesn = a1 + · · ·+ an

entonces

an = sn − sn−1 =5n− 1n

− 5(n− 1)− 1n− 1

=1

n(n− 1)

Ademas segun se ha visto en teorıa:

+∞∑1

an = lımn→∞ sn = lımn→∞5n− 1n

= 5

�

3. Determina los caracteres de las siguientes series

a)∞∑1

ne−n2

(1 punto) b)∞∑1

(−1)n(n−√

n2 − 1)

(1 punto)

Solucion:

a) Se trata de una serie de terminos positivos. Se aplica el Criterio de la integral. Para ello sedefine

f(x) = xe−x2> 0 si x ∈ [1,+∞)

Ademas f es decreciente pues:

f ′(x) = e−x2− 2x2e−x2

= e−x2(1− 2x2) < 0 si x > 1

Ası pues, se aplica el Criterio de la integral∫ +∞

1

xe−x2dx = lımM→∞

∫ M

1

xe−x2dx = lımM→∞

[−1

2e−x2

]infty

1

=12e−1 < +∞

por tanto al ser convergente, la serie∞∑1

ne−n2es convergente

b) Al ser una serie de terminos positivos y negativos, se estudia la serie en valor absoluto prime-ramente:

|an| = n−√n2 − 1 =

n2 − n2 + 1√n2 − 1 + n

=1√

n2 − 1 + n

El caracter de la serie en terminos absolutos+∞∑1

1n+√n2 − 1

se puede estudiar aplicando el Criterio de comparacion en el lımite, comparandola con+∞∑1

1n

.

En efecto:

lımn→∞

1n1√

n2−1+n

= lımn→∞

√n2 − 1 + n

n= 2

Como la serie+∞∑1

1n

es divergente entonces+∞∑1

1√n2 − 1 + n

diverge.

Ası pues NO es absolutamente convergente. En este caso, se trata de aplicar el Criterio deLeibnitz a

∞∑1

(−1)n(n−

√n2 − 1

)Se comprueba que se dan las condiciones para aplicar el Criterio de Leibnitz

1) n−√n2 − 1 =

1√n2 − 1 + n

> 0 para todo n ≥ 1

2)

lımn→∞ n−√n2 − 1 = lımn→∞

1√n2 − 1 + n

= 0

3) n−√n2 − 1 =

1√n2 − 1 + n

decrece, en efecto:

1√(n+1)2−1+n+1

1√n2−1+n

=√n2 − 1 + n√

(n+ 1)2 − 1 + n+ 1< 1

por tantoan+1 < an ∀n ≥ 1

Ası pues por el Criterio de Leibnitz resulta que la serie∞∑1

(−1)n(n−

√n2 − 1

)es condicionalmente convergente.

�

4. En un triangulo equilatero de lado l se inscribe otro triangulo equilatero uniendo los puntosmedios de los lados, y en este otro y ası sucesivamente determina si es posible, la suma del areade dichos triangulos. (2 puntos)

Solucion:

El area de un triangulo equilatero de lado l tiene de area:

A(l) =12b · h =

12l ·√

32l =√

34l2

si se divide por 2 el lado, el area del triangulo resultante sera:

A(l/2) =√

34

(l

2

)2

=√

34l2

122

si se vuelve a dividir por 2 resulta:

A(l/4) =√

34

(l

4

)2

=√

34l2

124

de nuevo se vuelve a dividir por 2

A(l/8) =√

34

(l

8

)2

=√

34l2

126

La suma de las areas de todos los triangulos sera:

AT =√

34l2 +

√3

4l2

122

+√

34l2

126

+ · · ·+√

34l2

122n

+ · · ·

es decir

AT =√

34l2∞∑

n=0

122n

=√

34l2∞∑

n=0

14n

Se ha visto en clase que∞∑

n=0

14n

=1

1− 14

=43

sustituyendo

AT =√

34l2

43

= l2√

33

�

5. Determina el radio e intervalo de convergencia de

∞∑1

(x + 5)2n−1

2n · 4n(2 puntos)

Solucion:

Sea x ∈ R se estudia entonces, la serie numerica

∞∑1

(x+ 5)2n−1

2n · 4n

Como puede tomar valores positivos y negativos se estudia en valor absoluto:∞∑1

|x+ 5|2n−1

2n · 4n

Como es una serie de terminos positivos, se aplica el Criterio del cociente

lımn→∞

|x+5|2n+1

2(n+1)·4n+1

|x+5|2n−1

2n·4n

= lımn→∞14

n

n+ 1|x+ 5|2 =

14|x+ 5|2 < 1

Se deduce que

|x+ 5| < 2 ⇐⇒ −2 < x+ 5 < 2 ⇐⇒ −7 < x < −3 ⇐⇒ x ∈ (−7,−3)

El radio de convergencia es R = 2.

Si x = −7 resulta∞∑1

12n · 4n

(−2)2n−1 =∞∑1

12n · 4n

4n(−2)−1 =−14

∞∑1

1n

diverge

Si x = −3 resulta∞∑1

12n · 4n

(2)2n−1 =∞∑1

12n · 4n

4n(2)−1 =14

∞∑1

1n

diverge

Por tanto el Intervalo de convergencia es

Ic = (−7,−3)

�

6. Contesta a las siguientes cuestiones

a) Determina el desarrollo de Taylor de grado n en el entorno de a = 0 de la funcion

f(x) = cos x (1 punto)

b) Desarrolla en serie de Taylor alrededor del origen la funcion

f(x) =

ex − 1

xsi x 6= 0

1 si x = 0(1 punto)

Solucion:

a) El calculo del polinomio de Taylor, de grado n se hizo en clase:

Pn(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!=

n∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!

El calculo del termino complementario sera:

Rn,0(x) = (−1)n+1 sen(xθ)(2n+ 1)!

x2n+1 θ ∈ (0, 1)

Por tanto el desarrollo de Taylor sera:

cos(x) = Pn(x) +Rn,0(x) =n∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!+ (−1)n+1 sen(xθ)

(2n+ 1)!x2n+1 θ ∈ (0, 1)

b) Se ha visto en clase que la serie de Taylor de la funcion exponencial es

ex =+∞∑n=0

xn

n!

con radio de convergencia R = +∞. Nos interesa el desarrollo cuando x 6= 0, entonces susti-tuyendo:

ex − 1 =+∞∑n=0

xn

n!− 1 =

+∞∑n=1

xn

n!

y ahoraex − 1x

=∑+∞

n=1xn

n!

x=

+∞∑n=1

xn−1

n!= 1 +

x

2!+x2

3!+ · · ·+ xn−1

n!+ · · ·

�