Mariana Michel Snchez HernndezFsico Matemtico 1 01/05/2015Alumna: Mariana Michel Snchez Hernndez

Fsico - Matemtico 1Fecha de entrega: 01 / 05 / 2015

Centro de Bachillerato Tecnolgico Agropecuario No.152Lauro L. MndezPortafolio de evidencias

ContenidoIntroduccin3Hacia el conocimiento y aplicacin de integrales mltiples 41. Conceptos previos de integrales.41.1 Historia del clculo integral41.2 Definicin y aplicacin de las sumas de Riemann51.3 Integrales definidas e indefinidasbsicas72. Integral Indefinida102.1 Integracin por partes.102.1.1Ejercicios de integracin por partes112.2Integracin por sustitucin por partes142.2.1 Ejercicios de integracin por partes142.3 Identidades Trigonomtricas182.3.1 Ejercicios de identidades trigonomtricas.183. Integral definida223.2 Reglas de Barrow223.3 Teorema fundamental del clculo y la media.253.4 Calculo del rea comprendida entre una funcin positiva y el eje de las abscisas273.5 Calculo del rea comprendida entre dos funciones303.6 Calculo del volumen34Conclusin36

Introduccin

La idea del clculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilneas, es decir, el rea entre la grfica de una funcin y el eje-x.Estamos de acuerdo con la siguiente notacin:

Es la integral definida de la funcin f de [variable] x [los lmites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Ms especficamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay tambin integrante lneas generales.

Hacia el conocimiento y aplicacin de integrales mltiples

1. Conceptos previos de integrales.

1.1 Historia del clculo integral

Civilizaciones AntiguasLos avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numrico, an son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolucin a ecuaciones de tipo. La correcta implementacin de la regla aritmtica de clculo, por parte de los Indios, aumento el conocimiento matemtico, y la creacin de los nmeros irracionales, adems que ayud a la resolucin de sistemas de ecuaciones.Despus de esta poca, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las matemticas, conflictos sociales y polticos que se vivan en esa poca alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta situacin otro imperio toma las riendas de los avances matemticos.El Clculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaco ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeo.

1.2 Definicin y aplicacin de las sumas de Riemann Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una particin del intervalo cerrado [a, b] y f es una funcin definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la particin P se define como: R(f, P) =f(tj) (xj - xj-1)Donde tj es un nmero arbitrario en el intervalo [xj-1, xj].

La suma de Riemann corresponde geomtricamente con la suma de las reas de los rectngulos con base xj - xj-1 y altura f(tj).Tipos de aproximacin de la integral Por tanto, surge la duda de qu punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particin para evaluar la funcin en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1, xj], y las ms utilizadas son stas: - Punto izquierdo: se toma como valor tj el lmite inferior del subintervalo, es decir, xj-1. Grficamente:

- Punto derecho: se toma como valor tj el lmite superior del subintervalo, es decir, xj. Grficamente:

- Punto medio: se toma como valor tj el punto medio entre los lmites del subintervalo, es decir, (xj-1 + xj) / 2. Grficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Grficamente:

- Punto nfimo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el nfimo en ese subintervalo. Grficamente:

- Punto supremo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo. Grficamente:

Los dos ltimos tipos de aproximacin no son tiles en la prctica, pues para aplicarlos sera necesario calcular el nfimo o el supremo de f(tj), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; Por qu? Si una funcin es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando tj como queramos. Veamos esto: si la funcin es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al valor de la integral, porque para cualquier punto tj tenemos que djf(tj)cj (siendo dj el nfimo y cj el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P)R(f,P)S(f,P).

1.3 Integrales definidas e indefinidasbsicasLa integral definidaConsideremos una curva situada sobre el eje X que representa lagrficade lafuncincon ecuacion y = f(x).Se desea encontrar elreaS de la superficie limitada por la curva conecuaciny = f(x), el eje X y las rectasparalelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a; b] en n partes, nonecesariamente iguales como se muestra acontinuacin:

Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 yassucesivamente hastala ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; rn, de tal forma que f(r1).x1 nos da elreadelprimerrectngulo, (x1, es la base y f(r1) la altura), f(r2) x2 da elreadel segundorectnguloy por lotanto f(rn) .xn da elreadel enesimorectngulo. Luego se tiene que:Sn = f(r1) .x1 + f(r2) .x2 + + f(rn) .xnes la suma de lasreasde los rectangulos de la figura anterior.Integral indefinidaDada una funcinfdefinida en un intervaloIse dice que otra funcinFes unaprimitiva de f en IsiFes derivable enIyF=fenI.Si consideramos la funcinf(x)=2x, las funciones

son primitivas defpues la derivada de cada una de ellas es2x.Dada una funcinf, no existe para ella una nica primitivaF, ya que cualquier otra funcin de la formaF+C, dondeCes una constante, tambin cumple la condicin de que su derivada es igual afAdems, siFyGson primitivas defenIentoncesF-G=C(constante) enIpues

Las primitivas de una funcin forman una familia de funciones cuya representacin grfica es siempre la misma, estando cada una desplazada verticalmente respecto de las dems:

Al conjunto de todas las primitivas de una funcinfse le llamaintegral indefinida de fy se representa por

Paraf(x)=2xse tiene

Teniendo en cuenta las derivadas de las funcionesf elementales (potencias, exponenciales, trigonomtricas, y sus inversas) obtenemos las siguientes integrales indefinidas:

Las igualdades anteriores son ciertas cuando las expresiones que aparecen en ellas tienen sentido. As, por ejemplo

Paraf(x)=1/x enI=(0,+)tenemos

Sin embargo enI=(-,0)obtenemos

Propiedades de la integral indefinidaSe verifica:

Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de la derivacin:

Utilizando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y las primitivas de funciones sencillas podemos calcular la siguiente integral:

La generalizacin de estos resultados aparece en latabla de integracin inmediata.

2. Integral Indefinida

2.1 Integracin por partes.

Integracin por parte. El mtodo de integracin por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la frmula: f(x) g'(x)dx = f(x) g(x) f'(x) g(x)dx

DefinicinExisten varios mtodos de integracin,consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integralya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, bien reducirlaa una integral ms sencilla. El mtodo de integracin por partes est basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacin d(u.v) = u dv + v du por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si. d(u.v) = u dv + v du (se integra en ambos lados de la frmula) (u.v) = u dv + v du (resolviendo la integral) u dv = u v - v du (despejando, queda la frmula de la integracin por partes) Se llama integracin por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operacin dentro de ella. Esta seleccin es lo ms importante y se debe realizar de la siguiente manera 1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la funcin ms fcil de integrar, 2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logartmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonomtricas y exponenciales son ms sencillas de trabajar.

2.1.1 Ejercicios de integracin por partes

1.

2.

3.

4.

5 .

2.2 Integracin por sustitucin por partes

El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la derivada de la funcin compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral ms sencilla.

2.2.1 Ejercicios de integracin por partes

2

3

4

5

2.3 Identidades Trigonomtricas

Identidades trigonomtricas fundamentales 1Relacin seno cosenocos + sen = 12Relacin secante tangentesec = 1 + tg 3Relacin cosecante cotangentecosec = 1 + cotg

2.3.1 Ejercicios de identidades trigonomtricas.

1 Sabiendo que tg = 2, y que 180 <