I.T.S.C.S

PROYECTO FINAL

MATEMATICAS

INTEGRANTES: DANIEL CHICAIZA

OLGER LUZURIAGA

XAVIER PUMASUNTA

BRYAN RODRIGUEZ

MIGUEL OÑATE

SEGUNDO SEMESTRE.

TEMA:

OBJETIVO: utilizar los conocimientos adquiridos en matematicas y facilitar el manejo y razonamiento de los números.

Marco teórico: Proyecto de calidad

Ecuaciones Homogéneas de Segundo Orden

Una ecuación diferencial u homogénea de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo :

F (x, y, y1, y11)= 0

La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos:

Y11=f(x, y, y1)

Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones que no contienen la variable y

Sea la ecuación: F (x, y1, y11)=0. Haciendo Y1=p

se deduce P1=y11 . Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de primer orden

F(x, p, p1)=0

• Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene  

Y= y=0 (x,C1,C2)

Ecuaciones que no contiene la variable x.

Sea la ecuación F (y, y1, y11)=0. Haciendo p= Y1, se tiene Y11= dy/dx=dp/dy dy/dx = p dp/dy=0

La ecuacion se transforma en: f Y, p, p dp/dy =0

Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

y = Φ x, C1,C2

ECUACIONES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes  constantes homogénea es de la forma:

 

ay´´+by´+cy = 0 

La función " y ", solución general de la ecuación diferencial anterior, es dela forma  y(x)=kerx (¿Por qué?). Donde " k " es una constante que da la generalidad de la solución.

Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r .

Bien, de la solución general tenemos:

 Reemplazando en ay´´+by´+cy = 0 tenemos:

akr 2erx + bkrerx + ckerx = 0

kerx [ar 2 + br + c] = 0

Ahora bien, k ≠ 0 porque si no tuviéramos las solución trivial y como también   e≠ 0 ,  entonces   ar 2 + br + c = 0 .  A  esta  expresión se  la  denomina Ecuación Auxiliar y es útil para hallar r .

Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la formula general

r1, r2  = − b ±   b2− 4ac

  2a

Aquí se presentan tres casos.

Caso 1:

Discriminante positivo [b2− 4ac> 0]. Entonces r1 y r2 son raíces reales y diferentes. 

En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales

y1 (x) = k1er x

y2 (x) = k2er x

 La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones

fundamentales

y(x) =  k1er x + k2er x

Caso 2:

Discriminante cero [b2− 4ac = 0]. Entonces r1 y r2 son raíces reales e iguales.

En este caso la solución General sería: 

y(x) =  k1er x + k2xer x

Caso 3:

   Discriminante negativo [b2− 4ac  < 0]. Entonces r1 = ë + µi y r2 = ë − µi son raíces complejas conjugadas.

Reemplazando en   y(x) =  c1er x + c2er x   tenemos:

y(x) =C1e(ë+µi)x + C2e(ë−µi)x

PROBLEMAS CON VALOR INICIAL RAICES REALES

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.Ejemplo ilustrativoUna curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)Solución:

Conclusiones y recomendaciones

La matemática es una gran herramienta para el razonamiento. Se utiliza en la vida cotidiana aunque uno no se de cuenta. Los conocimientos adquiridos en esta materia nos sirve en el

futuro en la carrera que estamos siguiendo.

Bibliografía

http://www.slideshare.net/

http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada