UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

PROYECTO DE TESIS

AUTOR:

NELVER SÁNCHEZ BARBA

ASESOR:

DR. ING. JHONNY ORTIZ TÁVARA

La libertad, Trujillo 2014

“DESARROLLO DE NUEVOS MODELOS DE DAÑO COHESIVO PARA EVALUACIÓN DE FRACTURA MEDIANTE EL MÉTODO

DE ELEMENTOS FINITOS ”

I. GENERALIDADES

1. TÍTULO:

“DESARROLLO DE MODELOS DE DAÑO COHESIVO PARA EVALUACIÓN DE FRACTURA DE MATERIALES”

2. AUTOR:

Sánchez Barba Nelver Daniel

3. TIPO DE INVESTIGACIÓN:

De acuerdo a la orientación: Aplicada

De acuerdo a la técnica de contrastación: Explicativa

4. RÉGIMEN DE INVESTIGACIÓN:

Orientada

5. LOCALIDAD E INSTITUCIÓN DONDE SE DESARROLLARÁ EL PROYECTO:

Localidad: Trujillo, La Libertad

Institución: Escuela de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional de Trujillo

6. CRONOGRAMA DE EJECUCIÓN DEL PROYECTO:

ETAPA IInvestigación bibliográfica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31Estado actual del arteEstudio teórico de modelos cohesivos Estudio del Método de Elementos FinitosEstudio de lenguaje de programación Fortran

ETAPA IIEnsayos experimentales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31Preparación de probetasDeterminación de propiedades mecánicasEnsayos experimentales de probetas pre-fisuradas

ETAPA IIIEstudio analítico y programación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Descripción de modelos cohesivosEstudio analítico-semianalítico del problemaSub-rutina Usermat en FortranProgramación de leyes cohesivas en Fortran

ETAPA IVImplementación numérica y validación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Implementación de modelos cohesivos en elementos finitosSimulación numérica de problemas de daño en elementos finitosEstudio comparativo numérico-experimental

ETAPA VDocumentación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Redacción de tesisRevisión de tesisPreparación de copias

Marzo

Abril

Diciembre

Enero

Febrero

7. FECHA DE INICIO:

Abril del 2015

8. FECHA DE TÉRMINO:

Julio del 2015

9. HORAS DEDICADAS AL PROYECTO:

Se estima una dedicación diaria de 08 horas.

10. RECURSOS:

8.2 Disponibles:

- Sistema de ensayo de materiales Instron FasTrack 8800.

- Herramientas de laboratorio de ensayo de materiales.

- Software de programación Fortran.

- Información especializada en Métodos Numéricos.

- Materiales de escritorio.

- Cámara fotográfica.

- Internet, telefonía.

No Disponibles:

- 01 computadora (Intel Core 2 Duo, 32 GB RAM, 1TB de disco duro).

- Libros especializados en Mecánica de fractura.

- Información especializada en Modelos Cohesivos de Fractura.

- Probetas para ensayos mecánicos.

- Software especializado en elementos finitos.

- Especialista en lenguajes de programación.

- Técnico especialista en mecanizado de materiales.

- Servicio de impresión y encuadernación.

11. PERSONAL

Según la etapa del proyecto se considera el siguiente personal.

Etapa Personal Número de personasI y III Especialista en Lenguajes de programación. 1II Técnico especialista en mecanizado de materiales 1V Servicio de impresión y encuadernación. 1

12. MATERIALES Y EQUIPOS:A continuación se anotan la calidad y cantidad de equipos y materiales necesarios

para la investigación.

13. LOCALES:La primera etapa del proyecto se llevará a cabo en la escuela de Ingeniería

Mecánica de la Universidad Nacional de Trujillo.

La segunda etapa se realizará en los laboratorios de Máquinas Herramientas y

Ensayos Mecánicos de la Escuela de Ingeniería Mecánica de la Universidad

Nacional de Trujillo.

La tercera y cuarta etapa tendrán lugar en el Centro de Computo de la Escuela de

Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional de Trujillo y Laboratorio de

Materiales de Ingeniería Mecánica.

14. PRESUPUESTO: Concepto Monto estimado (S/.) Tipo de recurso

PersonalEspecialista en lenguajes de programación. 500 No disponibleServicio de impresión y encuadernación 200 No disponibleTécnico especialista en mecanizado de materiales 500 No disponible

EquiposComputadora 10000 No disponible

MaterialesLicencia de software comercial 18000 No disponibleProbetas para ensayos mecánicos 1000 No disponiblePapers especializados en Modelos Cohesivos de Fractura 1000 No disponibleLibro especializado en Mecánica de Fractura 200 No disponibleMateriales de escritorio 1600 Disponible

OtrosInternet, telefonía, etc. 300 Disponible

Descripción Calidad CantidadEquipos

Sistema de ensayos de materiales Alta 1Computadora Alta 1Cámara fotográfica baja 1

MaterialesSoftware especializado en elementos finitos Alta 1Software para programación en Fortran Alta 1Probetas para ensayos mecánicos Alta 3Paper especializados en Modelos Cohesivos de Fractura Alta 10Libro especializado en Mecánica de Fractura Media 1Herramientas de laboratorio Media -Materiales de escritorio (papel A4, bolígrafos, sillas, escritorio, etc.) Baja -

Total S/. 33,300.0015. FINANCIACIÓN:

Autofinanciación y con apoyo de empresas interesadas en el estudio.

II. PLAN DE INVESTIGACIÓN

1. REALIDAD PROBLEMÁTICA

Los problemas de presencia de defectos o grietas, propagación y falla de elementos

mecánicos se estudian dentro de la Mecánica de Fractura usando modelos de

Mecánica de Fractura Lineal Elástica (MFLE) y Mecánica de Fractura

Elastoplástica (MFEP) [1],[2]. La MFLE se aplica cuando el tamaño de la zona plástica

alrededor del vértice de fisura es pequeño en comparación con las dimensiones de

la pieza y considera como hipótesis que la tensión cerca del vértice tiene un valor

no acotado o infinito [1]. En cambio la MFEP es aplicable cuando la zona plástica

circundante al vértice de la grieta tiene tamaño considerable, esta metodología tiene

importantes limitaciones para la implementación y seguimiento de la propagación

de grietas [2].

Usualmente, en el estudio de la fractura, es necesario conocer la distribución de

tensiones y de deformaciones del componente o estructura que está siendo

sometido a cargas o desplazamientos externos. Dado que la solución analítica solo

puede determinarse en casos muy específicos, las herramientas numéricas han

sido y son de gran utilidad para, junto con los ensayos experimentales, evaluar la

integridad estructural de materiales y componentes. En las últimas décadas se han

utilizado diversos métodos numéricos para analizar problemas de fractura [3] siendo

el más ampliamente usado el Método de los Elementos Finitos (MEF).

En años recientes, en el marco de los elementos finitos, ha emergido una

herramienta para investigar el proceso de fractura en materiales y estructuras, es

llamado el enfoque del Modelo de Zona Cohesiva (MZC). El MZC es un enfoque

fenomenológico de gran utilidad práctica dado que es muy fácil de implementar en

un análisis de elementos finitos y pues generalmente un MZC solo requiere de dos

variables que pueden ser ajustadas con relativa facilidad a partir de ensayos

experimentales [4]. Una gran ventaja del MZC es que no involucra singularidades en

el vértice de fisura como en Mecánica de fractura clásica, y la falla del material es

controlada por cantidades como desplazamientos y tensiones, los cuales son

consistentes con la usual teoría de Resistencia de Materiales [5]. El uso de los

modelos cohesivos se ha extendido a diversos tipos de aplicaciones; en los últimos

años se ha despertado un creciente interés por la aplicación de los MZC para

describir el proceso de fractura de materiales con comportamiento dúctil [6]

Sin embargo, aun cuando existen grandes avances en el desarrollo de MZC estos

no se han trasladado a la industria de forma mayoritaria por el impedimento que

supone la ausencia de los MZC en las prestaciones de software basados en el

análisis de elementos finitos. Si bien es cierto, existen diferentes códigos

comerciales que permiten implementar elementos cohesivos, la totalidad de ellos

están basados en MZC muy genéricos que no son apropiados para problemas

complejos [7] ni permiten adaptarse con facilidad a aplicaciones específicas [4].

Motivado por la anterior problemática, es que se presenta este proyecto de

investigación cuyo objetivo es desarrollar un modelo integral de daño cohesivo que

permita explicar el comportamiento de grietas, y/o fractura final de un material. Para

lo cual se propone desarrollar un enfoque de daño basado en tensiones y

desplazamientos. Se desarrollará un modelo que incluya un criterio de iniciación,

propagación del daño y fallo del material. El modelo a su vez deberá incorporar

valores de tensiones y desplazamientos críticos, y energía de fractura. La

investigación se realizará usando métodos experimentales para la caracterización

del comportamiento según este enfoque, y se complementa con un estudio

numérico en el cual se implementarán códigos propios para daño progresivo.

2. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO

El origen del modelo cohesivo de fractura se puede remontar al modelo de

“Dugdale-Barenblatt”. La zona de banda flexible de Dugdale (1960), fue propuesta

para estimar el tamaño de la zona plástica en el vértice de fisura. En el modelo de

Dugdale se supone que existe una zona plástica cerca al vértice de la fisura de

acuerdo con la Fig. 2.1(a). Dentro de la zona plástica una tensión igual a la

resistencia a la fluencia σ Y actúa a través de la grieta [8]. En 1962, Barenblatt

propuso el concepto de fractura cohesiva con el objetivo de eliminar la singularidad

de la tensión en el vértice de fisura en la MFLE. El modelo de Barenblatt es similar

al modelo de Dugdale, pero la tensión se asume que varía con la deformación [9].

Sin embargo, no se tienen referencias que en aquellos años se hayan

implementado estos modelos en el Método de elementos finitos.

Un importante avance fue realizado en 1976 por Hillerborg [10]. Inspirado en los

modelos plásticos y de ablandamiento de la zona de proceso de fractura iniciado en

los trabajos de Barenblatt y Dugdale, y desarrollados anteriormente para materiales

distintos al hormigón por Rice [11]. La idea fundamental del modelo propuesto por

Hillerborg es demostrado en la Fig. 2.1 (b). La fisura es supuesta que propaga

cuando la tensión en el vértice de la fisura alcanza la resistencia a la tracción σ max.

Cuando la fisura se abre no se asume que la tensión cae a cero al mismo tiempo,

pero sí disminuye con el aumento del ancho de la grieta δ . En el ancho de fisura

δmax la tensión se ha reducido a cero. La conclusión de Hillerborg fue que

combinando su modelo de fractura y el MEF se obtienen resultados realistas con

respecto a la formación y propagación de fisuras, así como con respecto al fallo,

incluso si se utiliza una malla de elementos grandes.

Fig. 2.1 Modelo de Dugdale (a) y Modelo de Hillerborg (b) [10]

El MZC ha evolucionado como un método preferido para analizar problemas de

fractura en sistemas de materiales monolíticos y compuestos no solamente porque

evita la singularidad sino también puede ser fácilmente implementado en un análisis

de métodos numéricos tal como el MEF. Por lo tanto, varios MZC han sido

propuestos para investigar el proceso de fractura en varios sistemas de materiales

incluyendo los materiales compuestos reforzados con fibra de polímero, materiales

metálicos, cerámicos, materiales de cemento u hormigón, y materiales bimetálicos.

Todos ellos parten de la suposición que una o más interfaces pueden ser definidas,

donde la propagación de las grietas es permitido por la introducción de una posible

discontinuidad en el campo de desplazamientos. Varios MZC (leyes cohesivas) han

sido propuestos (Rose [12], Needleman [13], Tvergaard [14], Tvergaard y Hutchinson [15],

Xu y Needleman [16], Camacho y Ortiz [17]). La principal diferencia entre estos

modelos radica en la forma de la respuesta tracción-desplazamiento, y los

parámetros usados para describir la forma. Es generalmente aceptado que el MZC

puede ser descrito por dos o tres parámetros independientes [18]. Estos parámetros

pueden ser la tenacidad a la fractura (el área bajo la curva tracción-desplazamiento,

que es obtenido típicamente mediante ensayos), la tensión cohesiva σ max (o τ max) y

la forma de la ley cohesiva. Sin embargo, varios estudios previos indicaron que la

tensión cohesiva de interface y la tenacidad a la fractura (energía de fractura de

interface) son los parámetros más importantes para describir el comportamiento de

la fractura [19], [20]. El método basado en el MZC ha sido extensamente implementado

en el análisis de elementos finitos para investigar el comportamiento a la fractura de

las estructuras o muestras en el modo I (modo apertura), modo II (carga de corte en

el plano), y modo combinado I/II. Algunas soluciones analíticas basadas en la teoría

de vigas en modo I, modo II o modo combinado I/II también se han desarrollado [19],

[21].

En nuestro país son pocos los esfuerzos que se realizan por conocer y aplicar el

método de MZC a los procesos de fractura de materiales. Sin embargo,

recientemente el investigador Dr. J.E. Ortiz ha presentado el proyecto [21] en el que

se pretende realizar un estudio de integridad estructural de poliductos de minería y

petróleo basado en el método del MZC.

J. E. Ortiz ha trabajado con el Dr. J. L. Otegui, del Grupo de Soldadura y Fracto-

mecánica de la Universidad Nacional de Mar del Plata (Argentina), algunos

comportamientos en fractura que puede tomar lugar en ductos [22], [23].

Existen muchas líneas abiertas en daño de materiales que siguen siendo objeto de

investigaciones, por ejemplo: efecto del tamaño de probeta, tipo de ensayo sobre la

fractura cohesiva, propiedades cohesivas, determinación de los parámetros que

caracterizan el modelo cohesivo y efecto de la curva tracción-desplazamiento,

modo mixto de propagación, predicción de la dirección de la propagación, efectos

de carga y descarga en el modelo cohesivo, fractura cohesiva 3D, entre otros [25], [26].

2.1 CONCEPTOS PRELIMINARES Y RELEVANTES DE MECÁNICA DE FRACTURA

En esta sección del proyecto, la Mecánica de Fractura Lineal Elástica y Mecánica

de Fractura No Lineal son brevemente revisadas.

2.1.1 MECANICA DE FRACTURA LINEAL ELÁSTICA (MFLE)

La MFLE fue motivada por el trabajo de Inglis [27] quién resolvió el problema del

agujero elíptico para materiales elásticos lineales. Sin embargo, una grieta aguda

resulta en singularidad de tensiones en el vértice de la fisura mientras la distribución

finita de tensiones alrededor del vértice existe en la realidad. Debido a esta

discrepancia, Griffith [28] se animó a desarrollar una teoría de la fractura basada en el

concepto de balance de energía en vez de en la concentración de tensiones: una grieta propagará cuando la energía disponible para extender la unidad de área de la grieta es igual a la energía requerida. Más tarde, esta energía equivalente

fue denominada tasa de liberación de energía (G). El factor de intensidad de

tensiones (K ¿, introducido por Irwin [29] permite realizar cálculos de la tensión y el

desplazamiento en el campo asintótico del extremo de la fisura. Él también derivó

un criterio simple de fractura dado por la condición: para que una fisura propague,

K debe exceder un valor característico de cada material(KC); KC es el valor crítico

del factor de intensidad de tensiones que provoca la inestabilidad de fisura [30].

Encontró que la relación entre G y K , basado en el análisis de cierre de fisura,

estada dado por:

G= KE (2.1)

Donde E es el módulo de Young del material. La zona no lineal fue asumida para

ser muy pequeña en el vértice de la fisura para el enfoque de Griffith e Irwin en la

MFLE.

2.1.1.1 FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIONES Y MODOS DE DEFORMACIÓN DE GRIETAS [30]

Una grieta en un sólido puede presentar un estado de tensiones en tres modos

diferentes:

Modo I: La tensión aplicada al sólido actúa perpendicular al plano de la grieta.

También denominado modo apertura (Fig. 2.2 (a))

Modo II: Los desplazamientos de las superficies de la grieta son perpendiculares al

plano de la grieta y las tensiones cortantes son paralelas al plano de la grieta (Fig.

2.2 (b))

Modo III: Las tensiones cortantes son paralelas al plano de la grieta y los labios de

esta se mueven en dirección paralela. Este modo de crecimiento de grieta también

se denomina de desgarramiento (Fig. 2.2 (c))

Fig. 2.2 Modos de deformación de grieta (a) Modo I, (b) Modo II y (c) Modo III

(Norma UNE 7540:1998)

Irwin estableció relaciones entre el factor de intensidad de tensiones y las

condiciones tensionales y de deformación del fondo de grieta, para los distintos

modos de fractura:

Fig. 2.3

Tensiones cerca del fondo de una grieta

Modo I:

(2.2)σ xx=

K I

√2πrcos( θ2 ) [1−sin( θ2 )sin( 3θ

2 )]σ yy=

K I

√2πrcos ( θ2 )[1+sin(θ2 )sin (3θ

2 )]τ xy=

K I

√2πrcos( θ2 )sin( θ2 )sin (3θ

2 )

Modo II:

(2.3)

Modo III:

(2.4)

Donde K I ,K II, K III representan el factor de intensidad de tensiones en modo I, II y

III, respectivamente.

2.1.2 MECÁNICA DE FRACTURA NO LINEAL

La MFLE es limitada en su habilidad para analizar un material el cual tiene una

zona larga no lineal en frente del vértice de la fisura debido a la plastificación o al

ablandamiento progresivo. Rice [32] propuso la aplicación de la integral J

independiente del camino para un problema de fisura y probó que J es igual a la

tasa de liberación de energía para materiales no lineales.

Irwin tradujo el problema de la fractura no lineal en la MFLE a través de una

corrección de zona plástica, más tarde le llamó el modelo equivalente de fisura

elástica. Asumiendo una redistribución constante de tensión igual a σ Y delante del

vértice de la grieta y satisfaciendo el equilibrio global, el tamaño de la zona plástica

(r p ¿es calculado como sigue:

r p=1π ( K I

σY)

2

(2.5)

σ xx=K II

√2πrcos( θ2 ) [1−sin( θ2 )sin( 3θ

2 )]σ yy=

K II

√2πrcos ( θ2 )[1+sin(θ2 )sin (3θ

2 )]τ xy=

K II

√2πrcos(θ2 )sin( θ2 )sin (3θ

2 )

τ zx=−K III

√2πrsin( θ2 )

τ yz=K III

√2πrcos(θ2 )

Sin embargo, mientras la suposición de la distribución constante de tensión en

frente del vértice de la fisura es razonable para un material dúctil, esto no es válido

para un material cuasi frágil, a causa de su progresivo ablandamiento no lineal. La

distribución no lineal de tensión delante del vértice de la fisura genera una zona de

proceso de fractura más larga, la cual es generalmente supuesta para ser

proporcional a la longitud característica introducida por Hillerborg [10]:

lch=( K I

σY)

2

=E ´GC

σY2

(2.6)

Donde E´=E para un estado plano de tensiones, E´= E

1−ν2 para estado plano de

deformaciones, y GC es la energía de fractura. A través de una estimación

razonable del tamaño de la zona de proceso de fractura, podemos obtener la

longitud efectiva de fisura aec y el factor de intensidad de tensiones efectivo con el

fin de linealizar el problema de fractura no lineal.

Además, para caracterizar la fragilidad de las respuestas estructurales, la fragilidad

ha sido cuantificada de manera que un número pequeño indica poca cantidad de

comportamiento dúctil y un número grande proporciona un comportamiento

elástico-frágil [33]. Para metales, el número de fragilidad βK basado en el tamaño de

la zona plástica (2.5) es:

BK=DσY

2

K IC2

(2.7)

El cual la norma ASTM E 399 proporciona la condición para la validez del ensayo

de tenacidad a la fractura (β¿¿K ≥2.5) .¿

2.2 COMPORTAMIENTO DEL PROCESO DE FRACTURA

En general, clasificamos el comportamiento del proceso de fractura basados en el

tamaño de zona no lineal [33]. En frente del vértice de una fisura, la zona de proceso

de fractura, o la zona de ablandamiento no lineal, caracteriza el comportamiento de

ablandamiento progresivo (el área gris en las Fig.2.4). La región externa a esta

zona (el área negra) es denominada la zona no lineal de endurecimiento la cual

representa la plasticidad perfecta. Para el primer tipo de comportamiento (Fig.2.4

(a)), la zona de proceso de fractura y la zona no lineal de endurecimiento, ambas

son relativamente pequeñas tal que la MFLE es aplicable. Materiales frágiles como

el vidrio, cerámicas y metales frágiles, ilustran el comportamiento de este tipo de

proceso de fractura.

Para el siguiente tipo de comportamiento (Fig.2.4 (b)), debido a la gran zona de

endurecimiento no lineal y la pequeña zona de proceso de fractura debido a la

plastificación, la MFEP puede ser explotada para analizar la zona no lineal de

endurecimiento. Materiales dúctiles caen dentro del segundo tipo de

comportamiento.

El tercer tipo de comportamiento (Fig.2.4 (c)) ilustra el daño progresivo con

ablandamiento de material a lo largo de la zona de proceso de fractura. Mientras la

zona no lineal de endurecimiento podría ser insignificante para este tipo, la zona

relativamente larga de proceso de fractura influye significativamente en la

redistribución de tensiones. Este comportamiento es denominado cuasi frágil. La

MFLE no puede ser directamente aplicada a estos materiales frágiles a causa de la

larga zona de proceso de fractura no lineal.

Fig. 2.4 Tipos de comportamientos de procesos de fractura [33]

2.3 MODELO DE ZONA COHESIVA (MZC)

El MZC caracteriza la zona de proceso de fractura delante del vértice de una fisura.

A través de la determinación de la ley cohesiva para el material en estudio, el

proceso de fractura puede ser simulado por un análisis de elementos finitos. En

esta parte del proyecto el concepto básico del MZC es explicado.

2.3.1 CONCEPTO DE MODELO DE ZONA COHESIVA

Durante la propagación de fisura, una zona de proceso de fractura existe en frente

del vértice de la grieta, donde micro-vacíos se inician, crecen, y finalmente

coalescen con la fisura principal, como es mostrado en la Fig. 2.5 (a). La respuesta

del material en esta zona difiere grandemente del material principal que lo rodea.

En la zona de proceso de fractura, la degradación del material es obvia. La relación

constitutiva elastoplástica convencional usada en el material principal es no

adecuada para esta región local de material degradado. Cuando se formulan

soluciones analíticas a problemas que involucran la zona de proceso de fractura,

una nueva relación constitutiva es necesaria. Comparada con las otras dimensiones

características de la región, el espesor de la zona de proceso de fractura es muy

pequeña. Luego, es razonable asumir que la zona de proceso de fractura puede ser

aproximada por una zona de tracciones cohesivas, la cual tiene espesor cero en la

configuración no-deformada. En este caso, la zona de proceso de fractura es

llamada una zona cohesiva la cual consiste de dos superficies cohesivas ficticias.

Fig. 2.5 Zona de proceso de fractura (a) y esquema de la zona cohesiva (b) en

frente del vértice de la grieta bajo condición de carga. [34]

Las superficies cohesivas están conectadas mediante tracción cohesiva y pueden

ser separadas durante la deformación como muestra la Fig. 2.5 (b). La relación

entre la tracción cohesiva y el salto de desplazamiento de las superficies cohesivas

es usualmente denominada ley de tracción-separación. En contraste al concepto

estándar en la mecánica continua, el MZC permite un salto de desplazamiento

dentro del material y separación de las superficies de fractura lo cual finalmente

conduce a la falla del material. Introduciendo el modelo de zona cohesiva, el

comportamiento del material es dividido en dos partes: deformación y separación.

Para el material principal, la deformación es considerada por el modelo

convencional de material continuo, en contraste la zona de proceso de fractura es

modelada por la ley de tracción-separación [34].

En general, el MZC intrínseco consiste de cuatro fases (Fig.2.6). La primera fase es

caracterizada por un comportamiento elástico del material sin separación (Fig.2.6:

Fase I). Asumimos que las propiedades del material son homogéneas y elásticas

lineales en esta fase. La siguiente fase es la iniciación de una fisura cuando un

determinado criterio se cumple, por ejemplo, tensión circunferencial crítica o

densidad de energía de deformación crítico (Fig. 2.6: Fase II). Generalmente, el

criterio de iniciación de la fractura para un modo I se supone que es el estado de

tensión que alcanza la resistencia de cohesión (e.g. resistencia a la tracción del

material, σ max). La tercera fase involucra la evolución del daño gobernado por la ley

de tracción-separación (o curva de ablandamiento) esto es la relación entre la

tensión (σ ) y la apertura de la grieta (δ ) a través de las superficies de fractura (Fig.

2.6: Fase III). Dado que la ley de tracción-separación define las características de la

zona de proceso de fractura, la forma de la curva de ablandamiento es esencial

para el MZC. La fase final es la falla completa cuando la apertura de la grieta

alcanza la apertura crítica δmax (Fig. 2.6: Fase IV). La fase IV representa las nuevas

superficies de fractura que son generadas, en las cuales la tensión es igual a cero

(sin capacidad de carga) [35].

Fig. 2.6 Esquema del concepto de modelo cohesivo de fractura. [35]

2.3.2 CURVAS DE ABLANDAMIENTO Y PARÁMETROS ASOCIADOS

La curva de ablandamiento se supone no negativa y no creciente, como se

esquematiza en la Fig. 2.7. Para ser consistente con la condición de formación de

fisura, el valor de la tensión para apertura de fisura nula debe ser igual a la

resistencia a la tracción σ max. Cuando la apertura de fisura aumenta, la tensión

disminuye y, eventualmente, se anula para la apertura crítica de fisura, δmax.

Fig. 2.7 Curva de ablandamiento [36]

El área debajo de la curva de ablandamiento representa la energía disipada en una

unidad de área fija cuando la fisura la atraviesa hasta rotura total. Se denomina

energía de fractura (GC). Obviamente, GC es un parámetro material en tanto la

curva de ablandamiento sea una función material. Una vez que la función de

ablandamiento es conocida, el análisis de la propagación de una fisura es,

teóricamente, muy simple. El suministro total externo de energía necesario para

romper completamente una probeta es, simplemente, GC multiplicado por la

superficie de la fisura formada. Dado que el método para medir GC está basado en

hipótesis secundarias de difícil verificación, se ha propuesto una definición

experimental: [36]

GCE=(Suministro externodeenergía) /superficie de fisura (2.8)

Solamente cuando se eliminan las fuentes espúreas de disipación energética y

cuando la curva de ablandamiento puede considerarse una propiedad del material,

sólo entonces, GCE=GC. Por tanto, conviene distinguir entre valores

experimentales, que pueden corresponder a una situación en que la teoría expuesta

no es aplicable, y valores teóricos que corresponden a condiciones idealizadas.

Aún en el caso de que la experimentación se corresponda bien con la teoría, es

preciso tener en cuenta que el valor de GC no es suficiente para resolver los

problemas de fractura. Es esencial conocer la forma de la curva de ablandamiento.

La determinación experimental directa de la curva de ablandamiento puede llevarse

a cabo mediante ensayos estables de tracción directa. Sin embargo, las

dificultades experimentales son grandes, lo que hace que para el cálculo se

supongan formas aproximadas de la curva de ablandamiento, basadas en estudios

experimentales.

La mayor parte de resultados numéricos disponibles han sido obtenidos con la

forma bilineal. El método consiste en aproximar la curva de ablandamiento real por

una curva bilineal dependiente de cuatro parámetros: la energía de fractura GC, la

tracción máxima o resistencia cohesiva σ max, la intersección de la recta inicial con el

eje de abscisas (δ 1¿ y la abscisa del punto de quiebre de la curva (δ k ). [36]

Fig. 2.8 Curva de ablandamiento bilineal [36]

Además, en la literatura se pueden encontrar diversos modelos constitutivos de la

zona cohesiva. Leyes de la zona cohesiva típicas incluyen la ley de decrecimiento

lineal propuesta por Hilllerborg et al. [10], ley cohesiva cúbica y exponencial por

Needleman [13], forma constante por Yuan et al. [37], la forma trilineal por Tvergaard y

Hutchinson [15], y la forma polinomial por Chaboche et al. [38].

Fig. 2.9 Varias leyes de tracción-separación para fisura en modo I [34] (a) Ley plástica

rígida, (b) ley triangular con régimen inicial lineal elástico seguida por un régimen de

ablandamiento lineal, (c) una ley de tracción-separación arbitraria, a menudo

aproximada por una función cúbica, (d) ley de ablandamiento lineal, (e) ley de

ablandamiento no lineal.

2.4 ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS

El propósito de esta parte del proyecto es exponer algunos de los aspectos

fundamentales del análisis de elemento finito (FEA, por sus siglas en inglés).

2.4.1 TERMINOLOGIA DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF) [39]

La configuración espacial de cualquier sistema es descrito por sus grados de

libertad (GDL). Si el número de GDL es finito, el modelo es llamado discreto, y

continuo en el caso contrario. Debido a que el MEF es un método de discretización,

el número de GDL del modelo MEF es necesariamente finito. Estos son colectados

en un vector columna denotado como {u }. Este vector es llamado el vector GDL o

el vector de estado.

Cada GDL tiene un correspondiente término “conjugado” o “dual, que representa

una fuerza generalizada. Estas fuerzas son agentes de cambio y son colectadas en

un vector columna denotado como {f }. El producto interno { f T } . {u }tiene el

significado de energía o trabajo externo.

En algunos casos, la relación entre {u} y {f } es asumida para ser lineal y

homogénea. La última suposición significa que si {u} desaparece así mismo lo hace

{f }.La relación es luego expresada por la ecuación de rigidez principal:

[K ¿ {u }={f } (2.9)

K es universalmente llamada la matriz de rigidez incluso en aplicaciones no

estructurales.

Si la relación entre fuerzas y desplazamientos es lineal pero no homogénea, la

ecuación (2.9) se generaliza a:

[ K ]{u }={f M }+{f I } (2.10)

Aquí {f I} es el vector fuerza para efectos tales como cambios de temperatura, y f M

es el vector de fuerzas mecánicas.

Los tres pasos claves de simulación son: idealización, discretización y solución; el

MEF juega un papel clave en la fase de discretización. Cada paso es una fuente de

errores (ver Fig. 2.10).

2.4.2 IDEALIZACIÓN

La idealización consiste en pasar del sistema físico a un modelo matemático.

Fig. 2.10 Una vista simplificada del proceso de simulación y el papel del MEF en el

proceso. [39]

2.4.3 DISCRETIZACIÓN

Los modelos de los sistemas físicos no son necesariamente simples de resolver.

Ellos a menudo involucran parejas de ecuaciones diferenciales parciales en el

espacio y el tiempo sujetas a condiciones de frontera y/o interface. Las soluciones

analíticas desafortunadamente tienden a ser restringidas a geometrías regulares y

para condiciones simples de frontera.

La mayoría de problemas enfrentados por los ingenieros o no están reemplazados

por tratamientos analíticos o requerirían una cantidad desproporcionada de

esfuerzo. El camino práctico es la simulación numérica. Aquí es donde los métodos

de elemento finito entran en la escena.

Para hacer prácticas las simulaciones numéricas es necesario reducir los GDL a un

número finito. La reducción es llamada discretización. El producto del proceso de

discretización es el modelo discreto (Fig. 2.10).

Una combinación de técnicas analíticas y numéricas es a menudo efectiva en la

reducción de la dimensión del problema para facilitar los parámetros de estudio. [39]

2.4.4 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

El concepto básico del MEF es la subdivisión del modelo matemático del sistema

físico en componentes no conectados (sin solapamiento) de simple geometría

llamados elementos finitos o elementos por simplicidad. La respuesta de cada

elemento es expresado en términos de un número finito de GDL caracterizado

como el valor de una función desconocida, o funciones, en el conjunto de puntos

nodales (o nodos, son los puntos de intersección de las líneas que forman los lados

de los elementos) [40]. La respuesta del modelo matemático es luego considerada

para ser aproximada por medio del modelo discreto obtenido, conectando o

ensamblando la colección de todos los elementos.

Fig. 2.11 Ejemplos de elementos empleados en MEF. [40]

2.4.4.1 ATRIBUTOS DE LOS ELEMENTOS [39]

Uno puede tomar los elementos finitos de cualquier tipo uno a la vez. Sus

propiedades locales pueden ser desarrolladas considerándolos de manera aislada,

como entidades individuales. Los elementos son aislados en los pasos de

desconexión y localización. El procedimiento involucra la separación de los

elementos de sus elementos vecinos mediante la desconexión de los nodos,

seguido por el establecimiento de un sistema de coordenadas local conveniente

para el elemento. Luego de eso podemos considerar elementos genéricos: un

elemento barra, elemento viga, etc.

Para llevar a cabo cálculos a nivel de elemento en los programas de elemento finito,

se requiere del conocimiento de un conjunto de datos asociados al elemento.

Dimensión del elemento: Los elementos pueden tener una

dimensionalidad intrínseca de uno, dos o tres dimensiones en el espacio

(Fig. 2.11).

Nodos: Los nodos conllevan un doble propósito: definición de la geometría

del elemento, y albergar grados de libertad.

Geometría del elemento: En una dimensión, los elementos son usualmente

líneas rectas o segmentos curvos. En dos dimensiones son de forma

triangular o cuadrilátera. En tres dimensiones la forma más común son

tetraédrico, pentaedro y hexaédrico (“bloques”).

Fig. 2.12 Geometrías típicas de elemento finito.

Grados de libertad: Especifica el estado del elemento. Los GDL son

definidos como los valores (y posiblemente derivadas) de una variable

primaria en los nodos.

Fuerzas nodales: Hay siempre un conjunto de fuerzas nodales en una

correspondencia uno a uno con los GDL.

Propiedades constitutivas: Para un elemento mecánico estas son

relaciones que especifican el comportamiento del material, por ejemplo:

Modulo de Young (E).

Propiedades de fabricación: Las cuales han sido integradas fuera de la

dimensionalidad del elemento, por ejemplo: propiedades de sección

transversal de elementos mecánicos como barras, vigas y ejes así como el

espesor de placas, etc.

2.4.4.2 Enfoque general del MEF [40]

La implementación del MEF usualmente sigue un procedimiento estándar paso a

paso. A continuación se presenta un panorama general de cada uno de estos

pasos:

Discretización: Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en

elementos finitos.

Ecuaciones de los elementos: Consiste en desarrollar ecuaciones para

aproximar la solución de cada elemento.

- Se debe elegir una función apropiada con coeficientes desconocidos

que aproximará la solución.

- Evaluar los coeficientes de modo que la función aproxime la solución

de manera óptima.

Ensamble: Obtenidas las ecuaciones de los elementos individuales, éstas

deben unirse o ensamblarse para caracterizar el comportamiento de todo el

sistema. Las soluciones de elementos contiguos se acoplan, de manera que

los valores de las incógnitas (y algunas veces las derivadas) en sus nodos

comunes sean equivalentes. Así, la solución total será continua.

Condiciones de frontera: Antes de resolver la ecuación (2.9) debe

modificarse para considerar las condiciones de frontera. La clave está en

recordar que las condiciones de frontera se presentan en dos tipos básicos.

- Esenciales: Afectan directamente los GDL, y están impuestos al

lado izquierdo de la ecuación, en el vector columna {u }.

- Naturales: No afectan directamente los GDL y están impuestas al

lado derecho de la ecuación, en el vector columna {f }.

Solución: La secuencial aplicación de los pasos antes descritos conducen a

un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas, donde los

desplazamientos nodales son desconocidos. Estas ecuaciones se pueden

resolver por técnicas de descomposición tales como LU.

Procesamiento posterior: La solución se despliega en forma tabular o de

manera gráfica. Además, pueden determinarse las variables secundarias y

también mostrarse.

3. JUSTIFICACION

3.1 JUSTIFICACIÓN TEÓRICALa justificación teórica del proyecto se basa en que las teorías actuales de fractura

tienen limitación de:

MFLE solo funciona cuando el tamaño de la zona plástica alrededor del

vértice de fisura es pequeño en comparación con las dimensiones de la

pieza.

MFEP no tiene finalidad práctica porque involucra elaborados cálculos en el

dominio del cuerpo.

Las teorías de fractura solo se aplican cuando el cuerpo tiene grietas, en

otras palabras no se considera la iniciación de estas.

Las propiedades fracto-mecánicas se determinan a partir de ensayos

elaborados de probetas pre-fisuradas con equipamiento e instrumentación

costosos.

3.2 JUSTIFICACIÓN PRÁCTICA

La importancia práctica del proyecto radica en:

La propuesta del modelo cohesivo se basa en la ley de daño de un ensayo

de tracción simple.

El modelo incorpora tensión de rotura, apertura máxima, energía de fractura,

rigidez y adicionalmente se puede realizar iniciación de daño y fallo de la

estructura.

El modelo simplifica problemas bidimensionales a estudios lineales ya que la

ley cohesiva se implementa en las caras de la grieta y para el caso 3D en

las superficies de la grieta.

No introduce tensiones ficticias o infinitas como Mecánica de Fractura lineal

elástica.

4. OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GENERAL

El objetivo general del proyecto es desarrollar un modelo integral basado en

tensiones y desplazamientos para caracterizar el comportamiento de grietas. Este

modelo de daño cohesivo considera la pérdida de rigidez asociado a la degradación

que sufre el material teniendo en cuenta las fuerzas cohesivas que se deben vencer

para lograr la separación del mismo.

4.2 OBJETIVOS ESPECíFICOS

Son objetivos específicos del proyecto:

Describir el proceso de fractura en términos de tensiones, desplazamientos y

energía de fractura.

Determinar experimentalmente las tensiones de rotura, pérdida de rigidez y

desplazamientos críticos.

Identificar y describir las leyes cohesivas asociadas a la fractura de materiales.

Identificar criterios de iniciación y propagación de daño.

Proponer un criterio de fallo final asociado al daño del material.

Generar modelos de daño cohesivo que puedan seguir y describir la

propagación de una grieta.

Generar códigos propios, en lenguaje de programación Fortran, para el modelo

de daño cohesivo.

Implementar los modelos generados con código propio dentro del MEF.

Realizar un estudio numérico de daño usando el MEF.

Realizar un estudio comparativo numérico-experimental del modelo de daño.

5. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

¿Qué propiedades mecánicas obtenidas a partir de un ensayo de tracción permiten

caracterizar el daño estructural de un material?

6. HIPOTESIS

Se propone como hipótesis del presente proyecto de investigación que la

resistencia a la tracción y el desplazamiento crítico obtenida de la curva tensión-

desplazamiento de un ensayo controlado de tracción directa permiten caracterizar

el proceso de daño estructural que sufre un material.

Las tensiones aplicadas a una probeta en forma incremental registradas versus

desplazamiento es un comportamiento característico intrínseco del proceso de

fractura y es un modelo integral en el sentido de que incorporan variables tales

como tensión, desplazamiento y energía de fractura tomando en cuenta la pérdida

de rigidez del material. El ensayo desarrolla la iniciación, propagación del daño y

finalmente el fallo de la pieza, etapas que explican el proceso de fractura.

7. DISEÑO DE CONTRASTACIÓN

7.1 DISEÑO GENERAL

La metodología general incluye la aplicación de:

Métodos analíticos para procesamiento de la información.

Métodos experimentales de ensayo mecánico de materiales.

Métodos semi-analíticos aplicados a problemas de daño usando leyes cohesivas

simplificadas de materiales.

El método de elementos finitos correspondientes a códigos propios.

Técnicas estadísticas para el procesamiento de datos.

A continuación la estrategia global que se plantea seguir en la investigación:

1. Estudio teórico del problema

2. Ensayos experimentales

3. Descripción del modelo cohesivo.

4. Estudio analítico y/o semi-analítico del problema.

5. Programación y estudio numérico con elementos finitos.

6. Estudio comparativo numérico-experimental.

7.2 DISEÑO DE LA INFORMACIÓN

La población objeto de estudio serán los aceros. Las probetas de ensayo de este

material se obtendrán a través de procesos de mecanizado y cuyas dimensiones

serán de acuerdo a la norma ASTM 638 para ensayos de tracción y norma ASTM E

1820-05 para ensayos de fractura. En nuestra investigación se realizarán ensayos

de tracción y ensayos a probetas pre-fisuradas con una muestra de ocho probetas

en total; la realización de estos ensayos requerirá:

Herramientas de precisión; Calibre, micrómetro. Verificación de dimensiones

de probetas.

Sistema de ensayos de materiales Instron FasTrack 8800, con el

correspondiente software para medición de variables propios de un ensayo

de tracción.

Cámara fotográfica, para la toma de imágenes de los ensayos realizados.

Nuestra fuente principal de datos lo constituirá el propio software de la máquina

Instron; de los archivos que registrará esta se obtendrán la curva característica de

daño y los valores de las variables de interés (Tensión-desplazamiento) tanto para

los ensayos de tracción como de las probetas pre-fisuradas. Se aplicarán técnicas

estadísticas para el procesamiento de estos datos con el fin de obtener los valores

más representativos de los ensayos y conocer la dispersión y la correlación entre

ellos. Los resultados obtenidos serán mostrados de manera gráfica.

Los valores representativos de tensión y desplazamiento de los ensayos de tracción

servirán para construir el modelo matemático de la ley cohesiva. Dicha ley

cohesiva incluida en una subrutina de usuario, escrita en lenguaje Fortran, permitirá

el posterior estudio numérico en casos reales de servicio del material. En el estudio

numérico nuestro instrumento de recolección de datos será el propio software de

elementos finitos, el cual nos proporcionará la información necesaria para la

construcción de la curva tensión-desplazamiento. Se estimará de la curva obtenida

la rigidez inicial del material, tensión máxima, desplazamiento máximo y energía de

fractura para los casos analizados. Los resultados obtenidos serán mostrados de

manera gráfica para su posterior análisis e interpretación.

El procesamiento posterior de los resultados tanto experimentales como numéricos

consistirá en presentarlos de manera gráfica con objeto de analizarlos,

interpretarlos y compararlos.

7.3 DISEÑO ESPECíFICO

Las tareas específicas que se seguirán con el fin de probar la hipótesis planteada

se describen a continuación:

Tarea 1: Estudio teórico del problema; se realizará una revisión bibliográfica y

estudio de publicaciones en revistas indexadas acerca del estado actual del arte en

modelos cohesivos de fractura. Así también se realizará una revisión del método

del elemento finito y programación en lenguaje Fortran.

Tarea 2: Preparación de probetas; sobre la base de los conocimientos se definirá

un programa de ensayos experimentales con el objetivo de identificar y caracterizar

el proceso de daño en el material.

Tarea 3: Ensayo experimental de probetas; los ensayos se realizarán de la forma

más estable posible para registrar las variables de tensión vs. desplazamiento del

ensayo de tracción y en probetas pre-fisuradas.

Tarea 4: Descripción del modelo cohesivo; los ensayos experimentales de

tracción proveerán la curva característica de daño y representativa del material, a

partir de este comportamiento se propondrá un modelo matemático que incorpore

un criterio de iniciación y propagación del daño así como los valores característicos

de tensiones, desplazamientos, energía, rigidez, etc.

Tarea 5: Estudio analítico (semi-analítico) del comportamiento; definido el

modelo matemático en la tarea 4 se realizarán los primeros cálculos analíticos o

semi-analíticos del problema. Es importante recalcar que el problema es no lineal

por lo que los procedimientos semi-analíticos están restringidos únicamente a

consideraciones simplificadas de probetas, material, estados de carga y leyes

cohesivas. Para situaciones reales de servicio del material se usarán los

procedimientos numéricos de la tarea 7.

Tarea 6: Programación; se procederá a implementar una subrutina, en lenguaje de

programación Fortran, que incluya entre sus líneas el modelo matemático

determinado en la tarea 4, teniendo especial cuidado de evitar errores de

programación. Luego, la subrutina de usuario será implantada en el software de

elementos finitos con el fin de realizar el estudio numérico correspondiente.

Tarea 7: Estudio numérico con elementos finitos;

7.1 Implementación de modelos cohesivos básicos.

7.2 Simulación de problemas de daño cohesivo.

Los ensayos numéricos serán realizados mediante el método de los elementos

finitos usando códigos propios para daño progresivo. De forma igual a los ensayos

experimentales se registrará la curva carga vs. desplazamiento de la cual se

estimará la rigidez inicial del material, tensión máxima, desplazamiento máximo y

energía de fractura.

Tarea 8: Estudio comparativo numérico-experimental

En esta etapa, y final, del proyecto se compararán los resultados obtenidos por vía

experimental (tarea 3) y el método de los elementos finitos (tarea 7). Esta etapa es

decisiva ya que permite comprobar la validez de la propuesta.

8. PERFIL DE LA TESIS

La tesis tendrá la siguiente estructura:

Caratula

Índice

Resumen

Capítulo I: Introducción

Capítulo II: Revisión de literatura

2.1. Mecánica de Fractura

2.2. Modelo de Zona Cohesiva (MZC)

2.3. MZC en el marco de los elementos finitos

Capítulo III: Descripción y análisis de ensayos

3.1. Ensayos de tracción

3.2. Ensayos en probetas pre-fisuradas

3.3. Obtención de la curva característica de daño

3.4. Análisis e interpretación de datos

Capítulo IV: Descripción y estudio analítico de modelos cohesivos

4.1. Determinación de parámetros de la ley cohesiva

4.2. Modelo matemático de la curva característica de daño

4.3. Cálculos analíticos y/o semi-analíticos del problema

Capítulo V: Implementación numérica

5.1. Implementación numérica de modelos cohesivo en elementos finitos

5.2. Simulación de problemas de daño cohesivo

5.3. Obtención de curva carga-desplazamiento y variables afines

Capítulo VI: Estudio comparativo numérico-experimental

6.1. Análisis de resultados numéricos

6.2. Validación de la implementación numérica

Capítulo VII: Conclusiones y recomendaciones

Referencias

Anexos

9. REFERENCIAS

[1] R. O. Ritchie, “Mechanisms of fatigue crack propagation in ductile and brittle solids,” Int. J. Fracture, vol. 100, pp. 55-83, 1999.

[2] P. D. Zavattieri and H. D. Espinosa, “Grain Level analysis of crack initiation and propagation in brittle materials,” Acta Materialia, vol. 49, N° 20, pp. 4291-4311, 2001.

[3] T. L. Anderson, T. L. “Fracture Mechanics. Fundamentals and applications,” 3rd

Ed., Taylor and Francis CRC Press, 2005.

[4] K. H. Schwalbe, I. Scheider and A. Cornec, “Guidelines for applying cohesive models to the damage behavior of engineering materials and structures,” Springer, 2012.

[5] Jin Z. H., Sun C.T. “A comparison of cohesive zone modeling and classical fracture mechanics based on near tip stress field”, International Journal of Solids and Structures, 2006.

[6] A. Cornec, I. Scheider and K. H. Schwalbe, “On the practical application of the cohesive model,” Engineering Fracture Mechanics, pp. 1963-1987, 2003.

[7] K. Park and G. H. Paulino, “Cohesive Zone Models: A critical review of Traction-Separation relationships across fracture surfaces,” Applied Mechanics Review, vol. 64 (6), 2011.

[8] Dugdale D. S., “Yielding of Steel sheets containing slits”, Journal of the Mechanics and Physics of solids, Vol. 8, 1960, pp.100-104.

[9] Barenblatt G.I., “The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture”, Advances in Applied Mechanics, Vol. 7.Academic Press, New York, 1962, pp 55-129.

[10] Hillerborg A., Modéer M. y Petersson P-E “Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means Fracture mechanics and Finite elements”, Division of Building Materials, Lund Institute of Technology, Sweden, 1976.

[11] Rice J. R., “Mathematical analysis in the mechanics of fracture”, Chapter 3 of Fracture: An Advanced Treatise, Academic Press, N.Y., 1968, pp 191-311.

[12] Rose J. H., Smith J. R., Ferrante J., “Universal features of bonding in metals”, Physical review, 1983, pp.1835-1845.

[13] Needleman A., “A continuum model for void nucleation by inclusion debonding”, ASME Journal of Applied Mechanics 54, 1987, pp.525-531.

[14] Tvergaard V., “Effect of fibre debonding in a whisker-reinforced metal”, Material Science and Engineering A125, 1990, pp.203-213.

[15] Tvergaard V., Hutchinson J. W., “The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids”, Journal of the Mechanics and Physics of solids 40, pp.1377-1397, 1992.

[16] Xu X. P., Needleman A., “Void nucleation by inclusion debonding in a crystal matrix”, Modeling and simulation in Materials Science and Engineering 1, 1993, pp.111-132.

[17] Camacho G. T., Ortiz M., “Computational modeling of impact damage in brittle materials”, International Journal of Solids and Structures 33, pp.2899-2938.

[18] Hutchinson J. W., Evans A. G., “Mechanics of materials: top-down approaches to fracture”, Acta materialia 48, 2000, pp.125-135.

[19] Williams J. G., Hadavinia H., “Analytical solutions for cohesive zone models”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 50, 2002, pp.809-825.

[20] Blackman B. R., Hadavinia H., Kinloch A. J., Williams J. G., “The use of a cohesive zone model to study the fracture of fibre composites and adhesively-bonded joints”, International Journal of Fracture 119, 2003, pp.25-46.

[21] Ouyang Z., Li G., “Local damage evolution of DCB specimens during crack initiation process: a natural boundary condition based method”, ASME Journal of Applied Mechanics, 2008.

[22] Ortiz J. E., Proyecto: “Estudio fractomecánico de daño en poliductos de minería y petróleo con riesgo de contaminación medioambiental”, Universidad Nacional de Trujillo, 2014.

[23] Ortiz J. E., Cisilino A. P., Otegui J. L., “Boundary element analysis of fatigue crack propagation micromechanisms in austempered ductile iron, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 25, Issue 6, 2001, pp.467-473.

[24] Ortiz J. E., Cisilino A. P., Otegui J. L.,, “Boundary element analysis of fatigue crack propagation micromechanisms in ductile iron, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 25, Num. 6, 2001, pp.467-473.

[25] Li H., Chandra N., “Analysis of crack growth and crack tip plasticity in ductile materials using Cohesive Zone Models”, International Journal of Plasticity, Vol. 19, N° 6, 2003, pp. 849–882.

[26] Siegmund T., Brocks W., “A numerical study on the correlation between the work of separation and the dissipation rate in ductile fracture”, Engineering Fracture Mechanics., Vol. 67, 2000, pp. 139–154.

[27] Inglis C. E., “Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners”, Transactions of the Institute of Naval Architects, 1913, pp.361-364.

[28] Griffith A. A., “The phenomena of rupture and flow in solids”, Philosophical Transactions, series A, 1920, pp.163-241.

[29] Irwin G. R., “Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate”, Journal of Applied Mechanics, pp.361-364, 1957.

[30] De Vedia L. A., “Mecánica de fractura”, Monografía tecnológica N°1, Programa multinacional de investigación y desarrollo en materiales, pp.7, Argentina, 1986.

[31] Arana J. L., Gonzáles J. J., “Mecánica de Fractura”, Universidad del País Vasco.

[32] Rice, J. R., “A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks”, Journal of Applied Mechanics, 1968, pp.379-386.

[33] Bazant Z. P., Planas J., “Fracture and size effect in concrete and other Quasibrittle Materials, CRC Press, Boca Raton, 1998.

[34] Jinxiang Liu, Jun Li, and Litao Liu, “Finite Element Analysis for Brittle and Ductile Fracture Using a Unified Cohesive Zone Model,” Advances in Mechanical Engineering, Hindawi Publishing Corporation, Article ID 924070, Vol. 2013, 2013.

[35] Park K., “Concrete fracture mechanics and size effect using specialized cohesive zone model”, Thesis for the degree of Master of Science, University of Illinois at Urbana-Champaign, 2005, pp. 23-24.

[36] Elices M., Planas J., Llorca J., “Métodos numéricos en la fractura de materiales cohesivos”, Departamento de Ciencia de Materiales, Universidad Politécnica de Madrid, 28040 – Madrid.

[37] H. Yuan, G. Lin, and A. Cornec, “Verification of a cohesive zone model for ductile fracture,” Journal of Engineering Materials and Technology, Transactions of the ASME, vol. 118, n°. 2, pp. 192-200, 1996.

[38] J. L. Chaboche, R. Girard, and P. Levasseur, “On the interface debonding models,” International Journal of Damage Mechanics, vol. 6, n°. 3, pp. 220-257, 1997.

[39] C. A. Felippa, “Introduction to Finite Element Methods,” Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures, University of Colorado, Cap. 6 FEM Modeling Introduction, 2004.

[40] S. C. Chapra, R. P. Canale, “Métodos numéricos para ingenieros,” McGraw Hill Interamericana, Ed. 5, pp. 906, 2007.