Proyecto de Aula:

Resolución de problemas.

Licenciado: Diego Vizuete

Integrantes:

Iván SimbañaWladimir Sanchez Jonathan SevillaPaola Soria Janeth TaimalSebastian SaenzAlejandro TufiñoHugo Salazar Juan Samaniego

Lección 11 PROBLEMAS DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN DEL ERROR

Introducción¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro? Características de los problemas

¿Sobre qué trató la unidad dos y tres de este libro ?procedimiento para la resolución de un problema

¿Sobre qué trató la cuarta unidad de este libro?Problemas sobre relaciones de orden

¿Qué tienen en común todas las unidades de este libro?Que podemos encontrar una manera sistematizada para encontrar solución a los problemas presentados

¿Qué tienen en común todas las unidades estudiadas?Un orden lógico a seguir, para el correcto manejo de problemas

¿Cuál es la estrategia general para la solución de problemas?Realizar al pie de la letra todo lo que sea referente al método científico, de esa manera tendremos en mente todos los aspectos que se pueden presentar en un problema para poderlos solucionar.

Presentación del proceso

Hasta ahora hemos combinado la información del enunciado para generar un diagrama un esquema o una representación tabular a partir de la cual generábamos una respuesta, generalmente por inspección. En este caso vamos a encontrar nos con enunciados diferentes que no nos permiten este tipo de representaciones.

Veamos un ejercicio para para ilustrar este tipo de situación.

Tenemos Un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos ante un problema. El problema consiste en averiguar cuantos conejos y gallinas hay en el corral. A partir del enunciado podemos sacar la siguiente información: Que son conejos u gallinas. Que hay al menos dos de cada uno, que el número total de animales es de 16 y que el número de patas es de 52.

La solución tentativa es un número de conejos entre 2 y 14 y un número de gallunas entre 2 y 14 y que suman 16. Esto podemos verlos mejor si lo representamos como sigue.

Ejercicio 1. En un corral un granjero tiene conejos y gallinas. Un niño le pregunta ¿cuántos animales tiene de cada uno? El granjero, que le gusta jugar bromas, le contesta: “Son 16 animales entre gallinas y conejos por lo menos hay 2 gallinas y dos conejos, y el número total de patas es de 52” ¿Cómo el niño puede averiguar cuantos animales de cada tipo?

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

La solución está entre esos trece pares de números. Hemos Usado la información que hay por lo menos 2 conejos y 2 gallinas. ¿Cuál es la respuesta? No lo sabemos. Solo sabemos que esas son todas las soluciones tentativas para el problema. La respuesta tiene que ser una de ellas.

¿Cómo podemos averiguar la respuesta Real? Ahora recordemos que otro dato era el número de patas. Como es conocido que los conejos tienen 4 patas y las gallinas 2 podemos usar esa información para determinar la respuesta. Podríamos hacer 13 veces ese cálculo, pero si queremos ahorrar tiempo y trabajo, hagámoslo por parte de. Primero calculemos los valores de los extremos para verificar que los valores estén ahí.

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Numero de patas 22 64

Sumado el número de conejos por cuatro con el número de gallinas por 2 obtenemos el número de patas. 22 patas en el caso de 2 conejos y 14 gallinas; y 64 patas en el caso de 14 conejos. Efectivamente, el número de 52 patas está contenido en el listado de soluciones tentativas. Ahora, para continuar con nuestro ahorro de tiempo y trabajo, probemos el punto medio de este listado, esto es, probemos el par 8 conejos 8 gallinas. Nos da 48 patas.

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Numero de patas 22 48 64

Esto nos indica que la solución está entre 9 conejos y 7 gallunas, y 13 conejos y 3 gallinas (ya sabemos que los pares 8 y8 ; 14 y 2 ; no son respuestas válidas) son soluciones tentativas. Ahora probamos ek punto medio del Intervalo indicado anteriormente. Esto es el par de 11 conejos y 5 gallinas. Nos da la operación de 54 patas. La representación queda de la siguiente manera.

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Numero de patas 22 48 64

Ahora podemos afirmar que la solución es de 9 conejos y 7 gallinas, o 10 conejos y 5 gallinas. Como 52 está mas cerca de 54 que de 48, probemos primero 10 conejos y 6 gallinas en el corral. Obtenemos exactamente el número que buscábamos.

Entonces podemos concluir que la respuesta es que el granjero tiene 10 conejos y 6 gallinas en el corral. Este par de números cumplen todas las condiciones del enunciado: son conejos y gallinas, más de 2 cada tipo de animal, son 16 animales y tienen 52 patas.

Muy importante, solo tuvimos que hacer 5 evaluaciones del número de patas. Esto sde debe a que nos fuimos guiando por el error que obteníamos cuando calculábamos el número de patas. Nos movíamos en la dirección de hacerlo menos; era como encerrar la solución de un rango que era cada vez más pequeño, hasta que llegábamos al valor que era la respuesta al problema.

Estrategia de tanteo sistemático por acotación del error

El tanteo sistemático por acotación del error consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema, evaluamos los extremos del rango para verificar que la respuesta está en él, y luego vamos explorando soluciones tentativas en el rango hasta encontrar una que no tenga desviación respecto a los requerimientos expresados en el enunciado del problema. Esa solución tentativa es la respuesta buscada.

Práctica del proceso

Practica 1: En una máquina de venta de golosinas 12 niños compraron caramelos y chocolates. Todos los niños compraron solamente una golosina. Los caramelos valen 2 Um y los chocolates 4 Um ¿Cuántos caramelos y cuantos chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40Um?

¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?Identificamos los datos

¿Qué tipos de datos se dan en el problema?Datos cuantitativos

¿Qué se pide?¿Cuántos caramelos y cuantos chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40Um?

¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones?

¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta es correcta? ¿Qué pares de posibles soluciones debemos evaluar para encontrar la respuesta con el menor esfuerzo?

¿Cuál es la respuesta?

¿Qué estrategia aplicamos en la práctica?

Práctica 2: En la misma granja del ejercicio 1 el niño le pregunta al granjero ¿qué superficie tiene el corral de los animales? El granjero se para frente al corral y le contesta: “El corral es rectangular, el ancho es menor que la profundidad, la medición del frente es un número entero y par, el perímetro del corral es 58m y su superficie s mayor de 170m2

Pero no llega a los 200 m2.” ¿Cómo puede el niño averiguar el ancho y la profundidad del corral?

Ejemplo ¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?Leer cuidadosamente el problema ¿Qué tipo de datos se dan en el problema?Perímetro 58 mSuperficie es> 170 m pero es < 200 m

¿Qué se pide?

El ancho y la profundidad del corral

¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones?

Ancho 2 4 6 8 10 12 14Profundidad 15 17 19 21 19 17 15

Superficie 24 100 138 168 190

¿Cuál es la respuesta?La superficie mide 190 m; el ancho 10 m y la profundidad 19 m.

Estrategia binaria para el tanteo sistemático

El método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta se llama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente:Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio por ejemplo números de conejos o números de chocolates o caramelos. Luego aplicamos el criterio de validación (el número de patas o el costo de las golosinas) a los valores extremos para verificar si es uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es una de las soluciones intermedias.

Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y le aplicamos la validación a dicho punto. Si esa no es la solución entonces podemos identificar en que porción del rango está la respuesta. Como resultado de este paso terminaremos con un nuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original.

Repetimos el paso anterior comenzado por identificar el nuevo punto intermedio que divide el nuevo rango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado la respuesta, terminamos con otro nuevo rango que tiene la cuarta parte de las soluciones tentativas necesarias con este método es como sigue:

Número de soluciones tentativas 2 4 8 16 32 64 128 256 1024

Número de evaluaciones para obtener la respuesta 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Práctica 3: Esta práctica consiste en un juego. Seleccionar dos alumnos. Uno piensa un número entre 1 y 128 ambos incluidos que lo va a escribir en un papel que mantiene guardado. El otro alumno trata de adivinar el número; para esto solo puede hacer preguntas cuya respuesta sea “si” y “no”. Anota el número; anota el número de preguntas que hizo cada uno de los alumnos que adivinaba el número. Discutir los resultados.

Haz la práctica ahora. El espacio en Blanco que sigue es par que anotes las ayudas que necesites para adivinar el número que te toque. No sigas leyendo hasta completar la práctica.

Número de soluciones tentativas 2 x x x x x 127

Número de evaluaciones para obtener la respuesta 1 2 3 4 5 6 n…

Si la persona responde en menos de 7 preguntas hay dos alternativas, o el número es muy fácil o la persona tiene mucha suerte adivinando.

Si la persona gastó 8 o más preguntas es que no aplicó correctamente la estrategia binaria.¿Cómo se debe hacerlo para que solo requiera, a lo sumo 7 preguntas?

Práctica 4. Coloca signos + y - entre los números indicando que la igualdad sea correcta. Dale prioridad a la operación de multiplicación, es decir, primero multiplica y luego suma los términos al final.

A) 3 5 4 6 2 =31Si pongo todo + ; queda 3 + 5 + 4 + 6 + 2 = 20, demasiado pequeño; tengo que multiplicar.Si pango todos X ; me queda demasiado grande. Como 31 está más cerca de 20 que de 30 voy a ensayar soluciones con 3 sumas y 1 multiplicación. Tengo cuatro alternativas:

a) 3 + 5 + 4 + 6 x 2 = b) 3 + 5 + 4 x 6 + 2 =c) 3 + 5 x 4 + 6 + 2 = d) 3 x 5 + 4 + 6 + 2 =

Ahora aplicamos el criterio que nos permita verificar si la alternativa es válida o no.

La alternativa b) la suma es 34, con lo cual es una posible respuesta. No sabemos si existen otras respuestas igualmente válidas ¿Qué pasa si ninguna de estas es la alternativa?

Debemos pasar a armar las alternativas con 2 sumas y dos multiplicaciones. Estas son:

a) 3 + 5 + 4 x 6 x 2 = d) 3 x 5 + 4 x 6 x2 =b) 3 + 5 x 4 + 6 x 2 = e) 3 x 5 x 4 + 6 x 2 =c) 3 + 5 x 4 x 6 + 2 = f) 3 x 5 x 4 x 6 + 2 =

Y en el caso que ninguna de estas sea una respuesta, hay aún más alternativas de posibles soluciones considerando una suma y 3 multiplicaciones.

a) 3 + 5 x 4 x 6 x 2 = b) 3 x 5 x 4 + 6 x 2 =c) 3 x 5 x 4 x 6 + 2 =

En total podemos armar 15 alternativas de posibles soluciones

B) 8 2 5 = 21

C) 7 5 2 6 = 47

D) 9 4 6 2 = 35

E) 4 2 3 7 5 =34

F) 8 x 6 + 3 x 2 + 10 = 64

G) 5 x 6 + 9 x 2 = 48

H) 10 + 25 x 25 + 35 = 670

Cierre

¿Qué estudiamos en esta lección?

¿En qué consiste la estrategia de acotación del error?

¿En qué consiste la estrategia binaria para el tanteo sistemático

Lección 12. Problemas de construcción de soluciones