Proyecto Control Automatico - Modulo Lunar

8/18/2019 Proyecto Control Automatico - Modulo Lunar

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Pontificia Universidad Católica de ChileDepartamento Ingeniería Mecánica y Metalurgia

ICM3352 Mecánica Computacional

Proyecto de simulación

Alunizaje de Módulo Lunar

IEE2612 Control Automático

Benjamín A. Lagos B. Profesor: Andrés Guesalaga

Fecha: 16-09-2013


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La matriz de rotación que lleva desde el sistema inercial al sistema solidario al cuerpo es:

La inversa de es ya que la matriz es ortogonal.

Luego, considerando el vector de traslación ⃗ , la relación entre el sistema fijo y el solidario al cuerpo es:

⃗ ⃗ ⃗ La relación entre el vector velocidad angular referido al eje fijo, con respecto a los ángulos de Euler

definidos es:

Si queremos expresiones para las aceleraciones angulares, derivamos:

Donde:


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Tensor de inerciaAsumimos que el módulo lunar tiene su eje solidario en su centro de masas y además, dada la simetría de laesfera, sabemos que su tensor de inercias será diagonal. Según la ilustración 3 y [2], y cambiando por , respectivamente, el tensor de inercias del módulo lunar sin considerar sus patas y referido alsistema de coordenadas solidario al cuerpo es:

Ilustración 3: Cálculo del momento de inercia de una esfera hueca

̃ ( )

( )

es el momento de inercia total del cuerpo, corresponde al momento de inercia del módulo lunar sincombustible, al momento de inercia de la esfera hueca de combustible, la masa del módulo lunar sincombustible, la masa del combustible,

el volumen de combustible, el volumen del hueco, la

masa específica del combustible y la masa total del sistema.

El volumen del hueco de la esfera depende del radio y a su vez su variación depende del flujo de masa en

las toberas y de la densidad del combustible , ya que se asume que la masa expelida por las toberasproviene en su totalidad del combustible llevado por el módulo lunar (suposición válida ya que paragenerar combustión y su posterior expulsión de masa en el espacio exterior, se deben llevar tanto elcombustible como el oxidante para la combustión). Entonces:


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∑ ∫ ∫ ∑

∑ ∑

∑

∑

Luego:

( ) Donde:

Será necesaria una expresión para la derivada de la masa:

∑ Dado que las variables manipuladas son conviene expresar la masa como:

∑


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El torque o momento generado por esos empujes, en función de las coordenadas del módulo lunar:

Ecuaciones de Newton-EulerUna vez definidos los sistemas de coordenadas a usar, expresiones apropiadas para la inercia y empuje enlas toberas, podemos usar las ecuaciones de Newton-Euler para encontrar la dinámica del sistema.

Refiriéndonos al sistema fijo, el momento lineal del módulo lunar es:

⃗ ̇ Luego, por la segunda ley de Newton:

∑ ⃗ ̇ ⃗ ̈ ⃗

Para la coordenada de interés:

̇ ̈ Según [4], si el tensor de inercias está referido al centro de gravedad del cuerpo, G, el momento angular de

un cuerpo rígido en movimiento corresponde a:

Luego, por conservación del momento angular sabemos que:

∑ ( ⃗ ) ⃗

La suma de momentos externos referidos a los ejes solidarios al módulo lunar está dada por la suma de

momentos generados por cada tobera, entonces:

⃗


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Ya que por simplificación del modelo asumimos que

⃗ ̇ ̇̇̇ ̇̇

Con estas ecuaciones, y utilizando las relaciones entre

⃗ ̇ ⃗ con

⃗ y (para los giros de nuestro interés), se

puede obtener un sistema de ecuaciones diferenciales:

1. Ecuación de Newton para el Eje Z

2.- 2 ecuaciones de Euler para ̇ y ̇ 3.- 2 relaciones entre ̇ ̇ con y 4.- 2 relaciones entre ̈ ̈ con , ̇, ̇

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