Escuela de Matemáticas Álgebra Lineal – MA322 Prof. Luis Eduardo Amaya B.

Trabajo de Investigación 1

Aspectos Generales:

- El presente trabajo debe ser elaborado en grupos de máximo 5 personas. - La fecha de entrega será el viernes 1 de setiembre del presente año, la hora

máxima de entrega será las 11 p.m. - El trabajo debe ser enviado al correo: solomandalo@gmail.com. - El trabajo debe incluir las rutinas programadas, con los comentarios del caso

dentro de la rutina. - En el caso de los ejercicios teóricos, estos deben ser digitalizados en Latex (se

debe de adjuntar el documento latex, y el pdf).

Primera Etapa: Programación (60 puntos) 1. En el lenguaje de programación R (se puede usar R studio:

https://www.rstudio.com/products/rstudio/download/) programe las siguientes funciones:

2. Una función que reciba el número de filas y de columnas (mxn) y construya una matriz de dicho tamaño con números reales generados aleatoriamente y la guarde en un archivo txt.

3. Suma y resta de matrices de cualquier dimensión (recuerden validar si es posible). 4. Multiplicación de matrices (el programa debe validar si la multiplicación de las

matrices ingresadas es válida). 5. Calcular la potencia n-ésima de una matriz (si es posible). 6. Calcular el rango de una matriz de tamaño � × �. 7. Calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n, por medio de:

7.1 Definición (algoritmo recursivo). 7.2 Aplicación de operaciones elementales. 7.3 Ingrese y calcule en su programa el determinante de una matriz de tamaño 500�500, 10000�10000 y 500000 × 500000 (estas matrices las debe

generar con la función del punto 1) calcule dicho determinante por medio de los dos métodos implementados, y determine el tiempo de ejecución de cada uno. Comparé y explique, lo que observo.

8. Validar y calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden n, por medio de: 8.1 Operaciones elementales.

8.2 Uso del determinante � � | |������. 8.3 Aplicando la rutina programada, con los dos métodos diferentes calcule la

inversa de una matriz cuadrada de orden: 10, 5000 y 1000000. Las matrices las debe generar con la aplicación del punto 1. Determine el tiempo de ejecución de ambas, compare y explique lo que observo.

Segunda Etapa: Aplicación (40 puntos)

1. Demostrar que

�� � � � � 2� 2�2� � � � � � 2�2� 2� � � � � �� � �� � � � ���

(5 puntos) 2. Hallar el valor de los siguientes determinantes de orden n

(10 puntos)

3. Lea el artículo de matrices y determinante de Vandermonde

3.1 Resolver la ecuación � 1 1 12 � 34 �� 91�118 ��27 �1� � 0.

3.2 La siguiente es una matriz de Vandermonde, calcular el determinante de

dicha matriz, �� 1 1 1"#$2 "#$20 "#$200�"#$2�� �"#$20�� �"#$200��1"#$2000�"#$2000���"#$2�� �"#$20���"#$200�� �"#$2000����

(10 puntos) 4. Lea el artículo de matrices de Hadamard, busque un artículo publicado en alguna

revista (adjuntar referencia bibliográfica) donde se haga uso de las matrices de Hadamard y elabore un resumen amplio de la aplicación de las matrices. (Recomendación: en inglés hay artículos de sobra).

(15 puntos)