2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorizacin .

Matriz equivalente del sistema:

Hallando la matriz U

Se realiza un escalonado, con el fin de obtener una matriz triangular superior, teniendo en cuenta que solo se pueden utilizar las operaciones de adicion entre filas.

Por tanto tenemos que:

Hallando L:Para esto se arma una matriz triangular inferior, en la cual, la diagonal principal va a ser del valor 1, cada componente de esta, y los otros valores sern los nmeros por los cuales se multiplico las filas superiores para eliminar el primer valor de cada fila inferior.

Se procede ahora a plantear un nuevo sistema de ecuaciones a partir de la matriz L, utilizando como termino independiente el mismo del sistema original de ecuaciones, con lo cual obtenemos:

De donde obtenemos:

Ahora planteamos un nuevo sistema de ecuaciones con la matriz U, donde el trmino independiente ser el de los coeficientes hallados anteriormente, obteniendo as:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

Por tanto concluimos que:La solucin del sistema de ecuaciones

Es:

4. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que:

4.1 Contiene a los puntos y Para hallar las respectivas ecuaciones, primero debemos hallar un vector director de la recta, el cual cumple la propiedad de ser paralelo a la recta.Por definicin, un vector director puede ser hallado, restando dos puntos pertenecientes a la recta, en este caso los puntos P y Q.

Ecuacin simtrica:Por definicin una ecuacin simtrica de una recta en , viene expresada de la forma , Donde es un punto perteneciente a la recta y , un vector director asociado a la misma, por tanto procedemos a remplazar los valores correspondientes, utilizando el punto P.

Por tanto la ecuacin simtrica de la recta seria

Ecuacin Paramtrica:Por definicin una ecuacin paramtrica de una recta en , viene expresada de la forma , siendo un punto perteneciente a la recta, un vector director asociado a la recta y Utilizando el vector director encontrado anteriormente y el punto Q, obtenemos como ecuacin paramtrica:

4.2 Contiene a y es paralela a la recta Ya que la recta que debemos hallar es paralela a la recta dada, podemos utilizar el vector director de la ya indicada, puesto que la propiedad que debe cumplir un vector director asociado a una recta es que este sea paralelo a la misma, por tanto tenemos:

Ecuacin Simtrica:Siendo el vector director y el punto , solo resta remplazar en la ecuacin general, obteniendo as:

Por tanto una ecuacin simtrica de la recta seria:

Ecuacin Paramtrica:Utilizando a , como un vector director y a como un punto perteneciente a la recta, solo debemos remplazar en la ecuacin general, teniendo as:

7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R2 constituyen un EspacioVectorial. Nota: Muestre que cada uno de los axiomas se satisface.Para la demostracin de los axiomas utilizaremos los siguientes parmetros.

Axiomas:1. cerrado bajo la suma.Si y , se debe cumplir que si tomamos y Obtenemos que efectivamente pertenece a Cumple el axioma

2. Ley asociativa de la suma.Se debe cumplir que:

Por tanto obtenemos:

Cumple el axioma

3. Neutro aditivo.Existe un tal que

Cumple el axioma

4. Inverso aditivo.Sea , existe un tal que:

Cumple el axioma

5. Ley conmutativa.Se debe cumplir que:

Como y obtenemos:

Cumple el axioma

6. Cerrado bajo la multiplicacin por un escalar.Sea (escalar), se debe cumplir que:

Cumple el axioma

7. Primera Ley distributiva.Sea (escalar), se debe cumplir que:

Cumple el axioma

8. Segunda Ley distributiva.Sean (escalares), se debe cumplir que:

Por tanto obtenemos:

Cumple el axioma

9. Ley asociativa de la multiplicacin por un escalar.Se debe cumplir que:

Cumple el axioma

10. Existe un , tal que:

Cumple el axioma

Por tanto se concluye que el conjunto de vectores que conforman a, es efectivamente un espacio vectorial.