PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAOO Libro XII dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XI e XIII,...

FACULTADE DE MATEMÁTICAS Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n.

Campus Universitario Sur 15782 Santiago de Compostela

Teléfono: 981 563 100 ext. 13130 e-mail: [email protected]

OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2019-2020 – FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Código AL01_20 Titor/a Ana Jeremías López

Área Titor/a Álxebra Título Clasificación de módulos sobre un dominio de Dedekind.

Breve descrición do contido

Los dominios de Dedekind son anillos con buenas propiedades que surgen como anillos de números y también como anillos de coordenadas de las curvas algebraicas regulares. Su teoría de módulos finitamente generados es similar a los dominios de ideales principales de los que son una generalización. Veremos el teorema de clasificación de estos módulos en términos de ideales fraccionarios.

Bibliografía Eisenbud,D.: Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Springer, 2004 Broue, M.: Some Topics in Algebra, Springer, 2014

Recomendacións (non vinculantes)

Haber cursado los contenidos de la asignatura “Estructuras algebraicas”.

Código AL02_20 Titor/a Javier Barja Pérez

Área Titor/a Álxebra Título O método de decisión de Tarski para a Álxebra e a Xeometría elementais.


A xeometría desenvolta por Euclides, nos Elementos, é un modelo de como se contaron as matemáticas durante máis de dous milenios. A súa forma expositiva resultou ser en grande parte responsable do seu éxito. Sorprende que a partires de apenas unha ducia de principios se puidesen obter tal cantidade de resultados da xeometría do plano. A discusión, o longo dos anos, de certos aspectos do corpus dos Elementos fixo aumentar o interese polo seu estudo. É no século XIX cando se fixa o que podemos chamar versión definitiva, o que razoablemente se dá por certo do "orixinal", e tamén o momento no que xorden as "novas" xeometrías, a resultas da discusión sobre o 5º postulado. Neste marco, coincidindo coa "matematización" da lóxica aristotélica, volveuse aos Elementos cunha visión "lóxica". En 1899, Hilbert presenta a primeira "axiomatización", diríamos semi-formal, da xeometría de Euclides e nas seguintes 3 décadas algúns dos mellores matemáticos volcaron os seus esforzos na mesma dirección que Hilbert. Pódense citar entre outros a Heyting, Birkhoff e Tarski. Foi precisamente o lóxico Alfred Tarski, na década dos años 30 do século XX, e restrinxíndose o que el chama a xeometría elemental, quen probou a existencia dun procedemento, é dicir un algoritmo, que, aplicado a calquera fórmula da teoría formal, pode dicir, nun número finito de pasos, se é ou non é un teorema. O que desenvolve Tarski é un sistema para a xeometría euclidiana baseada nun obxecto primitivo e dúas relacións primitivas, reducibles a só unha. O sistema é único, no sentido de que pode presentarse en lóxica de primeira orde, é dicir os axiomas non requiren cuantificación sobre “conxuntos de obxectos”. Isto permite beneficios adicionais, por exemplo : a xeometría pode programarse e xerarse cun ordenador. A orixinalidade do resultado radica en que o seu algoritmo "funciona" tamén na teoría formal da "álxebra elemental". Foi precisamente aquí onde fixo a súa especificación e, posteriormente, “trasladouno" á teoría da xeometría elemental. Probou, en 1930, que o sistema axiomático da álxebra elemental admite eliminación de cuantificadores, resultando entón un sistema completo, decidible e que admite unha proba construtiva da súa consistencia. Ao ser decidible, toda sentencia escrita no sistema pode probarse se é ou non un teorema. O sistema de Tarski é moi simple en termos lóxicos da teoría de modelos, pero non é categórico. Os modelos da teoría de Tarski son “planos cartesianos” sobre corpos reais pechados (no sentido alxébrico). O sistema da xeometría ten 20 axiomas e un esquema de axiomas (así que hai infinitos axiomas) e non é posible suprimir o esquema de axiomas usando lóxica de predicados superior, sen perder as propiedades de completude e decidibilidade, anque nese caso tamén sería categórico coma o de Hilbert. O prezo a pagar pola simplicidade é a perda de toda posible intuición xeométrica. O traballo involucra o estudio da lóxica formal cuantificada de primeira orde, así como o estudo das teorías matemáticas e os seus modelos e o concepto de teoría decidible.

Bibliografía Borsuk K. and Szmielew W. Foundations of geometry : euclidean and Bolyai-Lobachevskian geometry,




projective geometry. North-Holland, Amsterdam,1960. Feferman, A.B.; Feferman, S. Alfred Tarski: Life and Logic. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 2004. Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. W. H. Freeman and Company, New York, 2008. Hartshorne, R. Euclid and Beyond. Springer-Verlag, New York. 2000.,–Tarski, Alfred, A decision method for elementary algebra and geometry, 2th ed Berkeley-Los Angeles 1951. Tarski, Alfred, What is elementary geometry, in Symposium on the Axiomatic Method, Studies in Logic and the Foundatioms of Mathematics. Brouwer -Beth- Heyting ed .North Holland, Amsterdam, 1959 Venema Gerard A. The foundations of geometry. 2nd ed. Pearson, New York, 2012.


É convinte usar a bibliografía suxerida

Código AL03_20 Titor/a Celso Rodríguez Fernández

Área Titor/a Álxebra Título A Xeometría dos sólidos dos Elementos de Euclides (Libro XII)


O Libro XII dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XI e XIII, adícase ó estudo da xeometría do espazo. Neste TFG centrarémonos no Libro XII. Estudaremos o método que seguen os Elementos de Euclides no Libro I e analizaremos os resultados dos libros III, IV, V, VI e XI que se utilizarán nas demostracións do libro XII. A versión final do TFG recollerá o contido do libro XII con demostracións análogas ás da versión orixinal, pero nun linguaxe actual.

Bibliografía

[1] Euclides, Elementos (traducción de Ana Gloria Rodríguez Alonso y Celso Rodríguez Fernández), Clásicos do Pensamento Universal, Fundación BBVA, Universidade de Santiago de Compostela, 2013.

[2] Heath, Thomas L., The thirteen books of Euclid’s Elements. Second edition, Revised with adittions (3 Vols.) Dover Publications, Inc., New York, 1956.

[3] Heiberg, J.L., Euclid’s elements of geometry (edited, and provided with a modern English translation by Richard Fitzpatrick) 2007.

[4] Clark University, Los elementos de Euclides [en línea]. <http://euclides.org>.

Código AL04_20 Titor/a Leoncio Franco Fernández

Área Titor/a Alxebra Título Teorema de Krull-Akizuki

Breve descrición do contido Extensiones enteras Dominios de Dedekind. Grupo de clases Extensiones de Dominios de Dedekind Anillos de enteros algebraicos Teorema de Krull-Akizuki

Bibliografía [[1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980 [3] Cohn PM Algebra Wiley 1989


Área Titor/a Alxebra Título Localización de anillos conmutativos

Breve descrición do contido Lema de Nakayama. Teorema de Jordan-Holder Localización Soporte y primos asociados

Bibliografía [1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980


Área Titor/a Alxebra Título El teorema 90 de Hilbert general

Breve descrición do contido Los grupos de Tate




El teorema 90 de Hilbert Extensiones cíclicas finitas Extensiones abelianas

Bibliografía

[1] Lang algebra Springer 2002 [2] Neukirch Algebraic number theory Springer 1999 [3] Serre Local fields Spñringer 1979


Área Titor/a Alxebra Título Estructura de las unidades modulo m

Breve descrición do contido Estructura de las unidades modulo m. Raíces primitivas Descripción de los retículos de subgrupos y de subcuerpos para los cuerpos ciclotomicos de órdenes 8 y 16

Bibliografía [1] Leveque, W. J. Fundamentals of number theory, AW 1977 [2] Aparicio, E. Teoría de los números, Univ. Pais Vasco 1993 [3] Lang, Serge Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.

Código AL08_20 Titor Felipe Gago Couso

Área Titor/a Álxebra Título Desigualdades olímpicas


Calquera libro con problemas ou material de preparación para as olimpíadas matemáticas inclúe desigualdades. A idea deste traballo é facer unha presentación das desigualdades numéricas (entre elas: medias aritmética e xeométrica, Cauchy-Schwarz, Hölder, reordenación, Chebyshev, Schur, Minkowski, e, por suposto, Jensen). Facer unha recollida de enunciados das distintas fases da Olimpíada Matemática Española e da IMO e presentar unha escolma de problemas resoltos.

Bibliografía

R. Bulajich Manfrino, J. A. Gómez Ortega, R. Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Birkhäuser Verlag, 2009.

I. Matic. Inequalities (en Olympiad Training Materials, dispoñible en https://www.imomath.com/index.php?options=257&lmm=0)

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya. Inequalities, Cambridge University Press, 2nd ed., Cambridge 1952.

Código AL09_20 Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío

Área Titor/a Álxebra Título Teorema de los ceros de Hilbert. Tema y variaciones.


El teorema de los ceros (Nullstellensatz) es la generalización del teorema fundamental del álgebra a sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables. Se trata de dar una exposición de este resultado y explorar variantes en cuerpos con propiedades interesantes como los cuerpos reales o finitos.

Bibliografía • Eisenbud, Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Springer, 2004 • K. Goel, D. P. Patil, J. Verma, Nullstellensätze and Applications, arXiv:1809.02818 • S. R. Ghorpade, A Note on Nullstellensatz over Finite Fields, arXiv:1806.09489


Haber cursado los contenidos de las asignaturas “Estructuras algebraicas” y “Ecuaciones Algebraicas”. Es de ayuda pero no imprescindible haber cursado la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL10_20

http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=191734

http://www.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=378

https://www.imomath.com/index.php?options=257&lmm=0




Titor/a Javier Majadas Soto Área Titor/a Álgebra

Título Análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos


El contenido coincide esencialmente con “Bourbaki: Théories Spectrales, chapitre II” o con los primeros capítulos de “Deitmar, Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis”. El análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos es necesario, junto con un curso básico de teoría algebraica de números, para comenzar a estudiar algunos de los principales temas en teoría de números: formas automorfas, la famosa tesis de Tate, el programa Langlands (véase por ejemplo el libro Bump, Automorphic Forms and Representations, cuyo contenido queda evidentemente fuera de este TFG).

Bibliografía Bourbaki: Théories Spectrales, chapitre II Deitmar, Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis


Se usarán frecuentemente parte de los contenidos de las asignaturas “Topología General”, “Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas”, “Series de Fourier e Introdución a las Ecuaciones en Derivadas Parciales” y “Variable Compleja”, por lo que es importante manejar con soltura los conceptos básicos de dichas asignaturas (dado que algunos alumnos no cursan la asignatura “Variable Compleja” hasta último curso, se intentará adaptar el calendario de realización del TFG para que esto no cause demasiados inconvenientes). Asimismo, es conveniente (pero no necesario) cursar simultáneamente o haber cursado la asignatura optativa “Análisis Funcional en Espacios de Hilbert” y, en menor medida, “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL11_20 Titor/a Manuel Ladra González

Área Titor/a Álxebra

Título Introdución de coordenadas nun plano afín


O propósito deste traballo é unir dous enfoques diferentes da xeometría afín: o enfoque alxébrico (ou analítico) da xeometría de coordenadas e o enfoque axiomático da xeometría sintética. Para calquera anel de división R, o plano de coordenadas R^2 é un plano afín desarguesiano. O obxectivo principal deste traballo é mostrar o contrario: que todo afín desarguesiano pode ser considerado como un R^2 ao renomear os seus puntos como pares ordenados de elementos dun anel de división R e asociar unha ecuación lineal con cada recta. Manexaranse os seguintes temas: Axiomas do plano afín. Dilatacións e translacións. Construción do corpo. Teorema de Desargues. Teorema de Pappus.

Bibliografía

Bibliografía:

• E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957. • M. K. Bennett, Affine and Projective Geometry, A Wiley-Interscience publication, Inc., New York,

1995. • R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc., New York 1967.

Código AL12_20 Titor/a Manuel Ladra González

Área Titor/a Álxebra Cotitor/a María Pilar Páez Guillán

Área Cotitor/a Álxebra Título Retículos de subgrupos


Existen moitas relacións entre a estrutura dun grupo G e a do seu retículo de subgrupos L(G). A máis básica é que os isomorfismos entre grupos inducen isomorfismos entre os seus retículos de subgrupos, pero non á inversa, en xeral. Preguntas máis complexas son se podemos determinar os retículos asociados a unha clase de grupos, ou os grupos asociados a unha clase de retículos, ou que grupos están determinados polo seu retículo de subgrupos. O obxectivo deste traballo é facer unha incursión na teoría de retículos para a




continuación dar resposta a algunhas destas preguntas.

Bibliografía Bibliografía: R. Schmidt, Subgroup Lattices of Groups, de Gruyter Expositions in Mathematics, 14, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1994.


Ter cursadas as materias “Estruturas alxébricas” e “Ecuacións alxébricas”.

Código AL13_20. Titor/a María Jesús Vale Gonsalves

Área Titor/a Álgebra Título Dimensión y número de ecuaciones de las variedades algebraicas afines y proyectivas.


El concepto de dimensión es el primer invariante que se asocia a una variedad algebraica. Las variedades de dimensión 0 son los puntos, las de dimensión 1 son las curvas, las de dimensión 2 las superficies, etc. En este trabajo se dará una definición topológica de la dimensión de una variedad algebraica muy natural, pero no siempre fácil de manejar, y tambien otras definiciones más manejables que exigen resultados de álgebra conmutativa y de teoría de cuerpos. En el caso de variedades algebraicas afines se probará que su dimensión topológica coincide con la dimensión de Krull de su anillo de coordenadas y con el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones racionales. Siguiendo el modelo de las variedades lineales, se estudiará la relación entre la dimensión de una variedad algebraica afín o proyectiva y el número de ecuaciones que la definen.

Bibliografía

Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkchäuser, Boston,1985. Milne, J. S., A primer of Commutative Algebra, Expository Notes, 2017. Milne J. S., Algebraic Geometry. Course Notes, 2017. Perrin, D., Géométrie algébrique, CNRS Editions, Paris, 1995.


Se recomienda haber cursado las materias Estructuras Algebraicas y Ecuaciones Algébraicas, y estar cursando Álgebra, Números y Geometría.

Código AL14_20 Titor/a Manuel Pedreira

Área Titor/a Álxebra Título Curvas racionales normales. Geometría y ecuaciones.


Uno de los ejemplos clásicos de conjunto algebraico; es decir, de un subconjunto del espacio proyectivo Pd definido por por ecuaciones algebraicas es la llamada Curva Racional Normal de grado d en Pd . Ejemplos de tales curvas son, por supuesto la recta en el plano y la cónica no degenerada. El siguiente ejemplo en donde uno aprende mucha geometría es la cúbica racional normal o cúbica alabeada de P3. En este trabajo se toma como motivación este último ejemplo para obtener las ecuaciones de la curva racional normal C d en el espacio proyectivo Pd . Comenzando con la cúbica alabeada C 3 de P3, se estudia que conjuntistamente, C 3 consiste en la intersecci\’on de tres cuádricas, dos de ellas conos y la tercera la cuádrica no singular del espacio ordinario. Se estudia en detalle la propiedad de que cualesquiera dos cuádricas de estas tres se cortan en la cúbica más una recta bisecante a la curva que desaparece una vez se intersecan dichas dos cuádricas consideradas con la tercera cuádrica. A deferencia de otro TFG propuesto en donde se estudia de manera directa la geometría de la curva racional




normal, aquí estudiamos las ecuaciones ilustrando así los conceptos de anillo, ideal y módulo que el alumno ha estudiado en el curso de Estructuras Algebraicas. Pero no olvidamos la geometría que existe detrás de tales objetos algebraicos. Así, por ejemplo, estudiamos que toda recta bisecante a la cúbica alabeada aparece como una recta residual en dos cuádricas que contienen a la cúbica, lo cual es un argumento geométrico de que en el ideal de las ecuaciones de la cúbica, el subespacio correspondiente a las ecuaciones cuadráticas, nunca puede ser generado por menos de tres cuádricas. En relación con esto y como ilustración de que la cúbica alabeada no es la intersección completa de dos superficies estudiamos un ejemplo de cómo dicha cúbica es la intersección contada dos veces de una superficie cuádrica y una superficie cubica. Este ejemplo introduce de manera natural los conceptos de intersección completa teórico-conjuntista e intersección completa en el sentido algebraico. Tales conceptos son de vigencia actual por cuanto que todavía es desconocido si una curva en P3 es incluso una intersección completa conjuntista. Dicho problema fue estudiado durante muchos años por Robin Hartshorne y sus discípulos sin llegar a obtener una respuesta afirmativa. Una parte interesante del trabajo detalla la generalización de las ecuaciones de la cúbica alabeada al caso de una curva racional normal. Se proporciona un sistema de ecuaciones cuadráticas que resultan ser los determinantes de menores de orden dos de una cierta matriz de coordenadas en Pd . Esto nos proporciona que la curva racional normal está definida por ecuaciones homogéneas que se corresponden con ecuaciones definidas por determinantes. Tales conjuntos algebraicos así definidos y llamados conjuntos o variedades determinantales, fueron estudiados por Corrado Segre, por Castelnuovo y ya contemporáneamente y usando métodos de álgebra conmutativa por David Mumford. Un resultado ya importante dentro del estudio de las ecuaciones de un conjunto algebraico es encontrar un sistema de generadores del ideal de sus ecuaciones. En este sentido, la herramienta fundamental es el método llamado de las bases de Gröbner. Estudiar en detalle este método sería objeto de otro TFG, pero aquí se da una motivación del método probando directamente que , efectivamente el ideal de ecuaciones de la cúbica alabeada está generado por las tres cuádricas cuya intersección conjuntista proporciona la cúbica. Con el material que se tiene es posible encontrar una presentación libre del anillo de coordenadas de la cúbica alabeada. Esto ilustra los conceptos de módulo libre, sizigias (relaciones entre los generadores de un módulo no libre) y presentación libre de un módulo que el alumno conoce de la asignatura de estructuras algebraicas. Tiene su interés porque mediante el cálculo de estas presentaciones libres, en el año 1996 Michelle Deschamps, bajo la dirección de Christiann Peskine, proporcionó una clasificación de curvas del espacio proyectivo que re-obtenía mediante métodos algebraicos los resultados obtenidos independientemente por Halphen y Noether sobre la clasificación de curvas espaciales y que les valió a ambos el premio Steiner del año 1882. Ambos trabajos tenían ciertas lagunas descubiertas por Robin Hartshorne que en su momento Christian Peskine y su colega Christian Ellingsrud resolvieron. Este TFG motiva tanto el estudio de la Geometría Algebraica como del Álgebra Conmutativa, y está orientado para comprender al máximo los conceptos de Estructuras Algebraicas estudiados en el Grado relacionándolos con la Geometría de Variedades Algebraicas que los motivaron en su momento.

Bibliografía

Facilitaré material de mi libro: Pedreira, M. Rational Varieties, Veronese Varieties and other Classical Varieties. Unpublished book. 2000. Otro tipo de bibliografía tan concreta y contextualizada, a mi conocimiento no existe, y me llevó varios años y varias redacciones delimitar todo este material. La mayoría de dicho material es conocido con un cierto detalle a mis antigüos alumnos de las materias del anterior plan de estudios, Curvas Algebraicas e Introducción a la Geometría Algebraica.


Área Titor/a Álxebra Título Curvas Racionales normales. Geometría y proyecciones

Breve descrición do contido Uno de los ejemplos clásicos de conjunto algebraico; es decir, de un subconjunto del espacio proyectivo Pd definido por por ecuaciones algebraicas es la llamada Curva Racional Normal de grado d en Pd . Ejemplos de tales curvas son, por supuesto la recta en el plano y la cónica no degenerada. El siguiente ejemplo en donde uno aprende mucha geometría es la cúbica racional normal o cúbica alabeada de P3.




En este trabajo se toma como motivación este último ejemplo para obtener resultados generales de la curva racional normal C d en el espacio proyectivo Pd . Entre tales resultados se estudia preferentemente su geometría, dejando el estudio de sus ecuaciones para un segundo TFG complementario a éste, así como la relación ntrínseca existente entre ambas. En este estudio geométrico destaca el estudio de propiedades como la determinación de la curva racional normal por cualesquiera de sus d+3 puntos, o por d+3 puntos cualesquiera en Pd que están en posición general; es decir, tales que cualesquiera d+1 entre ellos son puntos linealmente independientes. Como un caso particular de esta situación se obtiene la generación proyectiva de la cónica lisa debida a Poncelet. En la parte más descriptiva geométrica del trabajo se estudian las posibles proyecciones de la cúbica alabeada al plano proyectivo que, salvo proyectividad, son dos: o bien la cúbica nodal, o bien la cúbica cuspidal. También se estudian proyecciones de la cuártica racional normal C 4 en P4, de entre ellas se detalla su proyección doble a una cónica lisa plana y se generaliza este proceso a una curva racional normal C d en Pd, Finalmente se estudia cómo producir singularidades de curvas racionales planas y en concreto un tacnodo. Se entiende por un tacnodo un punto singular de una curva plana para el que localmente la ecuación de la curva es de la forma f(x,y)= y2-x4+.....

Bibliografía

Bertini, E. Geometria Proiettiva degli Iperspazi. Enrico Spoerri, Pisa, 1907; Capítulo 12 dedicado a la Curva Racional Normal. En realidad el capítulo ha sido revisado por mí en mi libro no publicado: Pedreira, M. Rational Varieties, Veronese Varieties and other Classical Varieties. Unpublished book. 2000


Área Titor/a Álxebra Cotitor/a Daniel Baldomir

Área Cotitor/a Electromagnetismo

Título Grassmannia de rectas del espacio proyectivo P3. La correspondencia de Klein. Interpretaciones fisico-matemáticas


Este TFG está orientado a un alumno cursando el doble grado de Físicas y Matemáticas. De hecho, si bien la normativa exige que el trabajo salga a oferta pública, me fue demandado por un estudiante de ese grado. El trabajo consiste en introducir los primeros conceptos de Geometría Algebraica que fueron utilizados por Roger Penrose para extender la Teoría de la Relatividad de Einstein, que como es sabido fue reformulada matemáticamente por el profesor Minkowski introduciendo una métrica en el espacio de 4 dimensiones donde el tiempo juega un papel igual que el espacio; es decir, el espacio-tiempo que actualmente siempre se usa en la Relatividad (Especial o General). En los comienzos de la Física Matemática ya quedó claro que trabajar sobre los números reales es un error, no hay garantía de solución de ecuaciones, sean o no algebraicas por cuanto que incluso el teorema de Picard-Simart garantizando la existencia de las soluciones de un sistema de ecuaciónes en derivadas parciales hace uso explícito de que tal solución es una función polinómica a trozos. La similitud con que cualquier función es conocida localmente usando su desarrollo de Taylor es un hecho evidente que se puede trasladar a una situación global. Esa es la grandeza del Teorema de Picard-Simart. Por tanto, trabajar sobre los números complejos es una necesidad y en particular el espacio de Minkowski R3+1 (+1,+1,+1,-1) debe ser modificado en dos sentidos: por una parte uno debe complexificar pasando a C4 ; y por otra parte, desde el punto de vista físico necesitamos una teoría de medida que solo es posible si el espacio es compacto, por lo cual debemos compactificar. La complexificación y compactificación del espacio original de Minkowski R3+1 (+1,+1,+1,-1), resulta ser una hipercuádrica no degenerada o lisa del espacio proyectivo P5 y ésta no es otra que la imagen de la Grassmanniana de rectas del espacio proyectivo P3 mediante la inmersión de Grassmann.




Existe una referencia para estudiar este lenguaje matemático junto con la teoría de Fibrados y sus clases características desde un contexto físico-matemático. Y es la Parte I, Geometría, del excelente libro de Ward & Wells titulado Twistor Geometry and Field Theory. PERO, por experiencia propia, ya solo la parte dedicada a la correspondencia de Klein resulta pesada y demasiado telegráfica. Dado que la normativa actual requiere a un estudiante del doble grado de Físicas y Matemáticas realizar independientemente sendos TFG’s en ambas especialidades, creemos que es una buena oportunidad el re-escribir detalladamente, y priorizando el aspecto puramente geométrico de la correspondencia de Klein, el contenido de este capítulo; visualizando geométricamente las dos familias de planos que contiene la hipercuádrica lisa, en un análogo a las dos familias de rectas que contiene la cuádrica lisa del espacio proyectivo ordinario. Estos planos son los que Roger Penrose llamó alfa-planos y beta-planos y la restricción de un fibrado definido sobre la hipercuádrica a estas familias de planos da lugar a la primera idea que tuvo Roger Penrose sobre lo que debería representar matemáticamente un Twistor o un Spinor. El trabajo se centra pues en introducir comprensivamente los objetos geométricos protagonistas de la Geometría Twistor: La cuádrica lisa Q4 de P5 y estudiar cómo pasa el espacio de Minkowski real R3+1 (+1,+1,+1,-1) dentro de esta cuádrica y las ventajas de este proceso. Una de ellas, y seguramente la más importante, la construcción formal pero muy geométrica del Espacio de Twistors y el estudio de la llamada correspondencia de Klein. Todo este lenguaje geométrico soporta y sirve de referencia para comprender, a posteriori, cuestiones tan difíciles y necesarias como: 1.- El desarrolo de la Teoría Cuántica de Campos y la Gravitación Cuántica con amplitudes de scattering no usuales. 2.- La teoría clásica de Campos. En particular las ecuaciones de Maxwell de la Electrodinámica que aparecen como la representación abeliana de las más generales de Yang-Mills. Aunque fundamentalmente son importantes para campos bosónicos no masivos de interación como QED y Gravitación . 3.- La teoría de la relatividad de Einstein queda perfectamente explicada y generalizada en este contexto más extenso. La correspondencia de Klein no es sino un análogo geométrico de la Transformada de Fourier y aquí se visualiza la teoría geométrica de ecuaciones diferenciales que para los físicos es tan necesaria. 4.- Como no cabría esperar, al mencionar a Felix Klein en todo esto, y similarmente a la frase de Arthur Cayley de que la Geometría Proyectiva es toda la Geometría, también la geometría de la cuádrica de Klein es el soporte geométrico de buena parte de las teorías de la física usando el concepto de geometría debido a Klein. Esto se sale ya propiamente de lo que es un trabajo de Fín de grado, pero todo depende de la motivación y el ansia de conocimiento del estudiante. En todo caso sugiere al estudiante el camino para una formación matemática que le permita abordar temas de actualidad en la Física-Matemática y que requieren ideas nuevas desde hace ya varios años

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA DE REFERENCIA: 1.- R. S. WARD &. RAYMOND O. WELLS: Twistor Geometry and Field Theory Cambridge University Press, 1990 2.- Lectures on Twistor Theory. https://arxiv.org/pdf/1712.02196.pdf

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente:

• Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos. • Posibles titores/as, se o considera pertinente.

A proposta é axeitada para ser complementada con algunha proposta do TFG do Grao en Física. Como dedúcese da redacción previa, iste traballo ten diferentes conexións con liñas de coñecemento do eido da Física, e xa mencionadas na proposta; tanto en Electromagnetísmo como en Física de partículas. En conversa previa á redacción dista proposta con Daniel Baldomir, hai disposición por parte de Daniel Baldomir ou ben do profesor Victor Pardo Castro, do seu equipo de investigación, para presentar unha proposta complementaria ó traballo eiquí presentado. De feito a segunda referencia bibliográfica vái máis vencellada a dita proposta complementaria.

https://arxiv.org/pdf/1712.02196.pdf




Código AL17_20 Titor/a M. Purificación López López

Área Titor/a Álxebra Título Sobre álgebras de tipo finito sobre un cuerpo


Los anillos con condiciones de finitud tienen propiedades relevantes. Entre elllos se encuentran los anillos noetherianos que son una generalización natural de los dominios de ideales principales. Este trabajo pretende hacer una introducción a algunas propiedades de los anillos noetherianos conmutativos y en particular a uno de sus ejemplos mas relevantes, por su importancia en geometría algebráica, que es el de las álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo.

Código AL18_20 Titor/a Antonio García Rodicio

Área Titor/a Álxebra Título Números primos en progresiones aritméticas

Breve descrición do contido Estudio de la función zeta de Riemann y de las funciones L de Dirichlet, y aplicación a la demostración de que en toda progresión aritmética an+b con a y b primos entre sí, hay infinitos números primos.

Bibliografía A. Karatsuba, “Basic analytic number theory”, K. Chandrasekharan, “Introduction to Analytic Number Theory”, H. Davenport, “Multiplicative Number Theory”.


Haber cursado la asignatura de análisis complejo y la de estructuras algebraicas.

Código AL19_20 Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez

Área Titor/a Álxebra Título A categoría de módulos sobre un anel

Breve descrición do contido Introdución das nocións fundamentais da teoría de categorías centrándose na categoría de módulos sobre un anel. Con especial énfase nas categorías abelianas das que a de módulos vai ser un exemplo.

Bibliografía Anderson, F. W. e Kent R. Fuller. Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag, New York 1974. Herrlich, H. e G. E. Strecker. Category Theory. Second Edition. Heldermann, Berlin,1979. Hilton, P. J. e Stammbach, U. A. A course in homological algebra. Second Edition. Springer-Verlag, New York, 1997.


Ter cursada a materia de Estruturas Alxébricas.

Código AL20_20 Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa

Área Titor/a ÁLXEBRA Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.

Breve descrición do contido Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.

Bibliografía Farb, B.; Dennis, R.K. Noncommutative Algebra, Springer- Verlag (1993). T.Y. Lam. A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag (1991)

Código AL21_20 Nova oferta 10/10/2019 Area de Coñecemento Álgebra

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves Título Una introducción a la cohomología de grupos.





El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de cohomología de un grupo G con coeficientes en un G-módulo. Se dará una interpretación de estos grupos para n=0,1,2, se estudiarán los módulos coinducidos y se probarán los teoremas de reducción. Se aplicarán estos resultados para obtener algunos teoremas clásicos de la teoría de grupos. Se deberán introducir previamente los conceptos de categoría, funtor, transformación natural y el funtor Hom en la categoría de módulos, así como los módulos proyectivos y los módulos inyectivos. También se deben estudiar algunas propiedades de los funtores derivados


Se recomienda haber cursado las asignaturas Ecuaciones Algebraicas y Estructuras Algebraicas.

Código AN01_20 Titor/a Lucía López Somoza

Área Titor/a Análise Matemática Título Unha introdución ás ecuacións en diferenzas


As ecuacións en diferenzas resultan de gran interese, non só como ferramenta para a aproximación das solucións de ecuacións diferenciais, senón tamén porque aparecen de forma natural en diversos fenómenos económicos ou biolóxicos, entre outros. Neste traballo introducirase o concepto de ecuación en diferenzas, para estudar posteriormente os resultados que garanten a existencia de solución, así como os métodos explícitos de resolución en certos casos. Comprobarase deste xeito a clara analoxía existente entre este tipo de ecuacións e as ecuacións diferenciais ordinarias.

Bibliografía W. G. Kelley, A. C. Peterson, Difference Equations, Academic Press, 2001.


Ter cursadas as materias de Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Código AN02_20 Titor/a Lucía López Somoza

Área Titor/a Análise Matemática Título Teoría do grao: introdución e aplicacións


Son numerosos os problemas da Análise Matemática que se poden reducir ao estudo da existencia de solución dunha ecuación do tipo f(x)=p nun determinado espazo. Neste aspecto, a teoría do grao resulta ser unha ferramenta de gran utilidade. En esencia, o grao asigna a unha determinada función, f, un número enteiro, deg(f), que dá información acerca do número de ceros que dita aplicación ten. Neste traballo comezaremos desenvolvendo esta teoría en Rn, introducindo o que se coñece como Grao de Brouwer, para pasar posteriormente a espazos máis abstractos de dimensión infinita, chegando finalmente ao Grao de Leray-Schauder.

Bibliografía S. Kesavan, Nonlinear Functional Analysis. A First Course, Hindustan Book Agency, 2004 N. G. Lloyd, Degree Theory, Cambridge University Press, 1978

Código AN03_20 Titor/a Alberto Cabada Fernández

Área Titor/a Análise Matemática Título Minimización de funcionais por medio do cálculo de variacións.

Breve descrición do contido Neste traballo farase unha introdución á teoría do cálculo de variacións. Partindo de exemplos clásicos, chegaremos ó problema da minimización de funcionais e, como consecuencia, ás ecuacións de Euler-Lagrange. Presentaranse exemplos físicos e xeométricos nos que se aplique esta teoría.

Bibliografía K. C. Chang. Lecture Notes on Calculus of Variations. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2017. M. Kot. A First Course in the Calculus of Variations. American Mathematical Society, 2014.




M. Krasnov, G. Makarenko, A. Kiseliov. Cálculo Variacional - Ejemplos y Problemas. Editorial MIR, 1992. Recomendacións (non vinculantes)

É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso.

Código AN04_20 Titor/a Alberto Cabada Fernández

Área Titor/a Análise Matemática Título Disconxugación na Teoría de Ecuacións Diferenciais Ordinarias


Neste traballo farase unha introdución á teoría da disconxugación, relacionada coa oscilación máxima das solucións dunha determinada EDO linear e homoxénea no seu intervalo de definición. Veremos como caracterizar esta propiedade de forma directa sen máis que estudar o espectro da EDO estudada, probándose ademais, a partir dela, o signo constante de solucións de problemas non homoxéneos. Presentaranse exemplos concretos, nos que se estudien os intervalos de disconxugación de determinadas EDOs.

Bibliografía W. A. Coppel, Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1971. Recomendacións (non vinculantes)

É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso.



Ten relación coas liñas de modelización matemática e ecuacións diferenciais. As dúas teñen unha gran influencia no estudo dos procesos físicos.

Código AN05_20 Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo

Area Titor/a Análisis Matemático

Título Fundamentos matemáticos de la computación cuántica

Breve descrición do contido La computación cuántica es una ciencia que aúna áreas tan diversas como las matemáticas, la ingeniería, la física, la criptografía o la filosofía. En este trabajo se pretende aportar las nociones matemáticas básicas que están tras el funcionamiento de la computación cuántica y sus algoritmos.

Código AN06_20 Modificado con data de 10/10/2019 Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo

Area Titor/a Análisis Matemático Título Fractales: la interacción entre distancia y medida

Breve descrición do contido Los fractales son figuras geométricas que desafían la intuición por sus propiedades especiales, en particular el hecho de que su dimensión puede no ser un número natural. En este trabajo estudiaremos las propiedades básicas de los fractales, su construcción y su relación con otros elementos de las matemáticas, en especial su relación con la teoría de la medida.

Bibliografía Falconer, K. J. The geometry of fractal sets, 1985. Falconer, K. J. Fractal geometry, 1990. Munroe, M. E. Measure and Integration, 1968. Pesin, Y. B. Dimension Theory in dynamical systems,1997.

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente: • Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos. • Posibles titores/as, se o considera pertinente.

Los fractales tienen aplicaciones a diversas áreas de la física, incluyendo la astronomía, la cristalografía, la química, la mecánica de fluidos o los medios porosos. Feder, J. Fractals, 1988. Heck, A., Perdang, J. M. Applying Fractals in Astronomy, 1991.




Lam, L. Nonlinear physics for beginners: fractals, chaos, solitons, pattern formation, cellular automata, complex systems, 1998.

Código AN07_20 Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández

Área Titor/a Análise Matemática Título A Integral de Bochner


Trátase de xeneralizar os conceptos de función medible, integrable, teoremas de paso ó límite baixo o signo integral, etc., vistos na materia de Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue ó caso no que a función tome valores nun espazo de Banach. Esta clase de integral é fundamental para o análise matemático de certas ecuacións en derivadas parciais como a ecuación do calor, as ecuacións de Navier-Stokes, etc.

Bibliografía Sección 5 do capítulo 5 do libro Functional Analysis de Yosida e o capítulo 3 do libro Functional Analysis and Semigroups de Hille. Pode ser tamén intersante a lectura do apéndice do libro Operateurs Maximaux Monotones de Brézis.

Código AN08_20 Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández

Área Titor/a Análise Matemática Título Exemplos notables en Teoría da Medida e integración de Lebesgue

Breve descrición do contido Trátase de ampliar a colección de exemplos notables relacionados coa Teoría da Medida e Integración de Lebesgue que se viron na materia de Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue.

Bibliografía Recoméndase a lectura do capítulo 8 do libro Counterexamples in Analysis de Gelbaum e, en xeral, o libro The Elements of Integration and Lebesgue Measure de Bartle. Entre outros.

Código AN09_20 Titor/a Rosa María Trinchet Soria

Área Titor/a Análise Matemática Título Algunhas rarezas en forma de función


Segundo a idea de certos obxectos matemáticos vai evolucionando, isto supón, polo xeral, mudanzas na colección constituída polos obxectos en cuestión. O concepto de función non é unha excepción a isto e a súa evolución provocou, en distintos momentos, a irrupción de funcións consideradas patolóxicas, por posuír propiedades que atentaban contra a intuición. O obxecto deste traballo é proporcionar, no campo da Análise e no ámbito das funcións reais de variable real, unha pequena mostra destas funcións (entre as que poderían ter cabida: funcións continuas diferenciables en ningures, funcións singulares, funcións indefinidamente diferenciables e non analíticas, etc.)

Código AN10_20 Titor/a Rosana Rodríguez López

Área Titor/a Análise Matemática Título O Teorema de Cauchy-Peano en espazos de Banach


O Teorema de Cauchy-Peano é un resultado esencial na teoría das ecuacións diferenciais ordinarias, garantindo a existencia de solucións para o problema de valor inicial. Sen embargo, a súa demostración en dimensión finita descansa sobre a compacidade local dos espazos euclidianos. Neste traballo, estudaranse as condicións que permiten estender este teorema de existencia de solución ao problema de valor inicial para ecuacións diferenciais en espazos de Banach de dimensión infinita, proporcionando a demostración do correspondente resultado.

Bibliografía

A. Ambrosetti (1967). Un teorema di esistenza per le equazione differenziali negli spazi di Banach, Rend. Sem Mat. Padova 39, 349-361. C. Corduneanu (1957). Equazione differenziali negli spazi de Banach. Teoremi di esistenza e prolongabilita, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. XXIII, 226-230. A.N. Godunov (1974). Peano’s Theorem in Banach spaces, Funkcional. Anal. i Priložen. 9, 59–60.


Ter cursadas as materias: Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais




Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Código AN11_20 Titor/a Rosa María Trinchet Soria

Área Titor/a Análise Matemática Título O Teorema da aplicación de Riemann


Dende o punto de vista xeométrico, unha función complexa de variable complexa é unha transformación do plano en si mesmo, que se pode considerar definida por dúas aplicacións reais de dúas variables reais. Neste contexto, interesa saber, en particular, de que xeito se transforman certas liñas e as rexións delimitadas por elas.

Tanto dende o punto de vista teórico, como nas numerosas aplicacións a distintos campos (Enxeñería, Hidrodinámica, Teoría do potencial…) son de especial interese os isomorfismos analíticos dun aberto no seu aberto imaxe, tamén coñecidos como equivalencias conformes.

O principal problema da representación conforme consiste en decidir se dous abertos dados son conformemente equivalentes e, de ser o caso, coñecer as equivalencias conformes entre eles. O feito máis salientable na historia das aplicacións conformes foi o anuncio de Riemann (1851) dun importante resultado que, na actualidade, coñecemos como o Teorema da aplicación de Riemann e formulamos do seguinte xeito (entre outros):

“Todo dominio simplemente conexo, distinto de C, é conformemente equivalente ó disco unidade”.

O presente traballo adícase a dar una proba deste importante resultado.

Código AN12_20 Área Titor/a Análise Matemática

Título As Funcións de Bessel e a Función Gamma Titor/a Juan José Nieto Roig

Breve descrición do contido Estudar a orixe das funcións de Bessel e da función Gamma. Concepto de función de Bessel e da función gamma. Propiedades elementais. Ecuación diferencial de Bessel. Por último se verán algunhas aplicacións de ditas funcións á algúns problemas físicos

Código AN13_20 Área de coñecemento Análise Matemática

Título Teorema de Stone–Weierstrass Titor/a Juan José Nieto Roig


Es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Se detallará la demostración de este resultado conocido como Teorema de Weierstrass. Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone–Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico.

Código AN14_20 Titor/a Rosana Rodríguez López

Área Titor/a Análise Matemática Cotitor/a Daniel Cao Labora

Área de Coñecemento do/a Cotitor/a

Análise Matemática

Título O Teorema de Poincaré-Miranda

Breve descrición do contido O teorema dos valores intermedios, un resultado de capital importancia na Análise Matemática, establece que unha función continua nun intervalo compacto acada todos os valores comprendidos entre aqueles que toma nos seus extremos. Como consecuencia deste resultado, dedúcese o Teorema de Bolzano, así como outras relevantes propiedades das funcións continuas definidas en intervalos.




O Teorema de Poincaré-Miranda constitúe unha xeneralización de grande interese ao caso multidimensional, establecendo unha condición suficiente para que unha función continua do cubo [-1,1]^n con valores en R^n se anule nalgún punto, condición que se establece en termos dos signos das compoñentes da función en certas caras contrapostas do cubo. O presente traballo está centrado no estudo dunha demostración do mencionado resultado, podendo tamén analizar certas extensións e estudar algunhas das súas posibles aplicacións.

Bibliografía

Kulpa, Wladyslaw (1997) "The Poincare-Miranda Theorem", The American Mathematical Monthly, 104 (6): 545–550. Miranda, Carlo (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie 2, 3: 5-7.


Ter cursadas as materias: Continuidade e Derivabilidade de Funcións dunha Variable Real Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico



O resultado pode ser empregado para estudar as propiedades das solucións de ecuacións diferenciais que modelen fenómenos físicos.

Código AN15_20 Titor/a Rodrigo López Pouso

Área Titor/a Análise Matemática Cotitor/a Ignacio Márquez Albés



Título Introducción a las integrales de Stieltjes

Breve descrición do contido Motivación de la integración con respecto a una función. Integral de Riemann-Stieltjes y sus limitaciones. Medida e integral de Lebesgue-Stieltjes. Aplicaciones.

Bibliografía T. Apostol, Análisis Matemático. Editorial Reverté, 1996. M. Carter y B. Van Brunt, The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction, Springer-Verlag, 2000.

Código AN16_20 – Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Jorge Rodríguez López

Área Titor/a Análise Matemática Título Introdución á análise multivaluada e ás inclusións diferenciais


Fundamentación dos conceptos básicos da análise de funcións que toman valores conxuntistas: continuidade superior e inferior, existencia de seleccións medibles, integrabilidade. Modelos matemáticos en termos de inclusións diferenciais. Existencia de solucións mediante teoremas de punto fixo de operadores abstractos multivaluados. Aplicacións as ecuacións diferenciais discontinuas.

Bibliografía J. P. Aubin e A. Cellina, Differential inclusions, Springer, 1984.

Código AN17_20 Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Jorge Losada Rodríguez

Área Titor/a Área de Análise Matemática Cotitor/a Pedro Tradacete Pérez (ICMAT, Madrid)

Área de Cotitor/a Análise Matemática Título O Teorema de Lomonosov

Breve descrición do contido O obxectivo fundamental deste traballo é que o estudante se familiarice con certas ferramentas e resultados




da Teoría de Operadores. Para elo, marcaremos como meta final o Teorema de Lomonosov (probado no ano 1973), que afirma a existencia dun subespazo invariante non trivial para todo operador non escalar que conmuta cun operador compacto non nulo. En espazos de Hilbert, a existencia de subespazos invariantes non trivias para un operador T arbitrario é unha cuestión aínda aberta na actualidade (xuño 2019), feito este que xustifica a importancia do Teorema de Lomonosov. Esencialmente, o traballo consistirá en entender, coñecer e presentar:

1. os resultados elementais de análise funcional que serán empregados; 2. algunhas propiedades específicas dos operadores compactos en espazos de Hilbert; 3. a proba do Teorema de Lomonosov empregando un teorema de punto fixo.

Este traballo podería ser de proveito para estudantes con especial interese ou gusto polas materias da área de análise matemática.


Ter cursadas as materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue e Topoloxía Xeral. Empregaranse contidos propios da materia Análise funcional en espazos de Hilbert.

Código AN18_20 Titor/a Jorge Losada Rodríguez

Área Titor/a Área de Análise Matemática Cotitor/a Venktesh

Área Cotitor/a Área de Análise Matemática

Título Clases de Schatten-von Neumann


O obxectivo fundamental deste traballo é que o estudante coñeza a teoría básica das clases de Schatten-von Neumann. Así pois, se H é un espazo de Hilbert dado, para cada p entre 1 e infinito, estudaremos o espazo S_p(H) formado por todos os operadores compactos T cuxa sucesión de números singulares (é dicir, autovalores de |T|) pertence ao espazo de sucesións l^p. Esencialmente, o traballo consistirá en entender, coñecer e presentar:

4. os resultados elementais de análise funcional que serán empregados; 5. a teoría básica sobre as clases S_p(H), con especial inetrese nos casos p=2 (operadores de Hilbert-

Schmidt) e p=1 (operadores traza); 6. algunha aplicación dos resultados anteriores.

Este traballo podería ser de proveito para estudantes con especial interese ou gusto polas materias da área de análise matemática.

Bibliografía K. Zhu, Operator theory in function spaces, American Mathematical Society 2007. (Cap.1) Recomendacións (non vinculantes)

Ter cursadas as materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue e Topoloxía Xeral. Empregaranse contidos propios da materia Análise funcional en espazos de Hilbert.

Código AN19_20 Titor/a M. Victoria Otero Espinar

Área Titor/a Área de Análise Matemática Cotitor/a Érika Diz Pita

Área Cotitor/a Área de Análise Matemática Título Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales


Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en la modelización de multitud de problemas, pero muchas veces son difíciles o imposibles de resolver, por lo que es importante disponer de otras herramientas que nos permitan obtener información sobre el comportamiento de los sistemas. En este trabajo se abordará el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano, especialmente de sistemas polinomiales, mediante el uso de técnicas cualitativas que permitan comprender el sistema. El objetivo principal será el estudio del comportamiento de las órbitas en entornos de las singularidades. Se ampliarán los conceptos conocidos de la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, se estudiarán y presentarán los resultados relativos a las singularidades elementales y se introducirán las técnicas adecuadas para las no elementales. Los resultados teóricos trabajados serán aplicadas posteriormente sobre modelos de la física.




Bibliografía F. Dumortier, J.Llibre, J.C. Artés, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, UniversiText, Springer-Verlag, New York, 2006. - M. J. Álvarez, A. Ferragut, X. Jarque, A survey on the blow up technique, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 21, No. 11 (2011) 3103–3118.



Este TFG proponse para poder ser realizado tamén polo alumnado do Dobre Grao en Matemáticas e Física. En tal caso, esta proposta realizaríase en coordinación co Prof. Alberto Pérez Muñuzuri e complementa o TFG do Grao de Física “Estudio de la nolinearidad mínima para la aparición de la inestabilidad de Turing” (ver adxunto)

Código AN20_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández

Área de Coñecemento do/a Titor/a


Título Os espazos W^{k,1}(I)

Breve descrición do contido Trátase de describir os espazos W^{k,1}(I), as súas propiedades máis importantes e caracterizacións equivalentes dos mesmos. Ditos espazos son relevantes no estudio das ecuacións diferenciais ordinarias e en derivadas parciais.

Bibliografía Recoméndase a lectura do libro “Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations” de Haim Brezis.

Código AN21_20 Nova oferta 10/10/2019 Titor/a Rodrigo López Pouso

Área de Coñecemento do/a Titor/a




Título Aproximación de solucións de ecuacións diferenciais con iterantes de Picard


O teorema de Picard asegura a posibilidade de aproximar a solución dun sistema de EDOs mediante os chamados iterantes de Picard cando a parte non linear é continua e satisface unha condición de Lipschitz con respecto á variable dependente. Que ocorre coa sucesión de iterantes de Picard noutros casos? Constitúen unha ferramenta válida para aproximar as solucións? O traballo consiste en describir a demostración do teorema de Picard baseada no teorema da aplicación contractiva e analizar o comportamento dos iterantes de Picard en casos nos que as hipóteses do teorema non se cumplan. A parte teórica complementarase coa implementación do método de Picard no ordenador empregando algún software matemático.

Bibliografía E.E. Codington e N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, reimp. 2018

Código AST01_20 Titor/a José Ángel Docobo Durántez

Área Titor/a Astronomía e Astrofísica Título O problema de tres corpos


O problema de tres corpos é un caso particular do xeral de N corpos, pero que ten importantes aplicacións en Astronomía, por exemplo no movemento da Lúa en torno á Terra e perturbado polo Sol, o denominado Problema estelar de tres corpos, mesmo o movemento dun exoplaneta en torno a unha compoñente dunha estrela dobre. Neste último caso, pódese utilizar tamén a aproximación do Problema restrinxido de tres corpos. Teránse en conta así mesmo as solucións exactas en escenarios concretos. No traballo trátase de expoñer o problema, establecer as ecuacións newtonianas do movemento, deducir as integrais clásicas e logo abordar diferentes casos que se correspondan con situacións reais.

Bibliografía Bilblioteca do Observatorio Astronómico Ramón María Aller e das Facultades de Matemáticas e Física.





Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía (alumnado de Matemáticas)



O presente TFG pode ser elixido por alumnado de dobre Grao en Matemáticas e Física

Código AST02_20 Titor/a Josefina F. Ling

Área Titor/a Astronomía e Astrofísica

Título Calendarios astronómicos


A humanidade necesita referir cronoloxicamente os seus acontecementos. O calendario constitúe unha referencia indispensable para ordenalos. Estudarase a xéneses e a evolución destas estruturas a partir dos fenómenos astronómicos que rexen a nosa vida civil.

- Tipos de calendarios: lunares, solares, lunisolares - Análise histórico do calendario gregoriano. - Calendarios noutras culturas. - Escalas continuas de tempo. Transformacións.

Bibliografía − J-P. Parisot et F. Suagher. Calendriers et chronologie. Mason (2002) − W. Segura. Hemerología. La ciencia de los calendarios. Editorial Acento 2000 S. L. (2006)


Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía.

Código AST03_20 Titor/a Josefina F. Ling

Área Titor/a Astronomía e Astrofísica Título Ocultacións e tránsitos en astronomía


Os astros no seu movemento aparente pola esfera celeste producen interposicións entre o observador e os mesmos. As máis frecuentes son as que se producen entre a Lúa e unha estrela, planeta ou asteroide, as denominadas ocultacións, ou ben entre unha estrela e un planeta, chamadas tránsitos. Estudaranse os fundamentos físicos e o tratamento matemáticos destes fenómenos. Xeometricamente pódense considerar como casos particulares dos coñecidos eclipses solares e luares. Analizarase igualmente a importancia das súas aplicacións en distintos campos da astronomía. Completarase o estudo co rexistro de ocultacións pola Lúa, utilizando o fotómetro e os telescopios do observatorio astronómico.

Bibliografía - F. J. Gil Chica. Teoría de eclipses, ocultaciones y tránsitos. Universidad de Alicante (1996) - J. C. Casado y otros. Unidad didática: Ocultaciones. IAC 2004 - http://www.lunar-occultations.com/iota/occult4.htm


Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_20 Titor/a María de los Ángeles Casares de Cal

Área Titor/a Estadística e investigación operativa Título Métodos matemáticos en el estudio del parentesco.

Breve descrición do contido El objetivo de este trabajo es estudiar los conceptos y métodos matemáticos que se usan para determinar el parentesco a partir de muestras de ADN.

http://www.lunar-occultations.com/iota/occult4.htm




Bibliografía

Evett, I.W.; Weir, B.S.: Interpreting DNA Evidence. Statistical Genetics for Forensic Scientists, Sinauer Associates, 1998. Egeland, T.; Kling, D.; Mostad, P.: Relationship Inference with Familias and R. Statistical Methods in Forensic Genetics, Academic Press, 2016. Wing Kam Fung; Yue-Qing Hu: Statistical DNA Forensics. Theory, Methods and Computation, Wiley, 2008.

Código EST02_20 Titor/a Alberto Rodríguez Casal

Área Titor/a Estatística e IO Título Estimación da densidade no plano.


Neste traballo abordase o problema de estimar non paramétricamente unha densidade bidimensional. No grao estudase brevemente este problema en dimensión un. O obxectivo deste TFG é afondar no problema de estimación nonparamétrica da densidade. A estimación da densidade bidimiensional permite detectar rexións no plano con alta concentración de datos. Este aspecto e moi importante en diversas aplicacións, como acontece en epidemioloxía, xa que permite detectar as rexións onde se concentran os enfermos, e comparalas coas correspondentes da poboación non enferma.

Bibliografía J.E. Chacón, T. Duong, Multivariate Kernel Smoothing and Its Applications. Chapman and Hall.

Código EST03_20 Titor/a María de los Ángeles Casares de Cal

Área Titor/a Estadística e investigación operativa Título Técnicas matemáticas de planificación y programación de proyectos.

Breve descrición do contido Un proyecto, en el contexto de la investigación operativa, se define como una colección de actividades en donde cada actividad requiere tiempo y recursos para llevarse a cabo. El objetivo de este trabajo es introducir al alumno en el estudio de las técnicas diseñadas para ayudar en la planificación, programación y control de proyectos.

Bibliografía

Escudero, L. F.: Asignación óptima de recursos, Deusto, 1977. Moder, J.J; Phillips, C.R; Davis, E.W.: Project Management with CPM, PERT and Precedence Diagramming, Van Nostrand Reinhold, 1983. Ravindran, A.; Phillips, D.T.; Solberg, J.J.: Operations research. Principles and Practice, Wiley, 1987. Romero López, C.: Técnicas de programación y control de proyectos, Pirámide, 2002.

Código EST04_20 Titor/a Alberto Rodríguez Casal

Área Titor/a Estatística e IO

Título O teorema central do límite.

Breve descrición do contido O teorema central do límite é un resultado fundamental da teoría de probabilidade, que ten aplicacións moi importantes na inferencia estatística. Abordaremos o seu desenrolo histórico, e tamén os aspectos teóricos máis importantes. Finalmente, faremos fincapé nas súas aplicacións á inferencia estatística.

Bibliografía P. Billinsgley (1995) , Probability and Measure. Wiley

Código EST05_20 Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Mercedes Conde Amboage

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Regresión lineal con datos censurados


Los datos censurados son muy habituales en Análisis de Supervivencia, que es la parte de la Estadística que estudia tiempos de vida. Y es que los tiempos de vida, que pueden ser duraciones de una enfermedad, de un artículo de consumo (coches, teléfonos, ordenadores, etc.) o cualquier otro tiempo entre dos eventos, suelen requerir de cierto seguimiento. Si ese seguimiento se interrumpe, sólo conoceremos que el tiempo ha durado al menos hasta el momento de la pérdida del seguimiento. En estas condiciones puede seguir interesando considerar el efecto de alguna variable sobre el tiempo de vida. Por ejemplo, puede interesar saber si la edad del paciente influye en el tiempo de curación de una lesión. Este trabajo consiste en revisar las técnicas de estimación de la regresión lineal cuando la variable respuesta está censurada. Se expondrán los métodos ya existentes, se estudiarán sus propiedades mediante simulaciones, y se ilustrarán con datos reales.




Bibliografía

Buckley, J. y James, I. (1979). Linear regression with censored data. Biometrika, 66, 429-436. Koul, H., Susarla, V. y Van Ryzin, J. (1981). Regression analysis with randomly right-censored data. The Annals of Statistics, 9, 1276-1288. Miller, R. G. (1976). Least squares regression with censored data. Biometrika 63, 449-64.

Código EST06_20 Modificado con data 10/10/2019 Titor/a César A. Sánchez Sellero

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Comparación de poblaciones con datos censurados


Los datos censurados son muy habituales en Análisis de Supervivencia, que es la parte de la Estadística que estudia tiempos de vida. Y es que los tiempos de vida, que pueden ser duraciones de una enfermedad, de un artículo de consumo (coches, teléfonos, ordenadores, etc.) o cualquier otro tiempo entre dos eventos, suelen requerir de cierto seguimiento. Si ese seguimiento se interrumpe, sólo conoceremos que el tiempo ha durado al menos hasta el momento de la pérdida del seguimiento. Uno de los primeros problemas que se ha planteado en Análisis de Supervivencia es comparar dos poblaciones (por ejemplo, fumadores y no fumadores) para ver si el tiempo de supervivencia es diferente en los dos grupos. En este trabajo se revisarán los métodos de comparación de dos poblaciones con muestras censuradas. Se expondrán los procedimientos ya existentes, se estudiarán sus propiedades mediante simulaciones, y se ilustrarán con datos reales.

Bibliografía

Breslow, N.E., Edler, L. y Berger, J. (1984). A two-sample censored-data rank test for acceleration. Biometrics, 40, 1049-1062. Cox, D. R. (1972). Regression models and life tables (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 34, 187-220. Efron, B. (1967). The two-sample problem with censored data. In Proceedings of the fifth Berkeley Symposium, 4, 831–853. New York: Prentice-Hall. Mantel, N. (1966). Evaluation of survival data and two new rank order statistics arising in its consideration. Cancer Chemotherapy Reports 50, 163-179. Peto, R. y Peto, J. (1972). Asymptotically efficient rank invariant test procedures (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 135, 185-206.

Código EST07_20 Titor/a Rosa María Crujeiras Casais

Área Titor/a Estatística e investigación operativa Cotitor/a Laura Freijeiro González

Área Cotitor/a Estatística e Investigación Operativa Título Revisitando os modelos Anova e Ancova


Os modelos ANOVA e ANCOVA poden verse como casos particulares do modelo lineal xeral, e nos seus casos máis sinxelos, considérase unha variable explicativa de tipo factor (modelo ANOVA) ou ben esta variable está acompañada dunha covariable escalar (modelo ANCOVA). As técnicas de inferencia sobre estes modelos non están exentas de hipóteses (normalidade, independencia das observacións, homoxeneidade de varianzas). Sen embargo, na práctica soen utilizarse estes modelos sen realizar unha validación adecuada das hipóteses e sen ter en conta as consecuencias de que ditas hipóteses non se cumpran. Neste traballo revisarase a inferencia sobre os modelos ANOVA e ANCOVA, e mediante un exhaustivo estudo de simulación, analizarase o impacto de que non se cumpra algunha (ou varias) das hipóteses. Ademais, para o caso do modelo ANOVA, considerarase a alternativa dos intervalos de confianza. Para ilustrar os efectos do incumprimento das hipóteses, revisarase a literatura nalgún campo aplicado tratando de identificar exemplo de mal uso destes modelos.

Bibliografía Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Hillsdale,NJ: Lawrence Erlbaum




Faraway, J.J. (2015). Linear models with R (2nd edition). Chapman and Hall. Rusticus, S.A. e Lovato, C.Y. (2011) Applying tests of equivalence for multiple group comparisons: demonstration of the confidence interval approach. Practical Assessment, Research and Evaluation, 16 (7), 1-6.


É recomendable que o/a alumno/a teña capacidade para manexar bibliografía en inglés. Na parte de simulación, será preciso programar código en R.

Código EST08_20 Titor/a Rosa María Crujeiras Casais

Área Titor/a Estatística e investigación operativa Título Distribucións circulares


Nos contidos do Grao en Matemáticas, as variables aleatorias que se modelan teñen soporte real (ou real bidimensional). Sen embargo, existen variables que son frecuentes en contextos aplicados cuxo soporte é o círculo unidade, tomando como valores ángulos en [0,2pi). Tanto para variables aleatorias reais como para variables aleatorias circulares, a función de densidade caracteriza o comportamento da mesma. Neste TFG proponse que o/a alumno/a realice unha revisión dos distintos modelos de distribucións circulares (modelo von Mises, cardiode, modelos enrolados, modelos proxectados,…) e que, mediante estudos de simulación, explorare o funcionamento na práctica do método de máxima verosimilitude. Tamén se realizarán ilustracións con datos reais.

Bibliografía

Batchelet, E. (1981) Circular Statistics in Biology. Academic Press, London. Fisher, N.I. (1993) Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge University Press. Jammalamadaka, S. R. e SenGupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific Press, Singapore. Mardia, K. e Jupp, P. (1999). Directional Statistics. John Wiley and Sons, England.


É recomendable que o/a alumno/a teña capacidade para manexar bibliografía en inglés. Na parte de simulación, será preciso programar código en R.

Código EST09_20 Titora Balbina Virginia Casas Méndez

Área Titor Estadística e Investigación Operativa Cotitora Laura Davila Pena

Área Cotitora Estadística e Investigación Operativa Título Programación Estocástica


¿Qué tienen en común el problema de un agricultor que debe decidir las cantidades que va a sembrar de ciertos cultivos o el coordinador de las rutas de transporte de un distribuidor de carburante? Además del objetivo de optimizar ciertos beneficios o costes sujetos a diversas restricciones sobre las variables de decisión, algunos parámetros (rendimientos de cultivos o demandas de clientes, respectivamente) pueden distar de ser deterministas, estar sujetos a incertidumbre y requerir un tratamiento como variables aleatorias. El presente trabajo pretende motivar la programación estocástica por medio de ejemplos ilustrativos. A continuación se estudiarán diversos elementos teóricos, como las guías para una correcta modelización, condiciones de optimalidad y los conceptos de valor de la información y de la solución estocástica. Con respecto a métodos de solución, se analizará un modelador para problemas lineales denominado SMPS que puede ser utilizado junto con el solver BNBS en el servidor NEOS de optimización. Además, se revisará un algoritmo constructivo diseñado para problemas de rutas de vehículos estocásticos.

Bibliografía

J. R. Birge and F. Louveaux (2011) Introduction to Stochastic Programming. Springer Science & Business Media. M. Dror, G. Laporte, and P. Trudeau (1989) Vehicle routing with stochastic demands: Properties and solution frameworks.Transportation Science, 23(3): 166–176. H. I. Gassmann and B. Kristjánsson (2008) The SMPS format explained. IMA Journal of Management Mathematics, 19(4): 347–377.




Código EST10_20 Titor/a Paula Saavedra Nieves

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Estimación do soporte para reconstruír o home range


A teoría de estimación do soporte ocúpase de reconstruír o soporte compacto dunha distribución de probabilidade absolutamente continua a partir dunha mostra aleatoria de puntos. Como aplicación práctica, considerarase a estimación do hábitat ou home range dun animal a partir dos datos das súas posicións xeográficas.

Bibliografía

Baíllo, A., e Chacón, J. E. (2018). A survey and a new selection criterion for statistical home range estimation. arXiv preprint arXiv:1804.05129. Cuevas, A. (2010). Set estimation: Another bridge between statistics and geometry. BEIO, 25, 71‐85. Cuevas, A. e Fraiman, R. (2010). Set estimation. In New Perspectives on Stochastic Geometry, W.S. Kendall and I. Molchanov, eds., pp. 374‐397. Oxford University Press. Kendall, W.S. e Molchanov, I. (2010). New Perspectives in Stochastic Geometry. Oxford University Press.

Código EST11_20 Titora Balbina Virginia Casas Méndez

Área Titor/a Estadística e Investigación Operativa Cotitora Laura Davila Pena

Área Titora Estadística e Investigación Operativa Título El valor de Shapley


Este valor es una de las aportaciones a la teoría de juegos de L. Shapley, un matemático estadounidense galardonado con el premio Nobel de economía en 2012. Hijo del astrónomo H. Shapley, estudió matemáticas en la Universidad de Harvard e hizo su tesis dirigido por A. Tucker, quien realizó contribuciones a la programación matemática. Shapley se planteó buscar un procedimiento justo para repartir los beneficios (o costes) generados por un proyecto conjunto. Su propuesta está basada en las contribuciones marginales de los agentes a dicho proyecto y ha generado desde entonces gran atención en la literatura. El presente trabajo se propone revisar parte de esta literatura. Concretamente, tras una introducción a la teoría de juegos se van a estudiar las propiedades más importantes del valor, procedimientos de cálculo (como las extensiones multilineales), variaciones (como el índice de Banzhaf-Coleman, el valor de Owen o el valor para juegos con utilidad no transferible) y campos de aplicación como el diseño de tarifas o la medida del poder en una organización. También se probarán librerías de R que calculan este valor, como CoopGame y Game Theory y veremos los resultados que proporciona el valor de Shapley en un problema real de nuestro entorno.

Bibliografía

Owen, G. (1995) Game Theory. Academic Press. Vázquez Brage, M., van den Nouweland, A. y García Jurado, I. (1997) Owen´s coalitional value and aircraft landing fees. Mathematical Social Sciences 34: 273-286.

Código EST12_20 Titor/a Wenceslao González Manteiga

Área Titor/a Estadística e Investigación Operativa Título Estimación de la función de densidad en grafos lineales


Se trata de una introducción a la estimación de la función densidad sobre objetos, cuando estos vienen dados por grafos lineales. La motivación se basa en que muchos eventos, como pueden ser los accidentes de carretera, tienen lugar en un grafo lineal que define una determinada red de carreteras. Guión aproximado:

1) Técnicas de estimación de la densidad, tipo kernel, con datos escalares. 2) Técnicas de estimación de la densidad, tipo kernel, con datos vectoriales. 3) Extensión a la estimación de la densidad en datos sobre grafos lineales.




4) Ilustración con simulaciones o bases de datos reales.

Código EST13_20 Titor/a Wenceslao González Manteiga

Área Titor/a Estadística e Investigación Operativa

Título Predicción en criminología usando la información de las redes sociales y la estimación de la función de densidad


Se trata de una introducción al uso de la estimación de la función densidad para la predicción de” hot spots” en los mapas de criminología. Guión aproximado:

5) Técnicas de estimación de la densidad, tipo kernel, con datos escalares. 6) Técnicas de estimación de la densidad, tipo kernel, con datos vectoriales. 7) La estimación de la función de densidad en mapas de criminología. 8) Diseño de modelos predictivos a partir de la estimación anterior. 9) Ilustración con bases de datos reales.

Código EST14_20 Titor/a Manuel Febrero Bande

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Cotitor/a Laura Freijeiro González

Área Cotitor/a Estatística e Investigación Operativa Título Métodos de clasificación en Estatística 1


O obxetivo deste traballo é revisar e comparar os diferentes métodos de clasificación estatística usados na Estatística ou no chamado Machine Learning coa súa aplicación a datos reais e como axustar estes métodos con respecto a problemas usuais dos datos: desaxuste na conformación de grupos, diferenzas no custe de clasificación ou o excesivo número de casos.


Soltura co paquete estatístico R

Código EST15_20 Titor/a Manuel Febrero Bande

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Cotitor/a Alejandra López Pérez

Área Cotitor/a Título Métodos de clasificación en Estatística 2


. O obxetivo deste traballo é presentar e revisar os métodos habituais de análise das series de retornos de valores bursátiles e facer modelizacións aplicadas aos valores do IBEX35. As series de retornos caracterízanse pola escasa ou nula deriva temporal na media estacional pero por contra presentan moita diversidade na modelización da varianza condicional que adoita presentar alta heterocedasticidade. O obxectivo do traballo é presentar dun modo ordenado as ferramentas que se necesitan para unha modelización exitosa desta heterocedasticidade e aplicar estas ferramentas a algunhas series reais relevantes.


Soltura co paquete estatístico R

Código EST16_20 Titor/a Beatriz Pateiro López

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Cotitor/a Brais González Rodríguez


Título Optimización en modelos de regresión

Breve descrición do contido Os modelos de regresión buscan determinar a relación dunha variable dependente con respecto a outras variables explicativas ou independentes. Unha vez establecido un modelo para dita relación, é necesaria a




estimación dos seus parámetros. Esta pode levarse acabo por diferentes procedementos en función do criterio de axuste, sendo o criterio de mínimos cadrados o máis habitual. No caso do modelo de regresión linear, este criterio da lugar a un problema de optimización convexa para o cal se pode obter a forma explícita da súa solución. En modelos mais complexos, como a regresión con regularización ou os modelos de regresión non linear, os problemas de optimización resultantes non teñen unha solución explícita. O obxectivo deste traballo é que o/a alumno/a faga unha revisión dos métodos de optimización empregados neste contexto.

Bibliografía Least Squares Data Fitting with Applications. Per Christian Hansen, Víctor Pereyra, Godela Scherer. JHU Press, 2013

Código EST17_20 Titor/a Beatriz Pateiro López

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Técnicas de formación de grupos: métodos de particionamento


Dado un conxunto de observacións, as técnicas de formación de grupos teñen por obxectivo recoñecer patróns ou estruturas dentro dunha poboación xeral. Entre as técnicas de formación de grupos distinguimos os métodos xerárquicos e os métodos de particionamento. Neste traballo o/a alumno/a deberá facer unha revisión exhaustiva dos métodos de particionamento existentes na literatura e centrarse no método de k-medias. Ademais da revisión teórica deberá aplicar o método a un conxunto de datos reais e a datos simulados que permitan ilustrar a súa aplicabilidade e tamén identificar situacións nas que os resultados non son os desexables.

Bibliografía Hartigan, J.A. y Wong, M.A. (1979). A K-means clustering algorithm. Applied Statistics, 28, 100–108.

Código EST18_20 Nova oferta 10/10/2019

Area de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Titor/a César A. Sánchez Sellero Título Inferencia estadística con datos truncados


Los datos truncados surgen cuando algunos individuos no son observables debido al valor que toma la variable de interés u otras variables relacionadas con ella. En concreto, este fenómeno se presenta en observaciones astronómicas, donde ciertas condiciones de posición y luminosidad no son observables. También surge en Análisis de Supervivencia, donde por ejemplo los individuos que se curan antes de ir al médico, no llegan a ser observados. Para que los estimadores no estén sesgados, se han diseñado estimadores específicos con este tipo de datos. Están basados en la suposición de independencia entre la variable de interés y las variables que truncan el proceso de observación. En el caso de la duración de una enfermedad, sería la independencia entre el tiempo de duración de la enfermedad y el tiempo que tarda el paciente en acudir al médico. En este trabajo se revisarán los estimadores con datos truncados y se ilustrarán con datos simulados y datos reales.

Código EST19_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a Mercedes Conde Amboage

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Estimación tipo núcleo da función de densidade

Dada unha variable aleatoria continua, a función de densidade permite coñecer como se distribúe dita variable dado que a probabilidade de que a variable aleatoria caia nunha rexión específica do espazo de posibilidades estará dada pola integral da densidade desta variable entre un e outro límite de dita rexión. Por este motivo, a estimación da función de densidade é un tema de gran interese no ámbito da Estatística. Ao longo deste traballo, prestarase especial atención á estimación tipo núcleo da función de densidade. Neste caso, resultará fundamental a selección do parámetro de suavizado de cara a obter unha boa estimación da función de densidade. Presentaranse e compararanse diferentes estratexias dispoñibles na literatura para levar a cabo a selección do parámetro de suavizado. A título orientativo, o traballo podería organizarse nas seguintes seccións: • A función de densidade. Estimación. • Estimación tipo núcleo da función de densidade.

https://www.google.es/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Per+Christian+Hansen%22&source=gbs_metadata_r&cad=8

https://www.google.es/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22V%C3%ADctor+Pereyra%22&source=gbs_metadata_r&cad=8

https://www.google.es/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Godela+Scherer%22&source=gbs_metadata_r&cad=8




• Selección do parámetro de suavizado. • Estudo comparativo dos diversos selectores do parámetro de suavizado. Presentaranse diferentes estimacións da función de densidade aplicadas tanto a conxuntos de datos tanto reais como simulados. Para elo empregarase o software libre R (https://www.r-project.org/).

Bibliografía Bowman, A.W. (1984). An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates. Biometrika, 71 (2), 353–360.

Código EST20_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a María Isabel Borrajo García

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Introdución á Estatística Espacial a través dos procesos puntuais


A Estatística Espacial é un dos campos máis amplos dentro da rama da Estatística. Aborda o estudo de localizacións e medidas asociadas a un proceso usando propiedades topolóxicas, xeométricas ou xeográficas. Segundo as características desas medidas e localizacións distínguense tres contextos dentro de la Estatística Espacial: xeoestatística, datos reticulares e procesos puntuais. Os procesos puntuais tratan con medidas aleatorias que ocorren en localizacións tamén aleatorias. Estes procesos teñen un gran interese e aplicación en diferentes áreas de coñecemento: epidemioloxía, ecoloxía, xeoloxía, criminoloxía, astronomía... A título orientativo o traballo podería organizarse nas seguintes seccións: • Introdución á estatística espacial • Definición e caracterización de procesos puntuais • A función de intensidade de primeira orde Ó longo do traballo empregaranse conxuntos de datos tanto reais como simulados que serán tratados co paquete estatístico R.

Bibliografía

Baddeley, A., Rubak, E., & Turner, R. (2015). Spatial point patterns: methodology and applications with R. Chapman and Hall/CRC. Cressie, N. (1992). Statistics for spatial data. Terra Nova, 4(5), 613-617. Diggle, P. J. (2013). Statistical analysis of spatial and spatio-temporal point patterns. Chapman and Hall/CRC. Illian, J., Penttinen, A., Stoyan, H., & Stoyan, D. (2008). Statistical analysis and modelling of spatial point patterns (Vol. 70). John Wiley & Sons.

Código EST21_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a César A. Sánchez Sellero

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Modelos no lineales de regresión


Los modelos de regresión estudian el efecto de ciertas variables explicativas sobre una variable de interés, también llamada variable respuesta. Los primeros modelos de regresión son lineales, en el sentido de que los parámetros desconocidos son coeficientes que multiplican a las variables explicativas o a funciones de ellas. Sin embargo, hay modelos muy conocidos de la Física, la Química o la Biología, como la ley de enfriamiento de Newton, los modelos de crecimiento o los modelos periódicos, en los cuales no es posible expresar los parámetros como coeficientes. En este trabajo se revisarán los métodos de inferencia en modelos no lineales de regresión. Mediante simulaciones, se estudiarán las propiedades de los estimadores bajo condiciones diversas, como normalidad o no de la distribución del error, homocedasticidad o heterocedasticidad, u otras circunstancias. Asimismo, se ilustrará el trabajo aplicando modelos no lineales de regresión en datos reales.

Bibliografía

Bates, D.M. y Watts, D.G. (1988). Nonlinear regression analysis and its applications. Wiley. Huet, S., Bouvier, A., Gruet, M.A. y Jolivet, E. (1996). Statistical tools for nonlinear regression (A practical guide with S-Plus examples). Springer. Ritz, C. y Streibig, J.C. (2008). Nonlinear regression with R. Springer. Venables, W.N. y Ripley, B.D. (2002). Modern applied statistics with S. Springer.

Código MA01_20 Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Métodos numéricos para a ecuación do transporte nunha dimensión

Breve descrición do contido Trátase de introducir, analizar e implementar no ordenador, métodos para a resolución numérica da ecuación en derivadas parciais do transporte, nunha dimensión espacial. Estudaranse aspectos como a orde, a estabilidade, a conservación de certas magnitudes físicas, etc.




Código MA02_20 Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Estudando interpolación de funcións


Na materia “Cálculo numérico nunha variable” realízase unha breve introdución á interpolación de funcións mediante polinomios na que, ademais, quedan apartados sen desenvolver e, por suposto, outros sen nomear. O obxectivo deste traballo é que o/a alumno/a realice un desenvolvemento propio deste tema tomando como marco o capítulo 2 do libro “Computational Physics” (indicado máis abaixo) no que moi brevemente, ademais da interpolación polinomial, se tratan outras maneiras de interpolar. Dada a brevidade sinalada, o o/a alumno/a precisará buscar bibliografía que lle axude a ampliar e comprender o que considere oportuno. Deberase aportar tamén algún exemplo de aplicación, polo que o/a alumno/a deberá manexar algunha linguaxe de programación.

Bibliografía Philipp O.J. Scherer.- Computational Physics: Simulation of Classical and Quantum Systems. Springer

Código MA03_20 Titor/a M. Elena Vázquez Cendón

Área Titor/a Matemática Aplicada Cotitor/a Gonzalo Méndez Martínez


Área de Xeodinámica Externa. Dpto. Xeociencias Mariñas e Ordeación do Territorio. UVigo

Título Interpolación numérica aplicada ao cálculo da altitude na Carta Xeométrica de Galicia de Domingo Fontán


O obxectivo do TFG é estudar métodos de interpolación, profundando nos estudados realizados no Grao en Matemáticas. O traballo conterá a escritura dalgúns dos métodos en Matlab/OCTAVE e tamén empregaranse métodos xa definidos en Matlab/OCTAVE. Como aplicación desta metodoloxía traballarase coa altitude e a presión atmosférica, e estudarase como Domingo Fontán calculou a altitude de moitos cumios a partir da presión atmosférica. Os datos da presión en diferentes localidades de Galicia poden obterse a partir de datos medidos, ou proporcionados por estacións metereolóxicas. Os valores das altitudes obtidos numericamente poden ser comparados cos datos proporcionados polos Sistemas de Información Xeográfica (SIX) e analizar as precisións das aproximacións calculadas. A presenza de dous titores no traballo amosa a compoñente multidisciplinar tan evidenciada na traxectoria do matemático e xeógrafo Domingo Fontán, e permitirá achegar á persoa que desenvolva o TFG opcións de aplicación das matemáticas, valorando a innovación achegada por Fontán hai douscentos anos.

Bibliografía

J.M. Viaño Rey e M. Burguera, “Lecciones de Métodos Numéricos. 3 Interpolación”. Tórculo Edicións, 2000. G. Méndez Martínez e A. Campillo Ruiz, “La aportación cartográfica de Domingo Fontán (1788-1866)”. IV Congreso Nacional de Topografía y Cartografía, pp. 553-567. Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos en Topografía. Madrid, 1988.

Código MA04_20 Titor/a Hipólito Irago Baúlde

Área Titor Matemática Aplicada Título Introducción a los métodos asintóticos en problemas de perturbación relativos a ecuaciones

numéricas. Breve descrición do contido

Se tomará como punto de partida una ecuación numérica que se embeberá en una familia de ecuaciones, dependiente de un pequeño parámetro ε. Se asumirá que la solución de la familia de problemas es expresable en serie de potencias de ε y se sustituirá, formalmente, dicho desarrollo en las ecuaciones para caracterizar sus primeros términos. Finalmente, se tratará de complementar el proceso anterior con una estimación del error de aproximación.

Bibliografía Hinch, E.J. (1991). Perturbation Methods (Cambridge University Press, Cambridge).




Código MA05_20

Titor/a Hipólito Irago Baúlde

Área Titor/a Matemática Aplicada

Título Introducción a los métodos asintóticos en problemas de perturbación relativos a ecuaciones diferenciales ordinarias.

Breve descrición do contido Se considerará una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias dependiente de un pequeño parámetro ε. Se asumirá que la solución de la familia es expresable en serie de potencias de ε y se sustituirá, formalmente, dicho desarrollo en las ecuaciones para caracterizar sus primeros términos. Finalmente, se tratará de complementar el proceso anterior con una estimación del error de aproximación.

Bibliografía Álvarez-Dios, J.A.--Viaño, J.M. (2000). Notas sobre Métodos Asintóticos en Ecuaciones Diferenciales (Tórculo Edicións, Santiago de Compostela).

Código MA06_20 Titor/a Jerónimo Rodríguez García

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Aproximación numérica de integrales de convolución mediante el método de cuadratura de convolución


En múltiples aplicaciones se necesita calcular integrales de convolución de dos funciones $$ f \star g(x) := \int_{0}^{x} f(t-x) g(t) \mbox{d}t. $$ El objetivo de este trabajo es la comprensión y programación del método de cuadratura de convolución de cara a aproximar numéricamente este tipo de integrales. La aproximación de la convolución entre dos funciones f y g sobre una malla se obtiene mediante la convolución discreta con los valores de g sobre la misma malla. Los pesos de cuadratura se determinan mediante la transformada de Laplace de la función f (función llamada con frecuencia el núcleo de convolución), un integrador de Runge-Kutta y la fórmula integral de Cauchy. Una vez se haya comprendido y programado el método para ejemplos sencillos, se tratará de aplicar a la resolución de EDO y EDP. Asimismo se estudiará la convergencia del tal aproximación.

Bibliografía

1] C. Lubich. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I and II. Numerische Mathematik (52) 1988. [2] C. Lubich. Convolution Quadrature Revisited. BIT Numerical Mathematics (44) 2004. [3] L. Banjai, M. Messner, M. Schanz. Runge–Kutta convolution quadrature for the Boundary Element Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (245-246) 2012.


Se recomienda que el alumno sea capaz de leer literatura en inglés. También es aconsejable que tenga conocimientos básicos de variable compleja y de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias.



Podría tener relación con el Grado en Física ya que el método se puede emplear para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales lineales transitorias tales como la ecuación de ondas, las ecuaciones de Maxwell o la ecuación del calor. Los núcleos de convolución son en ese caso las llamadas soluciones fundamentales (o funciones de Green) asociadas al problema en cuestión.

Código MA07_20 Titor/a José A. Alvarez Dios

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Análisis de contornos en imágenes

Breve descrición do contido Se estudiarán diversas técnicas desde el punto de vista teórico y práctico para caracterizar contornos de objetos contenidos en imágenes con el fin de averiguar su forma.




Bibliografía The Image Processing Handbook. John C. Russ, F. Brent Neal


Conocimiento de la teoría clásica de derivación numérica y del método de diferencias finitas (introducidos en la materia “Cálculo numérico nunha variable”) para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y un lenguaje de programación (MatLab).

Código MA08_20 Titor/a José A. Álvarez Dios

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Restauración de imágenes digitales mediante técnicas matemáticas

Breve descrición do contido La restauración de imágenes digitales (del inglés inpainting) es un proceso que permite recuperar partes de la imagen que están deterioradas u ocultas por otro objeto. En este trabajo se estudiará algún método de restauración basado en EDPs o interpolación, junto con su implementación numérica.

Bibliografía http://www.math.ucla.edu/~imagers/htmls/inp.html https://en.wikipedia.org/wiki/Inpainting


Conocimiento de la teoría clásica de derivación numérica y del método de diferencias finitas (introducidos en la materia “Cálculo numérico nunha variable”) para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y un lenguaje de programación (MatLab).

Código MA09_20 Titor/a José Luis Ferrín González

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Métodos numéricos en optimización

Breve descrición do contido Implementación de métodos numéricos de optimización con y sin restricciones utilizando Python. Comparación con métodos de librerías de código libre.


Buenas capacidades de programación

Código MA10_20 Titor/a Juan M. Viaño Rey

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Método de Householder-Hymann para cálculo de autovalores de grandes matrices.


A primeira parte do traballo estaría dedicada a que a alumna ou alumno adquira e domine os conceptos e resultados relacionados co método de redución de Householder a matrices Hessenberg superiores e co método de Hymann para o cálculo e resolución do polinomio característico destas matrices. A segunda parte estaría dedicada a implementación dos métodos e a facer estudos comparativos da súa rapidez e precisión.

Bibliografía

VAN DER VORST [2002]: Computational methods for large eigenvalue problems. In Handbook of Numerical Analysis, Vol VIII. – pp 3-182. P.G. Ciarlet-J.L. Lions Edts. North-Holland. STOER,J. – BULIRSCH, R. [1980]: Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag. WILKINSON,J.H.-REINSCH,C.[1971]: Linear Algebra. Handbook of Automatic Computation. Vol II. Springer-Verlag.

Código MA11_20 Titor/a María Luisa Seoane Martínez


Título Resolución numérica del problema de Bratu: diferencias finitas y métodos de continuación





El problema de Bratu es una ecuación diferencial elíptica con una no linealidad de forma exponencial que aparece, entre otros, en modelos de ignición. Dependiendo de los valores del coeficiente del término no lineal la ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna. La completa resolución del problema, esto es para todos los posibles valores de este coeficiente, conlleva entonces el cálculo de las soluciones dependientes de dicho parámetro. La resolución numérica se abordará mediante la discretización con diferencias finitas del operador diferencial combinada con un método de continuación. La principal dificultad reside en que la curva de soluciones presenta un punto de retorno que coincide con el valor del parámetro en el que hay una única solución. Entonces, para poder construir en un entorno de dicho punto la curva de soluciones, será necesario introducir una coordenada curvilínea, definida mediante una ecuación escalar que se añadirá al sistema discretizado del modelo.


Haber cursado la materia Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar cursando Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no

Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente:


El objetivo de este TFG es la resolución numérica de una ecuación diferencial no lineal que aparece en problemas de combustión o en el modelo de Chandrasekhar de la expansión del universo

Código MA12_20

Titor/a María Luisa Seoane Martínez


Título Resolución numérica del problema de Bratu: elementos finitos y métodos de continuación Breve descrición do contido El problema de Bratu es una ecuación diferencial elíptica con una no linealidad de forma exponencial que

aparece, entre otros, en modelos de ignición. Dependiendo de los valores del coeficiente del término no lineal la ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna. La completa resolución del problema, esto es para todos los valores de este coeficiente, conlleva entonces el cálculo de las soluciones dependientes de éste. La resolución numérica se abordará mediante la discretización con elementos finitos del operador diferencial combinada con un método de continuación. La principal dificultad reside en que la curva de soluciones presenta un punto de retorno que coincide con el valor del parámetro en el que hay una única solución. Entonces, para poder construir en un entorno de dicho punto la curva de soluciones, será necesario introducir una coordenada curvilínea, definida mediante una ecuación escalar que se añadirá al sistema discretizado del modelo.


Haber cursado la materia Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar cursando Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no

Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente:


El objetivo de este TFG es la resolución numérica de una ecuación diferencial no lineal que aparece en problemas de combustión o en el modelo de Chandrasekhar de la expansión del universo.

Código MA13_20 Titor/a Óscar López Pouso.

Área Titor/a Matemática Aplicada. Título Resolución numérica de ecuaciones de Fokker-Planck en una dimensión espacial.


Se resolverán algunos modelos de transporte de partículas cargadas, como electrones o iones pesados. Los métodos numéricos estarán basados en métodos de diferencias finitas.




Bibliografía Será proporcionada por el tutor. Recomendacións (non vinculantes)

Habrá que leer bibliografía escrita en inglés. El TFG se adaptará al alumno o alumna en cuestión, de acuerdo con las asignaturas que hubiera cursado durante el grado.

Código MA14_20 Titor Peregrina Quintela Estévez

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Modelización matemática de distintos modelos 1D de vigas. Cálculo analítico e numérico das

solucións. Breve descrición do contido Trátase de establecer algúns modelos matemáticos básicos do comportamento de estruturas tipo viga a

partir da identificación dos problemas físicos considerados. O estudante deberá: • Calcular, cando sexa posible, a solución analítica dos modelos matemáticos asociados. • Realizar as simulacións numéricas, utilizando diferencias finitas e elementos finitos. • Comparar os resultados obtidos coa solución analítica, e cando no sexa posible con valores

bibliográficos de referencia. Recomendacións Haber cursado as materias de Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais,

Modelización Matemática, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código MA15_20 Cambio de Código 10/10/2019 Titor/a Rafael Muñoz Sola

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Extrapolación de Richardson y algunas de sus aplicaciones en Análisis Numérico


Sea A:[0,c] ->R un aplicación que admite un desarrollo asintótico en 0+, es decir, A(y)= a_0+ a_1 y + a_2 y^2 + ...+a_k y^k + O(y^{k+1}) Supongamos que A(y) para y>0 representa una fórmula numérica para aproximar el valor desconocido A(0)=a_0, y que podemos calcular el valor de A en un conjunto de puntos de la forma r^m y_0, donde y_0>0 está fijo y 0<r<1. La extrapolación de Richardson es un método que permite, a partir de esos valores, construir de forma sencilla aproximaciones de A(0) de orden elevado. El trabajo constará de una parte teórica y una práctica. La parte teórica consistirá en:

- la descripción y fundamentación teórica del método y su relación con la interpolación polinómica de Lagrange.

- la obtención de un desarrollo asintótico del error para un par de métodos numéricos “de base”, con objeto de probar que se les puede aplicar la extrapolación (ejemplos: regla del trapecio compuesta, algunos métodos sencillos de un paso para EDOs)

La parte práctica consistitirá en la implementación en ordenador (en FORTRAN o MATLAB) de uno de los métodos numéricos “de base “ estudiados y el correspondiente proceso de extrapolación, junto con el estudio experimental del orden de convergencia en algunos ejemplos concretos.

Bibliografía

- Conte, S. D. - de Boor, C. (1980) Elementary numerical analysis : an algorithmic approach. Mc

Graw –Hill. - Isaacson, E. - Keller H.B. (1994): Analysis of Numerical Methods. Dover. - Stoer, J.- Bulirsch, R. (1993) - Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag.


Haber cursado con aprovechamiento la asignatura “Cálculo Numérico en una Variable” y tener nociones de métodos numéricos de resolución de EDOs,

Código MA16_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a Jerónimo Rodríguez García

Área Titor/a Matemática Aplicada Título Control óptimo de sistemas discretos y ecuaciones diferenciales ordinarias

Breve descrición do contido Nos interesamos por problemas de optimización del tipo Minimizar \tilde{J} (u)




u \in U donde u, la variable de minimización o variable de control, pertenece a un conjunto de controles llamados admisibles. Con frecuencia, la expresión del funcional \tilde{J}(u) no admite una expresión analítica sencilla pero sin embargo verifica \tilde{J}(u) = J(y(u),u), donde y(u), llamada la variable de estado, es la única solución de una ecuación que representaremos por F(y,u) = 0, y que recibe el nombre de sistema de estado. Los problemas de optimización con estas características reciben el nombre de problemas de control óptimo [1,2,3] y debido a su estructura particular, admiten técnicas de análisis y resolución especiales. Nos centraremos en dos casos de dificultad creciente: 1. En el primero de ellos tanto la variable de control como la de estado serán vectores y el sistema de estado vendrá dado por un sistema de ecuaciones algebraicas (control óptimo de sistemas discretos). 2. En el segundo caso, tanto la variable de control como la de estado serán por lo general funciones que estarán ligadas por un sistema de estado definido por una ecuación diferencial ordinaria (control óptimo de EDO, [3]). En el trabajo se particularizarán los conceptos propios de problemas de optimización (tales como las condiciones de optimalidad o el cálculo del gradiente del funcional coste) a problemas con esta estructura. Por otra parte, se propondrán e implementarán métodos numéricos sencillos para su resolución numérica.

Bibliografía [1] E. Cerdá Tena, Optimización dinámica, Prentice Hall, 2001. [2] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Pearson-Prentice-Hall, 2010. [3] E. Trélat. Commande optimale. Notes du cours A08. 2007/2008.

Recomendacións (non vinculantes

Se recomienda que el alumno sea capaz de leer literatura en lengua extranjera. También es aconsejable que tenga conocimientos básicos de optimización

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente: • Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos. • Posibles titores/as, se o considera pertinente.

Podría tener relación con el Grado en Física.

Código MA17_20 Nova oferta 10/10/2019 Titor/a Rafael Muñoz Sola


Título Ecuaciones lineales en diferencias y sus aplicaciones al estudio teórico de métodos lineales multipaso para EDOs.


El programa de la asignatura “Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais“ contiene una breve introducción a los métodos lineales multipaso. El estudio de algunos aspectos teóricos de estos métodos requiere el uso de resultados sobre ecuaciones lineales en diferencias. El objetivo del trabajo es elaborar un documento que incluya: (i) conceptos y resultados fundamentales relativos a la estructura de la soluciones de las ecuaciones lineales en diferencias de orden k. (ii) un breve repaso de algunos conceptos centrales en el estudio de los métodos numéricos para EDO: convergencia, consistencia y estabilidad. (iii) la aplicación de los resultados del item (i) al estudio teórico de los métodos lineales multipaso.

Bibliografía

- Henrici, P. (1962) . Discrete variable methods in ordinary differential equations. John Wiley & Sons. - Isaacson, E. - Keller H.B. (1994). Analysis of Numerical Methods. Dover. - Lakshmikantham, V. –Trigiante, D. (2002). Theory of difference equations : numerical methods and applications. Marcel Dekker. - Ortega, J. M. (1990) . Numerical analysis: a second course. SIAM. - Stoer, J.- Bulirsch, R. (1993) . Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag.


Conocer los contenidos sobre métodos numéricos de resolución de EDOs abordados en la asignatura ‘”Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais. ”

Código XT01_20 Titor/a Fernando Alcalde Cuesta

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Cotitor/a Álvaro Lozano Rojo (CUD Zaragoza)


Area Externa




Título Estructura comunitaria de la red de neuronas de C. elegans.


El propósito del trabajo es explorar la estructura comunitaria de las redes cerebrales a través del estudio concreto de la red de neuronas del nemátodo Caenorhabditis elegans usando diferentes técnicas y su comparación con diversas redes jerarquicas usadas como redes de referencia.

Objetivos concretos: Estudio de la Q-modularidad del conectoma de C. elegans y determinación de su estructura comunitaria por medio del algoritmo de Lovaina. Aplicación de técnicas SBM para detectar comunidades. Comparación de ambos métodos y contraste con redes jerárquicas. Análisis de los resultados, discusión y conclusión.

Bibliografía

Abbe E, Sandon C. Recovering Communities in the General Stochastic Block Model Without Knowing the Parameters. Advances in Neural Information Processing Systems 28 (2015) 676-684

Aicher C, Jacobs AZ, Clauset A. Learning latent block structure in weighted networks. Journal of Complex Networks 3 (2014) 221-248.

Alcalde Cuesta F, González Sequeiros P, Lozano Rojo Á. Exploring the topological sources of robustness against invasion in biological and technological networks. Scientific Reports 6 (2016) 20666 EP.

Betzel RF, Medaglia JD, Bassett DS Diversity of meso-scale architecture in human and non-human connectomes. Nature Communications 9 (2018) 346

Blondel VD.The Louvain method for community detection in large networks. Available at: https://perso.uclouvain.be/vincent. blondel/research/louvain.html.

Blondel VD, Guillaume JL, Lambiotte R, Lefebvre E. Fast unfolding of communities in large networks. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2008 (2008) P10008

Kim JS, Kaiser M. From Caenorhabditis elegans to the human connectome: a specific modular organization increases metabolic, functional and developmental efficiency. Philosophical Transactions of the Royal Society of London B: Biological Sciences 369 (2014).

Newman MEJ, Girvan M. Finding and evaluating community structure in networks. Phys. Rev. E 69 (2004) 026113.

Newman MEJ. Modularity and community structure in networks. Proceedings of the National Academy of Sciences 103 (2006) 8577–8582.

Ravasz E., Somera AL, Mongru DA, Oltvai ZN, Barabási AL. Hierarchical Organization of Modularity in Metabolic Networks, Science 297 (2002) 1551.

Pavlovic DM, Vértes PE, Bullmore ET, Schafer WR, Nichols TE Stochastic Blockmodeling of the Modules and Core of the Caenorhabditis elegans Connectome. PLoS ONE 9(7) (2014) e97584. doi:10.1371/journal.pone.0097584

Varshney LR, Chen BL, Paniagua E., Hall DH, Chklovskii DB. Structural properties of the Caenorhabditis elegans neuronal network. PLoS Comput. Biol. 7 (2011) e1001066.

Varshney LR, Chen BL, Paniagua E., Hall DH, Chklovskii DB. Neuronal connectivity II. Available at: http://www. wormatlas.org/neuronalwiring.html.


Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Espacios de grafos y grafos aleatorios

Breve descrición do contido El próposito del trabajo es estudiar diversos aspectos algebraicos, topológicos, geométricos y dinámicos de los grafos de Cayley y los grafos de Schreier. Esto se complementa con una introducción al estudio de los grafos aleatorios.




Objetivos concretos: Grafos de Cayley y grafos de Schreier. Espacios de grafos: espacio de Gromov-Hausdorff de los subgrafos de un grafo de Cayley y espacio de clases de isomorfía de grafos localmente finitos. Introducción a los grafos aleatorios.

Objetivo opcional: Propiedades algebraicas y topológicas de las estructuras de Schreier

Bibliografía

J. Canizzo, Schreier graphs and ergodic properties of boundary actions. PhD Thesis, Ottawa, 2014.

I. Benjamini, N. Curien, Ergodic theory on stationary random graphs. Electron. J. Probab. 17 (2012) 93.

Á. Lozano Rojo, Dinámica transversa de laminaciones definidas por grafos repetitivos. Tesis doctoral UPV-EHU, 2008.

J. Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Graduate Text in Mathematic 72, Springer-Verlag, New York, 1980.

A.C. Vázquez Martínez, Grafos aleatorios. Publicaciones Departamento Geometría y Topología USC, 136 (2018), 1-39.


Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Homología de fibrados en superficies sobre el círculo


El trabajo propuesto es una introducción a la topología algebraica desde la perspectiva del cálculo explícito de la homología en ejemplos de gran interés topológico y geométrico.

Objetivos específicos: Homología singular. Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Fibrados por superficies sobre el círculo. Monodromía. Clasificación de los fibrados en toros sobre el círculo. Sucesión exacta de Wang: cálculo de la homología de los fibrados en toros sobre el círculo.

Objectivos opcionales: Teorema de clasificación de Nielsen-Thurston. Construcción de Thurston de aplicaciones pseudo-Anosov y cálculo de la homología de las 3-variedades hiperbólicas asociadas. Grupo de Torelli.

Bibliografía

Danny Calegari, Foliations and the Geometry of 3-Manifolds, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 2007.

Benson Farb, Dan Margalit, A primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series 49, Princeton University Press, Princeton, 2012,

Étienne Ghys, Vlad Sergiescu, Stabilité et conjugaison differentiable pour certains feuilletages, Topology, 19 (2) (1980), 179-197.

James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology. CRC Press, Boca Raton, 2018

James W. Vick, Homology Theory: an introduction to Algebraic Topology. Pure and Applied Mathematics 53, Academic Press, London, 1973.

Código XT04_20 Titor/a Jesús Antonio Álvarez López

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Operadores de Dirac


1. Se empezará cunha introducción as variedades spin e xeometría spin, con énfasis nos examplos. 2. Tamén se fará unha introducción a operadores diferenciais en variedades. 3. Se definirá o operador de Dirac e se estudarán as súas propiedades básicas. 4. Se culminará co estudo espectral do operador de Dirac en variedades compactas. Faríanse algúns

cálculos concretos. Se chegase o tempo, probaríanse cuotas inferiores do primeiro autovalor non nulo.




Bibliografía Nicolas Ginoux, The Dirac spectrum. Lecture Notes in Mathematics, 1976. Springer-Verlag, Berlin, 2009. ISBN: 978-3-642-01569-4


É conveniente cursar a materia Variedades Diferenciables. No caso de estudantes do dobre grado de Matemáticas e Física, é interesante cursar a materia Teoría Cuántica de Campos.



Esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. O operador de Dirac xoga un papel importante en Mecánica Cuántica.

Código XT05_20 Titor/a Jesús Antonio Álvarez López

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Variedades de Lorentz e operador de d’Alembert


1. Haberá que facer unha introducción distribucións (funcións xeralizadas) en variedades, operadores diferenciais hiperbólicos, espacio de Minkowski e xeometría de Lorentz.

2. Estudarase o operador de d’Alembert no espazo de Minkowski, a súa relación cás distribucións de Riesz, e a xeralización a variedades de Lorentz.

3. Se houbera tempo, usaríase o anterior para iniciar o estudo da ecuación de ondas en variedades de Lorentz có operador de d’Alembert.

Bibliografía Christian Bär, Nicolas Ginoux, Frank Pfäffle. Wave equations on Lorentzian manifolds and quantization. ESI Lectures in Mathematics and Physics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007. ISBN: 978-3-03719-037-1


É conveniente cursar a materia Variedades Diferenciables. No caso de estudantes do dobregrado de Matemáticas e Física, é interesante cursar as materias de Electromagnetismo e Teoría Cuántica de Campos.



Esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física:

• As variedades de Lorentz son os modelos matemáticos para o espazo-tempo na Teoría de Relatividade. • A ecuación de ondas en variedades de Lorentz modela a lei de propagación de moitos campos físicos no espazo-tempo, como o

campo electromagnético.

Código XT06_20 Titor/a Antonio Gómez Tato

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía

Título La topología de lo posible


En el artículo: The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change J. theor. Biol. (2001) 213, 241}274 los autores proponen, en el marco de la teoría de la evolución, dotar al espacio de fenotipos de una estructura topológica en lugar de la habitual estructura de espacio con una noción de distancia. El trabajo consiste en la lectura crítica del artículo así como la revisión de los conceptos topológicos incluidos en el mismo.

Bibliografía The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change J. theor. Biol. (2001) 213, 241}274





Facilidad de lectura de textos científicos en inglés

Código XT07_20 Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez

Área Titor/a Xeometría e topoloxía Título Clasificación de produtos de grafos

Breve descrición do contido Introdución ós produtos de grafos, estudo dalgunhas das súas propiedades, exemplos e aplicacións e clasificación dos produtos asociativos.


Ter cursadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e estar cursando "Topoloxía alxébrica”.

Código XT08_20 Titor/a José Carlos Díaz Ramos

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Cotitor/a Alberto Rodríguez Vázquez

Área Cotitor/a Xeometría e Topoloxía Título Grupos de transformacións

Breve descrición do contido Segundo Felix Klein, a xeometría é o estudo daquelas propiedades dun espazo que permanecen invariantes baixo a acción dun grupo de transformacións. O obxectivo deste traballo é comeza-lo estudo dos grupos de transformacións continuas, coa idea de aplicar estes coñecementos á Xeometría Diferencial.

Bibliografía Kawakubo, Katsuo; The theory of transformation groups. Translated from the 1987 Japanese edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1991. Bredon, Glen E.; Introduction to compact transformation groups. Pure and Applied Mathematics, Vol. 46. Academic Press, New York-London, 1972.


Cursar “Variedades diferenciables”

Código XT09_20 Titor/a Eduardo García Rio

Área Titor/a Xeometría e topoloxía Título Derivadas de Lie: Transformacións infinitesimais


Introducir a derivada de Lie tanto de campos de vectores como de campos de tensores sobre unha variedade diferenciable. No caso de variedades dotadas dunha estrutura adicional (métrica de Riemann, estructura case complexa, etc.) obter as expresións local das súas transformacións infinitesimais i estudiar algunhas propiedades das mesmas.

Bibliografía J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer-Verlag, 2013 W. A. Poor, Differential Geometric Structures, McGraw-Hill Inc., 1981


Ter cursado ou estar cursando a materia “Variedades Diferenciables” correspondente ao cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT10_20 Titor/a Eduardo García Rio

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Superifices de traslación


Introducir as superficies de translación como aquelas que veñen dadas pola suma de dúas curvas e analizar algúns exemplos Describir as superficies de translación en función da súa curvatura de Gauss e curvatura media.

Bibliografía H. Liu, Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional spaces, J. Geom. 64 (1999), 141-




149. R. López, M. Moruz, Translation and homothetical surfaces in Euclidean space with constant curvature, J. Korean Math. Soc. 52 (2015), no. 3, 523-535.


Ter cursado as materias “Curvas e superficies”,“Teoría global de superficies” e “Variedades diferenciales” correspondente ao Grao en Matemáticas.

Código XT11_20 Titor/a Enrique Macías Virgós

Área Titor/a XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA Cotitor/a David Mosquera Lois

Área Cotitor/a XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA Título TOPOLOXÍA DO POSET DE P-SUBGRUPOS DUN GRUPO FINITO


Os conxuntos parcialmente ordeados (posets) e os espazos topolóxicos finitos están estreitamente relacionados, o que permite facer teoría de homotopía en posets. Dado un grupo finito G, denotemos por S_p(G) o poset dos seus p-subgrupos non triviales. O obxectivo deste traballo consiste no estudo dalgunhas relacións entre a topoloxía de S_p(G) e as propiedades alxébricas de G. Con máis precisión, estudarase a relación entre a existencia de p-subgrupos normais non triviais de G e a contractibilidade do poset S_p(G). Isto levaranos de xeito natural a unha conxectura de Quillen que a día de hoxe permanece como problema aberto.

Bibliografía -A. Barmak, Algebraic topology of finite topological spaces and applications. Berlin. Springer 2011.

-D. Quillen. Homotopy properties of the poset of nontrivial p-subgroups of a group. Adv. Math. 28 (1978), 101–128


Coñecementos básicos de Topoloxía xeral e de Estructuras alxébricas

Código XT12_20 Titor/a Enrique Macías Virgós

Área Titor/a XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA Título MATRICES CUATERNIÓNICAS

Breve descrición do contido A álxebra lineal sobre os cuaternios presenta algunhas características orixinais que a diferencian dos casos real e complexo. Neste traballo abordaranse algúns traballos recentes onde se definen a matriz adxunta, a regra de Crámer, a descomposición en valores singulares ou a inversa de Penrose neste contexto.

Bibliografía I.I. Kyrchei. Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer’s rules. Linear Multilinear Algebra 59, No. 4, 413-431 (2011).


Coñecementos básicos de Álxebra lineal

Código XT13_20 Titor/a José Antonio Oubiña Galiñanes

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Grupos de Lie de matrices


Os grupos de Lie son obxectos con estrutura de variedade diferenciable (un espazo topolóxico que é localmente euclidiano e con unha estrutura diferenciable que permite un cálculo diferencial na variedade) e de grupo, de modo que as dúas estruturas son compatibles. Hai un obxecto que se chama álxebra de Lie que linealiza o grupo de Lie e facilita o seu estudo (así como a diferencial dunha función nun punto linealiza localmente a función). O propósito deste traballo é facer un estudo da teoría xeral dos grupos de Lie de matrices, que son os subgrupos pechados do grupo linear xeral complexo GL(n,C). Deberán considerarse tamén as álxebras de Lie abstractas e a aplicación exponencial asociada entre á alxebra de Lie e o grupo, e deben determinarse as álxebras de Lie dos grupos de Lie de matrices clásicos (como os grupos lineais especiais, ortogonais, unitarios e simplécticos).

Bibliografía Brian Hall, Lie groups, Lie algebras and repesentatios, An elementary introduction, 2nd ed, Springer, 2015 (Capítulo 1: Matrix Lie groups; Capítulo 2, The matrix exponential; Capítulo 3: Lie algebras). Frank W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983




(Capítulo 3: Lie groups). Recomendacións (non vinculantes)

Cursar a materia “Variedades diferenciables”

Código XT14_20 Titor/a Modesto R. Salgado Seco

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Geometría de los fibrados tangentes y cotangentes (TM y T*M)


El principal propósito del TFG es la -Descripción de la estructura tangente canónica del fibrado tangente -Descripción de la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangete. -Variedades simplécticas

Bibliografía

R. Abraham e J.E. Marsden,

Foundations of Mechanics, Benjamin, New York, 1978.

W. D. Curtis e F. R. Miller

Differential manifolds and Theorical Physics, Academic Press, INC 1985

P. Libermann e C-M. Marle

Symplectic Geometry and Analytic Mechanics, Kluwer Academic 1987


Haber cursado o estar cursando la materia de Variedades Diferenciables

Código XT15_20 Titor/a Modesto R. Salgado Seco

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Ecuaciones de Euler-Lagrange en variedades


Describir las ecuaciones de Euler-Lagrange en términos geométricos, utilizando la geometrías de los fibrados tangente 1.- Formulación física, 2.- Formulación geométrica 3.- Ejemplos

Bibliografía

R. Abraham e J.E. Marsden,

Foundations of Mechanics, Benjamin, New York, 1978.

W. D. Curtis e F. R. Miller

Differential manifolds and Theorical Physics, Academic Press, INC 1985


Haber cursado o estar cursando la materia de Variedades Diferenciables

Código XT16_20 Titor/a Juan Francisco Torres Lopera

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título El grupo de isometrías del plano hiperbólico

Breve descrición do contido Bolyai y Lobachebsky concibieron una geometría plana en la que no se verificaba el axioma euclidiano que declara que por un punto exterior a una recta L pasa una y sólo una paralela a L . El primer modelo local, debido a Beltrami, que realizaba dicho plano abstracto dentro de un espacio euclidiano, fue la superficie de




revolución generada por la curva plana conocida como tractriz. El propio Beltrami, Cayley y Klein proporcionaron después modelos globales (discos abiertos dotados de una métrica adecuada) de dicho plano “no euclidiano”, bautizado como plano hiperbólico por Klein y que denotaremos H. En su estudio de las llamadas funciones fuchsianas o automorfas, Poincaré encontró un modelo de H (isométrico a los anteriores) extremadamente fácil y productivo, en el que H es semiplano de R x R cuyos puntos (x, y) verifican y > 0, dotado con una métrica riemanniana que es invariante respecto a las transformaciones de Moebius que llevan H en H (tanto holomorfas o antiholomorfas) Dichas transformaciones forman el grupo G de todas las isometrías de H como espaico métrico. Las transformaciones holomorfas que llevan H en H forman el subgrupo G+ “componente conexa de la identidad de G”. Es fácil ver que G+ es isomorfo al grupo cociente SL(2, R) / { I , - I }, siendo SL(2 , R) el grupo de matrices reales 2 x 2 cuyo determinante vale uno. Las geodésicas de H son o bien semicírcunferencias con diametro en el eje x, o bien semirectas ortogonales al eje x (en ambos casos, la parametrización adecuada tiene R como dominio). Las simetrías respecto a las geodésicas de H son antiholomorfas y generan G. Clasicamente esas simetrías son llamadas inversiones (o involuciones) respecto a la respectiva geodésica. Obviamente, cada simetría respecto a una geodésica deja fijo a todo punto de esa geodésica. Es notable que (de modo parecido a lo que ocurre en el plano euclidiano) cada isometría no trivial es composición de a lo sumo tres de dichas simetrías respecto a geodésicas. Toda isometría holomorfa no trivial puede describirse en función de sus puntos fijos. La acción sobre H de cada subgrupo discreto D de SL(2, R) / { I, - I } (subgrupos que Poincaré llamó “fuchsianos”) proporciona un espacio cociente cuya topología está determinada por el subgrupo D. El hecho (demostrado por Poincaré) de que todas las “supercies de Riemann” (es decir, variedades complejas de dimensión uno) compactas y conexas son (algunos de los) cocientes de H bajo la acción de un subgrupo discreto de G es una muestra incontestable de la importancia de G tanto en la geometría clásica, como en la teoría de funciones de una variable compleja. El trabajo se limitará a un estudio elemental de H y G.

Bibliografía N.V. Efimov-Geometría Superior-Editorial Mir (1984) C. L. Siegel, Topics in complex function theory 3 vols., Wiley (1988, 1989)

Código XT17_20 Titor/a Juan Francisco Torres Lopera

Área Titor/a Xeometría e Topoloxía Título Triangulaciones, Lema de Sperner y Teorema de Punto Fijo de Brouwer.


LEMA de SPERNER.- Triangulamos un simplex s = [0, 1, ... , n] e imponemos la siguiente REGLA de SPERNER a los nuevos n-símplices que aparezcan: si tienen algún vértice en una (n – 1) – cara de s, el nombre de ese vértice debe estar entre los n- 1 dígitos que determinan la cara. Entonces alguno de los nuevos n-símplices tiene todos los dígitos 0, 1, ..., n como vértices. De aquí se obtiene una demostración elemental del TEOREMA de PUNTO FIJO de Brouwer: Si A es un abierto acotado y CONVEXO de R^n y B es la clausura de A, entonces toda aplicación continua de B en B posee algún punto fijo. es decir, algún punto p de B verifica f(p) = p. De este teorema de Brouwer se derivan varias propiedades topológicas importantes de las esferas euclidianas, que se examinarán brevemente.

Bibliografía

C. Berge, Topological Spaces. Dover Publ. (2010). (ed.orig. fr. Dunod, 1959) R. Engelking, General topology, 2nd. Ed. Heldermann (1989). K. Kuratowski. Introduction a La Theorie Des Ensembles et a La Topologie. l'Enseignement Mathematique (1966) (trad: esp. Ed. Vicens-Vives)

Código XT18_20 Titor Antonio Gómez Tato

Área Titor Xeometria e Topòloxía Cotitor Leovigildo Alonso Tarrío

Área Cotitor Alxebra Título Haces y teoría de la señal

Breve descrición do contido Estudiaremos como se está aplicando la teoría de haces al tratamiento de señales. En particular, nos centraremos en cómo se puede aplicar a la gestión del tráfico aéreo. Las herramientas matemáticas serán: Álgebra lineal, conjunto simpliciales, haces y su cohomología.

https://es.scribd.com/document/341691987/N-V-Efimov-Geometri-a-Superior-Editorial-Mir-1984

https://es.scribd.com/document/341691987/N-V-Efimov-Geometri-a-Superior-Editorial-Mir-1984




Bibliografía

M. Robinson. Topological Signal Processing. Springer 2014 Seyed Mansourbeigi. Sheaf Theory Approach to Distributed Applications: Analysing Heterogeneous Data in Air Traffic Monitoring. International Journal of Data Science and Analysis 2017; 3(5): 34-39


Disposición para leer literatura científica en inglés.

PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAOO Libro XII dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XI e XIII,...

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