UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE - RECTORADO ACADÉMICO

DECANATO DE INGENIERÍA

ESCUELA DE COMPUTACION

Alumno:

Jorge Martínez C.I. 19.323.838

Profesor:

Domingo Méndez

Una proposicion es un enunciado cuyo contenido esta sujeto a

ser clasificado como “Verdadero” o “Falso”, pero no ambas

cosas a las vez.

Notacion: Las proposiciones se notaran con letras minusculas:

p, q, r, s, t, ya que las letras mayusculas las usaremos para

denotar los conjuntos.

Llamaremos valor logico de una proposicion, el cual

denotaremos por VL, al valor 1 si la proposicion es verdadera; y

0 si es falsa.

Las operaciones logicas son simbolos o conectivos que nos

permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o

mas proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Cuando

una proposicion no contiene conectivos logicos diremos que es

una proposicion atomica o simple; y en el caso contrario,

diremos que es una proposicion molecular o compuesta.

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o

conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o

simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de

proposiciones dadas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos

que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario,

diremos que es una proposición molecular o compuesta.

Estas operaciones son llamadas operaciones veritativas. Aqui g

y t representan dos proposiciones cualquiera.

CONECTIVO OPERACION SIMBOLICAMENTE SE LEE

~ Negacion ~ gNo g o no es

cierto g

^Conjuncion o

producto logicog ^ t g y t

v

Disyuncion o

suma logica

(inclusiva)

g v t g o t

→Condicional o

implicaciong → t

g implica t o si

g entonces

↔Bicondicional o

doble implicaciong ↔ t

g si solo si t o

g es

equivalente a t

vDisyuncion

Exclusivag v t O g o t

Tabla de verdad de los conectivos logicos:

p ~p p q

1 0 V F

0 1 F V

Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analiticamediante la siguiente igualdad:

VL(p) = 1 - VL(~p)

Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la

proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está

dado con la tabla o igualdad siguiente:

p q p ^ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

VL(p ^ q) = minimo valor (VL(p), VL(q)) en otras palabras el

menor valor de los numeros dados.

Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la

proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está

dado por la tabla siguiente:

p q p v q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

VL(p v q) = maximo valor (VL(p), VL(q))

Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q

es la proposición p v q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico

está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción

exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

p v q

V F V

F V V

V V F

F F F

Seam p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p

y consecuente q es la proposicion p → q, que se lee “si p,

entonces q”, y cuyo valor logico esta dado por la siguiente tabla:

p q p →q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Condición Necesaria y Condición Suficiente:

El condicional es una de las proposiciones más importantes en

la matemática, ya que la mayoría de teoremas vienen dados en

esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesis

y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado

también con las llamadas condiciones necesarias y suficientes.

El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la

condición necesaria.

Condicionales Asociados:

Dado un condicional p → q podemos asociar los siguientes

condicionales:

1. Directo: p → q

2. Reciproco: q → p

3. Contrarecíproco : ~ q → ~ p

4. Contrario: ~ p → ~ q

Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a

la proposición p ↔ q, que se lee "p si sólo si q", o "p es

condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es

dado por la siguiente tabla.

p q p ↔q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

En otras palabras el VL(p↔q) = 1 si VL(p) = VL(q)

Formas Proporcionales:

A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los

conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t,

etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo

t→(q^~r)~ [(p↔s)^(r↔q)] son formas proposicionales y podemos

decir, para ser más preciso que las variables proposicionales

también son formas proposicionales.

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de

una proposición compuesta y depende de las proposiciones

simples y de los operadores que contengan.

Ejemplo:

(p v q) v ¬ q

p q (p v q) ¬ q (p v q) v ¬q

V V V F V

V F V V V

F V V F V

F F F F V

En este caso, es una Tautología, ya que no importa si p y q

sean falsas o verdaderas, la resolución siempre es verdadera.

Proposición Tautológica o Tautología

Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir,

todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad

son 1) independientemente de los valores de sus variables.

Ejemplo: Probar que p v ~ p es una Tautología.

p v ~ p

1 1 0

0 1 1

Contradicción

Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir

cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de

verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus

variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la

proposición molecular del ejemplo siguiente es una

contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método de

las tablas de verdad.

Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción.

p ^ ~ p

1 0 0

0 0 1

Leyes Idempotentes:

p v q ↔ p

p ^ q ↔ p

Leyes Asociativas:

(p v q) v r ↔ p v (q v r)

(p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

Leyes Conmutativas:

p v q ↔ q v p

p ^ q ↔ q ^ p

Leyes Distributivas:

p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r)

p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)

Leyes de Identidad:

p v F ↔ p

p ^ F ↔ F

p v V ↔ V

p ^ V ↔ p

Leyes de Complementación:

p v ~ p ↔ V (Tercio excluido)

p ^ ~ p ↔ F (Contradicción)

~ (~ p) ↔ p (Doble negación)

~ V ↔ F ; ~ F ↔ V

Leyes de Morgan:

~ (p v q) ↔ ~ p ^ ~ q

~ (p ^ q) ↔ ~ p v ~ q

Otras Equivalencias Notables:

p → q ↔ ~ p v q (Ley del condicional)

p ↔ q ↔ (p → q) ^ (q → p) (Ley del bicondicional)

p v q ↔ (p ^ ~ q) v (~ p ^ q) (Ley de disyunción exclusiva)

p → q ↔ ~ q → ~ p (Ley del contrarrecíproco)

p v q ↔ ~ (~p ^ ~ q)

((p v q) → r) ↔ (p → r) ^ (q → r) (Ley de demostración por casos)

(p → q) ↔ [(p ^ ~ q) → F] (Ley de reducción al absurdo)

Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A ImplicaLógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:

A B si el condicional A → B es una tautología.

Proposiciones Equivalentes:

Sean A y B dos formas proposicionales. Diremos que A esLógicamente Equivalente a B, o simplemente que A esequivalente a B, y escribimos

A → B o A v B,

Si y sólo si la forma bicondicional A v B es una tautología.

Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que unaproposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposicionesdadas llamadas premisas.

Forma Proposicional de un Razonamiento

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C loescribiremos en forma proposicional como:

P1

P2

P3

P4

.

.

.

Pn

----

C

Diremos que un razonamiento es válido o correcto si la

conjunción de premisas implica lógicamente la conclusión, en

otro caso se dice que es no válido.

Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.

Demostración Directa

En la demostración directa debemos probar una implicación:

p q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p

mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan

axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas

previamente.

Demostración Indirecta

Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional

equivalente a p → C nos proporciona la Ley del contrarrecíproco:

P → C ≡ ~ C → ~ P.

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la

proposición p q es tautológicamente equivalente a la

proposición (p ^ ~ q) (r ^ ~ r) siendo r una proposición

cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de

verdad.

Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos

identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma

proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito

podemos asociarle la forma proposicional correspondiente.

Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos

simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la

misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores

en conexión:

Conexión en serie la cual se representa p ^ q.

Conexión en paralelo la cual se representa como p v q.

Esta representaciones nos servirán de base para la

correspondencia entre los circuitos y proposiciones.