PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS -...

PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS

Página 1 de 16 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

PROBLEMAS RESUELTOS – Regla de 3 SIMPLE

1. Dos Kg y medio de patatas cuestan 1.75€. ¿Cuánto cuestan tres Kg y medio?

2.5 Kg 1.75 € DIRECTA

3.5 Kg x

;75.15.35.2 x ;5.2

75.15.3 x ;

2500

17535 x ;

1005

752

23

x ;

100

75 2x ;

100

245x x = 2.45€

2. Un coche ha recorrido 30Km en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué

distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

30Km 18 minutos DIRECTA

X 15 minutos

;153018 x ;18

1530 x ;

32

5322

22

x x = 25Km

3. Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5

operarios?

4 hombres 10 horas INVERSA

5 hombres x

;5104 x ;5

40x x = 8 horas

4. Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una

calle en 15 días; ¿cuánto tardarían trabajando 10 horas al día?

8 horas 15 días INVERSA

10 horas x

;10158 x ;10

158 x ;

52

5323

x x = 12 días

5. Un paquete de 500 folios pesa 1,8Kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios?

500

folios 1.8Kg

DIRECTA 850

folios x

;8.1850500 x ;500

1885 x ;

52

1753232

2

x ;

52

1732

2

x x = 3.06Kg



6. En una fuente se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros.

¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?

24 segundos 30 litros DIRECTA

X 50 litros

;245030 x ;30

2450 x ;

532

532 24

x ;523 x x = 40 segundos

7. Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas

horas deberá trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días?

8 horas 15 días INVERSA

X 12 días

;12158 x ;12

158 x ;

32

5322

3

x ;52 x x = 10 horas

8. Con una motobomba que extrae agua de un pozo, se ha tardado 18 minutos en

llenar una cisterna de 15000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de

25000 litros?

18 minutos 15000 litros DIRECTA

X 25000 litros

;150002500018 x ;15000

2500018 x ;

15

2518 x ;

53

532 22

x ;532 x x = 30

minutos

9. El dueño de un supermercado abona una factura de 720€ por un pedido de 15

cajas de aceite; ¿cuánto le costarían 12 cajas?

720€ 15 cajas DIRECTA

X 12 cajas

;1512720 x ;15

12720 x ;

53

532 36

x ;32 26 x ; ;964 x x = 576€

10. Una piscina tiene 3 desagües; si se abren 2, la piscina se vacía en ¾ de hora.

¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

2 desagües 45 minutos INVERSA

3 desagües x

;3452 x ;3

452 x ;

3

532 2 x ;532 x x = 30 minutos = ½ hora

11. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora; ¿cuántas

botellas llena en hora y media?

750 botellas 15 minutos DIRECTA

x 90 minutos

;1590750 x ;15

90750 x ;

53

532 432

x ;532 322 x x = 4500 botellas



En fracciones:

750 botellas ¼ hora DIRECTA

x 3/2 horas

;4

1

2

3750 x ;

4

12

3750

x ;2

43750 x ;23750 x x = 4500 botellas.

12. Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto

tardaría en hacer el mismo trabajo si las jornadas fuesen de 12 horas al día?

8 horas / día 9 días INVERSA

12 horas / día x

;1289 x ;12

89 x ;

32

322

23

x x = 6 días

13. Juan ha recibido 20€ por un trabajo de 5 horas. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8

horas?

20€ 5 horas DIRECTA

x 8 horas

;5820 x ;5

820 x ;84 x x = 32€

14. Dos socios han invertido 18000 y 24000€, respectivamente, para formar un

negocio. Si el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€,

¿cuánto recibirá el segundo?

18000€ 1446€ DIRECTA

24000€ x

;18000144624000 x ;18000

144624000 x ;

18

144624 x ;

36

482346

x ;4824 x x =

1928€

15. En un reconocimiento médico de 120 niños, el 15% presenta problemas de

caries. ¿Cuántos niños son?

100 niños 15 caries DIRECTA

120 niños x

;15120100 x ;100

15120 x ;

10

1512 x ;

52

532 22

x ;32 2x x = 18 niños

16. Una tienda hace unos descuentos del 10%. ¿Cuánto pagaremos por un balón

que marca 18,35€?

18.35€ 100 DIRECTA

x 90

;1009035.18 x ;100

9035.18 x x = 16.52€



17. Por 5€ nos dieron 5.6$. ¿Cuántos dólares nos darán por 18€?

5€ 5.6$ DIRECTA

18€ x

;6.5185 x ;5

6.518 x x = 16.07$

18. Si un coche que circula a 60Km/hora tarda 8 horas en recorrer un trayecto,

¿cuánto tardará otro a 80Km/hora?

60Km / hora 8 horas INVERSA

80Km / hora x

;80860 x ;80

860 x ;

8

86 x x = 6 horas

19. Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 minutos. ¿Cuántas dará en 10 horas?

8 vueltas 40 minutos DIRECTA

x 600 minutos

;406008 x ;40

6008 x ;

4

608 x ;602 x x = 120 vueltas

20. Vemos un relámpago y 5 segundos más tarde oímos el trueno; y sabemos que

la velocidad del sonido es de 340metros/segundo. ¿A qué distancia se

encuentra la tormenta, sabiendo que el relámpago y el trueno se producen en el

mismo instante?

1 segundo 340 metros DIRECTA

5 segundos x

;3405 x x = 1700 metros = 1.7Km

21. Un ordenador equipado con un procesador de 400Mhz descifró una clave

secreta en 40 minutos. ¿Qué potencia debería tener para haberlo conseguido en

10 minutos?

400 Mhz 40 min INVERSA

X 10 min

;1040400 x ;10

40400 x ;4400 x x = 1600Mhz

22. Un liquen rojo de montaña ha crecido 6mm en 3 años. ¿Cuántos cm crece cada

siglo?

0.6 3 años DIRECTA

x 100 años

;31006.0 x ;3

1006.0 x ;

3

106 x ;

3

1023 x x = 20 centímetros



23. Un deportista ha necesitado 10 segundos para recorrer una distancia a

36Km/hora. ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia un leopardo que se

mueve a 110Km/ hora?

36Km / hora 10 segundos INVERSA

110Km / hora x

;1101036 x ;110

1036 x ;

11

36x x = 3.27 segundos

PROBLEMAS DE REGLA DE 3 COMPUESTA

24. Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4Km de carretera, ¿cuántos

obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15Km?

8 horas 4 Km 25 obreros

10 horas 15 Km x

Directa

Inversa

;25

15

4

8

10

x ;

410

25158

x

3

33

25

532

x ; x = 75 obreros

25. Un peregrino ha recorrido 600 Km del camino de Santiago en 20 días a razón

de 6 horas diarias. ¿Cuántos Km podría recorrer a la misma velocidad en 30

días, a 5 horas al día?

20 días 6 horas / día 600Km

30 días 5 horas / día x

Directa

Directa

;600

5

6

30

20

x ;

62

53600

x x = 750 Km

26. Obélix empleó 5 horas para comerse 10 jabalíes de 600 Kg cada uno; ¿cuántas

horas precisará para dar cuenta de 12 jabalíes de 400 Kg cada uno?

10 jabalíes 600 Kg 5 horas

12 jabalíes 400 Kg x

Directa

Directa

;5

400

600

12

10

x ;

610

5412

x

325

5232

4

x ; x = 4 horas



27. Sabiendo que 3 trenes de 12 vagones cada uno pueden transportar 1800

pasajeros, ¿cuántos pasajeros pueden transportar 4 trenes de 10 vagones cada

uno?

3 trenes 12 vagones 1800 viajeros

4 trenes 10 vagones x

Directa

Directa

;1800

10

12

4

3

x ;

123

1800104

x

22

23

23

100032

x ; x = 2000 viajeros

28. Una taladradora perfora 15 metros cada día trabajando 8 horas diarias.

¿Cuánto perforarán 2 taladradoras trabajando 6 horas diarias?

1 taladradora 8 horas / día 15 metros

2 taladradoras 6 horas / día x

Directa

Directa

;15

6

8

2

1

x ;

8

1562 x

3

22

2

532 x ; x = 22.5 metros

29. A causa de los 90 pozos que extraían 40 Hm3 anuales de agua se han agotado

en 100 años los recursos hídricos de una zona. ¿Cuánto habrían tardado en

agotarse con 20 pozos extrayendo 5 Hm3?

90 pozos 40 Hm3 100 años

20 pozos 5 Hm3 x

Inversa

Inversa

;100

40

5

90

20

x ;

10

100409 x 10049 x ; x = 3600 años

30. Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000

piezas. ¿Cuántos días necesitará para fabricar 3000 piezas en turnos de 10

horas diarias?

8horas / día 1000 piezas 5 días

10 horas / día 3000 piezas x

Directa

Inversa

;5

3000

1000

8

10

x ;

10000

530008 x

10

538 x ;

52

5323

x ; x = 12 días



31. Si 3 grifos iguales tardan 5 horas en llenar un depósito de 10 m3, ¿en cuánto

tiempo llenarían un depósito de 8 m3 2 grifos como los anteriores?

3 grifos 10 m3 5 horas

2 grifos 8 m3 x

Directa

Inversa

;5

8

10

3

2

x ;

20

815 x

52

2532

3

x ; x = 6 horas

32. Hemos pagado 1800€ a un grupo musical por actuar 3 días en las fiestas del

barrio durante 2 horas diarias. ¿Cuántos días podremos pagar con 3600€ si

actúan durante 3 horas diarias?

1800€ 2 horas / día 3 días

3600€ 3 horas / día x

Inversa

Directa

;3

2

3

3600

1800

x ;

31800

323600

x

23

323

33

x ; x = 4 días

33. Un ciclista consumió 4800Kcal para completar 8 etapas de 30 Km cada una.

¿Cuántas Kcal necesitará para completar 5 etapas de 40 Km cada una?

8 etapas 30 Km / etapa 4800 Kcal

5 etapas 40 Km / etapa x

Directa

Directa

;4800

40

30

5

8

x ;

308

4800405

x

32

1005323

6

x ; x = 4000 Kcal

34. Por 5 días de trabajo con una jornada de 8 horas diarias me han pagado 480€.

¿Cuánto ganaré por 10 días si la jornada se reduce a 5 horas diarias?

5 días 8 horas / día 480€


Directa

Directa

;480

5

8

10

5

x ;

58

480105

x

52

3253

63

x ; x = 600€



35. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado

1000 Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas al

día?

5 días 8 horas / día 1000Kg


Directa

Directa

;1000

10

8

12

5

x ;

58

10001012

x

52

10005323

3

x ; x = 3000 Kg

36. Un ganadero necesita 750Kg de pienso para alimentar 50 vacas durante 10

días; ¿durante cuántos días podrá alimentar 40 vacas con 1800Kg de pienso?

750 Kg 50 vacas 10 días

1800 Kg 40 vacas x

Inversa

Directa

;10

50

40

1800

750

x ;

40750

10180050

x

475

18005

x ;

22

233

235

325

x ; x = 30 días

37. Para llenar un depósito hasta una altura de 0.80m se ha necesitado un caudal

de 20 litros por minuto durante una hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará

en llenarse el mismo depósito con un caudal de 15 litros/minuto hasta una

altura de 90cm?

80cm 20 l / m 4/3 horas

90cm 15 l / m x

Inversa

Directa

;3/4

20

15

90

80

x ;

31580

42090

x

532

52323

42

x ; x = 2 horas

38. Trabajando 8 horas diarias, 12 obreros terminan un trabajo en 25 días. ¿En

cuánto tiempo lo terminarían 5 obreros trabajando 10 horas al día?

12 obreros 8 h / día 25 días

5 obreros 10 h / día x

Inversa

Inversa

;25

8

10

12

5

x ;

105

12258

x

25

3252

52

x ; x = 48 días



39. Para conseguir una altura de agua de 80cm en una piscina se han necesitado

12 grifos funcionando 8 horas diarias, durante 4 días. ¿Cuántos días

necesitarían 6 grifos, funcionando 7 horas al día, para conseguir una altura de

140cm?

80 cm 12 grifos 8 horas / día 4 días

140 cm 6 grifos 7 horas / día x

Inversa

Inversa

Directa

;4

8

7

12

6

140

80

x ;

7680

4812140

x

4

8

237

237

x ; x = 16 días

40. En 12 días, 30 electricistas, trabajando 10 horas diarias, colocan 6Km de

tendido eléctrico. ¿Cuántos días necesitarían 25 electricistas para colocar 15Km

de tendido trabajando 8 horas al día?

30 hombres 10 horas / día 6 Km 12 días

25 hombres 8 horas / día 15 Km x

Directa

Inversa

Inversa

;12

15

6

10

8

30

25

x ;

6825

12151030

x

24

334

532

532

x ; x = 45 días

41. Para recorrer diariamente 100Km durante 5 días, 6 viajeros han abonado

1300€ en total. ¿Cuánto tendrán que pagar 8 viajeros para cubrir 120Km

durante 20 días?

100 Km 5 días 6 viajeros 1300€

120 Km 20 días 8 viajeros x

Directa

Directa

Directa

;1300

8

6

20

5

120

100

x ;

65100

1300820120

x

532

13532 28

x ; 13527 x ; x = 8320€



42. Para calentar 2 litros de agua desde 0º Centígrados a 20ºC se ha necesitado

1Kcal. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC, ¿cuántas

Kilocalorías son necesarias?

2 litros (+) 20º C 1Kcal

3 litros (+) 50º C x

Directa

Directa

;1

50

20

3

2

x ;

22

53

x X = 3.75 Kilocalorías

43. En una mina, una cuadrilla de 6 mineros abren una galería de 30 metros de

longitud en 17 días. Si otra cuadrilla tiene 17 mineros, ¿cuántos metros de

galerías abrirán en 30 días?

6 mineros 17 días 30 metros

17 mineros 30 días x

Directa

Directa

;30

30

17

17

6

x ;

176

303017

x

6

3030 x ; 305 x ; x = 150 metros

44. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600m2

de pared en 18 días. ¿Cuántos m2 construirán en 15 días, trabajando 8 horas

diarias?

10 horas 18 días 600m2

8 horas 15 días x

Directa

Directa

;600

15

18

8

10

x ;

1810

600158

x ;

18

60158 x

2

225

32

532

x ; x = 400m2

45. Un granjero ha necesitado 294 Kg de pienso para alimentar a 15 vacas

durante 7 días. ¿Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese

de 840 Kg de pienso?

294Kg 15 vacas 7 días

840Kg 10 vacas x

Inversa

Directa

;7

15

10

840

294

x ;

29410

715840

x ;

294

71584 x

2

222

732

7532

x ; x=30 días



46. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros

en 8 días. ¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12

horas diarias?

10 horas 1000 m 8 días

12 horas 600 m x

Directa

Inversa

;8

600

1000

10

12

x ;

1210

8610

x ;

12

86 x ;

32

322

4

x x= 4 días

47. Si se abren 3 bocas de riego con un caudal de 1.5 litros por segundo cada una,

un aljibe se vacía en 8 horas. ¿Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si

se abrieran 4 bocas de riego con un caudal de 0.9 litros por segundo cada una?

3 bocas 1.5 litros / sg 8 horas

4 bocas 0.9 litros / sg x

Inversa

Inversa

;8

5.1

9.0

3

4

x ;

9.04

85.13

x ;

94

8153

x ;

32

53222

23

x x = 10 horas

48. Cincuenta terneros consumen 4200 Kg de alfalfa a la semana. Calcular:

a) El consumo de alfalfa por ternero y día.

b) Los Kg de alfalfa necesarios para alimentar a 20 terneros durante 15 días

c) Los días que se podría alimentar a 10 terneros si se dispone de 600Kg de

alfalfa

Apartado a/

50 terneros 7 días 4200Kg

1 ternero 1 día x

Directa

Directa

;4200

1

7

1

50

x ;

750

4200

x ;

75

420

x ;

5

60x x= 12 días



Apartado b/

50 terneros 7 días 4200Kg

20 terneros 15 días y

Directa

Directa

;4200

15

7

20

50

y ;

750

15204200

y ;

75

1524200

y ;

75

7532100 22

y y = 3600 Kg

Apartado c/

50 terneros 4200Kg 7 días

10 terneros 600Kg z

Directa

Inversa

;7

600

4200

50

10

z ;

420010

760050

z ;

42

765 z z = 5 días

49. En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600

chaquetas en diez días. Calcular:

a) La cantidad de prendas que se fabricarían con 5 máquinas en 15 días.

b) El número de máquinas necesarias para fabricar 750 prendas en 15 días.

c) Los días que se tardarían en fabricar 750 prendas trabajando sólo con 5

máquinas.

Apartado a/

6 máquinas 10 días 600 chaquetas

5 máquinas 15 días x

Directa

Directa

;600

15

10

5

6

z ;

60

600155 z ;10155 z z = 750 chaquetas

Apartado b/

10 días 600 chaquetas 6 máquinas

15 días 750 chaquetas y

Directa

Inversa



;6

750

600

10

15

y ;

60015

675010

y ;

15

75y y = 5 máquinas

Apartado c/

6 máquinas 600 chaquetas 10 días

5 máquinas 750 chaquetas z

Directa

Inversa

;10

750

600

6

5

x ;

6005

107506

z ;

5

75z z = 15 días

50. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado

1000Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas

diarias?

8 horas 5 días 1000Kg

10 horas 12 días x

Directa

Directa

;1000

12

5

10

8

x ;

58

10001210

x ;

104

1000034

x x = 3000Kg de ropa

51. Una alfombra sintética, de 1.80m de larga por 90cm de ancha, ha costado 72€.

¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3m de larga y

1.20m de ancha?

1.8 m 0.9m 72€

3 metros 1.2m x

Directa

Directa

;72

2.1

9.0

3

8.1

x ;

9.08.1

722.13

x ;

918

1072123

x ;

32

5324

46

x ;525 x x = 160€

52. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un

estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 9

encuestadores trabajando 10 horas al día?

5 encuestadores 8 horas 27 días

9 encuestadores 10 horas x

Inversa

Inversa

;27

8

10

5

9

x ;

109

2785

x ;

325

3252

33

x ;322 x x = 12 días



REPARTOS PROPORCIONALES

53. Repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a las edades de 3,

5 y 12 años.

Sean x, y z las partes que le corresponderán a 3, 5 y 12 años, respectivamente.

1ª forma de solucionarlo:

Calculando cada parte, una a una:

50 → x=3·50=150

→

→

2ª forma de hacerlo:

→ → →

Es decir:

150€ al de 3 años 250€ al de 5 años 600€ al de 12 años 150+250+600=1000€

54. Repartir 320 euros a 3 personas de edades 2, 5 y 10, de forma inversamente

proporcional.

Sean a,b,c las cantidades correspondientes a 2, 5 y 10 años, respectivamente.

1ª forma de solucionarlo:

2ª forma de hacerlo:



55. Se va a repartir una herencia de 5 780 000 euros que deja un adinerado

abuelo a sus tres nietos de 4, 6 y 18 años, en función de sus edades. Calcular

cuánto le toca a cada uno, tanto si el reparto es directamente proporcional a las

edades, como si lo es inversamente.

REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

4 años → a

6 años → b

18 años → c

le corresponde al nieto de

4 años

le corresponde al nieto de 6 años

le corresponde al nieto de 18 años

Si sumamos las tres cantidades:

=5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.

Observemos que el nieto mayor tiene el triple de edad que el pequeño, y le

corresponde exactamente el triple de dinero.

SI LO RESOLVEMOS CON LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD k:

Respectivamente:

El resultado al que llegamos es, obviamente, el mismo.

REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL

4 años → x

6 años → y

18 años → z

euros le corresponden al

nieto de 4 años

euros le corresponden al nieto de 6 años

euros le corresponden al nieto de 18 años



Si sumamos las tres cantidades: = 5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.

Vemos que al pequeño, que tiene un tercio de la edad del mediano, le corresponde el

triple exacto que a éste.

SI LO RESOLVEMOS CON LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD k:

Obviamente, es el mismo resultado.

¡ATENCIÓN!

La cantidad que le corresponde al mayor cuando se reparte de forma

directamente proporcional NO es la misma que le corresponde al

pequeño cuando se reparte de forma inversamente proporcional; etc.

56. Las edades actuales de 2 hermanos son 5 y 8 años, respectivamente. ¿Al cabo

de cuántos años sus edades estarán en razón de 3:4?

Si los años que faltan son x:

Dentro de 4 años

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