MEDIDAS COMPLEMENTARIAS DE VERANO...

MEDIDAS COMPLEMENTARIAS DE VERANO MAT2

0 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

OPERACIONES

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (+3) + (–2) · (+5) = b) (– 5) + (+20) : (– 4) – (–3) =

c) [(– 5) – (–3)] – [ – ( –4) – (– 7)] = d) (– 4) + (– 7) · (–2) =

e) (+4) : (–2) + (+8) : (+2) + (+6) · [(+4) + ( –5)] = f) (–8) · (+2) – (+4) – [(–5) + (+2)] =

2. Expresa como una sola potencia o una sola raíz:

a) 5 · 52 · 5

3 = b) 3

8 : 3

6 · 9 = c) (2

3)2 =

d) (-2)5 · 3

5 = e) 121

4 : 11

2 = f) 7

8 : 7 · 7

3 =

g)

h) i)

3. Opera paso a paso y da el resultado en fracción irreducible.

a)

b)

c)

d)

4. El medidor de tiempos de una máquina indica que un trabajo se terminó en 15.754 segundos.

Exprésalo en horas, minutos y segundos.

5. En un ejercicio de velocidades y tiempos, la calculadora da como resultado 4’57 horas. ¿Cuál será

su expresión compleja?

6. Realiza las siguientes operaciones entre monomios:

a) –x2 + x + x

2 + x

3 + x= b) 8xy

2 – 5x

2y + x

2y - xy

2 =

c) 8x2 – x + 9x + x

2 = d) 2x

2 · 4x

3 · 5x

6=

e) –3x2 · xyz · 6y

3 · x

2= f) 10x

4yz

2 : 5xyz=

g) 15x3 : 5 x

2 =

h) –8x

3y

2 : 2x

2y=

7. Extrae factor común en las siguientes expresiones:

a) b) c) d)



8. Desarrolla las siguientes igualdades notables:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

9. Expresa como una igualdad notable.

a) b) c)

d) e) f)

10. Resuelve las ecuaciones:

a) b) c)

d) e)

f) g)

h) i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

y) z) aa)

11. Dadas las dos siguientes funciones,

a) Da la pendiente y la ordenada en el origen.

b) Represéntala.

c) Indica qué tipo de función es.

122 xx 144 2 xx252 x

122 xx25102 xx

24 94 xx

10271532 xxxx 4523 xx 10271532 xxxx

)1(4)2(2)12(4)53(253 xxxxx 32)3(2)3( xxx

)1(4)2(2)12(4)53(253 xxxxx 5)5(32)3(4 xxx

3'7)3(5'2)32(4'0)1(23'0 xxxx 5)5(32)3(4 xxx

52

5

3

2

2

3

xxx 062 xx5

2

5

3

2

2

3

xxx

0962 xx 0372 2 xx 0862 xx

032 xx 0492 x 02 xx

0962 xx 032 xx 0923 22 xxxx

0923 22 xxxx 04 2 xx 015 2 x



12. Resuelve por los 3 métodos:

a)

b) c)

d) e)

f)

PROBLEMAS

13. Si los 3/4 de los alumnos de un instituto van a él andando, 1/5 en autobús y el resto en coche, ¿qué

fracción representan los del coche? Si en el instituto hay 600 alumnos matriculados, ¿cuántos

alumnos vienen en cada medio?

14. Laura ha hecho hoy 43’5 kg de pasta y la quiere empaquetar en cajas de 0’250 kg. ¿Cuántas cajas

necesita Laura?

15. En una fábrica de refrescos se preparan 4138’2 litros de refresco de naranja y se envasan en botes

de 0’33 l. ¿Cuántos botes se necesitan?

16. Dos hermanos tienen 11 y 9 años, y su madre 35. Halla el número de años que han de pasar para

que la edad de la madre sea igual a la suma de las edades de los hijos.

17. Encuentra el valor de los ángulos de un triángulo sabiendo que la diferencia entre dos de ellos es de

20º y que el tercer ángulo es el doble del menor.

18. Una parcela rectangular tiene 123 metros de perímetro y es doble de larga que de ancha. ¿Qué

superficie tiene la parcela?

19. En una excursión hay 141 entre alumnos y alumnas de un colegio. El número de chicas es doble

que el de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas van?

20. Un total de 6 hamburguesas y 2 refrescos cuestan 20 €. Lo mismo que 4 hamburguesas y 8

refrescos. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa?

21. El caudal de un grifo es de 22 litros/minuto. ¿Qué tiempo se necesitará para llenar un depósito de

5’5 m3?

22. Cinco fontaneros instalan los cuartos de baño de una urbanización en 16 días. ¿Cuántos fontaneros

debe emplear el constructor si quiere terminar la obra en 10 días?

23. Para transportar trigo se necesitan 25 camiones empleando 12 días. Es necesario hacer el

transporte en 5 días. Si todos los camiones hacen el mismo trabajo, ¿cuántos camiones se

necesitarán?

24. En una oferta de un comercio de electrodomésticos nos descuentan el 15 % de un frigorífico cuyo

precio es de 475 €. En un segundo comercio, el mismo frigorífico está marcado en 545 € y nos

descuentan la cuarta parte. ¿Dónde conviene comprarlo?

25. María, Rubén y Marta, de 2, 3 y 4 años, respectivamente, se han quedado solos unos instantes que

han aprovechado para trocear en 72 partes la tarta de cumpleaños de Marta. Su madre quiere

1323

7

32

1

2

13

4

3

yyx

xyyx

16

332

yx

yx

1232523

391432

yxyx

yxyx

872

50

yx

yx

1035

673

yx

yx

1323

7

32

1

2

13

4

3

yyx

xyyx



repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Cuántos trozos les tocan a cada

uno?

26. Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en febrero.

¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros?

27. Una escalera está apoyada a 9 metros de altura sobre una pared vertical. Su pie se encuentra a 3’75

m de la pared. ¿Cuánto mide la escalera? Haz el dibujo.

28. Dibuja y calcula el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3’9 cm y 5’2 cm.

29. Dibuja y calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 9 cm.

30. Una gran plaza en forma de hexágono regular tiene 15 m de lado. ¿Cuánto costará el pavimento de

toda ella si el m2 cuesta 18’50 €? Haz un dibujo.

31. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un

poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros. Haz un dibujo.

32. ¿Cuál es la distancia entre el chico

y la base de la torre (el chico ve la

torre reflejada en el agua)?

33. El bañista se encuentra a 5 metros del

barco. La borda del barco está a 1 metro

sobre el nivel del mar. El mástil del barco

sobresale 3 metros de la borda. El bañista

ve alineados los extremos del mástil y el

foco del faro.

34. Una catedral tiene como cúpula una semiesfera de 20 metros de diámetro; se quiere restaurar, al

precio de 125€/metro cuadrado; ¿cuánto dinero costará la reparación?

35. Tengo una piscina de 2 metros de profundidad, 5 de ancho y 15 de largo. Quiero pintarla antes de

abrirla; me cuesta 2 euros el metro cuadrado. ¿Cuánto pagaré por la pintura? Luego llenarla me

cuesta 10 céntimos el litro. ¿Cuánto me costará llenarla?

EJERCICIOS RESUELTOS MAT 2

ejercicios y problemas resueltos | DPTO. DE MATEMÁTICAS - NSP

1. Calcula:

−25: (3 + 6: 3) − (−1 · 6 + 5 · 2)== -25 : 5 – (10 – 6) = -5 – (10 – 6) = -5 – 4 = -9

2. Primero saca factor común, y luego calcula:

a) 35 + 15 – 10 = 5(7+3-2)=40 b) 8 + 12 – 6= 2 (4+6-3) = 14

3. Dados los siguientes ángulos:

�̂� = 37025′41′′ �̂� = 111055′48′′

Complementario de �̂�:

89º 59' 60''

37º 25' 41''

52º 34' 19''

Suplementario de �̂�

179º 59' 60''

111º 55' 48''

68º 4' 12''

4. Reduce a única potencia (si se puede):

a) (103: 53): 24= 2³: 2⁴ = 2= 2-1 = 1

2¹=

1

2

b) (8 − 6)2 · (2 · 3)2= 2² · 62 = 12²

c) 32 + 32= 9 + 9 = 18

d) 130= 1

e) (3−1)−5= 3⁵

f) 259: [58 · (52)4]= (5²)⁹: (5⁸ · 5⁸) = 5¹⁸: 5¹⁶ = 5²

5. Calcula las siguientes raíces:

a) √121= 11 b) √120= √(2³ · 3 · 5) = 2√(2 · 3 · 5) = 2√30



PROBLEMAS:

6. En el plano de una finca, cuya escala es 1:1000, la distancia entre dos árboles es

de 5 cm; ¿cuál es la distancia real?

1

1000=

5

𝑥; 𝑥 = 5000𝑐𝑚 = 50𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

7. Halla la altura del árbol

𝑥

12=

1,5

2,25;

𝑥 =(1,5 · 12)

2,25;

𝑥 = 8𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

8. Calcula la distancia que tiene

que saltar Spiderman para

llegar a lo más alto de un

rascacielos de 50 metros de

altura, del que le separan 120

metros.

𝑥² = 120² + 50²;

𝑥² = 14400 + 2500;

𝑥 = √16900 = 130𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠



9. Calcula la superficie de la base, la lateral, la total y el volumen de un cono de 3

metros de radio y 4 de altura.

Hemos de hallar la generatriz para la superficie lateral:

𝑔² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25; 𝑔 = √25 = 5𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

Entonces:

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟² = 𝜋 · 3² = 9𝜋𝑚²

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9𝜋 + 15𝜋 = 24𝜋𝑚²

𝑆𝑙𝑎𝑡 = 𝜋𝑟𝑔 = 15𝜋𝑚²

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =(𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

3=

(9𝜋 · 4)

3= 12𝜋𝑚³

10. Una ONG quiere perforar un gran pozo cilíndrico para sacar agua en un

remoto paraje africano. Si el agujero tiene 5 metros de radio y 40 de profundidad,

calcula el volumen de arena que se ha de excavar. Si luego se quiere revestir el

agujero con ladrillos, calcula cuánto costará a un precio de 10 dólares el metro

cuadrado.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 25𝜋 · 40 = 1000𝜋 = 3,14 · 1000 = 3140𝑚³𝑑𝑒𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎

Hay que hallar la superficie lateral más la de la base:

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟² = 𝜋 · 25 = 25𝜋𝑚²

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25𝛱 + 400𝛱 = 425𝛱𝑚²

𝑆𝑙𝑎𝑡 = 2𝜋𝑟 · ℎ = 2 · 5 · 40 · 𝜋 = 400𝜋𝑚²

Ahora calculamos el coste:

𝑐𝑠𝑡𝑒 = 425𝛱 · 10 = 4250𝛱 = 4250 · 3,14 = 13345𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

11. Calcula el área de la cúpula semiesférica de una catedral, con 20 metros

de diámetro.

𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =(4𝛱𝑟²)

2= 2𝛱𝑟² = 2 · 10² · 𝛱 = 200𝛱𝑚²



OPERACIONES

1. (1

2+

1

2³): (6 −

7

4: 2) −

1

41·

5

4= (

1

2+

1

8): (6 −

7

8) −

5

164=

5

8:

41

8−

5

164=

5

41−

5

164=

20−5

164=

15

164

2. 52 − 22 · √(42 + 9)= 25 − 4 · √(16 + 9) = 25 − 4 · √25 = 25 − 4 · 5 = 25 − 20 = 5

3. Calcula las fracciones generatrices de:

a) 1,23 b) 1, 23̂ c) 1,23̂

Sol: 123

100 Sol:

122

99 Sol:

37

30

4. Dados los siguientes polinomios, opera:

POLINOMIOS

𝑃(𝑥) = 3𝑥² − 𝑥 + 1

𝑄(𝑥) = 5 − 2𝑥

𝑅(𝑥) = 5 + 2𝑥

𝑆(𝑥) = 3𝑥

𝑇(𝑥) = 9𝑥³ + 6𝑥² − 6𝑥

OPERACIONES

(a) [𝑄(𝑥)]²=

(b) [𝑅(𝑥)]²=

(c) 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=

(d) 𝑆(𝑥) · 𝑃(𝑥) − 𝑇(𝑥)=

(e) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=

(f) [𝑇(𝑥)]

[𝑆(𝑥)]=

(g) 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)=

(h) 𝑇(−2)=

SOLUCIONES

a) (5 − 2𝑥)2 = 25 + 4𝑥2 − 20𝑥

b) (5 + 2𝑥)2 = 25 + 4𝑥2 + 20𝑥

c) (5 − 2𝑥)(5 + 2𝑥) = 25 − 4𝑥2

d) 3𝑥(3𝑥2 − 𝑥 + 1) − (9𝑥3 + 6𝑥2 − 6𝑥) = 9𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 9𝑥3 − 6𝑥2 + 6𝑥 = −9𝑥2 + 9𝑥

e) 3𝑥2 − 𝑥 + 1 − 25 + 4𝑥2 = 7𝑥2 − 𝑥 − 24

f) 9𝑥3+6𝑥2−6𝑥

3𝑥= 3𝑥2 + 2𝑥 − 2

g) 9 · (−2)3 − 6(−2)2 − 6(−2) = −72 + 24 + 12 = −36

h) 5 − 2𝑥 − (5 + 2𝑥) = 5 − 2𝑥 − 5 − 2𝑥 = −4𝑥



5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(𝑥 − 5)

6=

(𝑥 − 1)

9−

(𝑥 − 3)

4;

6(𝑥 − 5) = 4(𝑥 − 1) − 9(𝑥 − 3);

6𝑥 − 30 = 4𝑥 − 4 − 9𝑥 + 27;

6𝑥 − 30 = −5𝑥 + 23;

11𝑥 = 53; 𝑥 =53

11

(2𝑥 + 1)

2+

7

10=

(3𝑥 − 16)

5;

5(2𝑥 + 1) + 7 = 2(3𝑥 − 16);

10𝑥 + 5 + 7 = 6𝑥 − 32;

10𝑥 − 6𝑥 = −32 − 12;

4𝑥 = −44; 𝑥 =−44

4; 𝑥 = −11

3𝑥² − 27 = 0;

3𝑥2 = 27; 𝑥2 =27

3;

𝑥2 = 9; 𝑥 = √9; 𝑥 = ±3

𝑥² − 𝑥 = 6; 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0;

𝑥 =1 + √1 + 24

2;

𝑥 =1 ± 5

2; 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2

5𝑥 + 𝑥² = 6; 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0;

𝑥 =−5 + √25 + 24

2;

𝑥 =−5 ± 7

2; 𝑥1 = −6; 𝑥2 = 1

𝑥² − (𝑥 − 1) = 1; 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 = 0;

𝑥2 − 𝑥 = 0; 𝑥(𝑥 − 1) = 0;

𝑥1 = 0; 𝑥 − 1 = 0; 𝑥2 = 1

PROBLEMAS

6. Dos triángulos tienen un ángulo que mide lo mismo, 25º. Dos lados de cada uno de ellos

miden 7 cm y 10 cm, mientras que en el segundo triángulo, uno de los lados que forman

ese ángulo de 25º mide 14 cm. ¿Cuánto deberá medir el lado del segundo triángulo para

que los dos triángulos sean semejantes? Dibuja la figura.

10

7=

𝑥

14; 𝑥 =

10 · 14

7; 𝑥 = 10·2; x=20 cm



7. Dibuja una pirámide regular cuya base es un octógono de 4 cm de lado y 5 cm de

apotema. La altura de la pirámide mide 1,2 dm; calcula la superficie de la pirámide (base,

lateral y total) y el volumen. (NOTA: la fórmula del área del octógono es la misma que la

del hexágono).

Empezamos por hallar la apotema lateral:

𝑎𝑝 = √52 + 122 = √25 − 144 = √169 = 13𝑐𝑚

SUPERFICIE TOTAL= SB + SLAT

𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 80 + 208 = 288𝑐𝑚2

𝑆𝑢𝑝𝐵𝑎𝑠𝑒 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 · 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒

2;

𝑆𝐵𝑎𝑠𝑒 =4 · 8 · 5

2= 80𝑐𝑚2

𝑆𝐿𝐴𝑇 =4 · 13

2· 8 = 208𝑐𝑚2

VOLUMEN

𝑣 =𝑠𝐵𝐴𝑆𝐸 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3=

80 · 12

3

𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 = 320𝑐𝑚3

8. Los vecinos de una comunidad se reúnen para decidir si ponen un ascensor. Hay 3 / 4 de

ellos que están a favor, y la mitad de los restantes están en contra. Hay 8 vecinos que se

abstienen. ¿Cuántos vecinos hay en la comunidad?

1 − (3

4+

1

2·

1

4) = 1 − (

3

4+

1

8) = 1 −

7

8=

1

8

Si 1

8 son 8 vecinos; entonces

1

8→ 8𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑥

8= 8; 𝑥 = 64 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠

1 → 𝑥

9. El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm; si el lado desigual mide 4 cm menos

que los lados iguales, ¿cuánto mide cada lado?

20 = 2𝑥 + 𝑥 − 4; 20 = 3𝑥 − 4; 24 = 3𝑥; 𝑥 = 8

Los tres lados miden 8 cm, 8 cm y 4 cm.



10. Elena tiene 4 años más que su hermano Javier; hace 6 años ella tenía el doble de edad

que la que tenía su hermano entonces. ¿Qué edad tienen cada uno hoy?

Hoy -6

Elena 𝑥 + 4 𝑥 + 4 − 6 = 𝑥 − 2

hermano 𝑥 𝑥 − 6

2(𝑥 − 6) = 𝑥 − 2; 2𝑥 − 12 = 𝑥 − 2:

2𝑥 − 𝑥 = 12 − 2; 𝑥 = 10

Hoy tienen 10 y 14 años

11. En un rectángulo cuyo área es de 168 cm², el base mide 2 cm más que la altura. Dibújalo

y halla el perímetro.

La base mide 𝑥 + 2y la altura 𝑥:

𝐴𝑟𝑒𝑎 → 𝑥(𝑥 + 2) = 168; 𝑥2 + 2𝑥 − 168 = 0; 𝑥 =−2 ± √4 + 672

2=

−2 ± 26

2;

𝑥1 =28

2= 14𝑐𝑚 despreciamos el valor negativo de x2 porque no tiene sentido

Los lados miden 12 y 14 cm; 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2(14 + 12) = 52𝑐𝑚

12. Un lado del carnet de la biblioteca mide 3 cm más que el otro, y la diagonal del

rectángulo del carnet mide 6 cm más que el primer lado. Haz un dibujo y calcula el área del

carnet.

Lo resolvemos por el teorema de Pitágoras, donde los catetos miden 𝑥y 𝑥 + 3, y la diagonal

del rectángulo (la hipotenusa), mide 𝑥 + 6

(𝑥) + (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 6)2; 𝑥2 + 𝑥2 + 9 + 6𝑥 = 𝑥2 + 36 + 12𝑥;

2𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 0; 𝑥2 − 6𝑥 − 27 = 0;

𝑥 =6±√36+108

2=

6±12

2=

6+12

2= 9𝑐𝑚(despreciamos el valor negativo de 𝑥)

Entonces, la altura mide 9 cm, la base 12 cm y la diagonal 15 cm:

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒𝑡 = 9 · 12 = 108𝑐𝑚2



1. 32 − 22 · √52 − 42 = 9 − 4 · √25 − 16 = 9 − 4 · √9 = 9 − 4 · 3 = 9 − 12 = −𝟑

¡ATENCIÓN! Recuerda que NO puedes restar 9-4 antes de multiplicar 4 por la raíz.

2. Calcula las fracciones generatrices de:

a) 1,24 b) 1,24̂ c) 1, 24̂

1,24 =124

100=

𝟑𝟏

𝟐𝟓

100𝑥 = 124, 4̂

10𝑥 = 1,24̂

90𝑥 = 112

𝑥 =112

90=

𝟓𝟔

𝟒𝟓

100𝑥 = 124, 24̂

𝑥 = 1, 24̂

99𝑥 = 123

𝑥 =123

99=

𝟒𝟏

𝟑𝟑

3. Dados los siguientes polinomios, opera:

POLINOMIOS

𝑃(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 2

𝑄(𝑥) = 3 − 𝑥

𝑅(𝑥) = 3 + 𝑥

𝑆(𝑥) = 2𝑥

𝑇(𝑥) = 8𝑥³ + 6𝑥² − 6𝑥

OPERACIONES

(a) [𝑄(𝑥)]²= 𝟗 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙

(b) [𝑅(𝑥)]²= 𝟗 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙

(c) 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)= (3 − 𝑥)(3 + 𝑥) = 𝟗 − 𝒙𝟐

(d) 𝑆(𝑥) · 𝑃(𝑥) + 𝑇(𝑥)= 2𝑥(𝑥2 − 𝑥 + 2) + (8𝑥3 + 6𝑥2 − 6𝑥) =

2𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 8𝑥3 + 6𝑥2 − 6𝑥 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

(e) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) · 𝑅(𝑥)=

𝑥2 − 𝑥 + 2 − (9 − 𝑥2) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 − 9 + 𝑥2 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟕

(f) [𝑇(𝑥)]

[𝑆(𝑥)]=

8𝑥3+6𝑥2−6𝑥

2𝑥= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑

(g) 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)= 3 − 𝑥 − (3 + 𝑥) = 3 − 𝑥 − 3 − 𝑥 = −𝟐𝒙

(h) 𝑇(2)= 8 · 23 + 6 · 22 − 6 · 2 = 64 + 24 − 12 = 𝟕𝟔

(i) 𝑃(−1) = (−1)2 − (−1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 𝟒

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

𝟑𝒙

𝟐− 𝟏 =

𝟑𝒙 + 𝟐

𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟑; 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 𝟗𝒙 = 𝟑𝒙𝟐



6𝑥 − 4 = 3𝑥 + 2

3𝑥 = 6; 𝑥 =6

3; 𝒙 = 𝟐

𝑥 =−2 ± √22 − 4 · 1 · (−3)

2=

−2 ± √4 + 12

2=

−2 ± 4

2;

𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏

3𝑥2 − 9𝑥 = 0;

𝑥(3𝑥 − 9) = 0;

𝒙𝟏 = 𝟎; 3𝑥 − 9 = 0

3𝑥 = 9; 𝑥 =9

3; 𝒙𝟐 = 𝟑

𝒙

𝟑+

𝟒

𝟏𝟓− 𝒙 =

𝟏

𝟔−

𝟕𝒙

𝟏𝟎;

10𝑥 + 8 − 30𝑥 = 5 − 21𝑥;

−20𝑥 + 8 = 5 − 21𝑥;

21𝑥 − 20𝑥 = 5 − 8;

𝒙 = −𝟑

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎;

𝑥 =5 ± √52 − 4 · 1 · 6

2=)

5 ± √25 − 24

2=

5 ± √1

2=

5 ± 1

2

𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = 𝟐

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎;

𝑥2 = 10 + 10; 𝑥2 = 20

𝑥 = √20 = √22 · 5

𝒙 = ±𝟐√𝟓

𝑿𝟏 = 𝟐√𝟓; 𝑿𝟐 = −𝟐√𝟓

5. En un mapa de escala 1:4 500 000 la distancia entre Málaga y Melilla es de 46 mm. ¿Cuál

es la distancia real?

Por otro lado, la distancia real entre Ceuta y Málaga es de 121 km; ¿cuál será la distancia

en el mapa?

1

45 · 105=

46

𝑥; 𝑥 = 46 · 45 · 105𝑚𝑖𝑙í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 =

46 · 45 · 105

106𝑘𝑚 = 46 · 4,5 𝑘𝑚 = 𝟐𝟎𝟕 𝒌𝒊𝒍ó𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

1

45 · 105=

𝑥

121; 𝑥 =

45 · 105𝑘𝑚

121=

45 · 102𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

121= 0,372𝑚 = 𝟑𝟕𝟐𝒎𝒎 = 𝟑𝟕, 𝟐𝒄𝒎

6. Dibuja el esquema de un sótano cuya superficie es de 208 m2, que se ha inundado con

las recientes lluvias en la zona, llegando el agua hasta 1,65 metros de altura. Los bomberos

han llegado con una bomba que extrae el agua a razón de 600 litros por minuto. ¿Cuánto

tardarán en vaciarlo?

𝑆𝐵𝐴𝑆𝐸 = 208𝑚2;

ℎ = 1,65𝑚

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑉 = 208𝑚2 · 1,65𝑚

= 343,2𝑚3

1 𝑚3 = 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑉 = 343,2𝑚3 = 343200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =343200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

600 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜⁄

= 𝟓𝟕𝟐 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔



7. Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto; y el miércoles su

familia termina el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tenía el jardín?

Este problema se puede resolver de 2 formas: con fracciones y con ecuaciones:

FRACCIONES todo = 1 ECUACIONES todo = x

1 − (2

7+

3

5·

5

7) = 1 − (

2

7+

3

7) = 1 −

5

7=

2

7

2/7 son los 20 rosales; entonces:

27⁄ −→ 20

1−→ 𝑥

2𝑥

7= 20; 𝑥 =

7 · 20

2= 70

𝑥 =2

7𝑥 +

3

5·

5

7+ 20; 𝑥 =

2𝑥

7+

3𝑥

7+ 20;

7𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥 + 140;

7𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 140; 2𝑥 = 140; 𝑥 =140

2;

𝑥 = 70

El jardín tenía 70 rosales

8. Mis abuelos quieren repartir 180 euros entre sus tres nietos, de modo que el mayor reciba

el triple que el mediano, y éste el doble que el pequeño; ¿cuánto nos va a tocar a cada uno?

Pequeño x

Mediano 2x

Mayor 3·2x=6x

𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 = 280;

9𝑥 = 280;

𝑥 =280

9= 20€

Pequeño= x=20€

Mediano=2x=40€

Mayor=6x=120€

9. La edad de mi abuela es seis veces la de mi hermana Ana, pero dentro de 8 años sólo

será el cuádruple; ¿qué edad tiene cada una hoy?

Hoy + 8 años

Ana x X+8

abuela 6x 6x+8

4(𝑥 + 8) = 6𝑥 + 8

4𝑥 + 32 = 6𝑥 + 8;

−2𝑥 = −24;

𝑥 =−24

−2= 12

Ana tiene hoy 12 años, y

su abuela, 72 años.

10. Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo número

disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata? Razona todas las posibles

soluciones.



¡ 𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝑶𝑻𝑨𝑩𝑳𝑬! (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 55; 𝑥2 − 9 = 55; 𝑥2 = 64; 𝑥 = √64; 𝒙 = ±𝟖

El número puede ser el 8 y también el -8

11. Dibuja y calcula el perímetro de un rectángulo de 120 cm2 de área si mide 7 cm más

de largo que de ancho.

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑥(𝑥 + 7) = 120; 𝑥2 + 7𝑥 − 120 = 0;

𝑥 =−7 ± √72 − 4 · 1 · (−120)

2=

−7 ± √49 + 180

2=

−7 ± √529

2=

−7 ± 23

2

𝑥1 =−7 − 23

2=

−30

2= −15;

𝑥2 =−7 + 23

2=

16

2= 8 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

Despreciamos el resultado negativo por absurdo (el lado NO puede medir – 15 cm).

Mide 8 cm de altura y 15 de base; por tanto: Perímetro= suma de los lados

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑃 = 2(8 + 15) = 2 · 23 = 𝟒𝟔 𝒄𝒆𝒏𝒕í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐

Base=x+

7

Altura=x



1. Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad;

proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

𝑥

8=

𝑦

12=

𝑧

16=

450

8 + 12 + 16=

450

36=

75

6

𝑥

8=

75

6; 6𝑥 = 75 · 8; 𝑥 =

75 · 8

6=

25 · 3 · 4 · 2

3 · 2= 100€

𝑦

12=

75

6; 6𝑦 = 75 · 12; 𝑥 =

75 · 12

6= 75 · 2 = 150€

𝑧

16=

75

6; 6𝑧 = 75 · 16; 𝑥 =

75 · 16

6=

25 · 3 · 4 · 2 · 2

3 · 2= 200€

2. Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus

edades, que son 3, 5 y 6.

𝑥

13⁄

=𝑦

15⁄

=𝑧

16⁄

=420

13 +

15

+16

=420

2130

=420

710

=420 · 10

7= 600

𝑥

13⁄

= 600; 𝑥 =600

3= 200€

𝑦

15⁄

= 600; 𝑦 =600

5= 120€

𝑧

16⁄

= 600; 𝑧 =600

6= 100€

3. Un grifo que mana 18 litros de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un

depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 litros por minuto?

Es inversamente proporcional

18 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚 − − − − − 14 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

7 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚 − − − − − 𝑥

18 · 14 = 7𝑥

𝑥 =18 · 14

7=

18 · 7 · 2

7= 36 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

4. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de

alumnos ha ido de viaje?

Se puede resolver de dos formas:

600

800=

𝑥

100; 𝑥 =

600 · 100

800=

6

8=

3

4= 75% 800𝑥 = 600; 𝑥 =

600

800=

3

4= 0,75 → 75%



5. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del

7,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

Si nos descuentan el 7,5% es que pagamos: 100-7,5=92,5%

8800 · 0,925 = 8140€

6. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se

ha comprado en 80 €, halla el precio de venta.

80 · 1,15 = 92€

7. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3,5%.

𝑖 =𝑐 · 𝑟 · 𝑡

100; 𝑖 =

10000 · 3,5 · 0,5

100= 100 · 3,5 · 0,5 = 35 · 5 = 175€;

Se convertirá en 10000+175=10175€

8. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25.000 € al 5% para que

se convierta en 30.000 €?

𝑖 =𝑐 · 𝑟 · 𝑡

100; 100𝑖 = 𝑐𝑟𝑡; 𝑡 =

100𝑖

𝑐𝑟=

100 · 5000

25000 · 5=

100 · 5

25 · 5= 4 𝑎ñ𝑜𝑠

9. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que

su base es el triple de su altura?

2(𝑥 + 𝑦) = 16

𝑦 = 3𝑥

𝑥 + 𝑦 = 8

3𝑥 − 𝑦 = 0

4𝑥 = 8; 𝑥 = 2

𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑑𝑒 2𝑐𝑚, 𝑦 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 6𝑚

𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 → 𝐴 = 2 · 6 = 12𝑐𝑚2

10. Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos

cerdos y pavos hay?

Pavos x; cerdos y

𝑥 + 𝑦 = 58 𝑥 + 𝑦 = 58

2𝑥 + 4𝑦 = 168 −𝑥 − 2𝑦 = −84

−𝑦 = −26; 𝑦 = 26

𝑥 = 58 − 𝑥; 𝑥 = 58 − 26; 𝑥 = 32

Hay 32 pavos y 26 cerdos

11. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años, y hace

5 años la edad del padre era el triple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen hoy?

Altura=x

Base=y



HOY -5 años

Padre x x-5

Hijo y y-5

𝑥 + 2𝑦 = 120 𝑥 + 2𝑦 = 120 𝑥 + 2𝑦 = 120

3(𝑦 − 5) = 𝑥 − 5 3𝑦 − 15 = 𝑥 − 5 −𝑥 + 3𝑦 = 10

𝑦 = 130; 𝑦 = 26

𝑥 = 120 − 2𝑦; 𝑥 = 120 − 52; 𝑥 = 68; Hoy, el hijo tiene 26 años, y su padre, 68 años

1. Calcula:

a) √62+(−7)(−2)

√−1+3=

√36 + 14

2= √

50

2= √25 = ±𝟓

b) 7

8−

3

4: [(

1

3−

1

5) ·

3

4+

1

5] =

7

8−

3

4: (

2

15·

3

4+

1

5) =

7

8−

3

4: (

1

10+

1

5) =

7

8−

3

4:

3

10=

7

8−

10

4=

−𝟏𝟑

𝟖

c) 122·128:610

(2−3)−4 =1210:610

212 =210

212 =1

22 = 𝟐−𝟐 =𝟏

𝟐𝟐 =𝟏

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟓

2. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

a) 1.28

𝑥 =128

100=

𝟑𝟐

𝟐𝟓

b) 1.28̂

100𝑥 = 128, 28̂

𝑥 = 1, 28̂

99𝑥 = 127;

𝑥 =𝟏𝟐𝟕

𝟗𝟗

c) 1.28̂

100𝑥 = 128, 8̂

10𝑥 = 12, 8̂

90𝑥 = 116

𝑥 =116

90=

𝟓𝟖

𝟒𝟓



3. Resuelve las siguientes ecuaciones y el sistema de ecuaciones:

a) 4𝑥2 = 16

4𝑥2 = 16; 𝑥2 =16

4= 4

𝑥 = √4 = ±𝟐

b) 𝑥−5

3−

4−𝑥

2=

𝑥+1

3

2𝑥 − 10 − 12 + 3𝑥 = 2𝑥 + 2;

3𝑥 = 24; 𝑥 =24

3; 𝒙 = 𝟖

c) 4𝑥2 = 16𝑥

4𝑥2 − 16𝑥 = 0;

𝑥(4𝑥 − 16) = 0;

4𝑥 − 16 = 0; 4𝑥 = 16; 𝑥 =16

4= 4

𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = 𝟒

d) 5x + 1 – 2(x – 3) = 2x + 3(4x – 5)

5𝑥 + 1 − 2𝑥 + 6 = 2𝑥 + 12𝑥 − 15;

3𝑥 + 7 = 14𝑥 − 15;

3𝑥 − 14𝑥 = −15 − 7;

−11𝑥 = −22

𝑥 =−22

−11; 𝒙 = 𝟐

e) 2 3 4 0x x

𝑥 =−3 ± √9 − (−16)

2=

−3 ± √25

2=

−3 ± 5

2; 𝒙𝟏 = −𝟒; 𝒙𝟐 = 𝟏

f) 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟔 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟔

6𝑥 + 10𝑦 = 32 −6𝑥 − 18𝑦 = −48

−8𝑦 = −16; 𝑦 =−16

−8= 2

2𝑥 = 16 − 6𝑦; 𝑥 =16 − 6𝑦

2= 8 − 3𝑦 = 8 − 6 = 2

𝒙 = 𝟐; 𝒚 = 𝟐

4. Dados los siguientes polinomios, realiza las operaciones indicadas:

𝑃(𝑥) = 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥

𝑄(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑅(𝑥) = −3𝑥

Calcula:

a) 𝑃(𝑥) − 𝑅(𝑥) · 𝑄(𝑥) =

b) 𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥)− 𝑄(𝑥) =

c) 𝑃(−2) =

𝑃(𝑥) − 𝑅(𝑥) · 𝑄(𝑥) = 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 − (−3𝑥)(2𝑥2 − 𝑥 + 1)

= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 3𝑥(2𝑥2 − 𝑥 + 1)

= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 6𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙

𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥)− 𝑄(𝑥) =

6𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥

−3𝑥− (2𝑥2 − 𝑥 + 1)

= −2𝑥2 + 𝑥 − 3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒



𝑃(−2) = 6 · (−2)3 − 3 · (−2)2 + 9 · (−2) = 6 · (−8) − 3 · 4 − 18 = −48 − 12 − 18 = −𝟕𝟖

5. Calcula las siguientes expresiones algebraicas:

a) (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1) = 𝑥4 − 1

b) (5𝑎 − 3𝑏)2 = 25𝑎2 + 9𝑏2 − 30𝑎𝑏

c) (2𝑥 + 3)2 = 4𝑥2 + 9 + 12𝑥

6. Dadas las funciones 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙 ; 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 ;

𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙 ;

Función AFÍN

Pendiente m=-1 ; ordenada en el origen

n=1

Decreciente

Cortes con los ejes: (0,-1) (1,0)

𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙

Función LINEAL o de PROPORCIONALIDAD

DIRECTA

Pendiente m=2

Creciente

Corte con los ejes Origen de coordenadas

(0,0)



7. Calcula la longitud de los dos segmentos que te piden a partir de los datos

que se te dan:

DATOS:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 20 𝑐𝑚 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 10 𝑐𝑚 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 15 𝑐𝑚

CALCULA

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

Por Tales

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=

𝐷𝐸̅̅ ̅̅

𝐶𝐸̅̅ ̅̅;

20

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=

10

15; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =

20 · 15

10= 𝟑𝟎𝒄𝒎

Por Pitágoras

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = √202 + 302 =

√1300 = 𝟏𝟑√𝟏𝟎𝒄𝒎

8. En una familia dedican la mitad de los ingresos a pagar su vivienda (hipoteca, gastos…), dos

tercios del resto a gastos generales de la familia, y aún les quedan todos los meses 300 euros.

¿Cuáles son los ingresos mensuales de la familia?

1 − (1

2+

2

3·

1

2) = 1 − (

1

2+

1

3) = 1 −

5

6=

1

6

Si 300 euros es la sexta parte, todo es:

𝑇𝑜𝑑𝑜 = 300 · 6 = 𝟏𝟖𝟎𝟎€

9. Tengo una piscina de 2 metros de profundidad, 5 de ancho y 15 de largo. Quiero pintarla antes

de abrirla; si me cuesta 2 euros el metro cuadrado: (2 puntos)

Haz un dibujo de la figura correspondiente.

¿Cuánto pagaré por la pintura?

Luego llenarla vale 10 céntimos el litro. ¿Cuánto me costará llenarla?

𝑆𝑈𝑃 = 2 · 5 · 2 + 2 · 15 · 2 + 5 · 15 =

20 + 60 + 75 = 155𝑚2

𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 = 155𝑚2 · 2 €𝑚2⁄ = 𝟑𝟏𝟎€

𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =

15 · 5 · 2 = 150𝑚3 = 150000𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

𝐴𝑔𝑢𝑎 = 150000 · 0,10 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 €



10. Dibuja, y calcula el área total y volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm si su

altura es de 4 cm.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3=

36 · 4

3= 12 · 4 = 𝟒𝟖𝒄𝒎𝟑

Para hallar la superficie necesitamos calcular la apotema

de la pirámide, por Pitágoras

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = √42 + 32 = √25 = 5𝑐𝑚

𝑆𝐿𝐴𝑇 = 4 ·6 · 5

2= 2 · 6 · 5 = 60𝑐𝑚2

𝑆𝐵𝐴𝑆𝐸 = 62 = 36𝑐𝑚2

𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 60 + 36 = 𝟗𝟔𝒄𝒎𝟐

11. Encuentra, con una ecuación, dos números enteros pares positivos y consecutivos cuya suma es 306.

2𝑥 + (2𝑥 + 2) = 306; 4𝑥 = 306 − 2; 4𝑥 = 304; 𝑥304

4= 76; 2𝑥 = 152

Los dos números son 152 y 154

12. Si a un número le multiplicas por su doble, obtienes 288. Calcúlalo con una ecuación.

𝑥 · 2𝑥 = 288; 2𝑥2 = 288; 𝑥2 =288

2= 144; 𝑥 = √144 = ±12

El número puede ser 12 ó -12

13. Las edades de Andrea y Carmen suman 25 años, y la diferencia entra la edad de Andrea y la de

Carmen es 1. ¿Cuál es la edad de cada una? Calcúlalo con álgebra.

𝑎 + 𝑐 = 25

𝑎 − 𝑐 = 1

2𝑎 = 26; 𝑎 = 13; 𝑐 = 𝑎 − 1 =

12

Andrea tiene 13 años,

y Carmen tiene 12



14. María, Rubén y Jorge, de 2, 3 y 4 años, respectivamente, se han quedado solos unos instantes

que han aprovechado para trocear en 36 partes la tarta de cumpleaños de Jorge. Su madre

quiere repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Cuánto les corresponde

a cada uno?

𝑀

2=

𝑅

3=

𝐽

4=

36

2 + 3 + 4=

36

9= 4

𝑀

2= 4; 𝑀 = 8

𝑅

3= 4; 𝑅

= 12

𝐽

4= 4; 𝐽 = 16

A María le tocan 8 trozos, a Rubén 12 trozos, y a Jorge, 16 trozos

15. Tres obreros han cavado una zanja en varias jornadas, sumando en total 12 horas de trabajo. Al

día siguiente se necesita cavar otra zanja igual con dos obreros más que se han incorporado de

las vacaciones. ¿Cuántas horas y minutos tardarán en cavarla?

3 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − −12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − −𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Es de Proporcionalidad Inversa:

3 · 12 = 5𝑥; 𝑥 =3 · 12

5= 7,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

0,2 · 60 = 12 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Tardarán 7,2 horas 7 horas 12 minutos

16. Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en

febrero. ¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros? Hazlo de la

forma más rápida y simplificada posible.

𝑥 · 1,15 · 0,85 = 2000; 𝑥 =2000

1,15 · 0,85=

2000

0,9775= 𝟐𝟑𝟓𝟐, 𝟗𝟒€

MEDIDAS COMPLEMENTARIAS DE VERANO...

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