UNIDAD 3

UNIDAD 3 PROPIEDAES DE LAS OPERACIONES Y SUS APLICACIONES PROPIEDADES DE LA SUMA Y RESTA: OPERACIONES Y PROBLEMAS.

Denominador común, sumas y restas con sustitución de piezas Una vez comprendido el concepto de fracciones equivalentes, revisado en el capítulo 1,

podemos explicar que para realizar la operación básica de sumar, es necesario hacerlo con el mismo tipo de elementos para obtener un resultado adecuado, es decir, se deben sumar elementos de la misma naturaleza. Por ejemplo, si sumamos:

2 peras + 3 peras el resultado son 5 peras Análogamente: 1/3 + 2/3 = 3/3 Podemos ver que si sumamos tercios con tercios, se suman sólo los numeradores y el

resultado final serán tercios; pero si sumamos cuartos con medios, el resultado final deben ser cuartos o medios, para lo cual es necesario usar fracciones equivalentes.

Utilizando las plantillas de Fracciones, podemos visualizar que: 2/4 + 1/4 = 3/4 En la forma matemática notamos que sólo se suman los numeradores porque las dos

fracciones tienen como "denominador común" el 4. Si sumamos en las Plantillas de Fracciones 1/4 + 1/2, obtenemos un resultado que debemos ex­

presar en cuartos, porque sería imposible expresarlo en medios. Entonces, debemos convertir 1/2 en su fracción equivalente expresada en cuartos:

1/2 = 2/4, luego sumamos 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 Se puede comprobar y entender clara y objetivamente esta sustitución usando la Tabla de

Fraccio­nes o las Fracciones Circulares. De manera idéntica funciona la resta; por ejemplo, para restar 7/8 ­ 1/4 se puede formar con

las Plantillas de Fracciones 7/8, luego poner sobre la plantilla lo equivalente a 1/4 y finalmente quitar de los octavos los equivalentes a 1/4, es decir 2/8; y escribir: 7/8 ­ 2/8 = 5/8.

FRACCIONES HOMOGENEAS Y HETEROGENEAS Para establecer si las fracciones son homogéneas o heterogéneas debemos tener, por lo

menos, dos fracciones para poder comparar sus denominadores, puesto que, se llaman fracciones homo­géneas a aquellas fracciones que tienen el mismo denominador, y heterogéneas, a las que tienen distinto denominador.

Homogéneas: 26/7 con 5/7; 3/5 con 11/5 Heterogéneas: 6/13 con 9/2; 3/8 con 3/10, y todas entre ellas.

Por medio de las fracciones equivalentes podemos transformar las fracciones heterogéneas en frac­ciones homogéneas; por ejemplo:

6/11 y 2/5 son fracciones heterogéneas por tener distinto denominador, Suma o Resta de fracciones Solamente podemos sumar o restar fracciones homogéneas. Para poder sumar o restar fracciones heterogéneas obligatoriamente debemos

transformarlas en homogéneas Si compro 1/2 de una cartulina de dibujo y luego compro 1/2 de una cartulina de igual

tamaño que la anterior, es lógico que he comprado 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1, es decir que he comprado la cartulina completa.

Para sumar fracciones se suma los numeradores y se escribe el mismo denominador. Para restar fracciones, restamos el numerador del minuendo menos el numerador del

sustraen­do, y escribimos el mismo denominador de las fracciones. Por ejemplo, para calcular 5/8 + 13/6 debemos encontrar fracciones que sean

equivalentes a cada una de las fracciones anteriores y que además tengan igual denominador.

Para que dos fracciones con igual denominador sean equivalentes a 5/8 y 13/6, el denomina­dor de estas fracciones debe ser múltiplo tanto de 8 como de 6.

Esta es la razón por la que escogemos como "denominador común" el mínimo múltiplo común entre 8 y 6, que es 24.

Entonces, debemos obtener una fracción equivalente a 5/8 que tenga como denominador a 24, por lo que amplificamos este número por 3, así:

5/8 x 3/3 = 15/24. De la misma forma, para obtener una fracción equivalente a 13/6, que tenga como

denomina­dor a 24, amplificamos esta fracción por 4, así: 13/6x4/4 = 52/24. Entonces: 5/8 + 13/6 = 15/24 + 52/24 = 67/24 ¿Tienen un plan para resolverlo?

b.¿Han resuelto algún problema parecido, o que tenga alguna relación con este proble­ma?

c.Resuelvan el problema y anoten los pasos que van realizando hasta alcanzar su solu­ción.

d.¿Cuándo utilizamos el concepto de mínimo común múltiplo? e. Analicen: ¿Tiene el problema alguna conexión o relación con la

pregunta anterior?Escriban esa relación.

Reflexionen y registren sus conclusiones: a. ¿Cómo harían ustedes para que sus estudiantes resuelvan este

problema? b.¿Cómo lo hicieron ustedes? c.¿Cómo diseñarían su clase para generar espacios nuevos que permitan

explorar dife­rentes formas de resolución de este tipo de problemas? d.Creen un nuevo problema a partir de este. e.¿Qué ventajas observan ustedes con esta forma de trabajar con los

estudiantes? f.¿Cuál es el rol del docente frente al proceso de enseñanza­aprendizaje? Lean el siguiente texto y comparen las ideas del mismo con las estrategias

que ustedes usaron para resolver el problema anterior. La notación del máximo común divisor (mcd), es (a: b) y se trata del

mayor número entero positivo que es divisor de los números a y b. El máximo común divisor no sólo es el mayor de todos los divisores

comunes, sino que además es múltiplo de todos ellos. Por consiguiente a | b si y sólo si (a: b) = a. O, lo que es lo mismo, para

que a sea el máxi­mo común divisor de a y b, es necesario que a sea divisor de b.

Ejemplo: (12:48) = 12porquel2|48 Diremos entonces que el m c d debe cumplir con las dos condiciones

siguientes: •(a: b) = d por tanto d es divisor de a y es divisor de b ♦d es múltiplo de todos los divisores comunes de a y de b. Esta definición podemos extenderla a cualquier cantidad de números.

(a:b:c:d:e) = ((a:b:c:d):e) = (((a:b:c):d):e) = ((((a:b):c):d):e)

Cálculo de! Máximo Común Divisor Ejemplo: Para calcular el mcd de 360 y 220: (360:220) = (140:220) = (140:80) = (60:80) = (60:20) = 20 Si necesidad de conocer los divisores de a y b, y simplemente restando, aparece el

máximo común divisor de a y b. Aplicando el Algoritmo de Euclides, sistematizamos convenientemente el método

anterior de dife­rencias sucesivas. Ejemplo: Para calcular el mcd de 1580 y 255: 1380 = 5x255 + 105 255 = 2x105 + 45 105 = 2x45

+ 15 45 = 3x15 (1380:255) = 15 Usando el máximo común divisor Lean el siguiente texto y comparen las ideas del mismo con las estrategias que ustedes

usaron para resolver el problema anterior. La notación del máximo común divisor (mcd), es (a:b) y se trata del mayor número

entero positivo que es divisor de los números a y b. El máximo común divisor no sólo es el mayor de todos los divisores comunes, sino que

además es múltiplo de todos ellos. Por consiguiente a | b si y sólo si (a: b) = a. O, lo que es lo mismo, para que a sea el

máxi­mo común divisor de a y b, es necesario que a sea divisor de b. Ejemplo: (12:48) = 12 porque 12|48 Diremos entonces que el m c d debe cumplir con las dos condiciones siguientes: • (a:b) = d por tanto d es divisor de a y es divisor de b * d es múltiplo de todos los divisores comunes de a y de b.

Esta definición podemos extenderla a cualquier cantidad de números. (a:b:c:d:e) = ((a:b:c:d):e) = (((a:b:c):d):e) = ((((a:b):c):d):e)

Mínimo Común Múltiplo Recordemos que se llama múltiplo a un número que contiene a otro, un

número exacto de veces, es decir, que al dividirlo por el otro número, la división es exacta.

Por ejemplo 10 es múltiplo de 2 porque lo contiene exactamente 5 veces. Ateniéndonos a la definición anterior diremos que mínimo común

múltiplo, (mcm), es el menor nú­mero positivo que contiene a todos los números dados, un número exacto de veces.

Hay varios métodos para determinarlo: • Por intersección de conjuntos: A = {múltiplos de 8}B = {múltiplos de 18} D = {múltiplos de 24} A = {0, 8, 16, 24,...} B = {0, 18, 36, 54, 72,...} D = {0, 24, 48, 72/*"} ADBnD = {0, 72, 144,...} De aquí deducimos que el m c m es 72 por ser el menor número positivo

que contiene a 8, 18 y 24, al mismo tiempo, un número exacto de veces. Así 8 está contenido 9 veces, 1 8 está contenido 4 veces, y 24 está contenido exactamente 3 veces

Construyan un rompecabezas como el que está a continuación, pero más grande, de manera que la parte que mide 4 en el dibujo, mida 9 en el nuevo rompecabezas.

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Anote el procedimiento que utilizó para la construcción del nuevo rompe­cabezas. Lea a continuación el texto sobre la multiplicación abreviada. Seguramente su respuesta se basa en el siguiente desarrollo conceptual: > La potenciación es una multiplicación abreviada, que usamos cuando debemos multiplicar

por el mismo factor varias veces. Lean el siguiente problema y realicen las actividades que se detallan a continuación: Se tienen cuatro pesas, con las que se puede pesar desde 1 hasta 40 kilogramos inclusive,

(siempre se pesan kilogramos enteros, no fracciones de kilogramo), ¿De qué valores de­ben ser, cada una de las pesas?

Resuelvan el problema.

. Revisen y escriban los pasos que siguieron para llegar a la solución del problema. Reflexionen y registren sus conclusiones:

a. ¿Cómo harían ustedes para que sus estudiantes resuelvan este problema?

b. ¿Cómo lo hicieron ustedes? c. ¿Cómo diseñarían su clase para generar espacios nuevos que permitan explorar diferentes formas de resolución de este

tipo de problemas? d.¿En qué otro contenido de las matemáticas va a ser útil este

concepto de potenciación? e. ¿En qué tipo de problemas se puede presentar la potenciación? El producto de potencias de la misma base es igual a la base

elevada a la suma de los exponen­tes. 75* 72 = 7*7*7*7*7*7*7 = 77 El cociente de potencias de la misma base es igual a la base

elevada a la diferencia de los expo­nentes del dividendo menos el del divisor.

54 ­ 53 = 51 = 5 Una consecuencia de la propiedad anterior es el exponente cero.

70 = 49V493 = (72)3/(72)3 = 7V76 = 766 = 7o pero 49V493 = 1; por lo que 7o = 1

Potencia de una potencia: en este caso se escribe la misma base y se multiplican los exponentes.(a3)2 = Q3x2 = Q6

Potencia de una raíz o viceversa: En este caso el índice de la raíz divide al exponente.

s/b* = b6/2 = b3; pongamos un ejemplo: V2* = 26/2 = 23 = 8; hagámoslo de esta otra manera: J¥ = Jó4 = 8 Análisis Exponga por escrito, su criterio sobre el siguiente

procedimiento: V2=v­