PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo.

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: “X” y “Y”

.

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

...    ...    ...

anx + bny ≤ cn

f(x,y) = ax + by

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

METODO GRAFICO

El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).

Ejemplo:

Maximizar F(X, Y) = 300x + 100Y

Sujeto a:

40X + 8Y < 800

10X + 5Y < 320

X < 60

X, Y > 0

Tabulando para graficar:

40 X + 8Y = 800

X= 0 40 (0) + 8Y = 800 Y = 100Y = 0 40 X + 8 (0) = 800 X = 20

10 X + 5Y = 320

X= 0 10 (0) + 5Y = 320 Y = 64Y = 0 10 X + 5 (0) = 320 X = 32

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

Tabulando - Función Objetivo, igualamos a 0

300X + 100Y = 0

F (20, 0) = 300 (20) + 100 (0) = 6100F (0, 60) = 300 (0) + 100 (60) = 6300F (0, 60) = 300 (12) + 100 (36) = 7200

X

Y

La intersección entre las 2 rectas es:

40 X + 80 Y = 800

-40 X – 40 Y = -1280 / 10 X + 5Y = 320 (* -4)

40 Y = -480

Y = 12

40 X + 80 Y = 800

-160 X – 80Y = -5120 / 10 X + 5 Y = 320 (* -16)

-120X = 4320

X = 36

La respuesta es 7200

LA PROGRAMACION LINEAL AYUDA A LA FUERZA AÉREA ESTADOUNIDENSE A INTEGRAR SUS ARSENALES.

La Fuerza Aérea de Estados Unidos tiene un historial distinguido porque ha ganado importantes batallas. Los estadounidenses recuerdan con orgullo los éxitos conquistados por sus pilotos en los cielos de Alemania durante la Segunda Guerra Mundial y, en fecha más reciente, también en el golfo Pérsico. Estos éxitos resultan, en parte, de una incansable búsqueda de nuevas tácticas y tecnologías. Así pues, no resulta sorprendente que en los últimos años la Fuerza Aérea haya adoptado un enfoque moderno —el uso de la PL— en la evaluación y adquisición de sistemas de armamentos en la batalla anual por el presupuesto.

Cada año, la Fuerza Aérea debe presentar al Congreso un plan de desarrollo de armas. Para preparar ese plan es necesario decidir (1) qué nuevos proyectos conviene iniciar (2), qué proyectos anuales tienen que continuar y (3) qué proyectos deberán ser cancelados. La recomendación final depende en alto grado del nivel de financiamiento disponible.

Una consideración importante se refiere a la eficacia de cada sistema de armas y a su posible contribución, en una mezcla de armamentos, para lograr el incremento deseado en el valor de los blancos destruidos.

Esas estimaciones de la efectividad deben realizarse para muchas combinaciones de aeronaves, pertrechos y blancos (tanques, instalaciones de mando y comunicación, puentes y otros objetivos semejantes).

Las interacciones de estos factores son complejas. Los distintos tipos de municiones requieren que los aviones realicen vuelos sumamente variables en

términos de altitud y duración, por lo cual su vulnerabilidad al fuego antiaéreo enemigo varía en consecuencia. Incluso un cambio pequeño en el índice de pérdidas de aviones puede producir un efecto importante sobre la efectividad de un sistema con respecto al costo, para no mencionar la pérdida de vidas humanas.

La Fuerza Aérea tiene que evaluar también todos los años las consecuencias de un posible aumento o disminución de su presupuesto; es decir, el grado en el que una propuesta determinada es sensible a posibles cambios en el nivel de financiamiento. Los cambios del presupuesto pueden afectar la mezcla de sistemas de armas que se va a adquirir, así como el número preciso de cualquiera de ellas. A su vez, el número de unidades adquiridas puede afectar drásticamente el precio unitario de compra Para este tipo de análisis, la Fuerza Aérea ha desarrollado un programa lineal que permite evaluar los pros y contras de los distintos tipos de aviones y municiones. Ese programa no sólo especifica la mezcla óptima de armas necesaria para destruir un conjunto particular de blancos, sino también muestra gráficamente esas relaciones como:

• La relación entre los fondos gastados en aeronaves y los gastados en municiones.

• El valor del blanco destruido como función de los gastos en armas específicas, o una mezcla de armas.

• El valor del blanco destruido vs. los gastos en función de la duración del conflicto.

Esta información se representa por medio de gráficos de dos dimensiones, escogiendo la escala apropiada para los ejes, de manera que los administradores y analistas puedan estudiar posibles cambios y realizar análisis tipo “¿qué pasaría si?”.