UNIVERSIDAD DE CUENCAFACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

INGENIERIA AMBIENTALPROGRAMACION Y METODOS NUMERICOS

Nombre: Joffre MéndezDocente: Ing. Paul ÁvilaFecha: 02/04/2015

EJERCICIOS – CAPITULO 4

4.1) Escriba los siguientes polinomios en forma agrupada:

(a) y=x 4−3 x3+2x2+x+2

En forma agrupada

y=((( ( x−3 ) x+2 ) x+1 ) x+2)

(b) y=3 x5+2 x3+x2+7

En forma agrupada

y=(((3x2+2 ) x+1) x2+7)4.3) Escriba los siguientes polinomios en forma de serie de potencias empleando (i)poly y (ii)polyfit.

y=5 x4+18 x3+40 x2+155 x+120Command Window:

>> p = [5 18 40 155 120];>> r= roots(p)r = 0.3335 + 2.7637i 0.3335 - 2.7637i -3.3397 + 0.0000i -0.9274 + 0.0000i>> poly(r)ans = 1.0000 3.6000 8.0000 31.0000 24.0000

>> x=1:0.5:3;>> y=(5*x.^4)+(18*x.^3)+(40*x.^2)+(155*x)+120;>> a= polyfit(x,y,length(x)-1)a = 5.0000 18.0000 40.0000 155.0000 120.0000

y=4 x4−28 x2+24 xCommand Window:

>> p = [4 -28 24];>> r= roots(p);>> poly(r)ans = 1 -7 6

>> x= 1:0.5:3;>> y= (4*x.^4)- (28*x.^2)+(24*x);>> a= polyfit(x,y,length(x)-1)a = 4.0000 -0.0000 -28.0000 24.0000 0.0000

4.5) Convierta el siguiente polinomio en una serie de potencias empleando polyfit.

v ( x )=(x−1)(x−2.5)(x−4)(x−6.1)(x−7.2)(x−10)(5−1)(5−2.5)(5−4)(5−6.2)(5−7.2)(5−10)

Command Window:>> x= 1:0.5:3.5;>> y= ((x-1).*(x-2.5).*(x-4).*(x-6.1).*(x-7.2).*(x-10))./((5-1)....*(5-2.5).*(5-4).*(5-6.2).*(5-7.2).*(5-10))y = 0 2.1105 1.2921 0 -0.6905 -0.5921>> a= polyfit(x,y,length(x)-1)a = 0.1311 -2.2305 14.7911 -46.4180 66.4025 -32.6761Polinomio:

v(x) = 0.1311x5-2.2305x4+ 14.7911x3 -46.4180x2 + 66.4025x -32.6761

4.7) Un polinomio tiene tres raíces: -2,1 y 2. Si el polinomio y se convierte en y (0)=1, determine el polinomio en forma de serie de potencias.

Command Window:>> r = [-2, 1, 2]r = -2 1 2>> poly(r)ans = 1 -1 -4 4Polinomio

y=x3−x2−4 x+4

4.9) Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los siguientes conjuntos de datos

a) (-1,1), (1,4)

Orden del polinomio ajustado a dos puntos de datos g(x)= c1 x+c2

Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos:c1 (−1 )+c2=1c1 (1 )+c2=4

Resolviendo las ecuaciones por el método de sumas y restasC1=1.5 y C2=2.5POLINOMIO: y=1.5 x+2.5

b) (-2,2), (0,-1), (2,1)Orden de polinomio ajustado a tres puntos de datos es dos: g(x)= c1 x

2+c2 x+c3Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos:

c1 (−2 )2+c2 (−2 )+c3=2c1 (0 )2+c2 (0 )+c3=−1c1 (2 )2+c2 (2 )+c3=1Resolviendo: 4 c1−2c2=34 c1+2c2=2c1=0.625c2=−0.25c3 =-1POLINOMIO: y= 0.625 x2−0.25 x−1

c) (-1,-1), (0,0), (1,2), (2,5)El orden de un polinomio ajustado a cuatro puntos de datos es tres: g(x)= c1 x

3+c2 x2+c3 x+c4

Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos:

c1(−1)3+c2(−1)

2+c3 (−1 )+c4=−1c1(0)

3+c2(0)2+c3 (0 )+c4=0

c1(1)3+c2(1)

2+c3 (1 )+c4=2c1(2)

3+c2(2)2+c3(2)+c4=5

Resolviendo:c4=0

−c1+c2−c3=−1 c1+c2+c3=2 8c1+4 c2+2c3=5

Verificación con polyfit: Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los siguientes conjuntos de datos:

a) (0,1),(2,0)Command Window:

>> x = [-1, 1];>> y = [1, 4];>> a = polyfit(x,y,length(x)-1)a = 1.5000 2.5000Polinomio:

y= 1.5x+2.5b) (1,1), (2,0), (4,2)

Command Window:

>> x = [-2, 0, 2];>> y = [2, -1, 1];>> a = polyfit(x,y,length(x)-1)a = 0.6250 -0.2500 -1.0000Polinomio:

y=0.625 x2 – 0.25 x -1c) (-1,2), (0,2.5), (1,1), (2,-1)

Command Window:

>> x = [-1, 0, 1, 2];>> y = [-1, 0, 2, 5];>> a = polyfit(x,y,length(x)-1)a = 0.0000 0.5000 1.5000 0.0000Polinomio:

y= 0.5 x2 + 1.5 x

4.13) Encuentre el polinomio ajustado a los puntos de datos 2, 3 ,4 y 5 del problema 4.12 en forma de series de potencias.

K X F(X)

2 0.25 0.8109

3 0.5 0.6931

4 0.75 0.5596

5 1.0 0.4055

>> x=[0.25, 0.5, 0.75, 1.0];>> y=[0.8109, 0.6931, 0.5596, 0.4055];>> a = polyfit(x,y,length(x)-1)a = -0.0523 -0.0472 -0.4129 0.9179y =-0.0523 x3 – 0.0472 x2 - -0.4129x + 0.9179

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6EJERCICIO 4.18

4.15) Escriba el polinomio y(x) en forma de serie de potencias ajustado a los siguientes puntos de datos:

>> x=[0, 0.5, 2, 2.5]; y=[1.21, 1.32, 1.05, 0.97];>> a=polyfit(x,y,3)a = 0.0840 -0.4100 0.4040

1.2100 y= 0.0840x3

-0.4100x2 -0.4040x + 1.2100

b) Evalúe la derivada del polinomio en x= 1.75>> ans=a;>> polyder(ans) ans = 0.2520 -0.8200 0.4040 >> polyval(ans, 1.75) ans = -0.2592

4.17 Ajuste xSen(x) en 0< x<π/2 con el polinomio de interpolación de LaGrange de orden 4, utilizando puntos equiespaciados. Calcule el error de cada formula de interpolación en incremento de π/6 y grafique.

)

4.23) Si una interpolación de Lagrange se ajusta a cuatro puntos de datos de xi=1,2,3,4 aparecen los siguientes polinomios cúbicos en la fórmula de interpolación de Lagrange:

( x−2 ) (x−3 )(x−4)(1−2 ) (1−3 )(1−4 )

( x−1 ) ( x−3 )(x−4)(2−1 ) (2−3 )(2−4 )

>>x=(0:pi/20:pi/2); >>y=x.*sin(x);

>>plot(x,y),grid, title('EJERCICIO 4.18')

K XKF(XK)

1 0 1.21

2 0.5

1.32

3 2.0

1.05

4 2.5

0.97

( x−1 ) ( x−2 ) ( x−4 )(3−1 ) (3−2 ) (3−4 )

( x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 )(4−1 ) (4−2 ) (4−3 )

Grafique las cuatro funciones anteriores.

Command Window:>>x=1:0.01:4;>>y=((x-2).*(x-3).*(x-4))./(-6);plot(x,y)xlabel('x'); ylabel('y')title('GRÁFICO LAGRANGE 1')text(2,0.10,'Curva de polinomio 1')grid on

>>x=1:0.05:4;>>y=((x-1).*(x-3).*(x-4))./(2);>>plot(x,y)>>xlabel('x'); ylabel('y')>>title('GRÁFICO LAGRANGE 2')>>text(2.2,0.30,'Curva de polinomio 2')>>grid on

>>x=1:0.09:4;>>y=((x-1).*(x-2).*(x-4))./(-2);>>plot(x,y)>>xlabel('x'); ylabel('y')>>title('GRÁFICO LAGRANGE 3')>>text(2.05,0.5,'Curva de polinomio 3')>>grid on

>>x=1:0.09:4;>>y=((x-1).*(x-2).*(x-4))./(6);>>plot(x,y)>>xlabel('x'); ylabel('y')>>title('GRÁFICO LAGRANGE 4')>>text(2.45,-0.15,'Curva de polinomio 4')>>grid on