Programac Lineal Problemas Propuestos

UNIVERSIDAD NACIONAL

“PEDRO RUIZ GALLO”

LAMBAYEQUE, SETIEMBRE DEL 2012

Investigación de Operaciones I

UNPRG-Ingeniería de Sistemas Página 2

EJERCICIO #1 Un camión puede transportar como máximo nueve Tm. por viaje. En un viaje desea transportar al menos cuatro Tm. de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que cobra tres NS./kilo de A y dos NS./kilo de B, ¿cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima? EJERCICIO #2 Resolver, gráficamente, el siguiente sistema de inecuaciones: X + Y ≥ 2 2X + Y ≤ 6 EJERCICIO #3 Los quinientos alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone de diez autobuses de cuarenta plazas y ocho de cincuenta, pero sólo de once conductores en ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de 5000 NS. y el de los grandes de 6000 NS. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? EJERCICIO #4 Resolver gráficamente el sistema de inecuaciones: X ≥ 0 X + Y ≤ 0 Y + 7 ≤ 0 EJERCICIO #5 Una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el modelo A es de 40 NS/unidad y el del B 60 NS/unidad. La producción diaria no puede superar 400 unidades del modelo A ni 300 del B y en total no pueden superarse las 600 unidades. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio? EJERCICIO #6 Hallar el máximo y el mínimo de la función f(x,y) = x + y sometida a las restricciones: X + 2Y ≤ 3 X – Y ≤ 1 X ≥ -1 Y ≥ -1 EJERCICIO #7 En unos grandes almacenes necesitan entre seis y quince vigilantes cuando están abiertos al público y entre cuatro y siete vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible? EJERCICIO #8 Maximizar y minimizar la función f(x,y) = 2x + y - 1 sujeta a las restricciones: 0 ≤ X ≤ 10

0 ≤ Y ≤ 20 X ≤ Y Y - X ≤ 10 X + Y ≤ 20 EJERCICIO #9: Resuelva el siguiente problema de maximización de la función: Z= 4X1 + 6X2 Sujeta a: X1 +X2 ≤ A X1 +2X2 ≤ B X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Donde: A= 200 B= 300 Conteste: a) Si se añaden dos unidades del factor limitante A,

¿en cuánto variará el producto de cada proceso para que la solución continúe siendo óptima?

b) ¿Sería conveniente introducir la actividad X3 si los requerimientos por unidad de producto de dicha actividad de los insumos A y B son respectivamente, 1.5 y 2.5; y el precio unitario del producto de dicho proceso es $9.

EJERCICIO #10 Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z: Z= 12X1 + 20X2 + 40X3 Sujeta a: 4X1 + 9X2 + 10X3 ≤ 6000 X1 + X2 + 40X3 ≤ 4000 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 Conteste: a) ¿Qué variación mínima en el precio del bien 1 se

requiere para que la solución encontrada deje de serlo, en consecuencia, deba modificarse la composición de bienes a ser incluidos en la nueva solución óptima?

b) Si fuera posible reducir en un 20% los coeficientes de insumo-producto del bien no incluido en la solución óptima original ¿tendrá sentido producirlo?

EJERCICIO #11 a) Resuelva el siguiente problema de maximización

de la función Z: Z= 5X1 + 8X2 Sujeta a: ½X1 + ½X2 ≤ 200 ½X1 + X2 ≤ 300 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0



b) Determine los precios sombra de los factores limitantes.

c) ¿Cuál sería la variación en el nivel de cada actividad si se incorporase una unidad del primer factor limitante?

EJERCICIO #12 La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan 5.100 K$ y las de tipo rancho 5.000 K$. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:

Recurso por tipo de casa

Disponibilidad de horas Operario

Campo Rancho 200 50

100 120

12000 13000

Carpintero Albañil

a) Formule el problema de programación lineal b) Encuentre la solución óptima gráficamente. c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de

casa denominada “Colonial” que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.

EJERCICIO #13 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:

CONTENIDO DE:

PRODUCTO 1 2 3

FIBRAS 20% 30% 5% PROTEÍNAS 60% 50% 38% MINERALES 9% 8% 8% PRECIO POR kg. $10 $15 $8 Conteste: a) ¿Cuál será la proporción de cada producto en el

compuesto óptimo? b) ¿A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo)

de: - Fibras? - Proteínas? - Minerales?

c) ¿Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada unidad de compuesto pese un kilogramo exactamente?

EJERCICIO #14 En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios:

CONTENIDO CARNE TIPO: DE: A B C

GRASAS 16% 18% 25% PROTEÍNAS 22% 20% 16% PRECIO POR kg. $70 $90 $100

Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras: a) Plantee el problema en términos de

programación lineal. b) Haciendo uso del programa de factibilidad,

establezca la primera solución básica. c) Plantear el programa dual al planteado por usted. d) Encontrar la combinación óptima de tipos de

carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración.

EJERCICIO #15 En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes.



EJERCICIO #16 Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. El empresario maximizador de beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule el problema en términos de

programación lineal. b) Determine cuál será la solución óptima del

empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades.

c) Formule el programa dual correspondiente y luego, haciendo uso del programa de factibilidad, establezca la primera solución básica.

EJERCICIO #17 En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. (Denominamos este enunciado como el de producción). Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno (alternativamente, debe venderse a un precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto). Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente. (Denominamos este enunciado como el de almacenamiento). Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son: - Costo por bolsa de semilla de trigo $5 - Costo por bolsa de semilla de cebada $10 - Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10 - Precio por tonelada de trigo $190

- Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo. - Cantidad de hombres: 320 - Cantidad de Hectáreas: 120 (Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento). a) Plantee el problema global (de producción y de

almacenamiento) en términos de programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios.

b) Plantee y resuelva únicamente el problema de producción.

c) Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex.

EJERCICIO #18 En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. - La primera de ellas requiere dos horas hombre del

taller de cortado y cuatro horas hombre del taller de cosido.

- El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de cosido.

- La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los talleres señalados.

Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias para la aplicación de la programación lineal: a) Determine cuál será la asignación óptima de la

mano de obra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente.

b) Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela?

c) Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional.

EJERCICIO #19 Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija.



El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Conteste: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a

cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello

fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje?

EJERCICIO #20 Si la siguiente tabla tarifaría establece los costos unitarios de transporte de contenedores de los centros de producción A, B y C, a los centros de consumo a, b, c y d:

DESTINOS a b c d

ORÍGENES

A 10 5 6 7 B 8 2 7 6 C 9 3 4 8

y en cada origen se dispone respectivamente de 50, 50 y 100 unidades; mientras se requieren en los puntos de destino respectivamente de 30, 40, 60 y 70 contenedores; encuentre el programa óptimo de transporte de los contenedores. EJERCICIO #21 En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8 en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente. Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual. EJERCICIO #22 Usted, como vendedor de FERRETERIA C.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantes mayoristas y clientes que compran al detal. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10 Km. En una visita a un comprador al detal, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por

semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias EJERCICIO #23 El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA Y EN CETES. Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación.

OPCIONES DE INVERSIÓN TASA DE

RENDIMIENTO (%)

Petróleo y Derivados, S.A. 50 Industria Petrolera, S.A. 75 Petróleos del Norte, S.A. 40 Aceros Monclova, S.A. 70 Siderúrgica Nacional, S.A. 45 Hierro y Acero, S.A. 55 CETES 60

El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión: 1. No se debe destinar más del 50% del total de la

inversión a una industria en particular. 2. La inversión en CETES debe ser por lo menos el

25% del total invertido en siderurgia. 3. La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual

resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero.

4. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo. 1. Formular el modelo como uno de PL 2. Desarrollar el modelo Matemático

EJERCICIO #24 Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50,000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas



técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. EJERCICIO #25 En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones: - El modelo "basic" (B), que requiere 2 m2 de tela

denim, 3 minutos hombre del taller de cortado para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón.

- El modelo "basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de bordado.

- El modelo "basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia de Juanita, la planchadora-.

- Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos, pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación que no rige para las prendas comunes.

Los parámetros relevantes son los siguientes: - Costo de la tela por m2 $10. - Capacidad máxima disponible mensual en horas

hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100 horas efectivas mensuales.

- Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50 respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56 respectivamente.

a) Formule el problema en términos de programación lineal.

b) Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1 por minuto, ¿cómo modificaría su planteo?

EJERCICIO #26 Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kg de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kg de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo tipo

Precio de

Venta ($/m)

Demanda (m)

Tiempo de

Máquina (min/m)

Material para soldar (kg/m)

Costo de Produc-

ción ($/m)

Costo de compra a

Japón ($/m)

A 10 2,000 0.50 1 3 6 B 12 4,000 0.45 1 4 6 C 9 5,000 0.60 1 4 7 A. Formule el modelo de PL B. Desarrollar el modelo Matemático y resuélvalo

usando SOLVER. EJERCICIO #27 Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente. Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 unidades, 4 y 8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y e tipo Y para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en forma simultánea.



Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente de dicho tonelaje, si lo hubiera. La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7 horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman 9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60 la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de una duración de 9 horas. Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal: a) Plantee en términos de programación lineal el

problema de optimización que enfrenta la Dirección del complejo industrial.

b) b) Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales por insumos, ni restricciones a la comercialización.

EJERCICIO #28 Si Q1, Q2; U1, U2, U3 denotan respectivamente a las variables funcionales y de holgura de un programa lineal y V1, V2, V3; L1, L2 simbolizan respectivamente a las variables funcionales y de holgura del correspondiente programa dual, ¿ puede el siguiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas? Q1 = 12, Q2 = 0, U1 = 3, U2 = 4, U3 = 0, L1 = 0, L2 = 4, V1 = 6, V2 = 0, V3 = 4. Fundamente su respuesta. EJERCICIO #29 Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resumen en la siguiente tabla:

Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio

Planta I Planta II

Comerciante A $ 4 $ 7 Comerciante B $ 6 $ 5 Comerciante C $ 5 $ 8

La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario, 4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de insumos varios. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente- requiere un 50% más de todos los insumos por unidad de producto. El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50, 60 y 40 paquetes a) Plantee el problema de optimización que se le

presenta al empresario en términos de PL. b) Si cada planta, en el planteo anterior, produjera

50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga un plan de transporte óptimo, independientemente de los costos de producción.

EJERCICIO #30 Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a,b y c) y los precios netos (Pat,Pbt y Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i) no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii) no se puede cultivar C en más de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal a resolver. EJERCICIO #31 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400 y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO PRODUCTO DE: 1 2 3 FIBRAS 20% 30% 5% PROTEÍNAS 60% 50% 38% MINERALES 9% 8% 8% PRECIO POR KG $10 $15 $8 Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos- o si lo hace se debe pagar una multa de 20 centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 centavos si excede de 50 grs- formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe producir 10.000 unidades del compuesto. EJERCICIO #32 Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes.



Tiene suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 16 de los vasos pequeños u 8 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el número de vasos grandes. Los vasos más pequeños se venden a $3 cada uno, y los más grandes a 9$. a. Formular el problema b. Resolver gráficamente c. Dibujar una línea de iso-profit en el gráfico desde

(20,0) a (0,6 2/3) como la línea de iso-profit de 60$.

EJERCICIO #33 La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación.

MES Componente Enero Febrero Marzo

X-126 A 30,000 20,000 40,000 X-112 C 10,000 20,000 30,000

Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000=(30,000 + 20,000 + 40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000 = (10,000 + 20,000 + 30,000)/3 unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción constante. Por otra parte, el gerente de finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto, redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una producción constante es:

Mes Inventario Inicial

Produc-ción

Ventas Inventario Final

X-126A 0 30,000 30,000 0 1 0 30,000 20,000 10,000 2 10,000 30 ,000 40,000 0

Y-112C 1 0 20,000 10,000 10,000 2 10,000 20,000 20,000 10,000 3 10,000 20,000 30,000 0

Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control de producción ha decidido conciliar los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido la siguiente información:

Mes

Capacidad en maquinaria

(horas)

Capacidad en mano de

obra (horas)

Capacidad en almacén

(m2)

Enero 800 1,000 300 Febrero 1,000 1,000 300 Marzo 1,500 1,000 300 Componente Horas-

máquina por unidad

Horas-hombre por

unidad

Espacio unitario

(m2) X-126A 0.10 0.05 0.30 Y-112C 0.15 0.05 0.25 Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y $2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y 5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y por hora-hombre no utilizada es $500. ¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción? EJERCICIO #34 Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla: Algodón Seda A 30% 50% B 60% 10% ¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta orden? Solución: Función Objetivo: Min C = 3A + 2B



Restricciones: .30A + .60B 45 .50A + .10B 25 La solución simultanea de dos ecuaciones de restricciones da A = 39 onzas y B = 55 onzas. El costo mínimo, C, es entonces $3A + $2B = 3*39 + 2*55 = $227. EJERCICIO #35 Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. a) Formule el modelo de programación lineal para

este problema. b) Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la

ganancia total estimada? c) Indique por qué parece que cada una de las cuatro

suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?

EJERCICIO #36 Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

Tipo de máquina Tiempo disponible

(en horas-máquina por semana)

Fresadora Torno Rectificadora

500 350 150

El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de máquina

Producto 1

Producto 2

Producto 3

Fresadora Torno Rectificadora

9 5 3

3 4 0

5 0 2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal para este problema. EJERCICIO #37 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:

Ingrediente nutricional

Kg de maíz

Kg de grasas

Kg de alfalfa

Requeri-miento mínimo diario

Carbohidratos Proteínas Vitaminas

90 30 10

20 80 20

40 60 60

200 180 150

Costo (US$) 42 36 30 Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER. EJERCICIO #38 La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta



con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER. EJERCICIO #39 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:

Soya Maíz Avena Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)

20 50 600

35 75 900

10 40 450

La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso

neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema. EJERCICIO #40 Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen enseguida:

Compartimiento Capacidad de

peso (toneladas)

Capacidad de espacio

(pies cúbicos) Delantero Central Trasero

12 18 10

7000 9000 5000

Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga

Peso (toneladas

)

Volumen (pies

cúbicos /tonelada

)

Ganancia ($€€€/tonelada)

1 2 3 4

20 16 25 13

500 700 600 400

320 400 360 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER. EJERCICIO #41 Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son:



Elemen-to

Básico

MINA MINA Costos en

U$/Ton de mineral

1 2 3 4 1 800 A 10 3 8 2 2 400 B 90 150 75 175 3 600 C 45 25 20 37 4 500

Utilizando el programa SOLVER, la GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. EJERCICIO #42 Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes Utilizando el programa SOLVER, indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?

Jugo de

Naranja

Jugo de

Toronja

Jugo de Arándan

o

Existencia [gal]

Costo [$/gal]

Bebida A

40 40 0 200 1,50

Bebida B

5 10 20 400 0,75

Bebida C

100 0 0 100 2,00

Bebida D

0 100 0 50 1,75

Bebida E

0 0 0 800 0,25

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.

EJERCICIO #43 Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100

de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta y aplicando el programa SOLVER, indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? EJERCICIO #44 Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P, Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar, aplicando SOLVER, el número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del producto terminado, si se conoce la siguiente tabla:

EJERCICIO #45 Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye

Ffábrica Unidades requeridas

por corrida Unidades producidas

por corrida

Material P Q R A1 B1 A2 B2 UNO 7 3 10 5 6 0 0 DOS 5 6 5 0 0 7 8



$1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber, utilizando el programa SOLVER ¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6? EJERCICIO #46 Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$100. Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y aplicando el programa SOLVER, encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). EJERCICIO #47 Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento).

Vehículo Costo [US$]

Ingresos primer año

[US$]

Ingresos segundo

año [US$] Automóvil 7000 3000 5400 Camioneta 6500 2300 5300

Jeep 5800 2100 5000

Aun cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros. Formule un modelo de

programación lineal para el problema y resuelva aplicando el programa SOLVER. EJERCICIO # 48 Colorado Beef Inc. (CBI) procesa dos clases de carne cada una de las cuales requiere diferentes técnicas de producción. La CBI necesita saber cuál es su programa de producción dado que su precio de venta a sus distribuidores es de $180 y $150 por tonelada, para los grados A y B respectivamente. Este precio se paga a la CBI, f.o.b. en la planta de Denver. Contabilidad de costos ha estimado que la mano de obra directa cuesta el 40% del precio de venta para ambos grados. Otros costos diferentes a los de mano de obra directa, matanza y empaque son de $25 para cada grado y los de matanza y empaque son de $30 y $50 por tonelada de grados A y B respectivamente. La capacidad de matanza y empaque está limitada a 2,000 horas-hombre por día. Cada tonelada de grados A y B requieren 1,5 horas y 1,0 hora de procesamiento en matanza y empaque respectivamente. La mano de obra directa disponible se considera ilimitada. Formule el modelo de programación lineal, para la CBI que maximice las utilidades. Determine la mejora combinación de producción para el procesamiento por el método de la representación gráfica, identificando el área de soluciones factibles y sus vértices. EJERCICIO # 49 La Florida Oranges Inc. (FOI) tiene que determinar la cantidad óptima de furgones para recoger, empacar y transportar sus naranjas "super" y "comunes" cada semana. La mano de obra disponible para recogerla y empaque es de 4000 horas semanales, para recoger, empacar y dejar un furgón cargado con naranjas super, se necesitan 30 horas y para naranjas comunes se necesitan 15 horas. La FOI tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $60,000. El costo de alquiler por cada proceso de carga del furgón y transporte es de $200 y $300 para naranjas comunes y super respectivamente. La utilidad por furgón es de $2,000 para naranjas comunes y de $2,500 para naranjas super. La FOI desea determinar la combinación óptima de furgones por tipo de naranjas que maximice la utilidad semanal. Formule el modelo de programación lineal para el problema de la FOI. Determine la mejor decisión graficando las restricciones del modelo, identificando el área de soluciones factibles y los vértices. EJERCICIO # 50 Considere el problema de programación de la producción de un producto para cada una de las próximas 4 semanas. El costo de la producción de una unidad es $100 para las 2 primeras semanas y $150 para las últimas 2. Las demandas semanales son 7, 8, 9 y 10 unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir un máximo de 9 unidades semanales. Además, se pueden emplear



horas extras durante la tercera y cuarta semana; esto incrementa la producción semanal en 2 unidades más, pero el costo de producción también sube en $58 por unidad de hora extra. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo unitario de $3. ¿Cómo programar la producción de tal manera que minimice los costos totales? Formule este problema como un modelo de programación lineal. EJERCICIO # 51 La Texas Electronics Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300.000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50.000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de la planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2, 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y desechos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y desempacar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI EJERCICIO # 52 La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La máquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de 800 horas para manos de obra y 600 horas para prueba cada mes Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal. EJERCICIO # 53 Los supervisores de la producción de una refinería deben programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera

similar, cuando se efectúa el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso 1 genera 4000 galones de gasolina y 1750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso 2 genera 3500 galones de gasolina y 2250 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1200 barriles de petróleo nacional y 1800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28000 galones de gasolina y 12000 galones de petróleo para consumo doméstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1000 y $1100 para los procesos 1 y 2, respectivamente. a) Plantee un modelo de programación lineal para determinar el programa de producción que maximice la contribución total. Asegúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción. b) El U.S. Department of Energy puede emitir un dictamen que limite la producción total de gasolina a no más de la mitad del petróleo que se fabrique para uso doméstico. ¿Qué restricción debe añadirse al modelo para plantear esta condición? EJERCICIO # 54 La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son:

Maní: $0.90 por libra Pasas: $1.60 por libra Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son: Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente Especial: Cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos. Extra: Cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní. Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.



EJERCICIO # 55 La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y reafinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales en $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL. EJERCICIO # 56 La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: A es una raqueta "estándar", B y C son raquetas "profesionales". El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo estándar de PL. EJERCICIO # 57 La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Albany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terrenos en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de

brócoli requiere 2-5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. EJERCICIO # 58 La Clear-Tube Company fabrica partes electrónicas para aparatos de televisión y radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios de AM/FM y tocacinta. Ha construido una planta que puede operar 48 hora semanales con gastos fijos de $10,000 por semana. La producción de un radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye con $20 a las utilidades y cada tocacintas con $25. El departamento de mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 tocacintas. Plantee un problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades. EJERCICIO # 59 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia.

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