PROGRAMA I. OBJETIVOS II. TEMARIO - COLEGIO SALESIANO DE...

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

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INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII 1

PROGRAMA

I. OBJETIVOS

1. Repasar los conceptos fundamentales de la matemática.

2. Introducir los principios básicos de la programación.

II. TEMARIO

Lógica Matemática es una asignatura que comprende primero la revisión de las principales bases del cálculo como son los axiomas de orden,

intervalos, ecuaciones, funciones. Y en la segunda parte se introducen los principios básicos de programación y diagramas de bloques con el fin

de desarrollar el pensamiento lógico y estructurado de los estudiantes.

1. Repaso general

Axiomas. Propiedades.

Operaciones básicas. Notación y representación de intervalos.

Fracciones.

2. Ecuaciones Ecuación.

Inecuación. Sistemas de ecuaciones y procedimiento para su resolución.

Interpretación gráfica. Principios y propiedades de una ecuación cuadrática.

3. Funciones

Conceptos generales de las funciones (dominio, rango,

coordenadas). Propiedades de las principales funciones matemáticas (afín, lineal

entre otras).

4. Principios Básicos de programación Concepto de entrada y salida.

Estructuras y metodología de programación. Diagramas de flujo.



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La tabla 1 relaciona los temas que se van a trabajar en esta asignatura

con su respectiva intensidad horaria y cronograma.

TEMA HRS SEMANA

1. Repaso general 9 1 - 2

1. Propiedades fundamentales y axiomas 1 1

2. Intervalos 1 1

3. Operaciones básicas 3 1

4. Repaso de fraccionarios 4 2

2. Ecuaciones 15 3 - 7

1. Ecuaciones de primer orden 3 3

2. Sistemas de Ecuaciones 3 4

3. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones 3 5

4. Inecuaciones 3 6

5. Ecuación Cuadrática 3 7

Taller de preparación al primer examen 3 8

Examen 1 3 9

3. Funciones 9 10 - 13

1. Conceptos generales 4 10

2. Propiedades de las principales funciones 5 11-12

4. Principios básicos de programación 6 13-14

1. Concepto de entrada y salida 1 13

2. Estructuras y metodología de programación 2 13

3. Diagrama de flujo y elaboración de programas 3 14

Taller de preparación al examen final 3 15

Examen final 3 16

Entrega de notas 3 17

TOTAL 17

Tabla 1. Temario Lógica Matemática

III. METODOLOGÍA

Lógica matemática es una asignatura teórica que pretende brindar los conocimientos suficientes para que los estudiantes comprendan la

aplicación de las matemáticas en la tecnología, por esta razón no se

trata de llegar a un nivel de profundización máximo sino de que entiendan el concepto y utilización de los desarrollos matemáticos.



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Se realizan clases presenciales, dirigidas por el profesor encargado de la

asignatura. El profesor desarrollará talleres individuales y grupales al finalizar la exposición de cada tema.

IV. EVALUACIÓN

DESCRIPCIÓN % SEMANA FECHA

Examen 1 30 9

Examen Final 30 16

Talleres 20 1 – 17

Trabajo en clase 20 1 – 17

Tabla 2. Evaluación “Lógica Matemática”

V. TALLERES

Por cada tema visto en clase se realizará un taller para entregar la clase

siguiente. Así como evaluaciones cortas o trabajos en clase de acuerdo a las sesiones.



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REPASO GENERAL

1. Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay

un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números

enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).

Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b,

donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.

Existen dos maneras:

decimales terminales decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b,

donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten

infinitamente.



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Los números están ordenados en conjuntos según sus propiedades:

N: naturales, números enteros positivos

Ejemplo: 1, 2, 3, 4,….

Z: enteros, números positivos y negativos Ejemplo: …, -4, -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, 4,…

Q: racionales, decimales que se puedan escribir en forma de fracción

y periódicos Ejemplo: 1/3, -1/4…

Q’: irracionales, decimales que no se puedan escribir en forma de

fracción y no periódicos

Ejemplo: , 2

R: reales, es el conjunto de agrupa todos los conjuntos anteriores

C: complejos, números compuestos con imaginarios (i)

2. Axiomas y propiedades

Conmutativa de adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

Conmutativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4* 2 = 2*4

Asociativa de adición: La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el

resultado es el mismo.



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Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4*(2*9) = (4* 2)*9

Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo: 4*(2 + 9) = 4* 2 + 4* 9

Existencia de un neutro aditivo, el elemento 0

aa 0

Existencia de un neutro multiplicativo, el elemento 1

aa 1

Propiedad distributiva

cabacba )(

Propiedad asociativa

)()( cbacbacba

Propiedad conmutativa

abba



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Inverso multiplicativo

11

ba

Inverso aditivo

0aa

Teorema 1

000* baba

Teorema 2

abba

abba

))((

)(

3. Operaciones básicas

Para agrupar términos o expresiones algebraicas se utilizan los paréntesis ( ), los corchetes [ ], o las llaves { }; generalmente las

expresiones contenidas entre paréntesis se consideran como una sola cantidad. No existe una regla para dar importancia a un tipo de

paréntesis con respecto a los otros, sin embargo, es usual utilizar los

paréntesis () como los paréntesis para expresiones interiores, después los corchetes [] y finalmente las llaves {}.

Ejemplo: wyx4zx3x

¿Cuándo suprimir signos?

En ocasiones se requiere de quitar los símbolos de agrupación para lo

que se tienen algunas normas:

Cuando una expresión algebraica esta agrupada mediante un paréntesis

y este esta precedido de un signo positivo se puede quitar el paréntesis sin modificas los términos de la expresión.



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Por el contrario si el paréntesis esta precedido de un signo menos, se

puede quitar el paréntesis cambiando el signo a cada uno de los términos.

Cuando una expresión cuenta con más de un paréntesis que agrupa

expresiones, se comienza por los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores.

Expresión algebraica con agrupaciones

Expresión algebraica sin agrupaciones

(7x - (5y + 1)) + t (7x – 5y -1)+ t = 7x – 5y + t -1

8 -((4xy)- (3xz + y)) 8 - (4xy -3xz - y)) = 8 - 4xy + 3xz + y

{[(2x+1)- (xy-1)]+2xz} {[(2x+1) - (xy-1)]+2xz}=

{(2x+1) - (xy-1)+2xz}=

{2x+1 – xy +1+2xz}=

2x+1 – xy + 1+ 2xz

a. Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.

Evaluar las expresiones exponenciales.

Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

b. Reglas de los signos

En suma de números con signos iguales, se suman los números y

el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.



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Ejemplo:

5 + 8 = 13 5 + -8 = -3

En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si

se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3 5 - (-8) = 13

En multiplicación y división de números con signos iguales el

resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo: 5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

4. Notación y representación de intervalos

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos

números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:

1. Intervalo abierto (a, b) = {x/a x b}. 2. Intervalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan

con un punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ).

Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:



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Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora

cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez.

Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de

intervalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intervalo (- , a).

5. Fracciones

Una fracción es una expresión en la forma:

0b

b

a



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a. Suma

En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o

restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

00 db

bd

cbad

d

c

b

a

b. Resta

00 db

bd

cbad

d

c

b

a

Por ejemplo:

c. Multiplicación

Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los

numeradores y se multiplican los denominadores y se simplifica el resultado

00

))((

db

bd

ac

d

c

b

a

Por ejemplo:

4

1

8

2

2

1

4

2



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d. División

Para dividir se multiplica por el inverso y se simplifica el resultado.

000

)/()(

cdb

bc

ad

d

cb

a

d

c

b

a

Por ejemplo:

14

4

1

2*

4

2

2

1/

4

2



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EJERCICIOS

DESARROLLAR

36 6*4 6 2(3 2)

4 2*5 5(6 4) 8(7 2)

3 2 4 5 6

7 3 5 4 3 4

(2*2 5) 2(3*3 1)(1 2*6)

A

B

C x y y z x z

D x y z y x z

E

)14(2)916918(4

2*)82*971*16(21

))98(210(4

)2*65()3211(9

)8518(25*4

J

I

H

G

F

INTERVALOS

);4

3(

2726

50

5

24

]15;10[

83

12

4

1

5

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a



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FRACCIONARIOS

4

5*26

2

5

4

1

4

3

5

11

3

5

3

2

3

47

3

4

5

7

3

42

3

24

E

D

C

B

A

15 9

/8 2

11 9 5*

7 7 3

3 1 25*

2 5 7

2 3 3/

8 15 10

8 3 1*

5 8 6

F

G

H

I

J



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ECUACIONES

1. Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado

de una ecuación se conoce como solución o raíz.

Si se quiere comprobar que el valor de la solución esta correcto,

simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la solución.

Ejemplo:

X + 8 = 3 X = 3 - 8

X = -5

Comprobación:

X + 8 = 3 (-5) + 8 = 3

3 = 3

Una ecuación que está en la forma , donde a y b son

constantes y , es una ecuación lineal de la variable x. La solución

de una ecuación como esta es .

Para resolver una ecuación, usualmente se trata de cambiar o transformar ésta en una ecuación equivalente. Esta transformación se puede hacer de la siguiente forma:

sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada.

multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero.



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Por ejemplo:

Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Multiplicando a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero:

2. Inecuación

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son



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Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se

usan para resolver una ecuación lineal.

Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8 11 > x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.

Ejemplo:

Ejemplo:

Resolver la inecuación

Réstese 2x de cada miembro: Réstese 6 de cada miembro:

Finalmente:

4x + 6 > 2x -7

4x -2x + 6 > 2x -2x -7 2x +6 -6 > -7 -6

x > (-13 ÷ 2)

Por tanto, todo valor de x mayor que -7.5 verifica la inecuación.



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Ejemplo:

Resolver la inecuación

Multiplíquese por 15 cada miembro

Réstese 15x de cada miembro: Réstese 30 de cada miembro:

Divídase entre -10 cada miembro

Finalmente:

(6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5 30 + 5x < 15x -21

30 + 5x -15x < 15x -21 -15x 30 -10x -30 < -21 -30

(-10x)÷-10 > (-51)÷-10

x > 5.1

Por tanto, todo valor de x superior a 5.1 satisface la inecuación

propuesta

3. Inecuaciones simultáneas

Inecuaciones simultáneas son aquellas que se satisfacen para los

valores de la variable.

Ejemplo: ¿Para qué valores de x se verifica simultáneamente las

inecuaciones 10x - 15 < 0 y 5x > 3?

Resolviendo las inecuaciones vemos que la primera se satisface para x < 3 ÷ 2, y la segunda, para x >(3 ÷ 5); por consiguiente,

los valores de x comprendidos entre 3 ÷ 5 y 3 ÷ 2, es decir, mayores que (3 ÷ 5) y menores que 3 ÷ 2, verifican

simultáneamente ambas inecuaciones. Este resultado se escribe así:

(3 ÷ 5) < x < (3 ÷ 2)

Esquemáticamente podría representarse como lo indica la figura:

Los valores de x comprendidos en la parte sombreada, satisfacen

simultáneamente el sistema de inecuaciones.



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4. Sistemas de ecuaciones y procedimiento para su resolución

Un sistema de ecuaciones conserva el mismo principio que una ecuación

sin embargo se tienen dos o más incógnitas cuyos valores se deben encontrar. En estos sistemas se deben tener el mismo número de

ecuaciones que de ecuaciones para poder resolverlos.

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de

ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Eliminación de una incógnita: Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una

ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:

1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación.

3º. Por sustitución.

a. Eliminación por adición o sustracción:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los

coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de

signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se

obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.



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Ejemplo:

Resolver el sistema: x - 3y = 9 (1),

2x + y = -10 (2).

Solución: Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:

2x - 6y = 18 (3).

Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":

-7y = 28, se obtiene: y = -4.

Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones

dadas, y despéjese a "x":

x - 3y = 9 x - 3(-4) = 9

x + 12 = 9 x = -3;

por tanto: x = -3; y = -4.

b. Eliminación por igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita

eliminada.

c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de

la incógnita no eliminada.

d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.



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Ejemplo:

Resolver el sistema: x + 2y = 22 (1)

4x - y = 7 (2)

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene: x = 22 - 2y (3)

x = (7 + y) / 4 (4)

Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x": 22 - 2y = (7 + y) / 4

Dar forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:

88 - 8y = 7 + y -9y = -81

y = 9

Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":

x = 22 - 2y (3) x = 22 - 2(9)

x = 4

por tanto: x = 4; y = 9.

c. Eliminación por sustitución

a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.

b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la

incógnita no eliminada d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el

valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Ejemplo:

Resolver el sistema: 3x + y = 22 (1)

4x - 3y = -1 (2)

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):



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3x = 22 - y

x = (22 - y) / 3 (3)

Sustitúyase (3) en (2): 4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1

4 (22 - y) - 9y = -3 88 - 4y - 9y = -3

-13y = -91 y = 7.

Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".

x = (22 - y) / 3 (3). x = (22 - 7) / 3

x = 5

por tanto: x = 5; y = 7.

Observaciones:

1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que

multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.

2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga

menor coeficiente.

3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y

cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares. Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo

general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el

método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

d. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones

Para esta sección el procedimiento es traducir un problema a lenguaje matemático, mas específicamente a sistemas de ecuaciones.



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5. Principios y propiedades de una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo , donde a > 0, y en donde a, b y c son constantes.

Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar

( ) y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática, el

cual usamos para parear los coeficientes de con a, el coeficiente de x

con b y la constante con c.

La fórmula cuadrática es: .

1. Primero verificar que la ecuación esté en su forma estándar y determinar los valores de las variables a, b y c. 2. Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por

las variables.

Por ejemplo:



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EJERCICIOS ECUACIONES

INTERVALOS – INECUACIONES

3 4 2 1

5 7 9

1 5 21

3 2 4

2 3 4 5

x x

x

x

x x

x x

235

214

5144

353

3212

24

23

x

x

x

xx

xx

x

ECUACIONES

3 5 ( 2) 8

4 1 5

2 3 (1 4 ) 6 3

3 4 3 3 3 3

6 3 93

x x

x x

x x x

x x x

x x

41

3

7

2

34

3

5

34

943

12090

x

x

x

x

x

SISTEMAS DE ECUACIONES

9

21 3

2 7

13

2

11 4

6

y x

y x

x y

x y

y x

y x

72

32

1

5144

353

yx

yx

x

yx



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PROBLEMAS

Pedro compra 4 corbatas y 3 camisas por 1080 pesos. Sabiendo que el precio de una corbata es 3/5 el precio de una camisa, ¿Cuál

es el precio de una camisa y el de una corbata.

María va al mercado y compra 15 frutas por 1560. Si las manzanas cuestan 120 pesos y los bananos 96 pesos, ¿Cuántas

manzanas y cuantos bananos compro María?

En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de

cada clase?

En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen

comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas

están en mi clase?



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FUNCIONES

1. Conceptos generales de las funciones

a. Plano de coordenadas

Para construir una plano de coordenadas, primero se escoge un punto

en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la

recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda.

En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en

orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

b. Coordenadas

Llamamos la coordenada de un punto cada punto en la recta numérica asociado con un número real. Un par ordenado es un par de números a y b con elementos escritos en una forma determinada.

Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. En el par

(7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5.



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Ya hemos visto en la primera sección cómo se construye un plano de

coordenadas. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro

zonas llamadas cuadrantes.

Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del

cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa

el lugar vertical del punto.

c. Gráfica de una función



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Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual

que si hiciéramos la gráfica de una ecuación y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y

se conectan. Por ejemplo:

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números

reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica.

Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función.

Una función consiste en dos conjuntos: dominio y rango. Además de una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro

del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y

y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Gráficamente, una línea vertical no puede interceptar la gráfica de una función en más de un punto.



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Ejemplo:

La figura 1 define una función, mientras que la figura 2 no define una función.

d. Elementos de una función

Una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma particular. La primera de esas magnitudes se denomina variable

independiente y la segunda variable dependiente. Además, toda función (de una variable) admite una expresión del tipo

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).

Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, x. El dominio de una

función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).

Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y,

es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.



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El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con

alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).

2. Propiedades de las principales funciones matemáticas

a. Ecuación de la recta

La función y = ax+b representa una recta de pendiente a y de ordenada en el origen b. El gráfico de la función f(x) = ax+b es una

recta.

b. Función constante

Es aquella donde cada valor del rango, no importa el valor de x, siempre será el mismo (único valor) ya que a = 0 entonces f(x) = b es la función

constante: su gráfico es una recta paralela al eje x.



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3. Ecuación de una recta que pasa por un punto P

Si el punto P tiene coordenadas (x0; y0) y la recta y = ax + b tiene que pasar por P, entonces las coordenadas (x0; y0) deben satisfacer la

ecuación, es decir y0 = ax0 + b.

Eliminando b de las ecuaciones, esto es, restando miembro a miembro y = ax + b

y0 = ax0 + b Obtenemos y _ y0 = a(x _ x0), que es la ecuación general de la recta

que pasa por P. Finalmente obtenemos que a = (y - y0) / (x - x0) que es la pendiente de la recta.

4. Recta que pasa por dos puntos

Si tenemos dos puntos distintos, P1 de coordenadas (x1; y1) y P2 de coordenadas (x2; y2), entonces existe una única recta que pasa por

ambos. Para encontrar la ecuación de esta recta, escribimos la ecuación de una

recta genérica que pase por P1: y_y1 = a(x_x1), y ponemos la condición de que esta recta pase por P2: y2 _ y1 = a(x2 _ x1) .

Entonces podemos calcular a = (y2 - y1) / (x2 - x1) Obtenemos entonces finalmente la ecuación reemplazando

y _ y1 = (y2 _ y1 / x2 _ x1)*(x _ x1)

5. Rectas Paralelas

Dos rectas no verticales, son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Las ecuaciones serán y = ax + b y y = ax + b0.

6. Rectas Perpendiculares

Veamos que dos rectas (no verticales) con pendientes a y a0, son perpendiculares si y sólo si las pendientes satisfacen la relación

a*a0=-1.



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7. Graficar una recta

Para graficar una recta se debe tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.

Grafiquemos la recta: y = 3 x + 1

La ordenada al origen es (0, 1), el primero que ubicamos en el gráfico. A

partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo

bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.



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EJERCICIOS FUNCIONES

1. Determinar cuáles de los puntos (3; 1), (2; 3), (6; 3), (-3;-3), (3;-1),

(-2; 1) están situados en la recta 2x -3y -3 = 0 y cuáles no lo están.

2. Los puntos A; B; C; D; E están situados en la recta 3x _ 2y _6 = 0

sus abscisas son 4, 0, 2, -2, -6 respectivamente. Determinar las

ordenadas de esos puntos.

3. Determinar gráficamente los puntos de intersección de la recta 2x -3y

-12 = 0 con los ejes coordenados y dibujar la recta en el plano.

4. Hallar gráficamente los puntos de intersección de las rectas

3x -4y = 29

2x +5y = -19

5. Dada la recta 2x + 3y + 4 = 0, hallar la ecuación de la recta que pasa

por el punto (2,1) y es:

(a) paralela a la recta dada.

(b) perpendicular a la reta dada

6. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del

triángulo en los puntos A (5;-4), B(-1; 3), C(-3; 2).

7. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen, b, de la recta 3x + 2y

= 7.



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8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(-1; 5) y es paralela a la

recta que pasa por A(-2; 1) y B(-3; 2).

9. Halle la ecuación de la recta que pasa por A(-2; 2) y que es

perpendicular a la recta 2x + y = 4.

10. Determinar la ecuación de la recta que posee pendiente m = 2 y

pasa por el punto (5; –1)

11. Escribir las ecuaciones de las rectas determinadas por cada uno de

los siguientes pares de puntos (0 ; 7) y (– 2 ; 1)

12. Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los

lados del triángulo cuyos vértices son: ( 2 ; 1); (0 ; 2) y (– 3 ; – 4)

13. Escribir la ecuación de la recta paralela y perpendicular a y = – ½ x

+ 1 que pase por el punto P = (4 ; 0)



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PRINCIPIOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN

1. Conceptos básicos y metodología para resolver problemas

a. Definiciones

PROGRAMA:

Secuencia de pasos a lógicos para resolver un problema.

ESTRUCTURA:

ENTRADA: Tomar datos de un dispositivo externo (Teclado,

Mouse) y dejarlos en memoria.

PROCESO: A los datos dejados en memoria se les manda a la ALU

(Unidad Aritmético Lógica) y los devuelve a la memoria.

SALIDA: Se envían a un dispositivo externo y se presenta como información después de ser procesados. (Monitor, Impresora)

LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN:

Conjunto de caracteres que nos permiten crear instrucciones siguiendo una sintaxis.

LENGUAJE ALGORÍTMICO:

Orientado a procedimientos y diseñado para ayudar al programador en el diseño y desarrollo de algoritmos.

Metodología

Entender el problema.

Hacer un análisis:

¿Qué tenemos?

¿Qué necesitamos?



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¿Qué buscamos?

Diseñar el algoritmo de solución.

Codificar.

b. Tipos de datos

ENTEROS: (Int) Números enteros positivos o negativos.

REALES: (Flota) Números con decimales.

CARACTERES: (Char) Símbolos, Nº, caracteres solos. (@, #, $, %)

CADENA DE CARACTERES: (String) Agrupación de caracteres.

BOLEANOS: (Bolean) .T. (True), .F. (false)

VARIABLES:

Es un conjunto de símbolos o solo uno que reserva espacio en la

memoria y su valor puede cambiar durante la ejecución del programa. Solo números y letras. Números solos NO. Letras solas SI.

CONSTANTES:

No cambia su valor durante la ejecución del programa. Solo números y

letras. Números solos NO. Letras solas SI.

SINTAXIS PARA DECLARAR VARIABLES:

INICIAR VARIABLE:

VARIAS VARIABLES:

DECLARAR CONSTANTES:

ASIGNACIÓN:

Aquí le asignamos un valor a la variable a (5), de lo cual se deduce que



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el valor de dicha variable es 5.

COMPARACIÓN:

Aquí lo que queremos decir es que la variable a es igual al valor 5.

c. Operadores

Es un símbolo o palabra que nos ayuda a realizar una operación.

Los operadores pueden ser:

ARITMÉTICOS:

SUMA +

RESTA -

MULTIPLICACIÓN *

DIVISIÓN /

EXPONENTE ^

RESIDUO MOD

RELACIONALES:

MAYOR QUE >

MENOR QUE <

MAYOR O IGUAL QUE >=

MENOR O IGUAL QUE <=

IGUAL A ==

DIFERENTE A |=

LÓGICOS:

UNIÓN AND Los dos deben cumplirse.

INTERSECCIÓN OR Con uno que se



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cumpla.

NEGACIÓN NOT Cambia true por false

AND: (Los deben de cumplirse)

A B A AND B

0 0 0 (Falso)

0 1 0 (Falso)

1 0 0 (Falso)

1 1 1 (Verdadero)

OR: (Con uno que se cumpla)

A B A OR B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

NOT: (Cambia verdadero por falso y viceversa)

OPERANDOS:

Valores o variables que nos permiten presentar un resultado o un dato:

EXPRESIONES.

Conjuntos de operadores y operandos relacionados entre si, con la

finalidad de construir una operación valida.

2. Pasos para la solución de problemas

El proceso de resolución de un problema con una computadora conduce

a la escritura de un programa y a su ejecución en la misma. Aunque el proceso de diseñar programas es esencialmente un proceso creativo, se



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pueden considerar una serie de fases o pasos comunes, que

generalmente deben seguir todos los programadores.

Las siguientes son las etapas que se deben cumplir para resolver con éxito un problema de programación:

1. Definición del problema

2. Análisis del problema

3. Selección de la mejor alternativa 4. Diagramación

5. Prueba de escritorio 6. Codificación

7. Transcripción 8. Compilación

9. Pruebas de computador 10. Documentación externa

1.- DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Está dada por el enunciado del problema, el cúal debe ser claro y completo. Es importante que conozcamos exactamente que se desea del

computador; mientras qué esto no se comprenda, no tiene caso pasar a la siguiente etapa.

2.- ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Entendido el problema (que se desea obtener del computador), para resolverlo es preciso analizar:

Los datos o resultados que se esperan.

Los datos de entrada que nos suministran. El proceso al que se requiere someter esos datos a fin de obtener

los resultados esperados.

Áreas de trabajo, fórmulas y otros recursos necesarios.

Una recomendación muy práctica es el que nos pongamos en el lugar del computador, y analizar que es necesario que me ordenen y en que

secuencia, para poder producir los resultados esperados. También da buenos resultados hacer similitudes con la labor de un empleado que

hace el mismo trabajo que deseamos programarle al computador.



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3.- SELECCIÓN DE LA MEJOR ALTERNATIVA

Analizado el problema, posiblemente tengamos varias formas de resolverlo; lo importante es determinar cual es la mejor alternativa: la que produce los resultados esperados en el menor tiempo y al menor

costo. Claro que aquí también es muy válido el principio de que las cosas siempre se podrán hacer de una mejor forma.

4.- DIAGRAMACIÓN

Una vez que sabemos cómo resolver el problema, pasamos a dibujar gráficamente la lógica de la alternativa seleccionada. Eso es

precisamente un Diagrama de Flujo: la representación gráfica de una secuencia lógica de pasos a cumplir por el computador para producir un

resultado esperado.

La experiencia nos ha demostrado que resulta muy útil trasladar esos

pasos lógicos planteados en el diagrama a frases que indiquen lo mismo; es decir, hacer una codificación del programa pero utilizando

instrucciones en Español. Como si le estuviéramos hablando al computador. Esto es lo que denominaremos Algoritmo o Pseudo código.

Cuando logremos habilidad para desarrollar programas, es posible que

no elaboremos el diagrama de flujo; en su lugar podremos hacer directamente el pseudo código del programa.

5.- PRUEBA DE ESCRITORIO

Para cerciorarnos de que el diagrama (y/o el pseudo código) esta bien, y, para garantizar que el programa que codifiquemos luego también

funcione correctamente, es conveniente someterlo a una Prueba de Escritorio. Esta prueba consiste en que damos diferentes datos de

entrada al programa y seguimos la secuencia indicada en el diagrama,

hasta obtener los resultados. El análisis de estos nos indicará si el diagrama esta correcto o si hay necesidad de hacer ajustes (volver al

paso 4). Se recomienda dar diferentes datos de entrada y considerar todos los posibles casos, aun los de excepción o no esperados, para

asegurarnos de que el programa no producirá errores en ejecución cuando se presenten estos casos.



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6.- CODIFICACIÓN

Una vez que hayamos verificado el diagrama mediante las pruebas de escritorio, codificamos el programa en el lenguaje de computador seleccionado. Esto es, colocamos cada paso del diagrama en una

instrucción o sentencia, utilizando un lenguaje que el computador reconoce.

Todos los lenguajes de programación proveen facilidades para incluir líneas de comentarios en los programas. Estos comentarios aclaran lo

que se ordena al computador y facilitan entender el programa. Puesto que estos comentarios no son tenidos en cuenta como instrucciones, y

aparecen en los listados del programa, resulta muy conveniente agregar abundantes comentarios a todo programa que codifiquemos. Esto es lo

que se denomina Documentación Interna.

7.- TRANSCRIPCIÓN

El programa codificado es necesario que lo llevemos a un medio que sea

aceptado como entrada por el computador: lo perforamos en tarjetas, lo grabamos en un disco flexible o lo grabamos en un disco duro. Este

programa es el que se conoce como Programa Fuente (Source).

8.- COMPILACIÓN

Utilizamos ahora un programa de computador llamado Compilador o

Traductor, el cual analiza todo el programa fuente y detecta errores de sintaxis ocasionados por fallas en la codificación o en la trascripción. Las

fallas de lógica que pueda tener nuestro programa fuente no son detectadas por el compilador. Cuando no hay errores graves en la

compilación, el compilador traduce cada instrucción del programa fuente a instrucciones propias de la máquina (Lenguaje de Maquina), creando

el Programa Objeto.

Algunos computadores utilizan Interpretadores, (Generalmente para el

Lenguaje Basic), en reemplazo de programas compiladores. La diferencia consiste en que el interpretador recibe, desde una terminal,

sólo una instrucción a la vez, la analiza y, si esta bien, la convierte al formato propio de la maquina. Si la instrucción tiene algún error, el



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interpretador llama la atención de la persona para que corrija dicha

instrucción.

Como resultado de la corrida del compilador, podemos obtener varios listados:

Listado del programa fuente

Listado de los errores detectados

Listado de campos utilizados, etc.

Los errores los debemos corregir sobre el mismo programa fuente, ya sea reemplazando las tarjetas mal perforadas o regrabando en el disco

flexible o en el disco duro. Este paso de la compilación lo repetimos hasta eliminar todos los errores y obtener el programa ejecutable.

9.- PRUEBAS DE COMPUTADOR

Cuando tenemos el programa ejecutable (en lenguaje de maquina), ordenamos al computador que lo ejecute, para lo cual suministramos

datos de prueba, como lo hicimos en la prueba de escritorio (paso 5). Los resultados obtenidos los analizamos, luego de lo cual puede ocurrir

cualquiera de estas situaciones:

a.- La lógica del programa esta bien, pero hay errores sencillos, los

cuales los corregimos modificando algunas instrucciones o incluyendo unas nuevas; el proceso debemos repetirlo desde el paso 6.

b.- Hay errores ocasionados por fallas en la lógica, lo que nos obliga a

regresar a los pasos 4 y 5 para revisión y modificación del diagrama.

c.- Hay errores muy graves y lo más aconsejable es que regresemos al

paso 2 para analizar nuevamente el problema, y repetir todo el proceso.

d.- No hay errores y los resultados son los esperados. En este caso, el programa lo podemos guardar permanentemente en una librería o

biblioteca del computador, para sacarlo de allí cuando necesitemos ejecutarlo nuevamente.



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10.- DOCUMENTACIÓN EXTERNA

Cuando el programa ya se tiene listo para ejecutar, es conveniente que hagamos su documentación externa siguiendo las normas de la instalación o las recomendaciones indicadas por el profesor. Una buena

documentación incluye siempre:

a. Enunciado del problema

b. Diagrama de pasada c. Narrativo con la descripción de la solución

d. Relación de las variables o campos utilizados en el programa, cada uno con su respectiva función

e. Diagrama del programa f. Listado de la última compilación

g. Resultados de la ejecución del programa.

3. Herramientas de programación

Las dos herramientas más utilizadas comúnmente para diseñar

algoritmos son: diagramas de flujo y pseudo códigos.

a. Diagramas de flujo

Un diagrama de flujo (flowchar) es una representación gráfica de un

algoritmo. Los símbolos utilizados han sido normalizados por el Instituto Norteamericano de Normalización (ANSI), y los más frecuentemente

empleados se muestran a continuación:



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b. Pseudo código

Con la PE, el pseudo código sigue siendo un excelente medio para expresar la lógica de un programa. A continuación se muestran algunos

ejemplos de palabras para construir algoritmos en pseudo código.

PALABRA UTILIZACIÓN

ABRE Abre un archivo

CASO Selección entre múltiples alternativas

CIERRA Cierra un archivo

ENTONCES Complemento de la selección

SI - ENTONCES

ESCRIBE Visualiza un dato en pantalla

FIN Finaliza un bloque de instrucciones

HASTA Cierra la iteración HAZ - HASTA

HAZ Inicia la iteración HAZ - HASTA

INICIO Inicia un bloque de instrucciones

LEER Leer un dato del teclado



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MIENTRAS Inicia la iteración mientras

NO Niega la condición que le sigue

O Disyunción lógica

O - BIEN Complemento opcional de la selección SI - ENTONCES

PARA Inicia un número fijo de iteraciones

SI Inicia la selección SI-ENTONCES

USUAL Opcional en la instrucción CASO

Y Conjunción lógica

{ Inicio de comentario

} Fin de comentario

<= Asignación

4. Programación estructurada

El creciente empleo de los computadores ha conducido a buscar un abaratamiento del desarrollo de software, paralelo a la reducción del

costo del hardware obtenido gracias a los avances tecnológicos. Los altos costos del mantenimiento de las aplicaciones en producción normal

también han urgido la necesidad de mejorar la productividad del personal de programación.

a. DEFINICIONES

La programación estructurada (en adelante simplemente PE), es un

estilo de programación con el cual el programador elabora programas, cuya estructura es la más clara posible, mediante el uso de tres

estructuras básicas de control lógico, a saber:

a. SECUENCIA. b. SELECCIÓN.

c. ITERACIÓN.

Un programa estructurado se compone de funciones, segmentos,

módulos y/o subrutinas, cada una con una sola entrada y una sola



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salida. Cada uno de estos módulos (aún en el mismo programa

completo), se denomina programa apropiado cuando, además de estar compuesto solamente por las tres estructuras básicas, tiene sólo una

entrada y una salida y en ejecución no tiene partes por las cuales nunca pasa ni tiene ciclos infinitos.

La PE tiene un teorema estructural o teorema fundamental, el cual

afirma que cualquier programa, no importa el tipo de trabajo que ejecute, puede ser elaborado utilizando únicamente las tres estructuras

básicas (secuencia, selección, iteración).

b. DEFINICIÓN DE LAS ESTRUCTURAS BÁSICAS DE CONTROL

LÓGICO

1.- SECUENCIA

Indica que las instrucciones de un programa se ejecutan una después de

la otra, en el mismo orden en el cual aparecen en el programa. Se representa gráficamente como una caja después de otra, ambas con una

sola entrada y una única salida.

Las cajas A y B pueden ser definidas para ejecutar desde una simple

instrucción hasta un módulo o programa completo, siempre y cuando que estos también sean programas apropiados.

2.- SELECCIÓN

También conocida como la estructura SI-CIERTO-FALSO, plantea la selección entre dos alternativas con base en el resultado de la

evaluación de una condición o predicado; equivale a la instrucción IF de todos los lenguajes de programación y se representa gráficamente de la

siguiente manera:



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En el diagrama de flujo anterior, C es una condición que se evalúa; A es la acción que se ejecuta cuando la evaluación de este predicado resulta

verdadera y B es la acción ejecutada cuando indica falso. La estructura

también tiene una sola entrada y una sola salida; y las funciones A y B también pueden ser cualquier estructura básica o conjunto de

estructuras.

3.- ITERACIÓN

También llamada la estructura HACER-MIENTRAS-QUE, corresponde a la

ejecución repetida de una instrucción mientras que se cumple una determinada condición. El diagrama de flujo para esta estructura es el

siguiente:

Aquí el bloque A se ejecuta repetidamente mientras que la condición C se cumpla o sea cierta. También tiene una sola entrada y una sola



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salida; igualmente A puede ser cualquier estructura básica o conjunto de

estructuras.

c. VENTAJAS DE LA PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA

Con la PE, elaborar programas de computador sigue siendo una labor

que demanda esfuerzo, creatividad, habilidad y cuidado. Sin embargo, con este nuevo estilo podemos obtener las siguientes ventajas:

1. Los programas son más fáciles de entender. Un programa

estructurado puede ser leído en secuencia, de arriba hacia abajo, sin necesidad de estar saltando de un sitio a otro en la lógica, lo

cual es típico de otros estilos de programación. La estructura del programa es más clara puesto que las instrucciones están más

ligadas o relacionadas entre si, por lo que es más fácil comprender lo que hace cada función.

2. Reducción del esfuerzo en las pruebas. El programa se puede

tener listo para producción normal en un tiempo menor del tradicional; por otro lado, el seguimiento de las fallas o depuración

(debugging) se facilita debido a la lógica más visible, de tal forma que los errores se pueden detectar y corregir más fácilmente.

3. Reducción de los costos de mantenimiento. 4. Programas más sencillos y más rápidos.

5. Aumento en la productividad del programador. 6. Se facilita la utilización de las otras técnicas para el mejoramiento

de la productividad en programación. 7. Los programas quedan mejor documentados internamente.

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