Prog Logic A

Paradigma de programación lógica

• Programación declarativaDescribir qué es la solución y no cómo calcularlaDescribir qué es la solución y no cómo calcularlaAlgo parecido a las reglas BNF que describen qué es una cadena palíndroma y no cómo calcularla, por ejemplo:p y , p j pCadenas palíndromas de 0, 1Por extensión S ::= 00 | 11 | 101 | 010, …Por comprensión S ::= S | 0S0 | 1S1 | 00 | 11 | 0 | 1

Un procesador (parser) luego las genera o reconoce

• Ventajas– Formalismo– Prototipar rápidamente

UTN - FRM: Paradigmas de Programación - Programación Lógica 2

Fundamentos del paradigma

• Proposiciones lógicas

– Se construyen con objetos y relaciones (predicados)

– Verifica su validez mediante lógica formal

• Lógica simbólica

– Permite expresar proposiciones, relaciones entre ellas y cómoPermite expresar proposiciones, relaciones entre ellas y cómo inferir nuevas relaciones

• Cálculo de predicadosCálculo de predicados

– Forma de cálculo que utiliza el lenguaje

• Recursión• Recursión

– Para representar y procesar información


Fundamentos del paradigma•Lógica de primer orden

– Un literal proposicional es una variable proposicional o laUn literal proposicional es una variable proposicional o la negación de una: p, q , ~r, …

– Una cláusula proposicional es una disyunción de literales: p V ~t V q V ~r

– En las formas clausales los cuantificadores universales están implícitosimplícitos

– Una cláusula de Horn es una cláusula cuantificada universalmente con no más de un literal positivo:p

1) q cláusula unitaria2) ~p1 V … V ~pn V q cláusulas de programa2) p1 V … V pn V q cláusulas de programa3) ~p1 V … V ~pn



•Lógica de primer ordenL V V V d ibi li d l D M– Las ~p1 V … V ~pn V q pueden re‐escribirse aplicando ley DeMorgan: ~p V ~q ~(p Λ q)

~(p1 Λ … Λ p ) V q(p1 Λ … Λ pn) V qpor equivalencia de proposiciones: ~p V q = p => q(p1 Λ Λ p ) => q(p1 Λ … Λ pn) > qantecedente => consecuente

Formas Normales DisyuntivasFormas Normales Disyuntivas Formas clausalesFormas clausalesA A V B V ~C V DV B V ~C V D C => A C => A V B V DV B V D~A V ~B V ~C V D~A V ~B V ~C V D A A ΛΛ B B ΛΛ C => DC => D…… ………… ……


Fundamentos del paradigma• Principales modos de inferencia

– Modus ponens: si p y (p q) son verdaderas, q también es verdad

– Modus tolens: si (p q) es verdad y q es falsa, entonces p es falsa

– Principio de resolución: si (A V B) es verdad y (~B V C) es verdad entonces (A V C) es verdad (refutación)

• Métodos razonamiento de la lógica de predicados – Deductivo: VA, VB, VC [mayor(A, B) Λmayor(B, C)] mayor(A, C)

– Abductivo: si (A B) y B son verdaderas, entonces A posiblemente lo sea

– Inductivo: si P(a), P(b), ......, P(n) son verdad, entonces se puede concluir que V X, P(X) también es verdad



• Para encontrar una solución, debemos especificar qué condiciones debe cumplir aquello que nos interesa averiguardebe cumplir aquello que nos interesa averiguar

• La estructura de un programa se plantea siguiendo un esquema p g p g qsimilar al de un teorema

• Teorema: proposición que afirma una verdad demostrableHi ó i l i (h h i )– Hipótesis: lo que se supone cierto (hechos o axiomas)

– Tesis: lo que se va a demostrar (reglas de inferencia)Demostración: verificación de la tesis (motor de inferencia de– Demostración: verificación de la tesis (motor de inferencia de Prolog)

• Al conjunto de hechos y reglas, se le suele denominar base de conocimiento


Fundamentos del paradigma• Principio de resolución: C1 V p, C2 V ~p => C1 V C2• Teorema: si P Λ Q => Ο entonces P Λ ~Q es insatisfacible• Teorema: si P Λ Q => Ο entonces P Λ Q es insatisfacible• Sean las hipótesis H

1) ~P V ~Q V R (esto es P Λ Q => R)1) P V Q V R (esto es P Λ Q => R)2) P3) Q– se agrega a H una 4) ~R – luego de 1) y 2) se obtiene 5) ~Q V R

l d 3) ) b i 6)– luego de 3) y 5) se obtiene 6) R– luego de 4) y 6) se obtiene O

• Se obtuvo la cláusula vacía por lo tanto H Λ ~R es insatisfacible• Se obtuvo la cláusula vacía por lo tanto H Λ ~R es insatisfacible, luego H si lo es



• Sean las hipótesis H1) ~P V ~Q V R (P Λ Q => R)1) P V Q V R (P Λ Q => R)2) ~W V R (W => R)3) ~S V W (S => W)) ( )4) P5) S– se agrega a H 6) ~R – de 1) y 6) se obtiene 7) ~P V ~Q ‐ de 2) y 6) se obtiene 7) ~W

de 4) y 7) se obtiene 8) ~Q de 3) y 7) se obtiene 8) ~S– de 4) y 7) se obtiene 8) Q ‐ de 3) y 7) se obtiene 8) S– falló ‐ de 5) y 8) se obtiene 9) O

• Se obtuvo la cláusula vacía por lo tanto H Λ ~R es insatisfacibleSe obtuvo la cláusula vacía por lo tanto H Λ R es insatisfacible, luego H si lo es


Fundamentos del paradigma• Àrbol de resolución

– Metas y submetas• Comienza con la cláusula que se quiere probar (objetivo o meta)Comienza con la cláusula que se quiere probar (objetivo o meta)• Trabaja secuencialmente hacia delante (fordward chaining), resolviendo sub‐objetivos• Cuando falla en un objetivo, vuelve hacia atrás (backward chaining)

Objetivo: r

de 1) y 6) se obtiene 7) ~P VV ~Q de 2) y 6) se obtiene 7) ~W

de 4) y 7) se obtiene 8) ~Q d 3) 7) bti 8) Sde 4) y 7) se obtiene 8) Q de 3) y 7) se obtiene 8) ~S


de 5) y 8) se obtiene 9) Ofalló

Lenguaje Prolog• Paradigma de programación lógica• PROLOG (PROgramming in LOGic) 1972PROLOG (PROgramming in LOGic) 1972

– Alain Coulmerauer y Philippe Roussel (Universidad de Aix‐Marseille)

– Principio de resolución de Kowalski (Universidad de Edinburgh)

D t d d t• Demostrador de teoremas• Principales aplicaciones

Sistemas expertos– Sistemas expertos– Procesamiento de lenguaje natural– Bases de datos deductivasBases de datos deductivas– En general, sistemas de búsquedas de objetivos


Sintaxis ProloggUn programa Prolog es un conjunto de cláusulas de Horn

• Forma generalC :‐ C1, C2, …, Cn si n > 0 es una regla; si n = 0 es un hecho1 2 n

• Sintaxis

<predicado> ::= <nombre>( <arg> { , <arg> } )

<hecho> ::= <predicado> .

<regla> ::= <predicado> :‐ <condiciones> .

<condiciones> ::= <exp‐log> { , <exp‐log> }

<exp‐log> ::= <exp‐relac> | <predicado>

• Un predicado representa una relación entre términos

– doble(X, Y) Y representa el doble de X (semántica subjetiva)p j


Elementos del lenguaje• Objetos de datos = términos

• Functores = términos de función• Functores = términos de función– Aridad: si f es el nombre de un functor, f/m denota que tiene aridadm. Ejemplo:

padre(X, juan) padre/2p ( , j ) p /

– El paréntesis debe abrir inmediatamente después del nombre del functor (sin espacios)

• Operadores: precedencia y asociatividad– current_op(X, Y, +) => X = 500, Y = fx (prefijo) ; X = 500, Y = yfx

– current_op(X, Y, not) => X = 900 , Y = fy

– op(100, xf, atom) => yes

• Variables: comienzan con letra mayúscula o con guión bajo

• Operadores lógicos: , ; not


Objetos de datos PrologObjetos

EstructuradosSimples

VariablesConstantesEstructuras Listas

ÁtomosC d NúÁtomosCadenas Números

Enteros

Símbolos

Flotantes

Especiales


Caso de estudio

juan►►Consultas simples y conjuntivasConsultas simples y conjuntivas

carlos luis

padre(padre(juanjuan, , carloscarlos). ). padre(padre(juanjuan, , luisluis).).padre(padre(luisluis daviddavid))

david omar

padre(padre(luisluis, , daviddavid).).padre(padre(luisluis, , omaromar).).padre(padre(omaromar, enrique)., enrique).

enrique pedromarcos

p (p ( , q ), q )padre(padre(omaromar, , pedropedro).).padre(padre(daviddavid, marcos)., marcos).

hijo(X, P) :‐ padre(P, X).hermano(X, Y) :‐ padre(Z, X), padre(Z, Y) , X \== Y.

victorpadre(padre(pedropedro, , victorvictor).).

( , ) p ( , ), p ( , ) , \primo(X, Y) :‐ padre(Z, X), padre(W, Y), hermano(Z, W).ancestro(X, Y) :‐ padre(X, Y).ancestro(X, Y) :‐ padre(X, Z), ancestro(Z, Y).p


Consultas• Formas de consulta

– Test (+): describe los términos para los cuales tiene éxito– Generador (*): produce una secuencia de respuestas– Sea la consulta padre(A, B)

• (+, +) test que comprueba si A es padre de B• (+, *) generador acotado que produce en B los hijos de A• (* +) generador único que produce en A el padre de B( , +) generador único que produce en A el padre de B• (*, *) generador acotado que produce pares padre/hijo

• Ejecución de consultasj– Probar que una meta es satisfacible– Búsqueda de hechos y reglas en forma descendente– Ejecución de sub‐metas de izquierda a derecha– Lo que no está en la base de conocimientos, se supone falso


Instanciación,matching,unificación

• Instanciación: forma en que una variable adquiere un valor• Matching: búsqueda de coincidencias para comparar dosMatching: búsqueda de coincidencias para comparar dos

términos• Unificación: es el proceso que se implementa por matching eUnificación: es el proceso que se implementa por matching e

instanciación– Todo predicado cuyos argumentos no son variables, debe p y g ,coincidir con un axioma, para considerarlo como verdadero

– Si un predicado contiene una variable, esta se instancia con un valor determinado

• Este valor se obtiene buscando en la base de conocimiento y seleccionando todosaquellos predicados que coinciden con esteaquellos predicados que coinciden con este

• El proceso de identificación continua con el valor instanciado para la variable, hasta probar la verdad o falsedad del predicado


Instanciación,matching,unificación• Operador ‘=‘ (instancia un valor) y predicado ‘is’ (evalúa expresiones)

?‐ X is 3 + 4. => X = 7 ?‐ 4 is 1 + 3. => yes? 4 is 1 + 3. > yes?‐ 3 + 4 == 5 + 2. => no?‐ 3 + 4 == 3 + 4. => yes? X 2 + 3 > X 2 + 3?‐ X = 2 + 3. => X = 2 + 3?‐ a(1, 2) = a(X, Y). => X = 1, Y = 2?‐ a(1, 2) = a(2, 3). => no?‐ f(X, X) = f(4, Y). => X = 4, Y = 4

• Para los hechosp(X, 1). (hecho universal)p(X, 1). (hecho universal)p(1, 2).?‐ p(1, Z). => Z = 1, Z = 2? p(1 1) > yes?‐ p(1, 1). => yes?‐ p(X, X). => X = 1?‐ p(1, 2), p(Z,Z). => Z = 1


Inducción y recursión• Modus ponens

– P– P => QP => Q– Q

• Inducción– Base inductiva axioma– Hipótesis inductiva recurrencia

• El conjunto de los naturales N0 εN base inductivaluego X εN si puedo verificar la base

entonces debo verificar que natural(X ‐ 1) εN

– Definir en Prolog: natural(X) que verifica si X εN


Inducción y recursión• Definiciones

!0 = 1 (base inductiva)( )

!1 = 1 * !0

!2 = 2 * !1!2 = 2 !1

…

V X Z+ !X X * !(X 1) (hi ót i i d ti )V X ε Z+ : !X = X * !(X – 1) (hipótesis inductiva)

• Algoritmo recursivo

si X = 0 entonces f(X) = 1

si X > 0 Λ X ε Z+ entonces f(X) = X * f(X ‐ 1)

donde f representa la función factorial f : Z+ Z+


Inducción y recursión

Estilo procedimentalEstilo procedimental Estilo clausalEstilo clausalsi X = 0 entonces si X = 0 entonces

f(X) = 1f(X) = 1f(0, 1)f(0, 1)..f(X, X * Z) f(X, X * Z) ::-- f(X f(X -- 1, Z)1, Z)..( )( )

si X > 0 si X > 0 ΛΛ X X ε ZZ++ entonces entonces f(X) X * f(Xf(X) X * f(X 1)1)

( , )( , ) (( , ), )

f(X) = X * f(X f(X) = X * f(X -- 1)1)

EnEn PrologProlog•• En En PrologPrologfacto(0, 1)facto(0, 1)..facto(X, N) facto(X, N) ::-- T T isis X X -- 11,, facto(T, Z)facto(T, Z),, N N isis X * ZX * Z..


Caso de estudio

?‐ facto(2, X). ?- facto(2, X). => X = 2

facto(0, 1).facto(N, X) :- facto(N – 1, Z), X is N * Z.

facto(2, X) ≠ facto(0, 1)facto(2, X) = facto(2, X) :- facto(1, 1), X is 2 * 1.

( , )

2

facto(2, X) = facto(N, X) :- facto(N–1, Z), X is N *Z.

facto(2 X) = facto(2 X) :- facto(1 Z) X is 2 * Zfacto(2, X) = facto(2, X) :- facto(1, Z), X is 2 * Z.

facto(2, X) facto(2, X) : facto(1, 1), X is 2 1.

facto(2, X) = facto(2, X) : facto(1, Z), X is 2 Z.

facto(1, X) ≠ facto(0, 1)facto(1 Z) facto(1 X) : facto(0 1) X is 1 * 1

1

facto(1, Z) = facto(N, X) :- facto(N–1, Z), X is N *Z.facto(1, Z) = facto(1, X) :- facto(0, Z), X is 1 * Z.

facto(1, Z) = facto(1, X) :- facto(0, 1), X is 1 * 1.

facto(1, Z) = facto(1, X) :- facto(0, Z), X is 1 * Z. 1


facto(0, Z) = facto(0, 1)

Mapeo de funciones en Prolog• Una función f: X1, ..., Xn → X

se escribe como un predicado f con aridad n+1– se escribe como un predicado f con aridad n+1

– f(I1, .., In, O) :‐ ...

• Una función f: X X → X X• Una función f: X1, ..., Xn → Xn+1, .., Xn+k– se escribe como un predicado f con aridad n+k

– f(I I O O ):‐– f(I1, .., In, O1, .., Ok):‐ ...

• Una función f: X1, ..., Xn → Booleanse escribe como un predicado f con aridad n– se escribe como un predicado f con aridad n

– f(I1, .., In):‐...

• Sea h(X) = f( g(X) )• Sea h(X) = f( g(X) )– se escribe h(X, Y) :‐ g(X, Z), f(Z, Y).


Inducción y recursiónEjemplos para resolver

suma(N, S) donde S es la sumatoria de los N primero naturales

divisor(N, D) evaluar si D es el divisor exacto de N (no usar mod)

mcd(X, Y, M) M es el mcd de X e Y (algoritmo de los restos usar resto)


U1

Diapositiva 24

U1 divi(0, D).divi(N, D) :- N >= D, R is N - D, divi(R, D).

resto(0, D, 0).resto(N, D, R) :- N >= D, T is N - D, resto(T, D, R).resto(N, D, N).

mcd(0,Y, Y).mcd(X,Y, R) :- X > Y, T is X mod Y, mcd( T, Y, R).mcd(X,Y, R) :- T is Y mod X, mcd( T, X, R).Usuario, 12/10/2011

Triángulo de PascalTriángulo de PascalsumaC([X Y] [Z]) : Z is X + YsumaC([X,Y],[Z]) :‐ Z is X + Y.

sumaC([X,Y|L], Z):‐ H is X + Y,

([ | ] )sumaC([Y|L],L2),

Z = [H|L2].

pascal(1,[1]).

pascal(2,[1,1]).

pascal(N, L) :‐ Ant is N ‐ 1,

pascal(Ant,L2),

sumaC(L2,R),

append([1|R],[1],L), !.


Listas•• EjemplosEjemplos

[1][1] [1, 2, 3][1, 2, 3] [][] [a, b][a, b] [“uno”, “dos”][“uno”, “dos”] [234, “dir”, [1, 2, 3]][234, “dir”, [1, 2, 3]][1][1] [1, 2, 3][1, 2, 3] [][] [a, b][a, b] [ uno , dos ] [ uno , dos ] [234, dir , [1, 2, 3]][234, dir , [1, 2, 3]]

•• Operador de lista: Operador de lista: || [cabeza [cabeza || cola]cola]

X = [1, 2, 3]X = [1, 2, 3]

►►[0 [0 || X] => [0, 1, 2, 3]X] => [0, 1, 2, 3]

►►[7, 8 [7, 8 || X] => [7, 8, 1, 2, 3]X] => [7, 8, 1, 2, 3]

??-- [a, b, c, d] = [C [a, b, c, d] = [C | | Q].Q]. => C = a , Q = [b, c, d]=> C = a , Q = [b, c, d][ , , , ] [[ , , , ] [ || Q]Q] , Q [ , , ], Q [ , , ]

??-- [a, b, c, d] = [X [a, b, c, d] = [X | | [Y [Y | | Z]].Z]]. => X = a, Y = b, Z = [c, d]=> X = a, Y = b, Z = [c, d]

?? [a] [C[a] [C || Q]Q] > C a Q []> C a Q []??-- [a] = [C [a] = [C | | Q]Q] => C = a, Q = []=> C = a, Q = []

??-- [] = [C [] = [C | | Q]Q] => no=> no


Listas• Ejemplos de unificación

?‐ [a, B, c, D] = [A, b, C, d]. => B = b, D = d, A = a, C = c[ , , , ] [ , , , ] , , ,

?‐ [a, b, c] = [W | [X | [Y | Z]]]. => W = a, X = b, Y = c, Z = []

?‐ [a | [b | [c | []]]] = List => List = [a, b, c]

?‐[(a+X), (Y+b)] = [(W+c), (d+b)]. => X = c, Y = d, W = a

?‐ [ [X, a] ] = [b, Y]. => error

?‐ [[a], [B, c], []] = [X, [b, c], Y]. => B = b, X = [a], Y = []


Listas• Ejemplos para resolver

– buscar(P L E): hallar el elemento E ubicado en la posición P en la lista Lbuscar(P, L, E): hallar el elemento E, ubicado en la posición P, en la lista L (uso de fail, variables anónimas)

– union(L1, L2, L3): L3 es la unión de las listas L1, L2

– variaciones(N, L, R): donde R es el conjunto de variaciones sin repetición tomadas de a N en L (usar remove/3)


OL1

Diapositiva 28

OL1 varia(0,_,[]).varia(N, L, [H|Varia]) :- N1 is N - 1, eliminar(H, L, Result), varia(N1, Result, Varia).

Oscar Leon, 20/10/2011

Términos compuestos• Sean:

gerente( persona(juan, perez, 1283, m) ).empleado( persona(maria lima 3475 f) )empleado( persona(maria, lima, 3475, f) ).empleado( persona(jorge, mendez, 8765, m) ).empleado( persona(pedro, garcia, 1765, m) ).p ( p (p , g , , ) )responsable( persona(juan, perez, 1283, m),

persona(maria, lima, 3475, f) ).

• Consultas?‐ responsable(X, Y).

( )• X = persona(juan, perez, 1283, m) , • Y = persona(maria, lima, 3475, f)

?‐ empleado(persona(X, Y, Z, m)).? empleado(persona(X, Y, Z, m)).• X = jorge , Y = mendez , Z = 8765 ; • X = pedro , Y = garcia , Z = 1765


Términos compuestos• ?‐ [A, B, C] = [23.45, "Hilo", gente(raul, 17)].

A = 23.45, B = “Hilo”, C = gente(raul, 17)

• Sean las siguientes definicionesq(X, a(1, Y)).

r(X, a(1, X)).

• Consultas?‐ q(1, a(Y, 2)). => Y = 1

?‐ r(1, a(1, X)). => X = 1

?‐ r(1, a(1, 2)). => no

?‐ r(Y, a(Y, Y)). => Y = 1

? (Z (Y 2)) Z Y 1?‐ q(Z, a(Y, 2)). => Z = _ , Y = 1

?‐ q(1, a(2, Y)). => no

? q(1 a(1 3)) => yes?‐ q(1, a(1, 3)). => yesUTN - FRM: Paradigmas de Programación

- Programación Lógica 30

Backtrack• Retrocede a la meta exitosa más reciente, e intenta encontrar otro camino encontrar otro camino

a :‐ …

bb :‐ …

c :‐ …

d :‐ … x :‐ a, b, c, d, e, f.

d :‐ ……

e :‐ …

e :e :‐ ……

f :‐ …


Backtrack• !/0 impide que se haga backtrack, hacia la izquierda de donde aparecede donde aparece

a :‐ …

bb :‐ …

c :‐ …

d :‐ … x :‐ a, b, c, d, !, e, f.

d :‐ ……

e :‐ …

e :e :‐ ……

f :‐ …


Caso de estudiop(X) :‐ a(X). ?‐ p(X). => X = 1, X = 2, X =3

p(X) :‐ b(X), c(X), d(X), e(X).p( ) ( ), ( ), ( ), ( )

p(X) :‐ f(X).

a(1).p(X)

b(1).

c(1).( )b(2).

c(2).

a(1) f(3)b(X), c(X), d(X), e(X)

d(2).

e(2).

f(3) b(1) (1) d(?)f(3). b(1), c(1), d(?) b(2), c(2), d(2), e(2)


Caso de estudiop(X) :‐ a(X). ?‐ p(X). => X = 1

p(X) :‐ b(X) c(X) ! d(X) e(X)p(X) : b(X), c(X), !, d(X), e(X).

p(X) :‐ f(X).

a(1). p(X)( )

b(1).

c(1).

p( )

b(2).

c(2). a(1) b(X), c(X), d(X), e(X)

d(2).

e(2).

f(3).b(1), c(1), d(?)


Predicados útiles•• =../2=../2

??-- X = [mas 2 3]X = [mas 2 3] => X = mas(2 3)=> X = mas(2 3)?? X =.. [mas, 2, 3].X =.. [mas, 2, 3]. => X = mas(2, 3)=> X = mas(2, 3)??-- unionunion(L1, L2, L3) =.. L.(L1, L2, L3) =.. L. => L = [=> L = [unionunion, L1, L2, L3], L1, L2, L3]

•• -->/2>/2A :A :-- BB --> C; D.> C; D. sisi BB entoncesentonces CC sinosino DDA :A : B B > C; D. > C; D. sisi B B entoncesentonces C C sinosino DD

•• repeatrepeat/0,/0, repeatrepeat/1/1repeatrepeat/0, /0, repeatrepeat/1/1Repite infinita o Repite infinita o nn veces, los predicados posterioresveces, los predicados posterioresCualquier predicado precedente no será Cualquier predicado precedente no será alcanzado, hasta alcanzado, hasta q p pq p p ,,satisfacer las satisfacer las nn repeticionesrepeticiones


Predicados útiles• forall/2

– forall(P, Q), para todas las instancias del predicado P, evalúa el predicado Q

• solution/2

– solution(P, N), evalúa el predicado P hasta encontrar la solución número N

fi d ll/3• findall/3

– findall(T, C, L), encuentra todas las instancias del término T para la cual el predicado C es verdad, e inserta los valores T en la lista L,

• write/1

– write(X), escribe el valor de X en la salida

• read/1

– read(X), lee de consola un valor para X, la entrada debe terminar con ‘.’

• atom/1• atom/1

– atom([]) => True atom([1, 2]) => False


o3

U3

U4

Diapositiva 36

o3 forall(padre(X, Y), write(Y)).oleon, 26/06/2007

U3 solution(padre(luis, X), 2).Usuario, 15/10/2010

U4 findall(X, padre(juan, X), L).Usuario, 15/10/2010

Prog Logic A

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