Universidad Nacional Autónoma de NicaraguaUNAN-Managua

Curso de Estadística

UNIDAD II

ProbabilidadesEstudiantes:

FAREM-Carazo

Profesor:

MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

II Semestre 2010

“Aprendizaje Por Problemas"

Año académico:

La duración de las clases prácticas será de 90 mínutosininterrumpidas. Durante este tiempo se irán realizando lasprácticas, las tareas y el Trabajo de curso.

Paquetes Informáticos

PROFESOR

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Fuentes Estadísticas

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Teoría de Probabilidades

En esta Unidad vamos a:

Recordar qué entendemos por probabilidad.

Estudiar algunas reglas de cálculo.

Ver cómo aparecen las probabilidades en Turismo

Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en Turismo

Teoría de ProbabilidadesTemas

2.1 Introducción2.2 Conceptos básicos de probabilidad: experimento

aleatorio espacio muestral, eventos, tipos deeventos.

2.3 Tipos de probabilidad clásica, empírica y subjetiva.2.4 Probabilidad simple o marginal.2.5 Probabilidad condicional.2.6 Regla de la multiplicación.2.7 Teorema de Bayes.

Teoría de Probabilidades

Introducción¡Para Analizar!

¿Cómo atrevernos a hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand RusellLa probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con eltiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápidocircules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que habebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguienque no había bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claroque la forma más segura de conducir es ir borracho y a granvelocidad.

Teoría de Probabilidades

IntroducciónLa Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitosson de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometría oMecánica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de lateoría:

a) el contenido lógico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones.

El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden serapreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamenterelacionados. según William Feller en su libro Introducción a laTeoría de Probabilidades y sus aplicaciones.

Teoría de Probabilidades

Experimento aleatorio

Entenderemos por experimento aleatorio cualquier (EVENTO)situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione unresultado imposible de predecir a priori ( de antemano).

Por ejemplo:

* Lanzar un dado. (posibles valores 1,2,3,4,5,6)

* Extraer una carta de una baraja. (52 posibles valores diferentes)

* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1,con una determinada composición de bolas de colores, una bola y sisale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinadacomposición de bolas de colores, una bola.

Teoría de Probabilidades

Sucesos o eventosCuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados sonposibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espaciomuestral (E).Los espacios muestrales pueden ser finitos o infintos, discretos o continuos.Experimento aleatorio: lanzar un dado.

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (odivisibles).Por ejemplo: el suceso A = {"que el resultado sea par”}:

A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al formado por loselementos que no están en A.Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.

Teoría de ProbabilidadesSuceso: Se llama suceso o evento a un subconjunto de delespacio muestral.. Distinguiremos entre sucesos simples (oindivisibles) y compuestos (o divisibles).

Suceso Simple: Cualquier resultado básico de un experimento. Unevento simple no se puede descomponer en resultados más simples.

Por ejemplo el suceso A = {"que al lanzar el dado caiga uno”}:entonces A= {1}

Suceso compuesto: Se puede descomponer en otros eventossimples.Por ejemplo: el suceso A = {"que el resultado sea par”}:

A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.Suceso complementario: Se llama suceso complementario deun suceso A, Ac al formado por los elementos que no están enA.Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.

Se considera el experimento aleatorio consistente enlanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urnaque contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz,se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojasy verdes. ¿Cuál es el espacio muestral E de dichoexperimento aleatorio?

E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

TIPOS DE EVENTOS Evento imposible: Es un evento determinístico, por

que tenemos certeza que no ocurrira, por tantocoincide con el conjunto vacío. Operaciones

Evento Cierto: Es también un evento determinístico,por que tenemos certeza que ocurrirá, y coincide conel conjunto del espacio muestral.

Evento probabilístico: Es un evento nodeterminístico, ya bajo ciertas condiciones puedeocurrir o puedo no ocurrir.

Probabilidad Clásica: Según Laplace,define la probabilidad de un suceso A como el cociente

siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debetener lugar de preferencia a los demás, lo que hace que todossean igualmente posibles.

Ejemplo: La probabilidad de obtener un 6 el lanzamiento de un dado.

El inconveniente de esta definición radica precisamente en hay eventosque no necesariimente son igualmente posibles.

posibles casos de Número

favorables casos de Número)( AP

Caras del dado X 1 2 3 4 5 6

P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Probabilidad empírica o Frecuentista (objetiva):Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa(%) de veces que ocurriría el suceso al realizar unexperimento repetidas veces en idénticascondiciones.

Probabilidad subjetiva(bayesiana): Es el grado de certeza que se posee sobre un suceso. Está basado en la experiencia personal.

Lanzar una moneda 100 veces Cara Cruz

Frecuencia 49 51

Porcentaje 0.49 0.51

Lo Actual La diferencia básica en el papel de la Probabilidadmatemática en 1946 y en 1988 es que hoy en día esaceptada como Matemática, mientras que en 1946, parala mayoría de los matemáticos, la Probabilidad era a lasMatemáticas como el mercado negro es al mercado: estoes, la Probabilidad era una fuente de matemáticasinteresantes, pero el análisis del contexto de fondo eraalgo poco recomendable.J. L. Doob, A Century of Mathematics in America, Part II(Peter Duren, ed.)

TEOREMA DE PROBABILIDADSi un espacio muestral E esta asociado con unexperimento aleatorio. A cada elemento A definido en E(A ⊂ E), se le asigna un número P(A), denominadoprobabilidad de A, de tal manera que se cumplen losaxiomas siguientes:

I. Axioma 1: P(A)≥0II. Axioma 2: p(E)= 1III. Axioma 3: Si A1, A2 , A3 … forman una sucesión de

eventos de E que se excluyen mutuamente, porparejas, entonces )()...( 321 in APUAAAAP

EJEMPLO DE OPERACIONES CON SUCESOSDado el expermento del lanzamiento de un dado y sean los sucesos A={Un número impar }, B={Un número mayor que 4 }

Solución A= {1,3,5} y B= {5,6} E= {1,2,3,4,5,6} 1. Ac ={2, 4, 6} 2. Bc ={1, 2, 3, 4}3. A B ={1, 3, 5, 6} 4. A B = {5}5. (A B)c ={2, 4} 6. (A B)c = {1, 2, 3, 4, 6}6. A-B = {1,3} 7. B - A = {6}

Ver los diagramas de Venn

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado porlos resultados experimentales que están en A o en B(incluyendo los que están en ambos).

A B ={1, 3, 5, 6}

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B osimplemente AB, al formado por los elementos queestán en A y B.

A B = {5} Intersección A B

AB Unión A B

E

AB

E

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no están en A

Ac complemento

Ac ={2, 4, 6}

El complemento de la Unión de dos eventos.. (A B)c ={2, 4}

AAc

E

AB (A B)c

E

El complemento de la intersección de dos sucesos.

(A B)c = {1, 2, 3, 4, 6}

La Diferencia de dos sucesos A y B: Son los elementosde A que no están en B. (A-B). Pero la diferencia B-Ason los elementos de B que no estan en A.

AB A-B= {1,3}

E

AB

E

AB B-A={6}

E

P[(A∩(B ∪ C)c ) ∪ (B ∩ (A ∪ C) c )∪ (Cc∩(A ∪ B ))]

La probabilidad de pertenecer al menos a dos eventos

P[(A∩B ∩Cc ) ∪ (A ∩Bc∩C) ∪ (Ac∩B ∩C) ∪(A∩B ∩C)]

La probabilidad de pertencer examente a un evento

E

Definición de Eventos disjuntos o excluyentes: Doseventos son disjuntos o mutuamente excluyentes si A y B no tienenelementos en común. A y B son disjuntos si A ∩ B = Ø

P(AuB)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(A∩B)=0

Eventos compatibles: Dos eventos son compatibles si tienen elementos comunes e incompatibles en caso contrario.

A

E

B

A B

EVENTOS IGUALES: Dos eventos A y B son iguales Si solo Siocurre entoces ocurre también B. y Si y solo si ocurre B entoncesocurre A.A = {2, 3, 6}B = {2, 3, 6} Se ecribe A=B

EVENTOS EQUIPROBABLES: Son eventos de un mismo espaciomestral que tienen la misma probabilidad de ocurrencia.La probabilidad asociada a cada evento es P(Ai)=1/n , para cadauno de los enesimos eventos.Ejemplo: Elegir una pelota blanca de una urna que tiene igualnúmeros de pelotas blancas, rojas, verdes, celeste, amarillas, etc.En total hay 10 colores diferentes en 100 pelotas, habiendo 10 decada color.

Un Diagrama de Árbol es una serie de líneas que parten de unpunto en común llamado Raíz, esaslíneas a su vez se ramifican según lasopciones que se presenten en cada Problema.

Diagramas de Árbol

Re2

e1

a1 a2 a3

b1 b2 b3 b4 b5 b6

Ejemplo: Carla se ganó un viaje para dos personas, alentregárselo le presentaron las siguientes opciones:

Lugar: Panamá o Cancún

Transporte: Autobús o Avión

Acompañante: Papá, mamá o hermano

¿De cuántas maneras distintas puede Carla efectuar elviaje?

Representemos la solución con un diagrama de árbol

a

Panamá

Autobús

Avión

Papá

Mamá

Papá

Mamá

Cancún

Autobús

Avión

Papá

Mamá

Papá

Mamá

Hermano

Hermano

Hermano

Hermano

Diagrama de Árbol

Por lo tanto, Carla puede viajar de 12 manerasdiferentes.

{(Panamá,Autobus,Papá),…,(Cancún, Avión, Hermano)}

Contamos ahora, todas las opciones de la última columnasolamente y tendremos el total de formas posibles en lasque Laura puede efectuar su viaje.

Esto corresponde a:

12 opciones distintas

Definiciones de Técnicas de ConteoRegla de multiplicación: Si una operación puede realizarse de n1 formas y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo en de n2 formas entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n1 x n2 formas.

Ejemplo: Si un experimiento consiste en lanzar un dado y despuésseleccionar una letra vocal al azar. Cuantos puntos habrá en elespacio muestral.

n1 =6 ( hay 6 resultados diferentes al lanzar un dado)n2 =5 (hay 5 resultados diferentes de elegir una vocal)n1x n2 =6x5= 30 puntos muestrales.

En forma gráfica de árbol

Puede verse que hay 30 posiblesparejas:E= {(1,A),(1,E),(1,I),(1,O),(1,U),

(2,A),(2,E),(2,I),(2,O),(2,U),(3,A),(3,E),(3,I),(3,O),(3,U),(4,A),(4,E),(4,I),(4,O),(4,U),(5,A),(5,E),(5,I),(5,O),(5,U),(6,A),(6,E),(6,I),(6,O),(6,U)}

Espacio Muestral

Definiciones de Técnicas de Conteo Regla de la mutiplicación generalizada: Si una operación puederealizarse de n1 formas y si por cada una de éstas una segundaoperación puede llevarse a cabo en de n2 formas y para cada unade las dos primeras se puede efectuar una tercera en n3 formas, yasí sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones puedeacerse en n1 x n2 x n3 x…x nk formas.

Ejemplo: Un estudiante de segundo año de Ingenería debe tomarun curso de física, uno de computación y otro de matemáticas. Sepuede escoger entre cualquiera de 6 cursos de física, 4 decomputación y 5 de matemáticas. De cuantas formas puedeacomodar su horario? f1,f2,f3,f4,f5,f5 (grupos de física),C1,C2,C3,C4 (grupos de computación) y M1,M2,M3,M4,M5 (gruposde Matemáticas)

Solución: n1 =6; n2 =4; n3 =5n1 x n2 x n3= 6 x 4 x 5 = 120 formas diferentes.

Matemáticas Computación

MatemáticasComputación

Física

Definiciones de Técnicas de ConteoPermutaciones: El arreglo ordenado de r objetos o elementosdistintos es llamado permutación. El número de maneras en que sepuede ordenar n objetos distintos tomados r a la vez se denota porel símbolo:

n!=1x2x3x…xn0!=1 4!=1x2x3x4=24

Ejemplo: Si para una caja fuerte se requiere de la seleccióncorrecta de un conjunto de cuatro dígitos en sucesión, los dígitosse fijan girando el tambor alternativamente en el sentido de lasmanecillas del reloj y en el sentido opusto. Supóngase que no seutiliza un mismo número dos veces. Encuentre el número total delas posibles combnaciones.

)!(

!Pr

rn

nPn n

r

Definiciones de Técnicas de ConteoSolución: n=10 (los números dígitos 0,1,2,…,9) de los cuales setomará un conjunto de 4 del total de 10.

Se podrán obtener 5,040 combinaciones distintas de conjuntos denúmeros de 4 dígitos.

Definición: El número de n objetos ordenados en un círculo es(n-1)!.

Ejemplo: En un lbrero hay cinco libros(Estadística, Matemática,Turismo, Inglés y Computación) se desea ordenar de maneradiferente, permaneciendo fijo el libro de Matématica.

040,578910!6

!678910

!6

!10

)!410(

!10410 10

4

xxxxxxx

PP

Definiciones de Técnicas de Conteo

Solución: n=5

Definición de Combinación:El número de combinaciones de nobjetos tomados r a la vez es el número de subconjunto, cada unode tamaño r, que se pueden formar a partir de los n objetos. Estenúmero se denotará por.

Ejemplo: En una Urna que tiene 30 bolas de colores, de las cuales15 son rojas, 10 son blancas y 5 son verdes. De cuantas manerasdiferentes se puden elegir 3 pelotas(una de cada color) sacadas sinremplazo, retirándolas de una en una.

241234!4)!15()!1( xxxPnP

)!(!

!!),(

rnr

n

r

nCCC n

rrnrn

Definiciones de Técnicas de ConteoSolución:

Hay 750 maneras diferentes de seleccionar tres pelotas siendotodas de colores diferentes.

75051015!4!1

!5

!9!1

!10

!14!1

!1515110115 XXxxCCC

PROBLEMAS RESUELTOS1. Al controlar la calidad de un producto para turistas, se eligen al

azar tres envases de una caja que contiene 100. Por terminomedio, sabemos que en cada caja hay diez cuya calidad esdeficiente. Hallar la probabilidad de que entre los tres no hayaninguno, uno, dos o tres deficientes.

Solución:1.a) P(niguno defectuoso)=P(BBB)=

1.b) P(uno defectuoso)=P(BBD,BDB,DBB)=

1.c) P(dos defectuoso)=P(BDD,DBD,DDB)=

1.d) P(tres defectuoso)=P(DDD)=

(B)=bueno (D)=defectuoso

0.726245

178

98

88

99

89

100

90xx

24768.09702

2403

98

10

99

89

100

903 xxx

0250.09702

243

98

9

99

10

100

903 xxx

0.0007410780

8

98

8

99

9

100

10xx

PROBLEMAS RESUELTOS

2. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Hallar la

probabilidad de que:

a) si se escogen 2 personas al azar (i) sean esposos (ii) uno sea

hombre y otro mujer.

b) si se escogen 4 personas al azar (i) se escojan dos parejas de

casados (ii) ninguna pareja sean casados en tre los 4 (iii) haya

exactamente una pareja de casados

c) si las 12 personas se reparten en seis parejas (i) cada pareja

sean casados (ii) cada pareja la forme un hombre y una mujer

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

a) Casos posibles: maneras de escoger 2 personas de las 12

i) Hay 6 parejas de casados: 11

1

66

6P

II) Hay 6 maneras de escoger a un hombre y 6

maneras de escoger a una mujer: 11

6

66

66

P

66212 C

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

b) Casos posibles: maneras de escoger 4 personas de las 12495412 C

i) Hay maneras de escoger 2 parejas de las 6 33

1

495

15P

ii) Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes, hay maneras de escoger

4 parejas de las 6 y ahí 2 maneras de escoger a la persona de cada pareja

33

16

495

152222

P

1526 C

1546 C

iii) Este evento es complementario de los otros dos, por tanto:33

16

33

16

33

11 P

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

c) Casos posibles: maneras de repartir 12 personas en 6 células ordenadas

con 2 personas cada una.

62

!12

!2!2!2!2!2!2

!12

i) Las 6 pareja pueden ser colocadas en 6 células ordenadas de 6! maneras:

10395

1

2!12

!66P

ii) Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 células de 6! maneras y cada

una de las 6 mujeres lo mismo:

231

16

2!12

!6!66

P

Regla del Producto de Probabilidades: Si la probabilidadde que ocurra un evento A es P(A) y la probabilidad deque ocurra un evento B es P(B), entonces la probabilidadde que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

Siempre y cuando los eventos A y B sean independientes.¿Qué significa la condición de que los eventos A y B seanindependientes? Que la ocurrencia de cualquiera de ellosno afecta la probabilidad de que ocurra el otro.Cuando A y B no son independientes:

P(A y B) = P(A) x P(B)

P(A y B) P(A) x P(B)

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas alaire, caiga número y escudo?

Y la probabilidad de que caiga águila es:

Entonces la probabilidad de que salga un número y escudoserá:

P (número y escudo) = 1 x 1 = 1

2 2 4

2

1número)( P

2

1escudo)( P

PROBABILIDAD CONDICIONALSean A y B dos eventos y P(B) > 0. La probabilidad condicional de

A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B:

En forma similar:

Tema 4: Probabilidad 43

Ejemplo : En una aula de clase el 60% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

• ¿Qué porcentaje de fumadores hay?P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

P(M∩F) = P(M)P(F|M) P(H∩F) = P(H)P(F|H)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

=0.6 x 0.1 + 0.4 x 0.2 = 0.06 + 0.08= 0.14 =14%

Hombres y mujeres forman un sistema. Exhaustivo y Exclusivo de sucesos esto la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0.6

0.1

0.20.4

0.8

0.9

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Tema 4: Probabilidad 44

Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0.8

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.08)(

)()|(

BP

BAPBAP

Tema 4: Probabilidad 45

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0.05 P(A|B)=0

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.005

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0

)(

)()|(

BP

BAPBAP

1. P(Ac) = 1 - P( A )

2. P( Ø ) = 0

3. Si A B P( B ) = P( A ) + P(B-A)

4. Si A B P( A ) ≤ P( B )

5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:

P( A1 U A2 U .. U Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6. P(A U B ) = P( A ) + P( B ) - P(A ∩ B)

7. Si el espacio muestral E es finito y un conjunto de sucesos es

A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:

P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

Propiedades

A1

A2

A3

A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos formanel espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.

¿Recuerde cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?

Evento seguro

A1

A2

A3

A4

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Divide y vencerás

A1A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

BNos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples..

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ … + P(A4) P(B|A4)

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)

)A P(B B)|P(A

ii