Prof. Elba M. Sepúlveda, M. A.Ed., ABD

Contenido

� Las caricaturas de hoy

� Trigonometría básica

� Ley de seno

� Ley de coseno� Ley de coseno

� Ejercicios de aplicación

Las caricaturas de hoy…

Las caricaturas de hoy…

Instrucciones

� Esta presentación muestra como obtener lasecuaciones para contestar problemas de trigonometría.

Puedes leer cada problema y tratar de resolverlo.� Puedes leer cada problema y tratar de resolverlo.

� Luego puedes cotejar tu solución con la respuestademostrada en la próxima página.

� Cualquier duda puedes escribirme a

� elbamsepulveda@gmail.com

La trigonometría de los ángulos rectos

� Trigonometría- estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.triángulos rectángulos.

� Triángulo rectángulo-triángulo que contiene un ángulo recto o de 90°.

Funciones trigonométricas

� sen θ =

� cos θ =

� csc θ =

a

c

b

c

a

c� cos θ =

� tan θ =

� sec θ =

� cot θ =θ

ac

b

c

a

b

c

b

b

a

Ejemplo #1

� Conociendo 2 de estas variables podemos resolver cualquier problema relacionado.Ejemplo # 1. Nos podemos

30°

1

2

� Ejemplo # 1. Nos podemos aprender por lo menos un dato interesante: sen 30°= ½

� Determina la medida del lado b. Usando el teorema de Pitágoras.

b

Resultado #1

30°

1

2

b= √ 3

2 2 2

2 2 2

2 2 22 1

c a b

b c a

b

= += −= −2 2 2

2

2

2 1

4 1

3

3

b

b

b

b

= −= −=

=

� Para un θ de 30° entonces:

30°

1

2

b= √ 3

� Para un θ de 30° entonces:� sen 30° = ½ csc 30° = 2� cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3� tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3

¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?

� sen 60° =_________

� cos 60°=__________

� tan 60°=__________

� sec 60° =_________

� sen 60° = √ 3/2

� cos 60° = ½

� tan 60° = √ 3

� sec 60° = 2/ √ 3� sec 60° =_________

� csc 60°=__________

� cot 60°=___________

� sec 60° = 2/ √ 3

� csc 60° = 2

� cot 60° = 1/ √ 3

Ejemplo #2: Un triángulo de 45°

� Determina la hipotenusa� c2 = a2 + b2

� c2 = 12 + 12

� c2= 1 + 1 45°

1c

� c2= 1 + 1 � c2 = 2� c= √2� Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45°, csc 45°,

sec 45° y cot 45°

1

Ejemplo #3

� Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 37°. El lado adyacente mide 4 m. Determina la longitud del lado opuesto al ángulo dado.longitud del lado opuesto al ángulo dado.

� Determina la hipotenusa37373737°°°°

??

4m

Resultado #3

� tan θ = op/ady� op = ady tanθ� = 4m tan 37� op = 3m

37373737°°°°

??

4m

op = 3m

� cos q = ady/hip� hip = ady/cosθ� = 4m/cos37� hip= 5m

LEY DEL SENO

Ley del seno

� Existen ciertas relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos aunque éstos no sean rectos. Esto

C

éstos no sean rectos. Esto sucede con la ley de los senos.

� Consideremos cualquier triángulo ABC

BA

b a

c

y

M

Ley del seno

� En <AMC �y/b = sen A � y= b sen A

� En <BMC �y/a = sen B � y= a sen B

b sen B = a sen A

� Entonces: C� Entonces:

� b sen A = a sen B

BA

C

b a

c

y

Mb

sen B=

a

sen A

Para cualquier <ABC:

� Ley de los senos:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C Csen A sen B sen C

BA

C

b a

c

y

M

Ejemplo #4

� En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m determina b y c

C

BA

b a

c

Resultado #4

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

� b= a sen b/sen a

� = (10m) (sen 40°)/(sen30°)

� = 12.85m

� =13 m

� El lado b mide 13 m

� c= a sen c/sen a

� = (10m) (sen 110°)/(sen30°)

� = 18.79m

� =19 m

� El lado c mide 19 m

LEY DEL COSENO

Ley del coseno

ααααγγγγ

ββββ (x,y)

a c

b

y

x b-xM

� Otra relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. Dado un < supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b y la medida de c.

<aMb tiene lados: y, c , b-x

� Usando el teorema de Pitágoras:� c2= y2 + (b – x)2

� = y2 + b2 – 2bx + x2

� c2= (x2 +y2) + b2– 2bx� <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:

ααααγγγγ

ββββ (x,y)

a c

b

y

x b-x

M

� <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:� a2 = x2 + y2

� entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:� c2= (a2 ) + b2– 2bx� Del <γMb también podemos obtener que � cos γ = x/a � x= a cos γ� sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos γγγγ)

En resumen:

� Ley del coseno

a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα

ααααγγγγ

ββββ (x,y)

a c

b

y

x b-x

M

b2= a2 +c2 – 2ac cos ββββ

a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα

c2= a2 +b2 – 2ab cos γγγγ

Ejemplo #5

� En el siguiente triángulo a= 60°, b= 3m y c=4m.

� ¿Cuánto es a?

ββββββββ

ααααγγγγ

a c=4m

b=3m

60°

Resultado #5

� a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m) cos 60°� = 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a= 3.6 m� = 25m2 – 12m2

= 13m2

a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα

ββββ� = 13m2

� a= √13 m2 = 3.606 m

a= 3.6 m

ββββ

ααααγγγγ

a c=4m

b=3m

60°

El lado a mide 3.6 m

Ejemplo #6: Resuelve

Resultado #6

� a= c senA /sen C� = (50m) sen 30° / sen110°� = 26.6 m

La distancia es de 27mC

� La distancia es de 27m

BA

b a

c

y

M

� sen B = y/a � sen 40°= y/26.6m� y= (26.6 m) sen 40°� = 17mLa distancia es de 17m