Prof: Dr. Francisco Cubillos M Depto Ingeniería Quimica - USACH
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Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Prof: Dr. Francisco Cubillos M
Depto Ingeniería Quimica - USACH
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Capítulo 4 Controladores No Convencionales
Capítulo 1 Introducción al control de procesos
Capítulo 2 Teoría de sistemas dinámicos lineales
Capítulo 3 Sistemas en lazo cerrado
>>>>>> Uso de un simulador<<<<<
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Los sistemas lineales son la base para el desarrollo de la teoria de sistemas dinámicos. La razon es que estos sistemas poseen solución analítica por lo que su comportamiento puede ser determinado de manera exacta.
SISTEMAS DINAMICOS LINEALES
Un sistema dinámico lineal esta descrito por la siguiente ODE
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La mayoría de los equipos y sistemas utilizados en la industria de procesos presentan características complejas (parámetros variables, variables acopladas, efectos no lineales) por lo que generalmente los modelos son No-lineales sin solución analítica , lo que restringe un análisis general.
Para desarrollar un análisis aproximado se recurre a la técnica de "LINEALIZACION" que consiste en aproximar un modelo complejo en un modelo Lineal que posee solución analítica
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VARIABLES DE DESVIACION
Junto con linealizar un sistema es conveniente "referir" su respuesta con respecto a un punto específico de operación, generalmente el punto de linealización Xs
Se definen las variables de desviación de un sistema según
suuu
sXXX
_
;_
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Las ventajas es que al expresar el sistema en variables de desviación, el punto del sistema linealizado es (0,0)
0 0u x
_XX
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ANÁLISIS EN EL PLANO DE LAPLACE
La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.
F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0S:una variable compleja (LAPLACE)
F(s): transformada de Laplace
Se define la Td L según
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F(t) F(s) F(t)
La principal ventaja de usar las T de L en el análisis de los sistemas dinámicos es que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas, más fáciles de operar desde el punto de vista matemático.
Lic. plano t
Y(t)
Lic. Plano S
Y(s)
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LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)
Sea un sistema dinámico lineal expresado en variables de desviación según :
01
1
0
10
1
tn
n
t
nt
nnn
n
dt
)t(fd....
dt
)t(dfs)t(fs)s(fs
dt
)t(fdL
Si aplicamos T.d.L mediante la transformación de derivada
0 por estar en V.D
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Se define a la Función de Transferencia (FT) como el cuociente entre las salidas y las entradas en el plano de Laplace y expresadas como variables de desviación
)()()(
0.... 11
1
0.... 11
1 sGsusY
aSanSanSnan
bSbmSbm
mSbm
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Otra forma de escribirla es :
)()()(
))(2)(1(
))(2)(1(sG
susY
npspspsmcscscs
Ci los ceros y pi los polos de la F.T
Observaciones:
•Una F.T se aplica a un sistema lineal en V.D.
•Una F.T es físicamente realizable si nm
•Una F.T relaciona 1 entrada con una salida (SISO)
Y(s)u(s) G(s)
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Las Funciones de transferencia son útiles para representar uno o mas procesos interconectados entre si
La base es el "Álgebra de Bloques" que entrega las reglas de interacción, basadas en el principio de los sistemas lineales
Mediante este mecanismo podemos representar sistemas En serie, En Paralelo, con reciclos, con múltiples entradas y salidas, con atrasos.
T0
T3T4
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Permitido No Permitido
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SISTEMAS EN SERIE
COMBINACION DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
GS(s) GT(s)GT1(s) GV(s)
v(s) F0(s) T1(s) T2(s) TSAL(s)
)()(1)(2)()(
)(
)(0)(0
)(1)(1
)(2)(2
)()(
)(
)(
svGsTGsTGssG sG
sv
sF
sFsT
sTsT
sT
sSALTsG
sv
sSALT
G(s)v(s) TSAL(s)
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Notar que los componentes de un lazo de control están conectados en serie.
Sensor- transductor – controlador
Controlador - conversor – valvula – proceso- variables
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SISTEMAS EN PARALELO
G1(s)
G2(s)
u(s) Y(s)
)12)(11(
)1(
)(
)(
ss
sipK
su
sY
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5
1
1.5
time
outp
ut v
aria
ble,
Y’(t
)
0
-2
1
2
3
4
-1
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SISTEMAS CON ATRASO
= dead time
)()(
)()( sXesX
tXtX
ins
out
inout
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SISTEMAS CON RECICLO
T0
T3T4
GH1(s) GR(s)
GH2(s)
T0(s)
T1(s) T3(s)
T4(s)
T2(s)
)()(
)()(
)(
)(
sGsG
sGsG
sT
sT
HR
HR
2
1
10
4
+
+
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PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO
CAMINO TEORICO
•Modelo matemático
•Especificar variables E/S (y,u,d)
•Linealizacion ( si es no lineal)
•Variables de Desviación
• Aplicar T.de L
•Despejar y(s) como función de u(s)
•Identificar las G(s); y(s)/u(s) , y(s)/d(s)
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PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO
CAMINO PRACTICO-EXPERIMENTAL
•Seleccionar par de variables entrada salida
• Aislar efecto de otras variables
• Hacer cambio escalón en la entrada a un tiempo dado.
• Registrar la salida (grafico o data historica) hasta nuevo equilibrio.
•Identificar el tipo de FT más adecuada y ajustar los parámetros
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T
A
F,To
F,T
Q
En el proceso adjunto, consideramos V cte y el fluido absorbe una cantidad de calor Q, entrando a una temperatura To (que puede variar), Entonces :
G1(s)
G2(s)
To(s)
T(s)
Q(s)
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SISTEMAS DE 1º ORDEN
)()()(
tuKtYdt
tdY
K : Ganancia estática, relación E.E. K=(Y/u)s
: Constante de tiempo (t)
La correspondiente Función de transferencia es:
)/
1(* et
AKY(t)
La solución en el tiempo para un escalón de magnitud A es :
)1()()(
SK
susY
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Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
0 20 40 60 80 100 120
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
time
t
0 20 40 60 80 100 1200.5
1
1.5
2
time
Máximapendiente“t=0”
Cambio inmediato
Salida Monotonica sin oscilación
Nuevo E E
Y = K u
63% del E E cuando t=
u = Escalón en u
El Estado estacionario se alcanza aproximadamente en t= 5*
Por lo que es una medida directa de la rapidez de respuesta
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SISTEMAS DE 2º ORDEN
EstaticaGananciaK
iónAmortiguacdeFactor
naturaloscilaciondePeriodo
tuKtYdt
dY
dt
tdY
)()(22
)(22
)1222()(
)(
SS
K
su
sY
La F de T correspondiente es
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Los sistemas de 2º orden son habitualmente determinados por:
•2 sistemas de primer orden en serie
•2 sistemas de primer orden interactuando (acoplados) ej Masa y energía. O con reciclo
• Sistemas basados en fuerzas (B C M)
La solución de un sistema de segundo orden se puede generalizar según :
tseAtseAtY 2211)( Con A1 y A2 Constantes que dependen del tipo de función forzante (u), y s1 y s2 las raíces de la ecuación característica
01222 SS
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12
S
Resolviendo la ecuación, las raíces son:
Dependiendo del valor podemos distinguir varios comportamientos:
>1 : s1 y s2 son reales negativos y la solución para Y(t) es exponencial decreciente, por lo que se denomina "Sistema Sobre Amortiguado"
Cuando =1 se denomina "Críticamente Amortiguado"
Ej: 2 sistemas de 1º orden en serie
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Si 0 < < 1 : s1 y s2 son raíces imaginarias conjugadas con parte real negativa y la solución para Y(t) es la superposición de una función sinusoidal y una exponencial decreciente por lo que se denomina "Sistema Sub Amortiguado"
21
i
SLas raíces se expresan de la forma
La solución para un escalón unitario
esta dada por:
)/(1
/;21
)]sin(/11[)(
Tan
tteKtY
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La oscilación aumenta a medida que --> 0
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Caracterización de respuesta Sub-Amortiguada
![Page 31: Prof: Dr. Francisco Cubillos M Depto Ingeniería Quimica - USACH](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062422/56813564550346895d9ccbf4/html5/thumbnails/31.jpg)
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2exp
1
a
b
21pt
2
22
2exp
1
c a
a b
2
2
1p
a. Overshoot
b. Tiempo 1º maximo
c. Razón de Decaimiento (entre maximos)
d. Período de oscilación
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La respuesta sub-amortiguada es característica de los sistemas acoplados o retro-alimentados
Ejemplo, dos sistemas de 1º Orden retroalimentados resultan en un sistema de 2º orden sub-amortiguado
Una regla de control dice que un sistema está controlando bien si responde con razón de decaimiento 1:4
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Si =0 El sistema oscila armónicamente ya que la raíz es
puramente imaginaria, s = i/
Si < 0 El sistema posee raíces con parte real positiva lo que incorpora
exponencial positivo en la solución ==> Sistema Inestable
0 1 2 3 4 5 6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 20 40 60 80 100 120
-40
-20
0
20