Gua de Ejercicios Propuestos sobre

Vectores

Ejercicio N 1 Demuestre que el tringulo con vrtices P (2,4,0), Q (1,2,1) y R (1,1,2) es un tringulo equiltero. Ejercicio N 2 Determine si los siguientes tros de puntos se encuentran en lnea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,1) y R (1,15,11) B.- P(0,3,4), Q (1,2,2) y R (3,0,1) Ejercicio N 3 Encuentre las longitudes de las medianas del tringulo con vrtices en los puntos P (2,3,4), Q (5, 2,6) y R (2,7,4) Ejercicio N 4 Encuentre la ecuacin de una esfera si uno de sus dimetros tiene puntos extremos P (3,3,4), Q (5,1,2). Ejercicio N 5 Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Ejercicio N 6 Demuestre que x2 + y2 + z2 +4x 6y +2z +6 = 0 es la ecuacin de una esfera, y encuentre su centro y radio. Ejercicio N 7 Encuentre la ecuacin de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que est contenida en el primer octante. Ejercicio N 8 Encuentre la ecuacin de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Ejercicio N 9 Encuentre la ecuacin de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio 7 . Describa su interseccin con cada uno de los planos coordenados. Ejercicio N 10

Sean los vectores en IR 3: )2,3,1( =v , )4,3,2( =u , = (2,0,-1) y = (1,5,4) a

b

A.- Determine los vectores: UV y AB B.- Determine el vector ST = ABUV C.- Calcule: ABSTUV

D.- Determine si el vector es una combinacin lineal de los vectores , , V

u

a

b

E.- Determine si los vectores , , son una combinacin lineal del vector .

u

v

a

)20,15,0(

Ejercicio N 11 En IR3 sean los vectores )5,4,3( =v y )3,2,1( =u , determinar:

A.- uv B.- uv C.- vu D.- u )v u (

+ x Ejercicio N 12 Sean los vectores en IR 3: )3,1,2( =v , )4,0,1(=u y )2,1,1( =w , obtener: A.- UWUV B.- UW x UV Ejercicio N 13 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- y . Est el punto )2,1,3(P )4,7,2( Q )1,2,5( A sobre la recta? B.- y . Est el punto sobre la recta? )2,4,1(P )5,3,3(Q )14,1,13(B Ejercicio N 14 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por los siguientes tros de puntos de IR 3: A.- , , y ) 2 ,3 ,1 (P )4,3,2( Q )1,0,2( R . B.- , , y )4,3,2(P )4,2,5(Q )4,7,2(R . C.- , )7,3,1( P )5,3,2( Q , y )5,0,2( R . Ejercicio N 15 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por el punto y que es paralelo al plano dado por la ecuacin:

)4,2,5( P0863 =++ zyx .

Ejercicio N 16 Encuentre la distancia del punto al plano dado por la siguiente ecuacin:

. Dibuje el punto y el plano dado. )4,3,2(P

24234 =++ zyx

Ejercicio N 17

Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto: y que es paralela a la recta cuyo vector director es:

)2,1,3(P

kjiv 472 ++= .

Ejercicio N 18 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , )3,0,1(=u y )1,4,0( =w . Es el vector

una combinacin lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuacin del plano que contiene a los puntos: V, U y W.

)2,15,4( =A

Ejercicio N 19 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , y )2,1,3( =w . Es el vector )2,15,4( =a coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paraleleppedo. Ejercicio N 20 Encuentre una ecuacin del plano que contiene a los puntos de IR 3: )5,4,2( P ,

y ; adems hllese un vector normal a dicho plano y el rea determinada por los tres puntos.

)6,1,0( Q )4,3,2(R

Ejercicio N 21 Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: )5,1,1( P y . Est el punto sobre la recta? Y el punto ?-1 + t

)5,0,7(Q)1,2,5(A )14,1,13(B

Ejercicio N 22 Sean los vectores en IR2: , )3,1(=V )4,3(=U , )1,2( =A y )4,5(=B : A.- Grafique los vectores: UV y AB . B.- Determine si UV AB Ejercicio N 23 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,-7,4).

Respuestas

Respuesta Ejercicio N 1 Demuestre que el tringulo con vrtices P (2,4,0), Q (1,2,1) y R (1,1,2) es un tringulo equiltero.

d (P,Q) = 14 149 2)1(2)2(2(3) 2)01(2)42(2)21( =++=++=+++

d (P,R) = 14 49 1 2)2(2)3(2(1) 2)02(2)41(2)21( =++=++=+++

d (P,R) = 14 9 14 2)3(2)1(2(-2) 2)12(2)21(2)11( =++=++=+++ d (P,Q) = d (P,R) = d (P,R) = 14 , el tringulo PQR es equiltero. Respuesta Ejercicio N 2 Determine si los siguientes tros de puntos se encuentran en lnea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,1) y R (1,15,11)

d( P, Q ) = 84 16464 2)4(2)8(2(2) 2)31(2)19(2)57( =++=++=++

d( P, R ) = 336 6425616 2)8(2)16(2(-4) 2)311(2)115(2)51( =++=++=++

d( Q, R ) = 756 14457636 2)12(2)24(2(-6) 2)111(2)915(2)71( =++=++=+++ 75633684 =+ recta. lneaen encuentran se Ry Q , P puntos Los B.- P (0,3,4), Q (1,2,2) y R (3,0,1)

d( P, Q ) = 6 411 2)2(2)1(2(1) 2)42(2)32(2)01( =++=++=+++

d( P, R ) = 43 2599 2)5(2)3(2(3) 2)41(2)30(2)03( =++=++=+++

d( Q, R ) = 17 944 2)3(2)2(2(2) 2)21(2)20(2)13( =++=++=+++ 43176 + recta. lneaen encuentran se no Ry Q , P puntos Los

Respuesta Ejercicio N 3 Encuentre las longitudes de las medianas del tringulo con vrtices en los puntos P (2,3,4), Q (5, 2,6) y R (2,7,4) Primero se determina los vrtices de las medianas:

M1 = M PQ =

=

+ 1- , 2 5- ,

27

26-4 ,

22-3- ,

252

M2 = M QR =

=

+ 1 , 2 5 ,

23

24-6 ,

272- ,

225

M3 = MPR

= ( ) 0 , 2 , 0 2

4-4 , 2

73- ,2

22 =

+

Luego se calcula las longitudes de cada mediana:

d( 2M1M ) = 33 4254 2)2(2)5(2(-2) 2)11(2)

2

5

2

5(2)

2

7

2

3( =++=++=++++

d( 3M2M ) = 27

14

1

4

9 2)1(2)

2

1(2)

2

3(- 2)10(2)

2

52(2)

2

30( =++=++=++

d( 3M1M ) = 2

67 1

4

81

4

49 2)1(2)

2

9(2)

2

7(- 2)10(2)

2

52(2)

2

70( =++=++=++++

La longitud de cada mediana es: 21MM = 33 ; 32MM = 27 y 31MM = 267 Respuesta Ejercicio N 4 Encuentre la ecuacin de una esfera si uno de sus dimetros tiene puntos extremos P (3,3,4), Q (5,1,2). Determinando el punto medio para calcular las coordenadas del centro:

MPQ

= ( 1 , 2- , 4 2

2-4 , 2

1-3- ,2

53 =

+ )= C( h , k , l ) Para obtener el radio, basta con calcular la distancia de C a cualquiera de los puntos dados:

d(C,Q) = 11 911 )3()1((1) )12()21()45( 222222 =++=++=+++ = r Luego aplicando la formula de la ecuacin de esfera se tiene:

( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 4 )2 + ( y + 2 )2 + ( z 1 )2 = 211

X2 + y2 + z2 8x + 4y 2z + 10 = 0

Respuesta Ejercicio N 5 Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Formulando las ecuaciones de las esferas con radio r1= 6 , r2 = 3 y r3 = 5

( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2

=+++=+++=+++

2222

2222

2222

5)5z()3y()6x(3)5z()3y()6x(6)5z()3y()6x(

se tiene:

x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 34 = 0

x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 61 = 0

x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 45 = 0 Respuesta Ejercicio N 6 Demuestre que x2 + y2 + z2 +4x 6y +2z +6 = 0 es la ecuacin de una esfera, y encuentre su centro y radio. Asociando y completando cuadrados de binomio para escribir la ecuacin de la esfera se tiene:

(x + 2)2 + (y 3)2 +(z + 1)2 = 8 Comparando esta ltima ecuacin con la de la forma normal, vemos que es la ecuacin de una esfera con centro C (-2,3,-1) y su radio r = 8 .

Respuesta Ejercicio N 7 Encuentre la ecuacin de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que est contenida en el primer octante. Se desea que la esfera sea del primer octante entonces usaremos el radio r =3. Luego la ecuacin pedida es:

(x 6)2 + (y 3)2 +(z 9)2 = 32

x2 + y2 + z2 12x 6y 18z +117 = 0

Respuesta Ejercicio N 8 Encuentre la ecuacin de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Determinaremos su radio, calculando la distancia desde el origen al centro dado.

d( C, O ) = 29162 1212516 )11()5((4) )011()05()02( 222222 ==++=++=++ = r Luego la ecuacin es:

( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 2 )2 + ( y +5)2 + ( z 11)2 = 2162

x2 + y2 + z2 4x + 10y 22z 12 = 0 Respuesta Ejercicio N 9 Encuentre la ecuacin de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio 7 . Describa su interseccin con cada uno de los planos coordenados. Determinando la ecuacin de la esfera:

( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 6 )2 + ( y 5 )2 + ( z +2 )2 = 2

7

Luego la ecuacin pedida es: x 2 + y 2 + z2 12 x 10y + 4z + 58 = 0 Su interseccin ser: Si x = 0 y2 + z2 10y + 4z + 58 = 0 ( y 5)2 + ( z +2 )2 = 29, esto no es consistente ya que la suma de dos cuadrados es siempre no negativa, por lo tanto la interseccin es vaca.

Si y = 0 x2 + z2 12 x + 4z + 58 = 0 (x 6)2 + (z +2)2 = 18 la interseccin es vaca.

Si z = 0 x2 + y2 12 x 10y + 58 = 0 (x 6)2 + (y 5)2 = 3 Luego la interseccin con el plano XY resulta ser la circunferencia:

x2 + y2 12 x 10y + 58 = 0 de centro C ( 6 , 5 ) y radio r = 3 . Respuesta Ejercicio N 10

Sean los vectores en IR 3: )2,3,1( =v , )4,3,2( =u , = (2,0,-1) y = (1,5,4) a

b

A.- Determine los vectores: UV y AB

UV = ( 1+2 , 3 3 , 2 + 4 ) = ( 3 , 6 , 6 ) = uv

AB= ab = ( 12 , 5 0 , 4 +1 ) = (1 , 5 , 5 )

B.- Determine el vector ST = ABUV

ST = ABUV = (3, 6, 6) x (1, 5, 5) = 5 5 1-

6 6- 3 k j i

= ( 60, 21

C.- Calcule: ABSTUV

= )ABST(UV ( 3 , 6 , 6 ) [ ]) 5 , (-1,5 x ) 9 ,21,60(

= ) ABST(UV (3, 6, 6) 5 5 1-

9 21- 60- k j i = (3 , 6 , 6) (150, 291, 321)= 630

D.- Determine si el vector es una combinacin lineal de los vectores , , V

u

a

b

Sea el vector ) 2 ,3,1 (v = , y los escalares , , entonces: V = (-2,3,-4) + b a u =++ (2,0,-1) + (1,5,4)

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

= 13 8

, = 0 y = 13 3

) 2 ,3,1 (v = = 13 8 )4,3,2( +0 (2,0,-1)+

13 3

(1,5,4)

Significa que es combinacin lineal de los vectores , , V

u

a

b

E.- Determine si los vectores , , son una combinacin lineal del vector .

u

v

a

)20,15,0(

) 20 , 15 , 0( = + + = u v a )4,3,2( + ) 2 ,3,1 ( + ( 2 , 0 , -1 )

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

= 3 , = - 2 y = 4

Respuesta Ejercicio N 11 En IR3 sean los vectores )5,4,3( =v y )3,2,1( =u , determinar:

A.- uv

uv = )5,4 ,3( 21583352413)3 , 2,1( 6==++=

B.- uv

uv = x (1, 2, 3) =)5,4 ,3( 3 2- 1

5- 4 3- k j i

= ( 2, 4 , 2 )

C.- vu

vu = (1, 2, 3) x =)5,4 ,3( 5- 4 3-

3 2- 1 k j i

= ( 2, 4 , 2 )

D.- u )v u ( + x

=+ u x )v u ( = (-2,2,-2) x (1,2,3) [ ] ) 3 , 2- , 1 ( x ) ,-5 ,4 3- ( ) 3 , 2,1( +

Entonces:

) 2 , 4 ,10 (

3 2- 1 2- 2 2-

k j i u x )v u ( ==+

Respuesta Ejercicio N 12 Sean los vectores en IR 3: )3,1,2( =v , )4,0,1(=u y )2,1,1( =w , obtener: A.- UWUV

UWUV == ) uw ( )uv( ( 1, 1 , 1) ( 0, 1 , 2) = 3 B.- UW x UV

) 1- , 2 ,1 ( 2- 1- 0

1- 1- 1 k j i

2)- , 1- 0, ( x 1)- , 1- 1, (UW x UV ===

Respuesta Ejercicio N 13 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- y . Est el punto )2,1,3(P )4,7,2( Q )1,2,5( A sobre la recta?

Determinemos las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: )2,1,3( P y )4,7,2( Q

Un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.

PQ = PQ = )4, 7 ,2( )2,1,3( = (5,6,2) Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma vectorial es:

(x,y,z) = P + PQ = + )2,1,3( (5,6,2)

En forma paramtricas es: r :

+==+=

2 2z 6 1 y 5 3 x

En forma continua es: r : 2

2z61y

53x +=

=

En forma implcita es: r :

==+

0 16z 5x 2 0 23y 5 x 6

Reemplazando el punto )1,2,5( A sobre la recta en forma paramtricas tenemos:

=+=

==

=+=

21 2 21-

21 6 1 2-

5 8 5 3 5

El punto no esta sobre la recta. )1,2,5( A

B.- y . Est el punto sobre la recta? )2,4,1(P )5,3,3(Q )14,1,13(B Determinemos las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: y

)2,4,1(P )5,3,3(Q

Un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.

PQ = PQ = = ( 2,1,7) )5, 3 ,3( )2 ,4,1(

Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma vectorial es: (x,y,z) = P + PQ = + ( 2,1,7) )2 ,4,1(

En forma paramtricas es r:

===

7 - 2 z 4 y

2 - 1- x

En forma continua es r: 72z

14y

21x

=

=+

En forma implcita es r:

=+=+

0 11z 2x 7 0 9y 2 x

Reemplazando el punto sobre la recta en forma paramtricas )14 , 1, 13 (Btenemos:

======

7 12 72 14

3 4 1 7 2 1 13

El punto no esta sobre la recta, ya que los son todos diferentes entre si.

)14 , 1, 13 (B Respuesta Ejercicio N 14 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por los siguientes tros de puntos de IR 3: A.- , , y ) 2 ,3 ,1 (P )4,3,2( Q )1,0,2( R .

PQ = ( 3 , 6, 6 ) ; PR = ( 1 ,3 , 3 )

PRPQ = ( 3 , 6, 6 ) x ( 1 ,3 , 3 )= == 3- 3 1 6- 6 3 -

k j i 5 1- , 15 , 0 =

n

n es un vector normal al plano. Por consiguiente, de acuerdo a la formula punto-normal. a( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , se tiene: 0( x 1) + 15 ( y + 3) 15 ( z 2) = 0 es decir 15 y 15z + 75 = 0 , es la ecuacin general del plano ; considerando que P es el punto en el plano. B.- , , y )4,3,2(P )4,2,5(Q )4,7,2(R .

) 8- , 10 , (-4 PR ; ) 0 , 1 , 3 ( PQ ==

PRPQ = ( 3 , 1, 0 ) x ( 4 ,10 , 8 )= == 8- 10 4-

0 1 3 k j i

34 , 24 , 8- = n

es un vector normal al plano. Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , Se tiene:

8 ( x 5 ) + 24 ( y + 2 ) + 34 ( z 4) = 0

es decir 8x + 24 y + 34 z 48 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que Q es el punto en el plano. C.- , )7,3,1( P )5,3,2( Q , y )5,0,2( R .

) 2 , 3- , 1 (- PR ; ) 12 , 6 - , 3 ( PQ ==

PRPQ = ( 3 , 6 , 12 ) x ( 1 , 3 , 2 ) == 2 3- 1-

12 6- 3 k j i

15- , 18- , 24 = , n

( es vector normal al plano). n

Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a ( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , Se tiene 24 ( x +2 ) 18 ( y 0 ) 15 ( z +5 ) = 0 es decir 24 x 18 y 15 z 27 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que R es el punto en el plano. Respuesta Ejercicio N 15 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por el punto y que es paralelo al plano dado por la ecuacin:

)4,2,5( P0863 =++ zyx .

Como los dos planos son paralelos, tienen las mismas normales.

La normal al plano dado es = n 6- , 1 , 3

Por tanto: 3 ( x 5 ) + 1 ( y + 2 ) 6 ( z 4 ) = 0 3 x + y 6 z + 11 = 0, es la ecuacin del plano desconocido. Respuesta Ejercicio N 16 Encuentre la distancia del punto al plano dado por la siguiente ecuacin:

. Dibuje el punto y el plano dado. )4,3,2(P

24234 =++ zyx Aplicamos la formula de distancia de un punto a un plano, dada por:

d = 222

000

c b a

d z c y b xa

+++++

d = 186,02929

29 1

2 3 4

24- 4 2 3 3 2 4 222

==++++

Respuesta Ejercicio N 17 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto: y que es paralela a la recta cuyo vector director es:

)2,1,3(P

kjiv 472 ++= .

Se tiene = ( a , b , c ) = ( 2 , 7 , 4 ) v

Luego aplicando la forma: cz - z

by y

a xx 000 ==

Se obtiene la ecuacin de la recta: 4

2 - z7

1 y23 x ==

Respuesta Ejercicio N 18 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , )3,0,1(=u y )1,4,0( =w . Es el vector

una combinacin lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuacin del plano que contiene a los puntos: V, U y W.

)2,15,4( =A

A.- Por determinar si los vectores dados son combinacin lineal del vector A.

=++ A w u v

) 2 , 15- , 4 ( ) 1 4,- 0, ( ) 3 0, (-1, ) 5 ,3,2 ( =++ Desarrollando el sistema de ecuacin, se tiene: 3 y 2 - ; 1 === Los vectores dados son combinacin lineal del vector . A B.- Determinacin de la ecuacin del plano que contiene a los puntos dados.

) 2- , 4- , 1 ( VW ; ) 2 , 3 - , 3 ( UV ==

VWUV = ( 3 , 3 , 2 ) x ( 1 , 4 , 2 ) == 2 - 4- 1

2 3- 3 k j i

9- , 8- , 14

Luego la ecuacin del plano est dada por:

( 14, - 8 , -9 ) [ ] 0 ) 1 - z ( , ) 4 (y , ) 0 - x ( =+ 14 x 8 y 9 z 23 = 0 Respuesta Ejercicio N 19 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , y )2,1,3( =w . Es el vector )2,15,4( =a coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paraleleppedo.

Los vectores son coplanares si: 0 ) w x v ( u =

Entonces: ) w x u ( v = = 2 1- 3-

3 3 1- 5 3- 2

89 0 por lo tanto no son

coplanares.

El volumen de un paraleleppedo est expresado por: V = ) w x v ( u

El volumen del paraleleppedo corresponde a 89 = 89. Respuesta Ejercicio N 20 Encuentre una ecuacin del plano que contiene a los puntos de IR 3: )5,4,2( P ,

y ; adems hllese un vector normal a dicho plano y el rea determinada por los tres puntos.

)6,1,0( Q )4,3,2(R

A.- PRPQ = ( 2 , 3 , 1 ) x ( 0 , 7 , 1 ) == 1- 7 0

1 3 1- k j i

14- , 2 - , 10 - = , n

( vector normal al plano). n

Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal.

: 14- , 2 - , 10 - ) z ,y , x ( 14- , 2 - , 10 - ) 6 , 1 ,0 ( = 0 , Se tiene: - 10 x 2 y 14 z + 82 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que Q

es el punto en el plano. B.- El rea determinada por los tres puntos la obtenemos por la formula:

66,82300

214210

2AA

222

2

n QR x PQ

2=++====

Ejercicio N 21 Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: )5,1,1( P y . Est el punto sobre la recta? Y el punto ?-1 + t

)5,0,7(Q)1,2,5(A )14,1,13(B

A.- Sabemos que ) 0 , 1 , 6 ( PQ = es paralelo a la recta, el vector de direccin es: =

n 0 , 1 , 6

Luego la ecuacin paramtricas de la recta es: X = )5 , 1, 1 ( + t ( 6, 1 , 0 ) X =( 1 + 6 t , -1 + t , 5 ) x = 1 + 6 t ; y = -1 + t ; z = 5 B.- Est el punto sobre la recta? )1,2,5(A 5 = 1 + 6 t t = 1 2 = 1 + t t = 1 1 = 5 A a la recta. C.- Est el punto ? )14,1,13(B 13 = 1 + 6 t t = 2 1 = 1 + t t = 2 14 = 5 B a la recta.

Respuesta Ejercicio N 22 Sean los vectores en IR2: , )3,1(=V )4,3(=U , )1,2( =A y )4,5(=B : A.- Grafique los vectores: UV y AB . UV = ( - 4 , - 1 ) y AB = ( 3 ,5 )

x

y

U

V

UV

x

y

B

A

ABB

B.- Determine si UV AB Grficamente se observa que los vectores no son congruentes. Respuesta Ejercicio N 23 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,-7,4).

)2,1,3(P y . )4 ,7,2(Q

Determinemos la ecuacin de la recta r que pasa por los puntos dados, calculando un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.

PQ = PQ = )4 , 7 - ,2( )2,1,3( = ( 5 , 8 , 6 ) Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma continua es:

r : 6

2z81y

53x +=

=+ considerando el punto P.

r : 6

4z87y

52x =

+= considerando el punto Q.