Procesamiento digital de Imágenes Tomografía. Introducción Uso mas frecuente en medicina...
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Procesamiento digital de ImágenesTomografía
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Introducción
• Uso mas frecuente en medicina
• Acústica
• Microondas
• Geología
• Microscopios electrónicos
• Radiotelescopios
• Rayos-X Positrones Rayos gama
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Fundamentos• Concepto de proyección
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Aplicación en Geología
hT
hR
TxRx
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Concepto de proyección
X-RAY
1 2( , )c
L
f t t du
oI I e
Densidad de un objeto
Bidimensional
Intensidad atenuada de un rayo a medida que se propaga a través del objeto a lo largo
de una línea L(θ,t)
2t
1t
ut
θ = Angulo de la proyecciónt = Ubicación del detector
fc(t1,t2)
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Concepto de proyección•
X-RAY
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Fundamentos Proyección:
Es la operación matemática cuyo resultado es similar a la operación física de tomar una foto irradiada por un haz colimado de rayos X
Objetivo: Reconstruir el objeto en 2D a partir de proyecciones en diferentes ángulos
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Fundamentos
Desconocido
Proyección
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Projection Slice Theorem
X-RAY
Existe alguna relación
matematica entre la proyección
p(θ,t) y la función bidimensional
fc(t1,t2) ?
p(θ,t)
2t
1t
ut
fc(t1,t2)
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Projection Slice Theorem
1 2( , )c
L
f t t du
oI I e
1 2ln ( , ) ( , )oc
L
If t t du p t
I
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Projection Slice Theorem
2t
1t
ut
( )u sen
u
t
cos( )t
1t
1 cos( ) ( )t t u sen
Encontramos ahora la relación entre ambos sistemas coordenados.
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Projection Slice Theorem
2t
1t
ut
cos ( )u u
t
( )t sen 2t
2 ( ) cos ( )t t sen u
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Projection Slice Theorem
1
2
cos( ) ( )( ) cos( )
( , ) 1 2( , )t t u sent t sen uL
p t ducf t t
De aquí en mas nuestro objetivo será encontrar una relación entre la TF 2D de fc(t1,t2) y la TF 1D de p(θ,t).
Esto se puede hacer mediante lo que se conoce como Projection Slice Theorem
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Projection Slice Theorem
Empecemos por encontrar la TF de fc(t1,t2)
1 2 1 2( , ) 2 ( , )c cF D CTFT f t t
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) j t j tc c
t t
F f t t e e dt dt
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 22
1( , ) ( , )
4j t j t
c cf t t F e e d d
A su vez la 2D CIFTde Fc(Ω1Ω2) será:
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Projection Slice Theorem
Por otro lado la TF 1D de p(θ,t) es:
( ) 1 ( , )P D CTFT p t
( ) ( , ) j t
t
P p t e dt
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Projection Slice Theorem
Ahora el Projection Slice Theorem establece que:
1
2
cos1 2( ) ( , )csen
P F
( ) ( cos , )cP F sen
Slice of Fc
1
2
1 2( , )cF
( )P
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Projection Slice Theorem
Este teorema es de gran utilidad ya que si tomamos múltiples proyecciones a diferentes ángulos podemos reconstruir la transformada de fourier de fc(t1,t2).Luego aplicando la Transfomada inversa obtenemos el objeto original.
1 2
1 2 3
( ) ( cos , ) ( , )
, ,c cP F sen f t t
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Técnicas de reconstruccion
1. Simple : - Nearest Neighbor (interpolacion de orden cero)
- Interpolación de primer orden.
2. Formula de inversión de Radon
3. Técnicas Iterativas
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Reconstrucción de la TransformadaPolar Sampling: Ej:. DFT de 9 puntos en cada direccion , 8 proyeccionesLas muestras están igualmente espaciadas
2
1
Debemos encontrar los valores de la transformada en La grilla cartesiana a partir delos valores de la misma enforma polar (puntos rojos).La solución es Interpolar.Los métodos mas simplesson:
Zeroth order Nearest NeighborFirst order Weighed Sum of
neighbor samples (Average)
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Reconstrucción de la Transformada
Si modificamos la distancia entre las muestras en función del ángulo (obtenemos cuadrados concéntricos).
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Formula de inversion de Radon
Partiendo de la IDFT 2D de Fc(Ω1, Ω2)
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 22
1( , ) ( , )
4j t j t
c cf t t F e e d d
Vamos a convertirla a coordenadas polares esto
es: (Ω1, Ω2) (ω, θ). Para realizar la conversión deberemos hacer uso del jacobiano
2
1
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Formula de inversion de Radon
Recordando que :
( , ) ( , ) :
( , ) ( ( , ), ( , ))
( ) ( )
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
si x g u v y y h u v entonces
f x y dxdy f g u v h u v J dudv donde
x x
u vx y x y y xJ
y yu v u v u v
u v
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Formula de inversion de Radon
Entonces fc(t1, t2) nos queda
1 2( , ) cos ( , )
:
cos( , )
cos( , )
si g y h sen
entonces
senx yJ
senu v
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( cos , )
4j t t sen
c cf t t F sen e d d
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Formula de inversion de Radon Observemos que:
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( cos , )
4j t t sen
c cf t t F sen e d d
( )P
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( )
4j t t sen
cf t t P e d d
I
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Formula de inversion de Radon Observemos que:
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( )
4j t t sen
cf t t P e d d
I
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
cos
G P IDFT G g t
y t t t sen
( ) :j tI G e d donde
Es una IDFT
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Formula de inversion de Radon En definitiva nos queda que:
1 2cos( )
t t t senI g t
1 2( cos )I g t t sen
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
Reemplazando en fc(t1, t2) nos queda:
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Formula de inversion de Radon Interpretacion
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
1 2
( ) ( ) ( ) ( , )
cos
G P g t p t IDFT
y t t t sen
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Formula de inversion de Radon Resulta que:
( )( ) ( , )
Pdg t p t IDFT d
dt t
1- Encontramos2- Hallamos
3- Reemplazamos este resultado en fc(t1, t2)
( )( ) ( , )
Pdg t p t IDFT d
dt t
( , )p t
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
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Convolution Backprojection Interpretación
2t
1t
t
0t
0( )g t01t
02t
( )g t
0 01 2 0( , ) ( )cf t t g t
0t 02t
01t
1 2 20
1( , ) ( )
4cf t t g t d
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Matlab Support
RADON TRANSFORM Obtiene las proyecciones a partir de la imagen
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Matlab Support
RADON TRANSFORM Para ver la transformación para varios ángulos
se suele verlas como una imagen.
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Matlab Support
INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.
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Matlab Support
INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.