Procesamiento de Minerales y Materiales I

UNI-FIGMM J. A. Kobashicawa: [email protected] – 1 / 144

Procesamiento de Minerales y Materiales I

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

Lima-Perú

Ciclo: 2007 - I

Actualizado al: May 28, 2007

Overview

Overview

Introducción

Balance de Masa

Corrección de Leyes

Caracterización de laspartículas

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Introducción

Balance de Masa


Caracterización de las partículas

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Introducción

Overview

Introducción

Procesamiento deminerales

Balance Metalúrgico

¿Por quéprocesar/concentrarminerales?

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Procesamiento de minerales

Overview

Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Planta conc.

Concentrado Relave

Mineral no-valiosoMineral valioso

Mineral proveniente de la mina

Figura 1: Esquema del procesamiento de minerales.

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


1. Liberar el mineral valioso.

Reducción de tamaños

Clasificación por tamaños

2. Separar el mineral valioso del estéril (concentración).

Flotación.

Gravimetría.

Electrostática.

Magnética.

Escogido selectivo.


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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por ejemplo:

Se tiene una planta X la cual extrae Cobre (como calcopirita), y:

procesa 100000 toneladas diarias (i.e. gran minería),

con una ley de cabeza de 1.3%Cu,

reporta una recuperación del 92.5%

y una ley de concentrado de 27.6%.

Contenido metálico El contenido metálico de Cobre (en este caso Cobre

fino) que ingresa a la planta es:

Contenido metálicoAlimento = 100000 · 1.3% = 1300tCu/d

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Recuperación La recuperación se define/calcula según:

Recuperación =Contenido metálico en el Concentrado

Contenido metálico en el Alimento(1)

Por lo que el contenido metálico en el concentrado será:

Contenido metálicoConcentrado = 1300tCu/d · 92.5% = 1202.5tCu/d

Y la ley en el concentrado se define como según como:

Ley en el concentrado =Contenido metálico en el Concentrado

Peso total del Concentrado(2)

Por lo que el peso1 del concentrado será:

Peso total del Concentrado =1202.5tCu/d

27.6%= 4356.9t/d

1En realidad es Flujo, al estar expresado en masa/tiempo

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Radio de Concentración El radio de concentración se calcula según:

Radio de concentración =Flujo alimentado

Flujo del concentrado(3)

100000t/d

4356.9t/d= 22.95

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Porcentaje de Calcopirita en el Concentrado - Aproximado Si asumimosque todo el Cobre esta presente como Calcopirita (caso no-real ) la ley

máxima de Cobre que tendría el concentrado sería la ley de un Concentrado

perfecto (i.e. solo existe el(los) mineral(es) deseado(s)2.)

La ley de Cobre en un Concentrado perfecto de Calcopirita se calcula según:

% Cu - Conc. Perfecto =P.A. Cu

P.M. CuFeS2=

63.546

63.546 + 55.845 + 2 · 32.065

= 34.63%

Tómese en cuenta, que un concentrado de Calcopirita nunca superará la ley

de 34.63% de Cobre.

2se coloca en plural en caso de que el concentrado sea Bulk

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La cantidad de Calcopirita que existe en el concentrado sería:

Peso total de Calcopirita =1202.5tCu/d

34.63%= 3472.8t/d

Por lo que el porcentaje de Calcopirita en el concentrado es:

% de calcopirita en el concentrado =3472.8

4356.9= 79.7%

Tómese en cuenta que este es el porcentaje máximo de calcopirita en el

concentrado debido a que se ha asumido que todo el Cobre está presente solo

como Calcopirita.

Se cumple que:

% de calcopirita en el concentrado =% Cu en concentrado

% Cu en concentrado perfecto

=27.6%

34.63%= 79.7%

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Porcentaje de Distribución Es la fracción que esta presente un elemento

(compuesto) M en un flujo F respecto a la alimentación. La recuperación es

un caso particular, en donde el flujo F es el Concentrado.

La cantidad de Cobre que se va al relave es:

Contenido metálicoRelave = Contenido metálicoAlimento

−Contenido metálicoConcentrado

Contenido metálicoRelave = 1300tCu/d − 1202.5tCu/d = 97.5tCu/d

El porcentaje de distribución de Cobre en el Relave será:

% DistribuciónRelave =Contenido metálico en el Relave

Contenido metálico en el Alimento

% DistribuciónRelave =97.5

1300= 7.5

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


En este caso, coincide también que:

% DistribuciónRelave = 100% − % DistribuciónConcentrado

Obsérvese que en este caso:

% DistribuciónConcentrado = % Recuperación de Cobre

La cantidad de relave producido será:

FlujoRelave = FlujoAlimento − FlujoConcentrado

= 100000 − 4356.9 = 95643.1t/d

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La ley del relave será:

LeyRelave =Contenido metálicoRelave

FlujoRelave

LeyRelave =97.5tCu/d

95643.1t/d= 0.102%

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


El balance metalúrgico se resume en la Tabla 1:

Tabla 1: Balance Metalúrgico (solo Cobre)Flujos (t/d) Ley Cu (%) Distribución (%) R. C.

Alimento 100000.0 1.300% 100.0%Concentrado 4356.9 27.600% 92.5% 22.95Relave 95643.1 0.102% 7.5%

¿Por qué procesar/concentrar minerales?

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Introducción




Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Balance de Masa

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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa

Alimentación Fresca

Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Balance de Masa

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Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Todo lo que entra es igual a lo que sale (Sólidos y líquidos)

Por ejemplo, se tiene el siguiente circuito de molienda (ver Figura 2), en el cual

se deben de completar los cuadros del diagrama de flujos.

Se procesa a 250t/h un mineral de densidad de 2.65g/cc. El circuito es

cerrado e inverso.

45% Fracción de sólidos al Overflow

Leyenda

Alimento fresco

Agua al sumidero Descarga del molino

Alimento al hidrociclón

Agua al molino

Underflow del hidrociclón Overflow del

hidrociclón

250 2.65 1

75%

0 1

2.65 1

65%

0 1

2.65 1

75%

2.65 1

30%

Sólidos (t/h) Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)

Líquido (t/h) Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)

Pulpa (t/h) Pulpa (g/cc) Pulpa (m3/h)

% de sólidos Dilución

2.65 1

50%

Figura 2: Ejemplo de Balance de masa en un circuito de molienda cerrado e inverso.


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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


El flujo de solidos (m3/h) se estima según:

Volúmen Sólidos

(

m3

h

)

=Peso Sólidos

(

th

)

Densidad Sólidos(

tm3

) (4)

Volúmen Sólidos

(

m3

h

)

=250t/h

2.65t/m3= 94.3m3/h (5)

(Nota: 1g/cc = 1t/m3)

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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


El Porcentaje de Sólidos se define como:

% Sólido =Peso Sólido

Peso Pulpa

=Peso Sólidos

Peso Sólido + Peso Líquido

por lo que el peso de líquido puede calcularse según:

Peso Líquido =

(

1

%S− 1

)

· Peso Sólido

Peso Líquido

(

t

h

)

=

(

1

0.75− 1

)

· 250t

h= 83.3

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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


El Volúmen del Líquido se estima según:

Volúmen Líquido =Peso Líquido

Densidad Líquido= 83.3m3/h

El Peso de Pulpa se calcula según:

Peso Pulpa = Peso Sólido + Peso Líquido

= 250t/h + 83.3t/h = 333.3t/h

El Volúmen de Pulpa se calcula según:

Volúmen Pulpa = Volúmen Sólido + Volúmen Líquido

= 94.3m3/h + 83.3m3/h = 177.6m3/h

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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La Densidad de pulpa se calcula según:

Densidad pulpa =Peso Pulpa

Volúmen Pulpa

=Peso Sólido + Peso Líquido

Volúmen Sólido + Volúmen Líquido

=333.3t/h

177.6m3/h= 1.88t/m3

La Dilución se define como:

Dilución =Peso Líquido

Peso Sólido: 1

=83.3t/h

250t/h: 1 = 0.33 : 1

Otros Flujos

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Introducción

Balance de Masa

Balance de Masa


Otros Flujos



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


1. El Peso de Sólidos del Overflow del Hidrociclón es igual al Peso de

Sólidos de la Alimentación Fresca.

2. Estimar la Alimentación al Hidrociclón por la fracción de sólidos que se

reporta en el Overflow

(Peso Alimentación HC · Factor = Peso Overflow HC)

3. Se cumple que:

Peso Alimentación HC = Peso Overflow + Peso Underflow

4. EL peso de sólidos que alimenta al molino es igual al del Underflow del

Hidrociclón

45%Fracción de

sólidos al

Overflow

Leyenda

Alimento fresco

Agua al sumidero Descarga del molino

Alimento al hidrociclón

Agua al molino

Underflow del

hidrociclón Overflow del

hidrociclón

250 2.65 94.3

83.3 1 83.3

333.3 1.88 177.6

75% 0.33

0 --- 0

307.7 1 307.7

307.7 1 307.7

0 ---

305.6 2.65 115.3

164.5 1 164.5

470.1 1.68 279.8

65% 0.54

0 --- 0

62.7 1 62.7

62.7 1 62.7

0 ---305.6 2.65 115.3

101.9 1 101.9

407.4 1.88 217.2

75% 0.33

250 2.65 94.3

583.3 1 583.3

833.3 1.23 677.7

30% 2.33

Sólidos (t/h) Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)

Líquido (t/h) Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)

Pulpa (t/h) Pulpa (g/cc) Pulpa (m3/h)

% de sólidos Dilución

555.6 2.65 209.6

555.6 1 555.6

1111.1 1.45 765.2

50% 1

Figura 3: Balance de masa completo.


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Introducción

Balance de Masa


Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange

Parte I: Cálculo de losflujos normalizados

Ecuacionesnormalizadas

Errores debido a losFlujos Normalizados

Cálculo de los caudalesnormalizados

Parte II: Corrección delas leyes

Multiplicadores deLagrange

Solución

Corrección de las leyes


Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Para poder realizar el balance metalúrgico del circuito mostrado en la Figura 4

cuyas las leyes se presentan en la Tabla 2 se debe de corregir previamente las

leyes para hacerlos “matemáticamente consistentes”. Estas correcciones

deben de ser lo mínimo posible para que sean los más cercanos a los valores

originales.

1 3

2 4

5

Figura 4: Circuito de Flotación Bulk Cu-Mo y Zn. 1: Alimento, 2: Concentrado

Bulk Cu − Pb, 3 Relave Bulk, 4: Concentrado de Zinc, 5: Relave General.

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Tabla 2: Leyes de la Planta Concentradora X.Flujo Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)

1 1.880 3.504 61.860 237.808 0.012 5.456 0.023

2 42.280 6.714 1236.089 5319.722 0.060 15.811 0.432

3 0.175 0.241 11.219 24.048 0.007 5.196 0.006

4 2.018 58.285 84.880 242.686 0.054 2.397 0.034

5 0.100 0.138 9.900 20.760 0.002 9.870 0.002

Parte I: Cálculo de los flujos normalizados

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Se establece las ecuaciones de balance de masa:

Para los Flujos:

F1 = F2 + F3 (6)

F3 = F4 + F5 (7)

Para el elemento i (Balance por contenido metálico):

L(i)1 · F1 = L

(i)2 · F2 + L

(i)3 · F3 (8)

L(i)3 · F3 = L

(i)4 · F4 + L

(i)5 · F5 (9)

Ecuaciones normalizadas

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se normaliza los flujos (dividimos entre F1, es decir, el flujo de alimentación)

obtenemos:

Para los Flujos:

1 = φ2 + φ3 (10)

φ3 = φ4 + φ5 (11)

Para el elemento i (Balance por contenido metálico):

L(i)1 = L

(i)2 · φ2 + L

(i)3 · φ3 (12)

L(i)3 · φ3 = L

(i)4 · φ4 + L

(i)5 · φ5 (13)

donde:

φk =Fk

F1

Errores debido a los Flujos Normalizados

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Los errores son calculados según:

∆Q(i)1 = L

(i)1 −

(

L(i)2 · φ2 + L

(i)3 · φ3

)

(14)

∆Q(i)2 = L

(i)3 · φ3 −

(

L(i)4 · φ4 + L

(i)5 · φ5

)

(15)

Se establece φ3 y φ4 como flujos independientes, entonces de (10) y (11)

obtenemos:

φ2 = 1 − φ3 (16)

φ5 = φ3 − φ4 (17)

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se reemplaza (16) y (17) en (14) y (15):

∆Q(i)1 =

(

L(i)1 − L

(i)2

)

+(

L(i)2 − L

(i)3

)

· φ3 (18)

∆Q(i)2 =

(

L(i)3 − L

(i)5

)

· φ3 −(

L(i)4 − L

(i)5

)

· φ4 (19)

Si:Ω

(i)1−2 = L1 − L2 Ω

(i)3−5 = L3 − L5

Ω(i)2−3 = L2 − L3 Ω

(i)4−5 = L4 − L5

Las ecuaciones de error por flujos se pueden calcular según:

∆Q(i)1 = Ω

(i)1−2 + Ω

(i)2−3 · φ3 (20)

∆Q(i)2 = Ω

(i)3−5 · φ3 − Ω

(i)4−5 · φ4 (21)

Cálculo de los caudales normalizados

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se deriva parcialmente respecto a los flujos independientes e iguala a cero

f(φi) se obtiene los caudales normalizados que minimizan los valores ∆Q(i)1

y ∆Q(i)2 . Adicionalmente se aplican factores de ponderación (i.e. P (i)) con los

cuales se podría hacer influir un elemento químico más que otro(s) en el

cálculo en cuestión:

f(φi) =k∑

i=1

P (i) · ∆Q(i)2

1 +k∑

i=1

P (i) · ∆Q(i)2

2 (22)

Donde:

k∑

i=1

P (i) · ∆Q(i)2

1 =k∑

i=1

P (i) ·(

Ω(i)1−2 + Ω

(i)2−3 · φ3

)2

k∑

i=1

P (i) · ∆Q(i)2

2 =k∑

i=1

P (i) ·(

Ω(i)3−5 · φ3 − Ω

(i)4−5 · φ4

)2

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Derivando con respecto a φ3

∂f(φi)

∂φ3= 0 = 2 ·

k∑

i=1

P (i) ·[(

Ω(i)1−2 + Ω

(i)2−3 · φ3

)

· Ω(i)2−3

]

+2 ·k∑

i=1

P (i) ·[(

Ω(i)3−5 · φ3 − Ω

(i)4−5 · φ4

)

· Ω(i)3−5

]

Simplificando se obtiene:

φ3 ·(

k∑

i=1

P (i) · Ω(i)2

2−3 +

k∑

i=1

P (i) · Ω(i)2

3−5

)

−φ4 ·k∑

i=1

P (i) · Ω(i)3−5Ω

(i)4−5 = −

k∑

i=1

P (i) · Ω(i)1−2 · Ω

(i)2−3

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Derivando con respecto a φ4

∂f(φi)

∂φ4= 0 = 2 ·

k∑

i=1

P (i) ·[(

Ω(i)3−5 · φ3 − Ω

(i)4−5 · φ4

)

·(

−Ω(i)4−5

)]

Simplificando se obtiene:

−φ3 ·k∑

i=1

P (i) · Ω(i)3−5 · Ω

(i)4−5 + φ4 ·

k∑

i=1

P (i) · Ω(i)2

4−5 = 0

[

(

∑ki=1 P (i) · Ω(i)2

2−3 +∑k

i=1 P (i) · Ω(i)23−5

)

−∑k

i=1 P (i) · Ω(i)3−5 · Ω

(i)4−5

−∑k

i=1 P (i) · Ω(i)3−5 · Ω

(i)4−5

∑ki=1 P (i) · Ω(i)2

4−5

]

·[

φ3

φ4

]

=

[

−∑k

i=1 P (i) · Ω(i)1−2 · Ω

(i)2−3

0

]

Los flujos φ2 y φ5 se calculan utilizando (16) y (17) respectivamente.

Parte II: Corrección de las leyes

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Calculo de los errores para cada elemento i.

∆M(i)1 = L

(i)1 −

(

L(i)2 · φ2 + L

(i)3 · φ3

)

(23)

∆M(i)2 = L

(i)3 · φ3 −

(

L(i)4 · φ4 + L

(i)5 · φ5

)

(24)

Se establece las correcciones como:∆L

(i)1 = L

(i)1 − L

(i)1 ∆L

(i)4 = L

(i)4 − L

(i)4

∆L(i)2 = L

(i)2 − L

(i)2 ∆L

(i)5 = L

(i)5 − L

(i)5

∆L(i)3 = L

(i)3 − L

(i)3

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se reemplaza en (23) y (24) se obtiene:

∆M(i)1 =

(

∆L(i)1 + L

(i)1

)

−[(

∆L(i)2 + L

(i)2

)

· φ2

+(

∆L(i)3 + L

(i)3

)

· φ3

]

∆M(i)2 =

(

∆L(i)3 + L

(i)3

)

· φ3 −[(

∆L(i)4 + L

(i)4

)

· φ4

+(

∆L(i)5 + L

(i)5

)

· φ5

]

Se debe de cumplir lo siguiente:

0 = L(i)1 −

(

L(i)2 · φ2 + L

(i)3 · φ3

)

(25)

0 = L(i)3 · φ3 −

(

L(i)4 · φ4 + L

(i)5 · φ5

)

(26)

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por lo tanto, los errores por las leyes serán:

∆M(i)1 = ∆L

(i)1 −

(

∆L(i)2 · φ2 + ∆L

(i)3 · φ3

)

(27)

∆M(i)2 = ∆L

(i)3 · φ3 −

(

∆L(i)4 · φ4 + ∆L

(i)5 · φ5

)

(28)

Multiplicadores de Lagrange

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Se define la función Lagrangiana como:

L(χ, λ) = f(χ) − (λ1 · g1(χ) + λ2 · g2(χ)) (29)

en donde:

L(χ, λ): Función Lagrangiana.

f(χ): Función objetivo a minimizar.

λ1, λ2: Son los Multiplicadores de Lagrange.

χ: Son las correcciones (i.e. ∆L(i)1 , . . . ).

g1, g2: Son las ecuaciones restrictivas (que deben ser iguales a cero).

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Ecuaciones Restrictivas:

g1(χ) = ∆M(i)1 − ∆L

(i)1 +

(

∆L(i)2 · φ2 + ∆L

(i)3 · φ3

)

(30)

g2(χ) = ∆M(i)2 − ∆L

(i)3 · φ3 +

(

∆L(i)4 · φ4 + ∆L

(i)5 · φ5

)

(31)

La función objetivo se define como:

f(χ) = W(i)1 · ∆L(i)2

1 + W(i)2 · ∆L(i)2

2 + . . . + W(i)5 · ∆L(i)2

5

Los Factores de Ponderación están representados por W (i).

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se deriva L(χ, λ) respecto a las correcciones obtiene:

∂L(χ, λ)

∂∆L(i)1

= 0 = 2 ∆L(i)1 · W (i)

1 − λ1 (−1)

∆L(i)1 = −1

2· λ1

W(i)1

(32)

∂L(χ, λ)

∂∆L(i)2

= 0 = 2 ∆L(i)2 · W (i)

2 − λ1 (φ2)

∆L(i)2 = +

1

2· λ1 · φ2

W(i)2

(33)

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


∂L(χ, λ)

∂∆L(i)3

= 0 = 2 ∆L(i)3 · W (i)

3 − λ1 (φ3) − λ2 (−φ3)

∆L(i)3 = +

1

2· (λ1 − λ2) · φ3

W(i)3

(34)

∂L(χ, λ)

∂∆L(i)4

= 0 = 2 ∆L(i)4 · W (i)

4 − λ2 (φ4)

∆L(i)4 = +

1

2· λ2 · φ4

W(i)4

(35)

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


∂L(χ, λ)

∂∆L(i)5

= 0 = 2 ∆L(i)5 · W (i)

5 − λ2 (φ5)

∆L(i)5 = +

1

2· λ2 · φ5

W(i)5

(36)

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Introducción

Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Si se deriva L(χ, λ) respecto a los multiplicadores de Lagrange se obtiene:

∂L(χ, λ)

∂λ1= 0 = ∆M

(i)1 − ∆L

(i)1 +

(

∆L(i)2 · φ2 + ∆L

(i)3 · φ3

)

∂L(χ, λ)

∂λ2= 0 = ∆M

(i)2 − ∆L

(i)3 · φ3 +

(

∆L(i)4 · φ4 + ∆L

(i)5 · φ5

)

Las expresiones resultantes son idénticas a g1 y g2, por lo que si se

reemplazan las correcciones en dichas ecuaciones se obtiene:

0 = ∆M(i)1 −

(

−1

2· λ1

W(i)1

)

+

(

1

2· λ1 · φ2

W(i)2

· φ2 +1

2· (λ1 − λ2) · φ3

W(i)3

· φ3

)

0 = ∆M(i)2 − 1

2· (λ1 − λ2) · φ3

W(i)3

· φ3 +

(

1

2· λ2 · φ4

W(i)4

· φ4 +1

2· λ2 · φ5

W(i)5

· φ5

)

Reordenando, resulta la siguiente ecuación matricial:

1

W(i)1

+φ2

2

W(i)2

+φ2

3

W(i)3

− φ23

W(i)3

− φ23

W(i)3

φ23

W(i)3

+φ2

4

W(i)4

+φ2

5

W(i)5

·[

λ1

λ2

]

= −2 ·[

∆M1

∆M2

]

Solución

Overview

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Tomando como factores de ponderación a:

Tabla 3: Factores de Ponderación para cada elemento

Factores de Ponderación (P (i))

Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)

10 7 1 0 1 0 0

Estos factores deben de ser mayores o iguales a cero. A mayores valores,

mayor influencia de dicho elemento en el cálculo. Si el factor es cero, dicho

elemento es omitido en el cálculo.

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:

[

1518330.00 −142.26−142.26 29326.31

]

·[

φ3

φ4

]

=

[

1455433.750

]

Los flujos normalizados obtenidos son:

φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539

Los porcentajes de distribución3 se presentan en la Tabla 4.

Tabla 4: Balance Metalúrgico: Porcentajes de DistribuciónCu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)

Alimento 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

Conc. Cu-Mo 93.16 7.94 82.77 92.67 20.71 12.00 77.81

Relave Bulk 8.92 6.59 17.38 9.69 55.92 91.29 25.01

Conc. Zn 0.50 7.73 0.64 0.47 2.09 0.20 0.69

Relave 5.07 3.76 15.27 8.33 15.90 172.57 8.30

Obsérvese que podría presentarse valores mayores a 100% (i.e. Fe en el Relave).

3Por razones de espacio no se presenta el balance metalúrgico completo.


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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Los errores debido a las leyes son:

Tabla 5: Errores debido a las leyes.Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)

∆M1 -0.039 2.995 -0.098 -5.609 0.003 -0.180 -0.001

∆M2 0.063 -0.172 0.916 2.120 0.005 -4.446 0.004

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Balance de Masa









Solución



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Los Factores de Ponderación para las leyes son calculados por:

Para las leyes en porcentaje:

W (i) =100

[Ley(%) · (100 − Ley(%))]2

Para las leyes en (g/t):

W (i) =106

[Ley(%) · (100 − Ley(%))]2

La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:

[

1518330.00 −142.26−142.26 29326.31

]

·[

φ3

φ4

]

=

[

1455433.750

]

Los flujos normalizados obtenidos son:

φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539

Los errores debido a las leyes son:

Tabla 6: Multiplicadores de Lagrange.


λ1 -0.00004 -0.00501 -0.00024 0.00001 -0.91298 0.00056 -0.06289

λ2 -0.03388 0.03808 -1.11982 -0.76337 -2.71182 0.00108 -2.06287

Tabla 7: Correcciones de las leyes.


Alimento 0.006 2.864 0.001 -0.004 0.007 -0.745 0.002

Conc. Cu-Mo -0.046 -0.407 -9.931 107.072 -0.007 0.206 -0.024

Relave Bulk 0.049 -0.119 0.532 1.221 0.004 -0.599 0.003

Conc. Zn -0.031 5.233 -0.004 -2.128 -0.002 0.001 -0.001

Relave -0.016 0.034 -0.425 -0.985 -0.001 4.058 0.000

Tabla 8: Leyes corregidas.


Alimento 1.874 0.640 61.859 237.812 0.005 6.201 0.021

Conc. Cu-Mo 42.326 7.121 1246.020 5212.650 0.067 15.605 0.456

Relave Bulk 0.126 0.360 10.687 22.827 0.003 5.795 0.003

Conc. Zn 2.049 53.052 84.884 244.814 0.056 2.396 0.035

Relave 0.116 0.104 10.325 21.745 0.003 5.812 0.002

Tabla 9: Porcentajes de Distribución


Alimento 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

Conc. Cu-Mo 93.58 46.06 83.44 90.80 50.98 10.42 88.55

Relave Bulk 6.42 53.94 16.56 9.20 49.02 89.58 11.45

Conc. Zn 0.51 38.52 0.64 0.48 4.78 0.18 0.75

Relave 5.91 15.42 15.92 8.72 44.24 89.40 10.70

Caracterización de las partículas

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Balance de Masa



Tamaño de partícula

Por ejemplo: Unelipsoide

Análisis Granulométrico

Función de densidad deProbabilidad

Estadísticos

Conversión de AnálisisGranulométricos

Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial



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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


2 cm

1cm

Figura 5: ¿Cual es el tamaño de la partícula? (¿1cm?, ¿2cm?, ¿1.5cm?), . . .

Por ejemplo: Un elipsoide

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La ecuación para el elipsoide es:

x2

a2+

x2

b2+

x2

c2= 1 (37)

Para los diámetros: dx = 2.4cm, dy = 2.2cm, dz = 9.4cm (i.e.

a = 1.2cm, b = 1.1cm, c = 4.7cm)

El área superficial es:

ElipsoideArea = 54.69cm2

El volúmen es:

ElipsoideV olumen = 25.99cm3

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


El diámetro de superficie es el diámetro de una esfera que tiene la misma área

de superficie que la partícula.

dS =

(

Area

π

)1/2

= 54.69cm2

= 4.17cm

El diámetro de volúmen es el diámetro de una esfera que tiene el mismo

volúmen que la partícula.

dV =

(

6 · V olumen

π

)1/3

= 25.99cm2

= 3.67cm

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por los diámetros se entiende que la partícula no es mayor que 9.4cm ni

menor de 2.2cmEl diámetro promedio geométrico resulta

(2.4 · 2.2 · 9.4)(1/3) cm = 3.68cm

El diámetro promedio aritmético resulta

2.4 + 2.2 + 9.4

3cm = 4.67cm

El diámetro promedio armónico resulta

31

2.4 + 12.2 + 1

9.4

cm = 3.07cm


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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Mallas

Difracción láser

Procesamiento de imágenes

Elutriación

Microscopía

Sedimentación

Conteo

. . .

Función de densidad de Probabilidad

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La función de densidad de probabilidad puede expresarse en función de la

fracción acumulada pasante (F ) según:

fi(x) =dFi(x)

dx(38)

Donde:

Tabla 10: Notación del subíndice ii Método

0 Conteo

1 Longitud

2 Area

3 Volúmen

se cumple que:

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Introducción

Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


La fracción acumulada pasante respecto a x es:

∫ x

0fi(x)dx = Fi(x) (39)

La fracción que se encuentra en el intervalo < xMin, xMax >

∫ xMax

xMin

fi(x)dx = pi(xP ) (40)

Donde xP es el tamaño promedio del intervalo en cuestión, el cual puede ser

calculado por:

Media Aritmética xMin+xMax

2

Media Geométrica√

xMin · xMax

Media Armónica 21

x+ 1

x

se cumple que:

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Aproximando 38 se obtiene

fi(xP ) ≃ ∆Fi(x)

∆x=

Fi(xMax) − Fi(xMin)

xMax − xMin=

pi(xP )

xMax − xMin

∫

∞

0fi(x)dx = 1 (100%)

En forma discreta, siendo n el número de intervalos de tamaño.

n∑

i.t.=1

pi(x) = 1 (100%)

Estadísticos

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Media:

µ =

∫

∞

0 x · f(x)dx∫

∞

0 f(x)dx=

∫

∞

0x · f(x)dx

µ =

∑ni.t.=1 xP · pi(xP )∑n

i.t.=1 pi(xP )=

n∑

i.t.=1

xP · pi(xP )

Varianza:

σ2 =

∫

∞

0 (x − µ)2 · f(x)dx∫

∞

0 f(x)dx=

∫

∞

0(x − µ)2 · f(x)dx

σ2 =

∑ni.t.=1 (xP − µ)2 · pi(xP )∑n

i.t.=1 pi(xP )=

n∑

i.t.=1

(xP − µ)2 · pi(xP )

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Desviación Estándar:

σ =√

σ2

Coeficiente de Variación:

C.V. =σ

µ

Conversión de Análisis Granulométricos

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Las ecuaciones generales son:

En forma contínua:

fk(x) =xk−j · fj(x)

∫

∞

0 xk−j · fj(x)dx(41)

En forma discreta:

fk(xP ) =xk−j

P · fj(xP )∑n

i.t.=1 xk−jP · pj(xP )

(42)

Ejemplo

Overview

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por ejemplo, se desea convertir las Fracciones en Número a Fracciones en

Peso de la distribución de bolas del molino de Bond (para determinar Work

Index).

La carga es la siguiente:

Tabla 11: Carga de bolas del molino de Bondi.t. φ (pulg) # de Bolas % en Número (p0)

1 1.500 25 8.77

2 1.250 39 13.68

3 1.000 60 21.05

4 0.875 68 23.86

5 0.750 93 32.63

Total 285 100.00

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Introducción

Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Estimar la función densidad de probabilidad a partir de las Fracciones en

Número.

f0(xP ) =p0(xP )

xMax − xMin

Donde se Obtiene:

i.t. Diam (pulg) xMax xMin ∆x f0

1 1.500 1.625 1.375 0.250 0.351

2 1.250 1.375 1.125 0.250 0.547

3 1.000 1.125 0.875 0.250 0.842

4 0.875 0.9375 0.8125 0.125 1.909

5 0.750 0.8125 0.6875 0.125 2.611

Overview

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por ejemplo para convertir la función de densidad de probabilidad en Numero

a Area será: j = 0 (número) y k = 2 (área) en (42), con lo que resulta:

f2(xP ) =x2

P · f0(xP )∑n

i.t.=1 x2P · p0(xP )

Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños (bolas de diámetro 1.5′′)

f2(1.5) =1.52 · 0.351

1.52 · 0.0877 + 1.252 · 0.1368 + . . . + 0.752 · 0.3263= 0.799

Para las bolas de 1.25′′

f2(1.25) =1.252 · 0.547

1.52 · 0.0877 + 1.252 · 0.1368 + . . . + 0.752 · 0.3263= 0.866

Overview

Introducción

Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Estimar las fracciones en número según:

p2(xP ) = f2(xP ) · (xMax − xMin)

Por lo que para el primer intervalo de tamaños la fracción en área resulta:

p2(1.5) = 0.799 · (1.625 − 1.375) = 0.1998 (19.98%)

Para el segundo intervalo, la fracción resulta:

p2(1.25) = 0.866 · (1.625 − 1.375) = 0.2164 (21.64%)

Resultados

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Tabla 12: Resultado de las conversiones utilizando (42)φ fdp Fracciones

(pulg) f0 f1 f2 f3 p0 p1 p2 p3

1.500 0.351 0.544 0.799 1.105 8.77 13.61 19.98 27.63

1.250 0.547 0.708 0.866 0.998 13.68 17.70 21.64 24.95

1.000 0.842 0.871 0.852 0.786 21.05 21.78 21.31 19.65

0.875 1.909 1.728 1.479 1.194 23.86 21.60 18.49 14.92

0.750 2.611 2.025 1.486 1.028 32.63 25.32 18.58 12.85

Resultados

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Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Para el caso de bolas, la forma más simple de obtener dichos resultados es

(cálculos solo para el primer intervalo de tamaños):

Por Número

p0(xP ) =#Bolas(xP )

∑ni.t.=1 #Bolas(xP )

p0(1.5) =25

25 + . . . + 93

Por Longitud

p1(xP ) =xP · #Bolas(xP )

∑ni.t.=1 xP · #Bolas(xP )

p1(1.5) =1.5 · 25

1.5 · 25 + . . . + 0.75 · 93= 0.1361 (13.61%)

Overview

Introducción

Balance de Masa







Estadísticos


Ejemplo

Conminución

Trituración

Tamizado Industrial


Por Area

p2(xP ) =π · x2

P · #Bolas(xP )∑n

i.t.=1 π · x2P · #Bolas(xP )

p2(1.5) =π · 1.52 · 25

π · 1.52 · 25 + . . . + π · 0.752 · 93= 0.1998 (19.98%)

Por Volúmen

p3(xP ) =π6 · x3

P · #Bolas(xP )∑n

i.t.=1π6 x3

P · #Bolas(xP )

p3(1.5) =π6 · 1.53 · 25

π6 · 1.53 · 25 + . . . + π

6 · 0.753 · 93= 0.2763 (27.63%)

Tamaño (µm) Fracciones Acumuladas

i.t. Malla Maximo Minimo Promedio % en Peso Retenidas Pasantes

1 -1/2" +m3/8" 12700 9500 10984 0.03 0.03 99.97

2 -3/8" +m3 9500 6800 8037 0.43 0.46 99.54

3 -m3 +m4 6800 4750 5683 2.03 2.49 97.51

4 -m4 +m6 4750 3400 4019 4.17 6.66 93.34

5 -m6 +m8 3400 2360 2833 6.97 13.63 86.37

6 -m8 +m10 2360 1700 2003 9.59 23.22 76.78

7 -m10 +m14 1700 1180 1416 10.94 34.16 65.84

8 -m14 +m20 1180 850 1001 10.80 44.96 55.04

9 -m20 +m28 850 600 714 9.91 54.87 45.13

10 -m28 +m35 600 425 505 8.42 63.29 36.71

11 -m35 +m48 425 300 357 7.12 70.41 29.59

12 -m48 +m65 300 212 252 6.10 76.51 23.49

13 -m65 +m100 212 150 178 5.23 81.74 18.26

14 -m100 +m150 150 106 126 4.38 86.12 13.88

15 -m150 +m200 106 75 89 3.85 89.97 10.03

16 -m200 +m270 75 53 63 2.91 92.88 7.12

17 -m270 +m400 53 38 45 2.14 95.02 4.98

18 -m400 38 0 19 4.98 100.00 0.00

Conminución

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda

High Pressure GrindingRolls (HPGR)

Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Conminución

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Para liberar el mineral valioso.

Primera etapa de conminución: Voladura.

Trituración

Ultima etapa de conminución: Molienda.

Trituración

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Reduce de tamaño las partículas provenientes de la mina (Run of Mine

ore) para que puedan ser molidas.

Fracturamiento de partículas por Compresión o por Impacto.

Superficies del medio (e.g. quijada fija, quijada movil, rodillos, cono, . . . )

son rígidas o con movimiento restringido.

Generalmente en seco.

Varias etapas. Los radios de reducción en cada una varían entre 3 a 6.

Molienda

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Última etapa de conminución.

Fracturamiento de partículas por Abrasión y por Impacto.

Los medios moledores no estan conectados (i.e caída libre de dichos

medios)

Medios moledores:

Bolas

Barras

Guijarros (Pebbles)

El mismo mineral

Generalmente en húmedo.

High Pressure Grinding Rolls (HPGR)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Comprime la cama de partículas.

Produce fracturas internas en las partículas (microcracking).

Radio de reducción mayor que en trituradoras de rodillos

convencionales.

Beneficios posteriores:

Menor consumo energético en molienda.

Mejora en la lixiviación.

Mas eficiente (entre 20 a 50%) que trituradoras convencionales o

molinos .

Energía

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Una pequeña fracción de la energía se utiliza en fracturar las partículas.

La mayor parte la absorbe la máquina.

Agua reduce la energía requerida en conminución. Así mismo existen

reactivos químicos que se adsorben en el sólido y que disminuyen la

energía requerida.

Teoría de Von Rittinger ( 1867)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Energía consumida es proporcional al área de la nueva superficie

producida

Area superficial es inversamente proporcional al diámetro.

E = KR ·(

1

Df− 1

Di

)

Donde:

Di Tamaño inicial de la partícula

Df Tamaño final de la partícula

Teoría de Kick ( 1885)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Trabajo requerido es proporcional a la reducción en volúmen de las

partículas.

E = KK · log R

log 2

Donde:

R Radio de reducción (R = f/p)

f Diámetro de partículas alimentadas.

p Diámetro de partículas del producto.

Teoría de Bond ( 1952)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Trabajo requerido es proporcional a la longitud de la fractura producida.

W = 10 · Wi ·(

1√P80

− 1√F80

)

(43)

Donde:

Wi Work Index.

F80 Tamaño X80 del Alimento.

P80 Tamaño X80 del Producto.

Work Index

Expresa la resistencia de un material a la fragmentación.

Trabajo requerido (kW-h/tc) para reducir de tamaño una partícula de

tamaño infinito hasta 80% menor a 100µm.

Ecuación general de Hukki (1975)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Plantea una ecuación general.

Kick Partículas mayores a 1cm.

Bond Partículas en molienda con barras y/o bolas.

Rittinger Partículas en molienda fina 10 − 1000µm

Propuesta de Morrell (2004)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Conminución

Trituración

Molienda


Energía

Trituración

Tamizado Industrial


Basado en la evaluación de Hukki.

Ha sido demostrado que es válido en la mayoría de circuitos modernos

(i.e. 0.1 − 100mm).

W = K · Mi ·(

1

Pf(P80)80

− 1

Ff(F80)80

)

Donde:

Mi Material Index. Relacionado con la propiedad de fractura del mineral.

K Constante para balancear las unidades de la ecuación.

Trituración

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten

Cálculo de losparámetros del modelo

Tamizado Industrial


Modelo de Whiten

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Propuesto por Whiten (1972)

Modelo Estático (existe un modelo dinámico propuesto por Oblad).

Mecanismo de trituración modelado como una combinación de

clasificación y fractura de las partículas minerales.

Aplicable a trituradoras de quijada, giratorias y cónicas (Standard o de

Cabeza Corta -Short Head-).

Opening En esta operación, el material se dirige hacia abajo (zona de

descarga) y parte del material es retenido y la otra parte sale de la

trituradora como producto (mecanismo de Clasificación) (ver la Figura 6).

Nipping En esta operación, el material es comprimido y fragmentado

(mecanismo de Fractura).

Esquema de la trituradora

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Alimento (A)

Material en la Trituradora

(T)

Producto (P)

Nipping

Opening

Figura 6: Esquema de la fragmentación en una Trituradora

Nomenclatura

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


N : Número de intervalos de tamaños

i : Subíndice para designar un intervalo de tamaños i = 1, 2, · · · , Ni = 1 Corresponde al intervalo de partículas más gruesas

i = N Corresponde al intervalo de partículas más finas

pFi : Fracción en peso del Alimento en el intervalo de tamaños ipi : Fracción en peso del Producto en el intervalo de tamaños iM : Masa retenida en el triturador

bi,j : Función Fractura o fracción de partículas que aparecen en el

intervalo de tamaños i proveniente de la reducción de material

del intervalo de tamaños jmi : Fracción en peso del material en la trituradora correspondiente

al intervalo de tamaños ici : c(di)

Fracción en peso de material en el intervalo de tamaños i que

es retenido para fracturarse en el siguiente ciclo.

W : Masa total del alimento que es aceptado en un ciclo.

Masa del producto descargado

Balance de Masa

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Tabla 13: Descripción de balance de masa en la trituradoraPara el intervalo de tamaños i

Muestra Masa total Masa Fracción en peso

A Alimento W WpFi pF

i

T En la trituradora M Mmi mi

P Producto W Wpii pi

Material en la Trituradora

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


La cantidad de masa en el intervalo de tamaños i presente en la trituradora es

la suma del material fresco que ingresa a la trituradora y el material que hasido fracturado, clasificado y retenido , por lo tanto:

WpFi Es el material fresco perteneciente al intervalo de tamaños i que

ingresa a la trituradora.

cjMmjbi,j Es la fracción del material de intervalo de tamaño inicial j que ha

sido clasificado y fracturado al intervalo de tamaños i el cual permanece

en la trituradora.

Mmi = WpFi + c1Mm1bi,1 + c2Mm2bi,2 + · · · + ciMmibi,i

La expresión anterior puede expresarse como:

M

Wmi =

1

1 − cibi,i

pFi +

i−1∑

j=1

cjM

Wmjbi,j

(44)

Producto de la Trituradora

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Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


El producto de la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños icorresponderá al material que ha sido clasificado y pasado por latrituradora , por lo tanto, puede establecerse que:

(1 − ci)Mmi Es la fracción del material de intervalo de tamaño i que ha sido

clasificado y descargado de la trituradora. Es decir:

Wpi = (1 − ci)Mmi

La expresión anterior puede expresarse como:

pi = (1 − ci)M

Wmi (45)

Modelo Matemático

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Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


El modelo corresponde a (44) y (45). Para tener un modelo más fácil de

manejar y que represente a todos los intervalos de tamaño se convertirán en

expresiones matriciales (ver Figura 7), por lo tanto:

Los análisis granulométricos son expresados como vectores columna de

tamaño N , la suma de los componentes de cada vector debe de sumar uno

(100%).

pF MW m = pF + b c M

W m

b c MW m

c MW m

p = (I − c) MW mFunción de

Clasificaciónc

Función Fracturab

Figura 7: Diagrama de bloques del modelo de la trituradora

Análisis granulométrico del alimento

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del alimento fresco

a la trituradora.

pF(N×1) =

pF1

pF2

pF3

pF4...

pFN−1

pFN

∑Ni=1 pF

i = 1

Análisis granulométrico del material en la trituradora

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del material en la

trituradora.

m(N×1) =

m1

m2

m3

m4...

mN−1

mN

∑Ni=1 mi = 1

Análisis granulométrico del producto

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Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del producto de la

trituradora.

p(N×1) =

p1

p2

p3

p4...

pN−1

pN

∑Ni=1 pi = 1

Matriz de Clasificación

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Los valores ci de la Matriz de Clasificación están entre el rango de 0 (pasa

todo por la trituradora) y 1 (retiene todo en la trituradora)

c(N×N) =

c1 0 0 0 . . . 0 00 c2 0 0 . . . 0 00 0 c3 0 . . . 0 00 0 0 c4 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . cN−1 00 0 0 0 . . . 0 cN

Matriz de la Función Fractura

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Los valores de bi,j están en el rango de 0 a 1 y deben de cumplir que la suma

de los componentes en cada columna sea uno (100%).

b(N×N) =

b1,1 0 0 0 . . . 0 0b2,1 b2,2 0 0 . . . 0 0b3,1 b3,2 b3,3 0 . . . 0 0b4,1 b4,2 b4,3 b4,4 . . . 0 0

......

......

. . ....

...

bN−1,1 bN−1,2 bN−1,3 bN−1,4 . . . bN−1,N−1 0bN,1 bN,2 bN,3 bN,4 . . . bN,N−1 bN,N

N∑

i=1

bi,j = 1 ; ∀j

Overview

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


El modelo matricial es derivada de (44) y (45) (recuérdese que son modelos en

Régimen Permanente - Steady State -) y se expresan de la siguiente manera:

M

Wm = pF + b c

M

Wm

M

Wm = (I − b c)−1

pF (46)

p = (I − c)M

Wm (47)

Si se reemplaza (46) en (47) se obtiene el modelo matricial de la trituradora:

p = (I − c) (I − b c)−1pF (48)

Donde I es la matriz Identidad de tamaño (N × N ).

Función Clasificación

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


La función de Clasificación puede ser simplificada mediante:

ci =

1 −(

d2−dpi

d2−d1

)nSi d1 < dpi < d2

0 Si dpi ≤ d1

1 Si dpi ≥ d2

(49)

Parámetro de Control

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


El control de la granulometría del producto de las trituradoras cónicas

(Standard y de Cabeza Corta) se hace variando la abertura de la trituradora

(Closed Side Set - CSS). Para esto se tiene las siguientes relaciones:

d1 = α1 CSS (50)

d2 = α2 CSS + d∗ (51)

Donde los rangos son:

0.5 . α1 . 0.95

1.7 . α2 . 3.5

1 . n . 3

d∗ ∼ 0

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Open Side Set (OSS) Abertura máxima de la descarga de la trituradora (ver

Figura 8)

Closed Side Set (CSS) Abertura mínima de la descarga de la trituradora

Throw Es la distancia definida como: Throw = OSS − CSS

CSS OSS

Figura 8: Esquema: Open Side Set (OSS) (Abertura máxima de descarga) y

Closed Side Set (CSS) (Abertura mínima de descarga)

Función Fractura

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


La función Acumulativa de Fractura B se puede representar mediante:

B(x, y) =

K(

xy

)n1

+ (1 − K)(

xy

)n2

Para x < y

1 Para x ≥ y(52)

Donde:

x : Tamaño Mínimo de partículas del intervalo iy : Tamaño Promedio de partículas del intervalo j

K , n1, n2 : Parámetros a estimar

Donde los rangos son:

0 ≤ K ≤ 1

n1 = 0.5 Para trituradoras Standard y de Cabeza Corta

n2 =

2.5 Para trituradoras de Cabeza Corta

4.5 Para trituradoras Standard

Matriz de la Función Fractura Acumulada

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Los elementos de la matriz b se calcularán mediante:

bi,j = B(Di−1, dpj) − B(Di, dpj) (53)

bj,j = 1 − B(Dj , dpj) (54)

Se cumple también:

Bi,j = 1 −i∑

k=1

bk,j ; ∀j

Para evitar el cálculo tedioso de los parámetros de la matriz b, es posible determinarlo mediante una

expresión matricial, para esto se define:

Esta matriz se obtiene a partir de (52)

B(N×N) =

B1,1 1 1 1 . . . 1 1B2,1 B2,2 1 1 . . . 1 1B3,1 B3,2 B3,3 1 . . . 1 1B4,1 B4,2 B4,3 B4,4 . . . 1 1

......

......

. . ....

...

BN−1,1 BN−1,2 BN−1,3 BN−1,4 . . . BN−1,N−1 1BN,1 BN,2 BN,3 BN,4 . . . BN,N−1 BN,N

Matriz de Transformación R

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Esta matriz, es una matriz triangular inferior de valores 1.

R(N×N) =

1 0 0 0 . . . 0 01 1 0 0 . . . 0 01 1 1 0 . . . 0 01 1 1 1 . . . 0 0...

......

.... . .

......

1 1 1 1 . . . 1 01 1 1 1 . . . 1 1

Matriz de Transformación Ones

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Esta es una matriz cuyos elementos son 1.

Ones(N×N) =

1 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 1...

......

.... . .

......

1 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 1

Overview

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


La relación se expresa de la siguiente manera:

B = Ones − R b

Por lo tanto, la matriz de Fractura b se calculará por la siguiente ecuación:

b = R−1(Ones − B) (55)

Matriz R−1 La matriz R−1 queda resuelta como:

R−1(N×N) =

1 0 0 0 . . . 0 0−1 1 0 0 . . . 0 00 −1 1 0 . . . 0 00 0 −1 1 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . 1 00 0 0 0 . . . −1 1

Cálculo de los parámetros del modelo

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Datos requeridos Para poder calcular los parámetros del Modelo, se deberá

de disponer de:

1. Análisis Granulométrico del Alimento

2. Closed Side Set (CSS)

3. Análisis Granulométrico del Producto referido al CSS.

Cantidad de parámetros a calcular Los parámetros que debemos de

calcular son los referidos a las matrices de Clasificación (c) y de Fractura (b).

Matriz de Clasificación : N

Matriz de Fractura :N(N + 1)

2

Cantidad total de parámetros : N +N(N + 1)

2

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Modelo de Whiten


Tamizado Industrial


Cálculo utilizando Regresión No Lineal Debido a la gran cantidad de

parámetros, es posible reducirlos si es que se utilizan las ecuaciones (49) y

(52). Es decir, en lugar de calcular N + N(N+1)2 se calcularán solo siete

parámetros, cuatro para la ecuación de Clasificación (α1, α2, d∗y n) y tres

para la función Fractura (K , n1 y n2).

Función a minimizar La Regresión No Lineal consiste básicamente en

minimizar la siguiente función:

C(Θ) =N∑

i=1

(

pDatai − pModelo

i

)2(56)

Vector de parámetros

Θ =[

K n1 n2 α1 α2 n d∗]

Tamizado Industrial

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia

Ejemplo de Curva dePartición


Tamizado Industrial

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Clasificar las partículas por tamaño.

Eficiencia disminuye con la finura del material

Desde ∼ 30cm hasta ∼ 40µm

Seco: Limitado hasta un tamaño de 5mm

Húmedo: Comúnmente hasta 250µm

Tamaños menores de 250µm se pueden aplicar otros métodos (e.g.

Hidrociclones, Stokes, . . . ).

La superficie consta de muchas aberturas u hoyos (normalmente de

dimensiones uniformes).

Eficiencia

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



No existe un método aceptado universalmente para determinar la

eficiencia.

Consideraciones:

Tomando un tamiz de abertura xZ

Alimentación F (t/h)

Producto grueso Oversize (Coarse) C (t/h) (i.e. material que

queda retenido en el tamiz).

Producto fino Undersize U (t/h) (i.e. material que pasa a través

del tamiz).

f : Fracción mayor a xZ en el Alimento. f = GF (xZ)

c: Fracción mayor a xZ en el Oversize. c = GC(xZ)

u: Fracción mayor a xZ en el Undersize. u = GU (xZ)

G(x) es la Fracción Acumulada Retenida.

Balance de Masa

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



General:

F = C + U (57)

Material Grueso (Oversize)

f · F = c · C + u · U (58)

Material Fino (Undersize)

(1 − f) · F = (1 − c) · C + (1 − u) · U (59)

Por lo que:C

F=

f − u

c − u

U

F=

c − f

c − u

Eficiencia

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Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Eficiencia de la Fracción Gruesa (i.e. material grueso en el Oversize).

EC =Material Grueso en el Oversize

Material Grueso en el Alimento=

c · Cf · F =

c · (f − u)

f · (c − u)(60)

Eficiencia de la Fracción Fina (i.e. material fino en el Undersize).

EU =Material Fino en el Undersize

Material Fino en el Alimento=

(1 − u) · U(1 − f) · F =

(1 − u) · (c − f)

(1 − f) · (c − u)(61)

Eficiencia Global

E = EC · EU (62)

Tabla 14: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso).

Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm.

Tamaño (mm) Porcentaje en Peso

I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize

1 -3” + 2” 76.20 50.80 62.22 6.30 12.92 0.00

2 -2” + 1 1/2” 50.80 38.10 43.99 16.70 25.75 0.00

3 -1 1/2” + 1” 38.10 25.40 31.11 25.25 32.03 0.00

4 -1” + 3/4” 25.40 19.05 22.00 12.22 15.76 0.27

5 -3/4” + 1/2” 19.05 12.70 15.55 11.03 11.33 5.33

6 -1/2” + 3/8” 12.70 9.53 11.00 3.20 1.01 7.42

7 -3/8” + m4 9.53 4.75 6.73 5.49 0.31 18.84

8 -m4 + m6 4.75 3.35 3.99 2.11 0.02 7.44

9 -m6 + m8 3.35 2.36 2.81 2.01 0.01 7.20

10 -m8 + m10 2.36 1.70 2.00 1.66 0.00 5.90

11 -m10 + m14 1.70 1.18 1.42 1.68 0.00 5.91

12 -m14 1.18 0.00 0.59 12.35 0.86 41.69

Tabla 15: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados

Retenidos). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm.

Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido

I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize

1 <2” 50.80 6.30 12.92 0.00

2 <1 1/2” 38.10 23.00 38.67 0.00

3 <1” 25.40 48.25 70.70 0.00

4 <3/4” 19.05 60.47 86.46 0.27

5 <1/2” 12.70 71.50 97.79 5.60

6 <3/8” 9.53 74.70 98.80 13.02

7 -m4 4.75 80.19 99.11 31.86

8 -m6 3.35 82.30 99.13 39.30

9 -m8 2.36 84.31 99.14 46.50

10 -m10 1.70 85.97 99.14 52.40

11 -m14 1.18 87.65 99.14 58.31

12 0.00 100.00 100.00 100.00

Cálculo de la eficiencia

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



xZ = 14.0mm, por lo que se obtiene (utilizando interpolación lineal):

f = GF (14.0mm) = 69.24%

c = GC(14.0mm) = 95.47%

u = GU (14.0mm) = 4.51%

Eficiencia de la Fracción Gruesa:

EC =c · (f − u)

f · (c − u)

=0.9547 · (0.6924 − 0.0451)

0.6924 · (0.9547 − 0.0451)

= 0.9812 (98.12%)

Overview

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Eficiencia de la Fracción Fina:

EU =(1 − u) · (c − f)

(1 − f) · (c − u)

=(1 − 0.0451) · (0.9547 − 0.6924)

(1 − 0.6924) · (0.9547 − 0.0451)

= 0.8952 (89.52%)

Eficiencia Global:

E = EC · EU

= 0.9812 · 0.8952

= 0.8784 (87.84%)

Curva de Eficiencia o Partición

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Eje X : Tamaño promedio (geométrico) del intervalo de tamaños. Escala

logarítmica.

Eje Y : Fracción del alimento que se reporta en el Oversize.

ED(Xp(i)) =Fracción del tamaño Xp(i) en el Oversize

Fracción del tamaño Xp(i) en el Alimento

=fC(Xp(i))

fF (Xp(i))· C

F

Se debe de corregir los análisis granulométricos.

Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación.

Fracciones Acumuladas Retenidas (utilizar Pasantes da el mismo

resultado).

Corrección de los Análisis Granulométricos

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



El método es similar al desarrollado para corregir las leyes (ecuaciones

análogas).

Método para Zaranda de un solo piso (i.e. una entrada y dos salidas, puede

aplicarse también para hidrociclones, clasificadores helicoidales, . . . ):

1 Obtener los análisis granulométricos.

2 Obtener el caudal normalizado C/F (relación de flujo del Oversize

respecto al Alimento) mediante la siguiente ecuación:

C

F=

B

A

Overview

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Donde:

A =N∑

i=1

[

(

G(i)C − G

(i)U

)2]

B =N∑

i=1

[(

G(i)C − G

(i)U

)

·(

G(i)F − G

(i)U

)]

G(i)C Fracción Acumulada Retenida para el intervalo de tamaños i (si se

utilizan Fracciones acumuladas Pasantes arrojan el mismo resultado).

F , C , U Denotan el Flujo de Alimentación, Oversize y Undersize

respectivamente.

N Número total de intervalo de tamaños.

Overview

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



3 Obtener el caudal normalizado U/F

U

F= 1 − C

F

4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:

∆M (i) = G(i)F −

(

G(i)C · C

F+ G

(i)U · U

F

)

Overview

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños:

W(i)F = G

(i)F ·

(

1 − G(i)F

)

W(i)C = G

(i)C ·

(

1 − G(i)C

)

W(i)U = G

(i)U ·

(

1 − G(i)U

)

6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños:

λ(i) = −2 · ∆M (i)

W(i)F + W

(i)C ·

(

CF

)2+ W

(i)U ·

(

UF

)2

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



7 Hallar las correcciones:

∆G(i)F = −λ(i) ·

W(i)F

2

∆G(i)C = +λ(i) ·

W(i)C

2· C

F

∆G(i)U = +λ(i) ·

W(i)U

2· U

F

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



8 Corregir los análisis granulométricos:

G(i)F = G

(i)F − ∆G

(i)F

G(i)C = G

(i)C − ∆G

(i)C

G(i)U = G

(i)U − ∆G

(i)U

Ejemplo de la Corrección de los Análisis Granulométricos

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Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



1 Los análisis granulométricos utilizados son los que se presentan en la

Tabla 15.

2 El caudal normalizado C/F :

A = (0.1292 − 0.0000)2

+ (0.3867 − 0.0000)2

+ . . .

+ (0.9914 − 0.5831)2

+ (1.0000 − 1.0000)2

= 4.4672

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



B = (0.1292 − 0.0000) · (0.0630 − 0.0000)

+ (0.3867 − 0.0000) · (0.2300 − 0.0000)

+ . . .

+ (0.9914 − 0.5831) · (0.8765 − 0.5831)

+ (1.0000 − 1.0000) · (1.0000 − 1.0000)

= 3.1517

C

F=

3.1517

4.4672= 0.7055

3 Obtener el caudal normalizado U/F

U

F= 1 − 0.7055 = 0.2945

4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:

∆M (1) = 0.0630 − (0.1292 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0282

∆M (2) = 0.2300 − (0.3867 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0428

... =...

∆M (11) = 0.8765 − (0.9914 · 0.7055 + 0.5831 · 0.2945) = 0.0053

∆M (12) = 1.0000 − (1.0000 · 0.7055 + 1.0000 · 0.2945) = 0.0000

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños. Para el

primer intervalo de tamaños:

W(1)F = 0.0630 · (1 − 0.0630) = 0.0590

W(1)C = 0.1292 · (1 − 0.1292) = 0.1125

W(1)U = 0.0000 · (1 − 0.0000) = 0.0000

6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños.

Para el primer intervalo de tamaños:

λ(1) = −2 · 0.0630

0.0590 + 0.1125 · (0.7055)2 + 0.0000 · (0.2945)2

= 0.4895

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



7 Hallar las correcciones. Para el primer intervalo de tamaños:

∆G(1)F = −0.4895 · 0.0590

2= −0.0144

∆G(1)C = +0.4895 · 0.1125

2· 0.7055 = 0.0194

∆G(1)U = +0.4895 · 0.0000

2· 0.2945 = 0.0000

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



8 Corregir los análisis granulométricos. Para el primer intervalo de

tamaños:

G(1)F = 0.0630 − (−0.0144) = 0.0774 (7.74%)

G(1)C = 0.1292 − 0.0194 = 0.1098 (10.98%)

G(1)U = 0.0000 − 0.0000 = 0.0000 (0.00%)

Se puede verificar, evaluando el error

∆M (1) = 0.0774 − (0.1098 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = 0.0000

Tabla 16: Análisis Granulométrico Corregidos de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumula-

dos Retenidos).Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido

I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize

1 <2” 50.80 7.74 10.98 0.00

2 <1 1/2” 38.10 25.57 36.24 0.00

3 <1” 25.40 49.40 70.02 0.00

4 <3/4” 19.05 60.96 86.29 0.27

5 <1/2” 12.70 70.70 97.85 5.66

6 <3/8” 9.53 73.63 98.85 13.21

7 -m4 4.75 79.42 99.14 32.17

8 -m6 3.35 81.63 99.16 39.62

9 -m8 2.36 83.75 99.17 46.81

10 -m10 1.70 85.48 99.16 52.70

11 -m14 1.18 87.22 99.16 58.60

12 0.00 100.00 100.00 100.00

Tabla 17: Análisis Granulométrico Corregido de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso).Tamaño (mm) Porcentaje en Peso

I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize

1 -3” + 2” 76.20 50.80 62.22 7.74 10.98 0.00

2 -2” + 1 1/2” 50.80 38.10 43.99 17.83 25.26 0.00

3 -1 1/2” + 1” 38.10 25.40 31.11 23.83 33.78 0.00

4 -1” + 3/4” 25.40 19.05 22.00 11.56 16.27 0.27

5 -3/4” + 1/2” 19.05 12.70 15.55 9.74 11.56 5.39

6 -1/2” + 3/8” 12.70 9.53 11.00 2.93 1.00 7.55

7 -3/8” + m4 9.53 4.75 6.73 5.79 0.29 18.96

8 -m4 + m6 4.75 3.35 3.99 2.21 0.02 7.45

9 -m6 + m8 3.35 2.36 2.81 2.12 0.01 7.19

10 -m8 + m10 2.36 1.70 2.00 1.73 0.00 5.89

11 -m10 + m14 1.70 1.18 1.42 1.74 0.00 5.90

12 -m14 1.18 0.00 0.59 12.78 0.84 41.40

Ejemplo de Curva de Partición

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Para el primer intervalo de tamaños:

ED(62.22) =0.1098

0.0774· 0.7055 = 1.0000 (100.00%)

ED(43.99) =0.2526

0.1783· 0.7055 = 1.0000 (100.00%)

... =...

ED(1.42) =0.0000

0.0174· 0.7055 = 0.0000 (0.00%)

ED(0.59) =0.0084

0.1278· 0.7055 = 0.0461 (4.61%)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Tabla 18: Data de la Curva Trompi.t. Tamaño promedio (mm) ED

1 62.22 100.00

2 43.99 100.00

3 31.11 100.00

4 22.00 99.32

5 15.55 83.70

6 11.00 24.05

7 6.73 3.57

8 3.99 0.57

9 2.81 0.25

10 2.00 0.00

11 1.42 0.00

12 0.59 4.61

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



10−1

100

101

102

0

20

40

60

80

100

RealIdeal

Tamaño de partículas (mm)

ED

Figura 9: Curva de Partición (Tromp). La curva ideal indica que todas las

partículas mayores a la abertura de la malla se presentan en la fracción gruesa

y todas las partículas menores se presentan en la fracción fina.

Modelos empíricos

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Curvas de Partición:

Actual: Eua(dp)

Corregida: Euc(dp) (Elimina el cortocircuito Rf )

Euc(dp) =Eua(dp) − Rf

1 − Rf(63)

Reducida: Eur(dp/d50c) (Similar a la corregida, pero los valores de

tamaño son divididos entre el valor del d50c i.e. la curva cruza por la

coordenada (1, 0.5)).

d50

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Obsérvese que:

Eua(d50) = 0.50

Euc(d50c) = 0.50

Eur(1) = 0.50

Se define el Sharpness Index (SI) como

SI =d25c

d75c; SI ∈ [0, 1] (64)

Donde:

Euc(d25c) = 0.25

Euc(d75c) = 0.75

Modelos de la curva corregida

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Reid-Plitt ó Rosin-Rammler

Euc(dp) = 1 − exp

[

ln(0.50) ·(

dp

d50c

)a]

(65)

Whiten ó Suma Exponencial

Euc(dp) =exp

(

a · dpd50c

)

− 1

exp(

a · dpd50c

)

+ exp (a) − 2(66)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Distribución Log-Normal

Euc(dp) =

∫ dp

0

1√2 · π · a · x

· exp

−

(

ln(

xd50c

))2

2 · a2

dx (67)

Logística

Euc(dp) =1

1 +(

dpd50c

)

−a (68)

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



100

101

102

0

0.2

0.40.50.6

0.8

1

RealCorregida

Tamaño de partículas (mm)

ED

Rf

d50 d50c

Figura 10: Curva de Partición (Tromp) Real y Corregida.

Curvas Anzuelo (fish hook) o tipo Gancho

Overview

Introducción

Balance de Masa



Conminución

Trituración

Tamizado Industrial

Tamizado Industrial

Eficiencia



Finch

Euc(dp) = 1 − exp

[

ln(0.50) ·(

dp

d50c

)a]

+ Rf ·(

d0 − dp

d0

)

(69)

Whiten ó Suma Exponencial

Euc(dp) = 1 −

(

1 + β · β∗ · dpd50c

)

· (exp (a) − 1)

exp(

a · β∗ · dpd50c

)

+ exp (a) − 2(70)

Procesamiento de Minerales y Materiales I

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