Problemas: Termodinámica de las turbinas de gas · 2019. 10. 12. · Problemas: Termodinámica de...

Ramon Carreras Motors Tèrmics Aeronàutics ETSEIAT 2009_________________________________________________________________________________________________

1

Problemas: Termodinámica de las turbinas de gas

a) Problemas resueltos

Problema 1: Una turbina de gas opera según un ciclo ideal de Brayton. La relación de presiones es la conducente al trabajo específico máximo. La

temperatura máxima (de entrada en la turbina) es de 1300K. El fluido motor se

supone que es aire y sus condiciones iniciales son: ISO t = 15ºC y p = 1,013 bar Se operará con hipótesis de gas perfecto: Cp ≠ (T). Se supone que en la

turbina los gases se expansionan hasta la presión ambiente (p4 1 bar)

Hallar:

1. Relaciones de presión óptimas (we máximo)

2. Rendimiento térmico del ciclo ideal. 3. Trabajo específico. 4. Temperatura del gas saliente de la turbina si se expansiona

adiabáticamente y sin pérdidas hasta la presión atmosférica.

5. Situar la evolución en un diagrama h-s del aire y deducir cual sería el trabajo específico disponible una vez accionado el compresor

Resolución:

1. Se determinará T2 conducente al trabajo específico máximo:

2

1 opt

T

T

3

1

1300 K4,51

288 K

T

T

2 288 4,51 612 KT

1,4

2 1 0,84,51 13,95opt

2. rendimiento al operar con π óptima

11

con: ( 1)

0,4 1,413,95 2,123

1=1- =0,529 (52,9%)

2,123

3. Trabajo específico

4,51

1

11 1e

p

w

c T

si: 4,51 y 2,123 …

con cp = 1,005 kJ/kg K y T1 = 288K:


2

1

1,005×288 4,51 1- - 2,123-1 =365,5 kJ/kg2,123

1

11 1e pw c T

4. La temperatura en el punto 3 es un dato: T3 = 1300 K. Si la relación de

presiones en la turbina es la misma que la del compresor = 13,95 la T final

de expansión se calculará con la ecuación de las adiabáticas pV = cte. :

1

4 3 3

1 1 1300612,3 K

2,123T T T

Obsérvese el elevado nivel de temperatura a la que salen los gases de la

turbina de gas, lo que en instalaciones estacionarias invita a recuperar su

energía en una segunda instalación térmica… por ejemplo en un generador de

vapor de agua…

6. Utilizar el diagrama de Mollier repartido en clase. _________________________________________________________________________

Problema 2: Una turbina de gas de tipo estacionario tiene las siguientes características:

• Ciclo regenerativo

• Temperatura de entrada en la turbina T3 = 1100 K

• Relación de compresión πc = 4

• Rendimiento isoentrópico del compresor c = 0.85

• Rendimiento isoentrópico de la turbina t = 0.87

• Rendimiento mecánico de la transmisión turbina-compresor m = 0.99

• Eficiencia del intercambiador de calor (regenerador) ic = 0.80

• Pérdidas de presión:

o Cámara de combustión ∆pcc = 2% de la presión salida compresor

o Intercambiador de calor (lado aire) ∆pia = 3% de la presión

salida compresor

o Intercambiador de calor (lado gases) ∆pig = 0.04 bar

• Condiciones ambientales: pa = 1 bar, Ta = 288K

• Combustible: Keroseno PCI = 43100 kJ/kg

Hallar:

1. Trabajo específicos (del compresor, de la turbina y efectivo (neto)) 2. Dosificación f adecuada. 3. Caudal de fluido motor que circulará por la máquina si esta tiene una

potencia efectiva de 1 MW.

4. Consumo específico de combustible. 5. Rendimiento.


3

Resolución:

Primero se hará un esquema de la instalación anotando los puntos más

característicos del circuito. Con el se trazará un diagrama TS representativo

de la evolución real del fluido:

1

2

3

4 5

6

p cc p ia

p ig

T,h

s

1.1 Compresor:

02 01 02 01c pw h h c T T

Con:

1

0202 01

01

1a

c

T pT T

p

en la que: (p02/p01) = πc = 4 (dato)

γ = 1,4 (aire) T01 = Ta (288 K) (TG estacionaria)

p01 = pa (1 bar)

sustituyendo valores:

1,4 1

1,4

02 01

2884 1 164,7 K

0,85T T

wsc = 1,005 kJ/kg K · 164,7 K = 165,5 kJ/kg

wc = wsc/ m wc = 165,5 / 0,99 = 167,2 kJ/kg Trabajo específico compresor

1.2 Turbina:

03 04 03 04( )t pw h h c T T

Con:

1

03 04 03

03 04

11tT T T

p p

Introduciendo las caídas de presión:

03 02 02 02 02

03

0,03 0,02 0,95

0,95 4 bar = 3,8 bar

ia ccp p p p p p C p

p

y


4

04 01 1 0,04 1,04 barigp p p

03

04

3,83,654

1,04t

p

p

tomando = 1,333 (gases de combustión a temperatura media alta) y T03 = 1100 K (dato).

0,333-1

1,333

03 04

10,87×1100 1- =264,7 K

3,654T T

de donde el trabajo específico de la turbina es:

03 04kJ

1,147 264,7 K = 303,6 kJ/kgkgK

t pw c T T

1.3. Trabajo específico del grupo:

- =303,6 kJ/kg - 167,7 kJ/kg = 130,5 kJ/kge t cw w w

2. Dosificado

El dosificado C

A

mf

m

dependerá del incremento de temperatura necesario para

pasar de T05 a T03 ya que de T02 a T05 lo hace el regenerador…

T05 se determinará previamente a partir de la eficiencia del intercambiador de

calor (regenerador):

05 02

04 02

T T

T T

02 288 164,7 452,7 KT

a partir del T02 –T01 antes calculado (en 1.1) , se deduce:

02 288 164,7 452,7 KT

Y a partir del T03 - T04 calculado, se deduce:

04 1100 264,7 835,3 KT

luego:

0505

452,70,8 759 K

835,3 452,7

TT

El ∆T que deberá proporcionar la cámara de combustión será:

03 05 1100 - 759 = 341 K T T

Balance energético:

,necessari ,

,

subministrat ,

p PP p P CP p P C

C A p P

c Tq m c T mm c T m PCI f

q m PCI m PCI c T


5


-3

C A

1,147×341= =9,16 10 kg /kg

43100-1,147×341teoricf

33

C A

9,16 10=9,34 10 kg /kg

0,98

teoricreal

c

ff

Opcionalmente se puede hallar el dosificado mediante el gráfico Cohen pág

172.

Con el gráfico se obtiene f teórico = 9.4·10-3 y por tanto f real = 9.6·10

-3

(Valores ligeramente distintos debido las distintas aproximaciones efectuadas.


6

De los dos valores obtenidos (numérico y gráfico) elegimos el más

desfavorable, o sea:

3

C A9,6 10 kg /kgrealf

3. Caudales másicos

Para una planta de una potencia determinada (aquí 1 MW):

y puesto que:

39,6 10C

A

m

m

y 7,326A Cm m

Se deduce que: 7,256 kg/sAm

Y 0,0696 kg/s 250,6 kg/h Cm

4. Consumo específico: (se suele expresar en [g/kWh])

5250,6 kg/h g kg250,6 6,961 101000 kW kWh kJ

Ce

e

mc

P

opcionalmente, y por ser mA>>mC, se puede utilizar la fórmula aproximada que

da un valor ligeramente superior:

35C A

A+C

9,6 10 kg / kg g7,03 10 kJ/kg 253,1

136,5kJ / kg kWhe

e

fc

w

5. Rendimiento:

-5

1 1= = 0,333 33,3%

kg kJPCI6,961×10 ×43000

kJ kgec

_____________________________________________________________________

Problema 3: Un grupo a turbina de gas de tipo estacionario tiene las siguientes características:

• Expansión subdividida en dos turbinas con un recalentamiento

intermedio.

• La turbina de alta presión suministra exactamente el trabajo necesario

para accionar el compresor, mientras que la de baja presión sirve para

obtener el trabajo útil.

• Proceso con regenerador de calor ubicado en la posición habitual.

• Temperatura de entrada en ambas turbinas T3 = T5 = 1100 K



• Rendimiento isoentrópico de la turbina AP t = 0.86

• Rendimiento isoentrópico de la turbina BP t = 0.86


7

• Rendimiento mecánico de cada uno de los ejes m = 0.99

• Eficiencia del intercambiador de calor (regenerador) ic = 0.80

• Pérdidas de presión (mismos datos que problema 0.2):

Cámara de combustión ∆pcc = 2% de la presión salida

compresor

Intercambiador de calor (lado aire) ∆pia = 2% de la presión

salida compresor

Intercambiador de calor (lado gases) ∆pig = 0.04 bar

• Condiciones ambientales: pa = 1 bar, Ta = 288K

• Combustible : Keroseno PCI = 43100 kJ/kg

Hallar:

1. Trabajos específicos (del compresor, de las turbina AP y BP

2. Dosificación f adecuada.

4. Consumo específico de combustible.

5. Rendimiento.

Resolución:

Primero se hará un esquema de la instalación anotando los puntos más

significativos:

1

2

8

7

43

cC

1 bar

288K

TBPTAP

c5

6

1

2

3

4

5

7

p cc p ia

p ig

T,h

s

6

8

1.1 Compresor (igual que problema anterior)

02 01 02 01c pw h h c T T

Con:

1

0202 01

01

1a

c

T pT T

p

en la que: (p02/p01) = πc = 4 (dato)

γ = 1,4 (aire) T01 = Ta (288 K) (TG estacionaria)

p01 = pa (1 bar)


8


1,4 1

1,4

02 01

2884 1 164,1 K

0,853T T

wsc = 1,005 kJ/kg K · 164,7 K = 164,9 kJ/kg

wc = wsc/ m wc = 165,5 / 0,99 = 166,6 kJ/kg Trabajo específico accionamiento compresor

La presión intermedia entre las dos turbinas es desconocida, pero puede ser

determinada a partir del hecho que la turbina de AP produce justamente el

trabajo necesario para accionar el compresor.

03 04 03 04 166,6 kJ/kgsc st pw w h h c T T

de donde:

03 04,

165,6 kJ/kg145,2 K

1,147 kJ/kgK

sc

p P

wT T

c

por otro lado el salto térmico en la turbina AP será:

1

03 04 03

03 04

11tT T T

p p


1,333 1

1,333

,

1145,2 0,86 1100 1

t AP

Despejando y operando…

,t AP :03

,

04

1,95t APp

p

y puesto que p 03 = 3, 8 bar (datos de caídas de presión iguales que en el

problema anterior)

043,8

1,95 bar1,95

p

1.2 Turbina de BP (de potencia)

1.3 05,06

t BP

p

p

05 04 2 04 04

06

0,02 = 0,98×1,95 = 1,91 bar

=1+0,04 = 1,04 bar

cc

a ig

p p p p p

p p p

05

,

06

1,91 = = 1,836

1,04t BP

p

p


9

1

05 06 05

,

11t

t BP

T T T

0,333

1,333

05 06

10,86×1100 1- = 133,2 K

1,836T T

y por lo tanto:

, ,

kJ1,147 ×132,2 K=152,8 kJ/kg

kg Kt BP p Pw c T

Se pone en evidencia que el trabajo específico de la turbina de potencia útil

(152,8 kJ/kg) resulta ser incluso algo inferior a la que se necesitaba para

accionar el compresor 166,6 kJ/kg. De aquí el posible interés en plantas

generadoras estacionarias que almacenen aire comprimido ("CAS") en horas de

bajo consumo y energía barata para utilizarlo exclusivamente en la

alimentación de las cámaras de combustión y turbinas en horas punta.

2 Dosificado

En este caso, se deben alimentar dos cámaras. En la primera se aportará el

combustible necesario para elevar la temperatura de T07 a T03 y en la segunda

para pasar de T04 a T05

2.1 Primera cámara de combustión

02 288 164,7 452,7 KT

a partir del T02 –T01 antes calculado (en 1.1) , se deduce:

02 288 164,7 452,7 KT

Y a partir del T03 - T04 calculado, se deduce:

04 1100 264,7 835,3 KT

luego:

0505

452,70,8 759 K

835,3 452,7

TT

El ∆T que deberá proporcionar la cámara de combustión será:

03 05 1100 - 759 = 341 K T T

Balance energético:

,necessari ,

,

subministrat ,

p PP p P CP p P C

C A p P

c Tq m c T mm c T m PCI f

q m PCI m PCI c T

Conocida la eficiencia del regenerador, se podrá determinar la temperatura a

su salida:


10

07 02

06 02

T T

T T

siendo:

02 01

01 02

05 06

05 06

164 K

288 K 452 K

133 K

1100 K 967 K

T T

T T

T T

T T

0707

4520,8 864 K

967 452

TT

Luego, el ∆T necesario en la primera cámara:

03 07 1100 864 236 KT T

El dosado necesario: se obtiene por balance energético o mediante el gráfico

correspondiente al combustible utilizado. Resolviendo como en el problema

anterior y con un rendimiento de combustión del 98%, se obtiene:

1 C A0,0066 kg /kgccf

2.2 Segunda cámara de combustión

sabemos que:

03 04

03 04

145,2 K

1100 K 955 K

T T

T T

Luego, el ∆T necesario en la segunda cámara:

05 04 1100 955 145 KT T

actuando como en el caso anterior (gráfico o cálculo), y admitiendo también

un rendimiento de combustión del 98% se obtiene:

1 C A0,0041 kg /kgccf

Dosado Total:

1 2 C A0,0066 0,0041 0,0107 kg /kgcc ccf f f

3. Consumo específico: (solo da trabajo efectivo la turbina de baja presión, la de alta se utiliza exclusivamente para accionar el compresor!)

35C A

A+C

10,7 10 kg / kg g7 10 kg/kJ 252

152,8 kJ / kg kWhe

tBP

fc

w

4. Rendimiento del grupo:

-5

1 1= = 0,329 32,9%

kg kJPCI7×10 ×43000

kJ kgec


11

Problema 4 Uso de fórmulas inmediatas:

Determinar el rendimiento que se podría obtener con una turbina de gas de

ciclo simple y de nueva generación en la que con el uso de técnicas TBC

(“Thermal Berrier Coatings”) la turbina pueda llegar a admitir gases a 1675

°C. Se supone:

• Aire ambiente a 20°C y 1 bar

• Rendimiento isoentrópico del compresor 0.87

• Rendimiento isoentrópico de la turbina 0.89

• Relación de compresión: la conducente a máximo trabajo específico.

Hallar: Rendimiento y grado de perfección respecto al ciclo sin pérdidas

Resolución: Primero se determina la relación de presiones conducente al

máximo trabajo específico:

1

max

max

we c t

we

Siendo

03

01

1675 273 K6,65

20 273 K

T

T

max 6,65 0,87 0,89 2,27we (que corresponde a un c = 17,6)

Rendimiento:

1 1 1 1

1 1 0,89 6,65 1 2,27 12,27 0,87

0,4422,27 11

6,65 110,87

t

c

c

Si la máquina operase según el ciclo ideal simple a su relación de compresión

óptima para maximizar el trabajo específico:

max,ideal 6,65 2,58we (que corresponde a un c 27,6)

1 1

1 1 0,6122,58

idealBrayton

ideal

Si hubiese trabajado a la misma relación de presiones que el primer caso (con

c=0,89 y t=0,87 se obtendría:

2

1 11 1 0,559

2,27idealBrayton

ref

El grado de perfección:

ciclo ref

egp


12

Según el criterio de comparación elegido será:

gp = 0,72 ÷ 0,79

Problema 5. Uso de fórmulas inmediatas:

Una turbina de gas opera según un ciclo simple, siendo:

• Temperatura del aire a la entrada del compresor 21°C

• Temperatura del aire a la entrada de la turbina 815 °C


• Rendimiento isoentrópico de la turbina t = 0.85


Hallar:

a) Rendimiento del equipo.

b) ¿Cual sería la relación de compresión que conduciría al máximo

rendimiento?

c) ¿Cual sería el rendimiento si el grupo operase con la relación de

presiones hallada en b)?

Resolución:

a) Siendo:

=

T03

T 01

= 215 + 273

21 + 273 = 3.7 y =

- 1

= 4

1.4 -1

1.4 = 1.486

=

t (1 -

1 ) -

1

c ( - 1)

- ( - 1

c

+ 1 )

=

0.853.7 (1 - 1

1.486 ) -

1

0.8 (1.486 - 1)

3.7 - (1.486 - 1

0.8 + 1 )

= 0.202 20.2 %

b) Tal como se expuso en el texto:

d

d = 0 [(

t -1) + 1]

2 - [2

t] + [ (1 -

c)

t +

c

t ] = 0

a 2

- b + c = 0

Sustituyendo valores:

a = (0.85 - 1) ·3.7 + 1 = 0.445 b= -(2 · 0.85· 3.7) = -0.29 c= [(1-0.8) · 0.85 + 0.8 · 0.85 · 3.7] · 3.7 = 9.94

max

= 6.29 6.29

2 - 4 0.445 9.94

2 0.45 = 1.81 = 8 12.17= 6288

c) Sustituyendo de nuevo en la expresión del rendimiento para =1.81 se

obtiene = 0.22


13

Problemas propuestos Problema propuesto 6

En una publicación que hace referencia a la turbina de gas "General Electric

5001" se lee:

" ...el compresor axial de 17 escalonamientos, cuando gira a 5100 rpm

aspira 116 kg/s de aire ambiente ( TA = 288 K, pA = 1.013 bar) y lo

comprime hasta 9,9 bar. Ello requiere una potencia de aproximadamente 35

MW. El aire comprimido pasa a la cámara de combustión en donde se quema

el combustible con gran exceso de aire. Los gases de combustión se

expansionan a través de una turbina de dos escalonamientos y entran en el

conducto de escape a 750 K. Dicha turbina tiene una potencia total de 60

MW..."

A partir de los datos de este fragmento, establecer:

a) Diagrama de bloques (elementos) de la máquina indicando puntos

significativos

b) Diagrama h (T) - s del ciclo identificando los puntos anteriores y la

caida de presión en cámara citada en h)

c) Rendimiento isentrópico del compresor de dicha instalación. [Rta: 0.88]

d) Temperatura del aire a la salida del compresor [Rta: 588 K]

e) Temperatura de los gases a la entrada de la turbina [Rta: ≈ 1200 K]

f) Dosado f (si el rendimiento de combustión es de 0.98 [Rta: f ≈0.0169]

por cálculo y haciendo uso del gráfico

g) caudal másico de combustible [Rta: ≈1.96 kg/s]

h) Rendimiento isentrópico de la turbina en el supuesto de que en la cámara

de combustión se produzca una caida de presión de 0,2 bar. [Rta: ≈0.87]

i) Consumo específico de combustible [Rta: ≈282 g/kWh]

j) Rendimiento efectivo [Rta: 0.296]

k) A la vista de los resultados: ¿Qué modificación en el circuito básico

sugerirías con la finalidad de mejorar el rendimiento?

l) Con esta modificación y en el supuesto de que y no variasen ¿cual sería el máximo rendimiento alcanzable?

DATOS adicionales:

aire = 1.4

Cp aire = 1.005 kJ/kg K

Cp gases turbina = 1.147 kJ/kg K

PCI combustible = 43100 kJ/kg rendimiento combustión =0.98

Problema propuesto 0.8

En determinada instalación se requiere un caudal de aire 1.5 kg/s a 4 bar, y

al mismo tiempo una potencia efectiva en un eje de 200 kW.

Pensamos en evaluar una solución basada en el esquema adjunto:


14

12

1.5 kg/s a 4 bar

4

3

cTC

1 bar

288K

200 kW

Se supone que el rendimiento isoentrópico del compresor es 0.85 y el de la turbina

0.87. En la cámara de combustión contamos con una pérdida de presión de 0.12 bar. a

turbina es capaz de resistir una temperatura de entrada de 1100 K. Suponemos además

que un 2 % de la potencia total de la turbina se disipará en pérdidas mecánicas.

Las condiciones ambientales se suponen de 288 K y 1 atm.

Hallar:

a) Caudal másico de aire que debe suministrar el compresor.

b) Potencia absorbida por el compresor.

c) Consumo horario de combustible en la instalación, si el PCI=43100

y el rendimiento de la combustión del 98%.

Procedimiento:

1º Trabajo específico del compresor 2º Potencia del compresor (mA), 3º

Trabajo específico de la turbina 4º Potencia de la turbina 5º Balance de

potencias y obtener mA (f), 6º dosado 7º Potencia absorbida por el

compresor. 8º Consumo horario de combustible.

Rtas: Potencia total turbina 745,9 kW. Caudal de aire a cc. 3 kg/s caudal

combustible 0.053 kg/s

___________________________________________________________________

Problema de Turbina de gas

Font: Cohen “Gas Turbina Theory” adaptat a la nomenclatura de Lewis

Objectiu: Avantprojecte d’una turbina de gas axial monoesglaonada

1 S 2 R 3

rt

rh Figura 1.


15

Figura del programa GasTurb:

Notació 4 → 1 problema actual

41 → 2 problema actual

5 → 3 problema actual

Procediments:

a) manual b) Programaris (alumnat): Gasturb, FIPSI... (Lewis), Cascada y Turbina Axial de N.García

i M. Muñoz (UNED)

Especificacions:

Tipus turbojet axial de 1 esglaonament

Cabal màssic: m = 20 kg/s

Rendiment isoentròpic turbina: t = 0,90

Temperatura total (parada) gasos a l’entrada de la turbina T01 = 1100 K

Relació de pressions 01 03p p = 1,873

Pressió total entrada turbina 01p = 4 bar (0,4 MPa)

Coeficient de pèrdues a les toveres de l’estator s = 0,05

Règim de velocitat n = 250 rev/s

Velocitat perifèrica mitja u 340 m/s

Rendiment mecànic mec = 0,99

Hipòtesi:

Fluid motor: cp = 1,147 kJ/kg K = 1,333

Triangles velocitat:

2 3x xc c

1 3c c

1 0º Per ser una turbina d’un sol esglaonament, l’entrada del fluid es axial


16


17

a) Salt de temperatura a la turbina: 1

01 03 0 0101

03

11s sT T T T p

p

1,333 1

1,33

0

10,9 1100 1 143,7 K

1,873sT

Es calcula primer el valor del paràmetre de tasca FI (s/Lewis): 0

2

p s

L

c T

u

3

2 2 2

1,147 10 J kgK 143,7K1,425

340 m sL

obs. valor relativament baix

L’altre paràmetre de tasca és el coeficient de fluxe PSI: xc

u

Obs: Cohen proposa provar per 0,8 (podria ser més elevat... alternatives gràfics de Smith i

Lewis)

Amb

3 1 0º

De l’equació obtinguda dels triangles de velocitat adimensionalitzats:

3 3

1tan tan

3

1tan 0 1,25

0,8 3 51,34º

Seguidament cal veure amb quin grau de reacció R operaria si els valors escollits fins ara fossin

els definitius ...


18

De:

3

1tan

2

L R

3tan2

LR

substituint valors...

1,4250,8 1,25

2R R = 0,2875

El valor obtingut resulta excessivament baix, ja que en haver-lo calculat per l’alçada mitja de

l’alep, en haver de disminuir cap a la base probablement ens portaria a valors de R negatius amb

el que en aquesta regió actuaria com compressor provocant pèrdues...

Per evitar-ho caldrà augmentar el grau de reacció mig, això es pot aconseguir donant un cert

remolinat (“swirl”) al flux, és a dir fent 3 0 .

Provem amb 3 10º .

Substituint valors a l’equació: 3 31

tan tan

3

10,1763 tan

0,8 3tan 1,4263 3 54,965º

Amb aquest valor, substituït a l’equació...

3tan2

LR

1,4250,8 1,4263

2R R = 0,4285 (2a estimació)

Aquest valor en ser més proper a 0,5 sembla acceptable, posteriorment caldrà verificar...

Construcció dels triangles de velocitat:

Per dibuixar els triangles de velocitat d’entrada i de sortida, ens calen altres angles. Fent ús dels

valors coneguts:

3 10º

3 54,965º

u = 340 m/s

amb el formulari obtenim:

21

tan2

L R

2

1 1,425tan 0,4285 0,355

0,8 2

2 19,545º


19

2

1tan 1

2

L R

2

1 1,425tan 0,4285 1 1,605

0,8 2

2 58,075º

Establiment de les seccions de pas

Caldrà determinar les àrees anulars a les seccions dels punts : i ho farem aplicant l’equació de continuïtat un cop determinats en cada punt p, T i (opcionalment v) Un primer criteri que hem de verificar és el de no ultrapassar un Ma 0,75 a la secció . De l’expressió del coeficient:

xc

u 2xc u 340 m/s 0,8 272 m/s

22

2cos

xcc

= 272

524,3 m/scos58,75

Secció

Com no és un esglaonament repetitiu podem assumir que c1 és axial i que c1 = c3 amb lo que en

els triangles : cx3 = cx2 i per tant:

cx1 = c1 = c3

33

3

272276,4m/s

cos cos10º

xcc

La Δ temperatura equivalent a l’energia cinètica dels gasos l’obtenim de: 2 2

1 276,4 33,3 K2 2 1,147 1000p

cT

c

1 01 1100 33,3 1067 KT T T

Pel càlcul de la pressió, suposem procés adiabàtic:

11 1

01 01

p T

p T

1 4

4 bar3,54 bar

1100 K 1067 Kp


20

Amb les dades de p i T, aplicant l’equació d’estat dels gasos ideals, suposant que el fluid és aire

amb -1 -1

-1 18,3145 J mol K 287 J kg K0,028965 kg/mol

Aire

Aire

RR

M

5 231

1

1

3,54 10 N/m1,156 kg/m

287 J/kg K 1067 KAire

p

R T

La secció anul·lar A1 necessària per un cabal màssic de 20 kg/s és:

2 2

1 3

1 1

20kg/s6,259 10 m

1,156 kg/m 276,4 m/sx

mA

c

Secció

Determinació de la temperatura:

2 2 2

202 2

524,3 m /s119,8 K

2 2 1,147 kJ/kg K 1000 J/kJp

cT T

c

Essent 02 01 1100 KT T

2 1100 -119,8 = 980,2 KT

Aplicant el coeficient de temperatura 0,09s en els àleps de la tovera (dada del problema),

aquest coeficient (Cohen) es defineix com: ' '

2 2 2 2

2

2 02 2/ 2s

p

T T T T

c c T T

i representa la fracció de l’energia sortint que es degrada per fricció.

Aplicant aquest concepte:

' 2

2 2 2( / 2 )s pT T c c = 0,05· 119,8 K = 6 K

'

2 980,2 6 974,2 KT

Amb les equacions de les adiabàtiques i amb les dels gasos ideals podem ara trobar les altres

variables:

101 01

'

02 2

p T

p T

1,333

0,33301

02

11001,625

974,2

p

p

1

4 bar2,46 bar

1,625p

Nota: Ara cal comprovar si aquesta relació de pressions és superior a la crítica


21

101 1

c

p

p

amb = 1,333 s’obté: 01 1,853c

p

p . En ser 1,625 < 1,853 no s’arribarà

a Ma=1 i la pressió de sortida serà efectivament p2

Aplicant l’equació dels gasos operant igual que hem fet a la secció 1 trobem la densitat a le

secció 2: 5 2

322

2

2,46 10 N/m0,874 kg/m

287 J/kg K 980,2 KAire

p

R T

Aplicant l’equació de continuïtat trobem l’àrea a la secció

2 2

2 3

2 2

20kg/s8,413 10 m

0,874 kg/m 272 m/sx

mA

c

Amb les dades anteriors també podem calcular la superfície de la secció total de pas de les

toveres, ara caldrà però treballar amb la velocitat absoluta c2 trobada anteriorment..

2 2

2 3

2 2

20kg/s4,364 10 m

0,874 kg/m 524,3 m/s T

mA

c

Secció

Partim d’un valor calculat al començament de l’exercici:

El salt de temperatura 0 143,7KsT

Per tant : 03 01 0 1100 143,7 956,3KsT T T

2 2

3 13 03 03 956,3 33,3 923 K

2 2p p

c cT T T

c c (ja que 3 1c c )

Analogament com hem fet abans:

101 3

03 03

p T

p T

amb 01

03

1,873p

p i 01 4p que son dades de l’enunciat

I per tant:

4

3

4 9231,85 bar

1,873 956,3p

i 5 2

333

3

1,853 10 N/m0,700 kg/m

287 J/kg K 923 KAire

p

R T

2 2

3 3

3 3

20kg/s10,34 10 m

0,700 kg/m 276,4 m/s

mA

c


22

Determinació de l’alçada dels àleps

El radi mig r es pot determinar del règim de voltes i de la velocitat perifèrica mitja admesa:

n = 250 rev/s

u 340 m/s

La velocitat angular -12 1570,8 sN

I per tant el radi mig -1

340 m/s0,2165 m

1570,8 s

ur

Àrea anul·lar

2 2 2

u uhA r h h

n n

n Ah

u

2500,7353 m

340

Ah A

2

2

t

h

hr

r

hrr

Regió Àrea [m

2] 6,259·10

-2 8,410·10

-2 10,34·10

-2

Altura àlep [m] 0,0460 0,0618 0,0760

t hr r 1,238 1,33 1,43

Esquema:

Els valors de t hr r solen ser de 1,2 1,4 per tant els obtinguts estan dins la normalitat. Si els

haguéssim obtinguts excessivament alts podríem actuar augmentant cx o .


23

Verificació del Ma de sortida:

33

3

276,40,465

1,333 287 923Aire

cMa

R T

Valor acceptable

Angles dels àleps

Hipòtesi de disseny: Esglaonament “free vortex”

Els valors trobats pal radi mig r :

2 58,075ºm 1 0,046 mh

2 19,545ºm 2 0,0618 mh

3 10ºm 3 0,076 mh

3 54,965ºm

Del formulari: Les equacions angle(radi) per l’esglaonament “free vortex”:

2 2

2

tan tan mr

r

(I)

3 3

3

tan tan mr

r

(II)

2 2 2

2 2

tan tan tanm mx x

u r r u

c r r c

(III)

3 3

2 3

tan tan mx

r r u

r r c

(IV)

I els valors

2 3

11,25

x x

u u

c c

Regió Regió

Base (hub)

2

0,21651,170

0,185h

r

r

3

0,21651,2163

0,178h

r

r

Extrem (tip)

2

0,21650,8765

0,247t

r

r

3

0,21650,8524

0,254t

r

r

Amb: 2

h

hr r i

2t

hr r i 0,216 mr

Amb aquests obtenim:


24

2

0,06180,216 0,185 m

2hr 3

0,0760,216 0,178 m

2hr

2

0,06180,216 0,2469 m

2tr 3

0,0760,216 0,254 m

2tr

Ara aplicant les relacions trigonomètriques obtingudes amb els triangles de velocitat:

I) 2 2

2

tan tan mr

r

2tan 1,167 tan58,075 1,873h 2 61,90ºh

2tan 0,8745tan58,075 1,4036t 2 54,53ºt

II) 3 3

3

tan tan mr

r

3tan 1,2135tan10 0,214h 3 12,08ºh

3tan 0,8504 tan10 0,150t 3 8,53ºt

III) 2 2

2 2 2

tan tan mx

r r u

r r c

2

1,25tan 1,170 tan58,075

1,170h

= 0,8095

2 38,98ºh

2

1,25tan 0,8765 tan 58,075

0,8765t

= -0,01

2 0ºt

IV) 3 33 3 3

tan tan mx

r r u

r r c

3

1tan 1,2163tan10º 1,25

1,2163h

3 51,2ºh

3

1tan 0,8523tan10º 1,25

0,8523t

3 58,3ºt

Representacions gràfiques dels resultats anteriors (Cohen) i els corresponents triangles a la base i

a l’extrem dels àleps juntament amb la seva geometria. Observeu la torsió...


25

Taula resum dels angles:

2 2 3 3

Extrem (tip) 54,53º 0º 8,53º 58,3º

Base (hub) 61,90º 38,98º 12,08º 51,2º

Nota: El càlcul del Ma a la sortida del rotor i a la base (w2r) resulta ser = 0,576, valor modest que

indica que es podria haver utilitzat un més alt...

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