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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA

Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: ESTÁTICA DE

PARTÍCULAS. FUERZAS EN EL PLANO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, septiembre de 2017.

Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. .................................................................................................................. 2

PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 5 ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 7

1.1.- FUERZAS EN UN PLANO. ...................................................................................... 9 Adición o suma de vectores. Solución gráfica. ................................................................ 9

Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Décima Edición. Página 22. Ejemplo 2.1 del

Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23. ............................................................. 9

Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 9 Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno)............................................... 13

Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer – Johnston. Estática. Novena Edición.

Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer . Johnston. Décima Edición. Página 18. .... 13

Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 23.

Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 19. .................... 13

Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25.............. 14 Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. ............................... 14

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 14 Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26.............. 20

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 20 Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31. ......... 26

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 26 Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes. ........................................................ 28

Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición. ........................................ 28 Ejemplo 1.9. Ejemplo 2.2 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 24.............. 28 Ejemplo 1.10. Problema 2.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 28. Problema 2.14

del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29. ..................................................... 29 Ejemplo 1.11. Problema 2.14 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 29

Ejemplo 1.12. Problema 2.26 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34. ........ 30 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 31

Componentes rectangulares de una fuerza. .................................................................... 33 Teorema. ...................................................................................................................... 35

Ejemplo 1.13. Ejemplo 1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 28. ............... 36 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 37

Ejemplo 1.14. Ejemplo 2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29. ............... 40 Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 35. Ejemplo 2.5 del

Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 35. ........................................................... 40 Ejemplo 1.16. Problema 2.36 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 41

Ejemplo 1.17. Problema 2.230 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34........ 41 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 42

Vectores unitarios. ........................................................................................................ 45 Notación vectorial cartesiana. ....................................................................................... 45

Ejemplo 1.18. Ejemplo 3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29. ............... 46



Operaciones con vectores. ............................................................................................. 46 Resultante de fuerzas coplanares. .................................................................................. 46

Ejemplo 1.19. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 36. ....................... 47 Ejemplo 1.20. Problema 2.41 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 47

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 48 Suma de un sistema de fuerzas coplanares. ................................................................... 53


Problema resuelto 2.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 26. .................... 53 Ejemplo 1.22. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. ............................. 54


Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37. ........................................................... 54

Ejemplo 1.24. Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 55 Ejemplo 1.25. Problema 2.38 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 55

Ejemplo 1.26. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40. ....... 56 Ejemplo 1.27. Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38. ....... 56

Ejemplo 1.28. Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41. ....... 57 Ejemplo 1.29. Problema 2.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 57

Ejemplo 1.30. Problema 2.56 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 58 Ejemplo 1.31. Problema 2.37 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 35. ........ 58

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 59 1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO. .......................................... 69

Cuerpos sometidos a tres fuerzas. ................................................................................. 69 Ejemplo 1.32. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. .................. 69

Ejemplo 1.33. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111. ....................... 70 Ejemplo 1.34. Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 39.

Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 32. .................... 70 Ejemplo 1.35. Problema 2.47 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.

Problema 2.45 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36. ............................... 71 Ejemplo 1.36. Problema 2.58 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.

Problema 2.59 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36. ............................... 71 Ejemplo 1.37. Problema 3.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. .................... 72

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 72 Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas. ...................................................................... 77


Problema resuelto 2.6 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 33. .................... 77

Ejemplo 1.39. Problema 2.55 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 43.

Problema 2.53 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37. ............................... 77


Problema 2.54 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37. ............................... 78

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 79 Sistemas que involucran resortes. .................................................................................. 83


Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 93. ........................................................... 83



Ejemplo 1.42. Problema 3.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.15

del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. ..................................................... 83


del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. ..................................................... 84

Ejemplo 1.44. Problema 2.57 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 43........... 85 Ejemplo 1.45. Problema 3.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 95. Problema 3.22

del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97. ..................................................... 85 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 86

BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 91

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). .................................................................. 92

OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 93



PRESENTACIÓN.

El presente es un manual de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del

estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su

compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad

de los mismos.

Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada

en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las fuerzas en el plano, contiene

los fundamentos teóricos, 30 ejercicios resueltos paso a paso y 144 ejercicios propuestos

para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre

escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso

universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores que estén impartiendo clases

en el área de enseñanza de la Mecánica Vectorial y Física I para estudiantes de Ingeniería,

Ciencia y Tecnología.

El concepto de vector fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial,

pues es la base de la mayoría de las definiciones involucradas en el estudio de esta materia

(momento de una fuerza, reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos,

cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en este manual el autor presenta de

manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de vectores

fuerza en el plano y las diferentes formas de obtener las componentes rectangulares de un

vector fuerza así como las operaciones que se pueden realizar con dichos vectores.



Adicionalmente se presentan la condición requerida para el equilibrio de cuerpos en el

plano.

Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante

puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a fuerzas en el espacio.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo electrónico:

[email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en

la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas, Maturín, Estado

Monagas, Venezuela.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la

enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a

través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de

ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,

Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de

Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- FUERZAS EN UN PLANO.

Adición o suma de vectores. Solución gráfica.


Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23.

La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud

y la dirección de la fuerza resultante.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

1. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.

Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la

dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-1-7/



Figura Problemas 1 y 2.

Respuesta: 179 N, 75.1°.

2. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.

Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de

su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.

3. [BJ] Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga. Determine gráficamente la magnitud

y la dirección de su resultante con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Respuesta: R = 3.30 kN, 6.66 .

4. [BJ] Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la

magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del

triángulo.



Respuesta: 8.40 kN, 19.0°.

5. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que

se muestran en la figura. Determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su

resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

Respuesta: 5.4 kN, 12°.

6. [BJ] Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la

tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la

dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A con a) la ley del

paralelogramo y b) la regla del triángulo.



Respuesta: R =139.1 lb, 0.67 .

Dos elementos estructurales B y C están sujetos con pernos a la ménsula A.


7. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kN 10P y kN 15Q ,

determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la

ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

8. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kips 6P (1 kip = 1000

lb) y kips 4Q , determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante

ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Respuesta: R = 8.03 kips, 8.3 .



Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno).

Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer – Johnston. Estática. Novena Edición.

Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer . Johnston. Décima Edición. Página 18.

Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante.

VER SOLUCIÓN.


Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 19.

Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por

los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine:

a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que º45 , y b) el valor de tal que

la tensión en la cuerda 2 sea mínima.

VER SOLUCIÓN.





Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25.

Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura y la magnitud de la fuerza

resultante FR si FR está dirigida a lo largo del eje positivo y.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA.

La ménsula mostrada soporta dos fuerzas. Determine el ángulo de manera tal que la línea

de acción de la resultante quede a lo largo del eje x. ¿Cuál es la magnitud de la resultante?

VER SOLUCIÓN.


9. [BJ] Resuelva el problema 2 mediante trigonometría.

Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.


Respuesta: 3 .30 kN, 66.6°.

x

y

30º

500 N

650 N








Respuesta: R =139.1 lb, 67.0°.


Respuesta: R = 8.03 kips, 3.8°.

Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.


14. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el

ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical,

y b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: 72.2°, 1.391 kN.

15. [BJ] Determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos

fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 500 N y 60 .


Un carrito que se desplaza a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas,

como se muestran en la figura.




16. [BJ] a) Si se sabe que º25 , determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P

tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud

correspondiente de la resultante?

Respuesta: a) 3660 N. b) 3730 N.

17. [BJ] Determine por trigonometría la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la

resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.

Respuesta: 2 600 N, 53.5°.

Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB.


18. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es F1 =

30 lb, determine a) la fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las



fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente

de R.

Respuesta: a) 26.9 lb; b) 18.75 lb.

19. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla derecha es F2 = 20 lb,

determine a) la fuerza F1 requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas

ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

20. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000 lb

y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco.

Determinar: a) La tensión en el cable BC. b) La magnitud de la resultante de las dos fuerzas

aplicadas en B.

Respuesta: TBC = (2383.5072 i – 2000 j) lb, lb 6068.5847R .

21. [JB] Para mover una mula atravesada en medio de la vía se aplican dos tensiones T1 y

T2. Determinar la magnitud de cada una de ellas sabiendo que la fuerza resultante tendrá

una magnitud de 6 N y estará dirigida a lo largo del eje x.

x

y

30º

40º

A

B

C

x

2T

y

1T

20º

A 25º



Respuesta: T1 = 3.5860 N, T2 = 2.9021 N.

22. [JB] Se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si

la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al

eje del automóvil, calcule la tensión en cada cable sabiendo que º30 y º20 .

Respuesta: T1 = 133.9427 lb, T2 = 195.8111 lb.

23. [JB] Para el esquema mostrado, determinar la magnitud de F y su dirección de manera

tal que la resultante tenga una magnitud de 1.5 N y esté dirigida a lo largo del eje x.

Respuesta: º6025.46 , N 5906.1F

Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura

x

y

20º

30º

1T

2T

x

y

70º

F

N 25.11 F




24. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el

elemento A es de 15 kN y en el elemento B es de 10 kN, determine por trigonometría la

magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos

A y B.

25. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el

elemento A es de 10 kN y en el elemento B es de 15 kN, determine por trigonometría la

magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos

A y B.





Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la arnella roscada de la figura esté

dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta

magnitud, el ángulo y la fuerza resultante correspondiente.

VER SOLUCIÓN.


26. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las

fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N

dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que 50 .

Respuesta: FA = 774 N, FB = 346 N.





27. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de

950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y

FB que actúan en cada cuerda y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea un

mínimo. FA actúa a 20° medidos desde el eje x, como se muestra en la figura.

Respuesta: FA = 893 N, FB = 325 N, 0.70 .

28. [RH] En tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la

magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante

tenga una magnitud FR = 10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que 5 .

Respuesta: FA = 3.66 kN, FB = 7.07 kN.


29. [RH] Si la resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida

a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo del

cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud

de la fuerza en cada cable para esta situación?

Respuesta: FA = 8.66 kN, FB = 5.00 kN, 60 .

30. [RH] Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las

fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de

600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que 45 .




31. [RH] La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N

dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre

cada cadena y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a

30° desde el eje y, como se muestra en la figura.

Respuesta: FA = 520 N, FB = 300 N.

Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.

Figura Problemas 32, 33 y 34.

32. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo

, requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicada en el gancho debe ser horizontal

y b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 37.1°. b) 73.2 N.



33. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más

pequeña para la cual la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho sea horizontal y

b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 21.1 N. b) 45.3 N.

34. [BJ] Si se sabe que P = 75 N y º50 , determine por trigonometría la magnitud y

dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho.

Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación.


35. [BJ] Si se sabe que º20 , determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la

fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud

correspondiente de R.

Respuesta: a) 392 lb; b) 346 lb.

36. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 500 lb, determine por trigonometría a) el ángulo

requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la

magnitud correspondiente de R.

37. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más

pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la


Respuesta: a) 368 lb; b) 213 lb.

Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a

su posición definitiva.




38. [BJ] Sabiendo que º25 , determine por trigonometría, a) la magnitud requerida de la

fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud


Respuesta: a) 108.6 lb; b) 163.9 lb.

39. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine, por trigonometría, a) el

ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerza aplicadas en A es vertical, b) la


40. [BJ] Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P

cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud


Respuesta: 45.9 lb; 65.5 lb.

Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura.




41. [BJ] Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente,

determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas

ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 7.48°; b) 138.4 N.

42. [BJ] Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por

trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima en la porción BC para que

la resultante de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de

una línea que une los puntos A y H, b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 4.88 N, 6.00°; b) 59.8 N.



Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31.

Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una

magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se

muestra en la figura, determine el ángulo de la tercera cadena, medido en el sentido de

las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en

esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál es la

magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas.

La fuerza F actúa en esta dirección.

VER SOLUCIÓN.


43. [RH] Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con

magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se

muestra en la figura, determine el ángulo del tercer cable de modo que la magnitud de la

fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál

es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas

conocidas.




Respuesta: Fmin = 97.4 lb, 2.16 .



Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes.

Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición.

La rueda acanalada en V se utiliza para que corra a lo largo de un riel. Si el riel ejerce una

fuerza vertical de 200 libras sobre la rueda, determine las componentes de esta fuerza que

actúa a lo largo de los ejes a y b, que son perpendiculares a los lados del riel.

VER SOLUCIÓN.


Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura en componentes

que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine la magnitud de estas componentes.

VER SOLUCIÓN.






del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.

Determine el ángulo de diseño ( 900 ) para la barra AB de manera que la fuerza

horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la

componente de la fuerza que actúa a lo largo del elemento AB?. Considere 40 .

VER SOLUCIÓN.


Una fuerza vertical de F = 60 libras actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de

dos partes. Determine el ángulo ( 900 ) del miembro AB de tal forma que la

componente de F que actúa a lo largo del eje AB sea de 80 libras. ¿Cuál es la magnitud de

la componente de la fuerza que actúa a lo largo del eje del miembro AC?




VER SOLUCIÓN.


El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está

dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 750 N

perpendicular al elemento ABC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente

paralela a ABC.

VER SOLUCIÓN.






44. [RH] Descomponga F1 y F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v; y determine

las magnitudes de estas componentes.

Respuesta: F2v = 77.6 N, F2u = 150 N.

45. [RH] Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu = 6

kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v.

Respuesta: F = 3.11 kN, Fv = 4.39 kN.

46. [RH] Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v;

además, determine la magnitud de cada una de estas componentes.



Respuesta: Fu = 22.0 lb; Fv = 15.5 lb.

La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a´ y b-

b´.


47. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo

de a-a´ es de 240 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-

b´?

Respuesta: a) 76.1°, b) 336 lb.

48. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo

de b-b´ es de 120 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-

a´?

49. [RH] Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb.



50. [RH] La fuerza F = 450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en

componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la

magnitud de cada componente.

Respuesta: FAB = 869 lb, FAC = 636 lb.

Componentes rectangulares de una fuerza.

Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas

componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico,

podemos representar estos componentes en dos formas, mediante notación escalar, o por

notación vectorial cartesiana.



Notación escalar.

Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura se encuentran al

usar la ley del paralelogramo, de manera que F = Fx + Fy.

Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden

determinar a partir de las siguientes ecuaciones:

cosFFx y sen FFy .

Si el ángulo es medido con respecto a la vertical, entonces por trigonometría se tiene que

las magnitudes de las componentes son:

sen FFx y cosFFy .

Debido a la ambigüedad en las fórmulas para el cálculo de las componentes rectangulares

de un vector, y la confusión que suele generar sobre si debe utilizar la función seno o la

función coseno para una u otra componente, se ha enunciado un teorema, según el cual la

determinación de las componentes rectangulares de un vector no está determinada por

identidades trigonométricas tomadas a partir de un triángulo rectángulo, sino por la

proyección del vector sobre los ejes coordenados.



Teorema.

Si un vector de módulo V en el plano forma un ángulo con respecto a uno de los

semiejes coordenados, se tiene que el valor absoluto de la componente proyectada a lo

largo de dicho semieje es cosV , mientras que la proyección en su semieje

complementario es sen V .

Otra forma útil de enunciar el teorema anterior es: El valor absoluto de la componente de

un vector sobre un semieje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del

ángulo barrido en la proyección, mientras que a lo largo del semieje complementario, es

igual al producto del módulo del vector por el seno del ángulo.

Para la siguiente figura:

Si se desea obtener la componente horizontal, la fuerza F debe proyectarse en el eje x, y

para ello en su proyección pasa por encima del ángulo (hace el barrido del ángulo), por

lo cual debe utilizarse la función coseno: cosFFx .

Si se desea obtener la componente vertical (componente complementaria), la fuerza F debe

proyectarse en el eje y , y para ello su proyección no pasa por encima del ángulo , por lo

cual debe utilizarse la función seno: sen FFy . El signo negativo se coloca puesto que

la componente vertical yF apunta hacia la parte negativa del eje.

La dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de

“pendiente”, como el que se muestra en la figura



Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud

proporcional de los lados da las componentes rectangulares de la fuerza.

Componente x.

c

F

a

Fx

Fc

aFx

Componente y.

c

F

b

Fy

Fc

bFy

Ejemplo 1.13. Ejemplo 1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 28.

Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese

las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

VER SOLUCIÓN.





51. [JB] Una fuerza de 2.5 kN se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en

la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza?

Respuesta: Fx = –2.3492 N, Fy = 0.8550 N.

52. [RS] Un vector fuerza en el plano x y tiene una magnitud de 50.0 kips y está dirigido en

un ángulo de 120.0º en relación con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes

rectangulares de este vector?

Respuesta: Fx = –25.0000 kips, Fy = 43.3013 kips.

53. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

54. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

x

y

F

20º



55. [JB] Determinar las componentes en x y y de cada una de las fuerzas mostradas. F1 = 50

N, F2 = 100 N, F3 = 20 N.

Respuesta: F1,x = 43.3013 N, F1,y = –25.0000 N, F2,x = 34.2020 N, F2,y = –93.9693 N, F3,x =

–15.3209 N, F3,y = –12.8558 N.

56. [JB] Un vector fuerza F, forma un ángulo con el eje x+. Halle las componentes

rectangulares de F para los siguientes valores:

a) F = 8 N, º60

b) F = 6 lb, º120

c) F = 12 N, º225

Respuesta: a) Fx = 4.0000 N, Fy = 6.9282 N; b) Fx = –3.0000 lb, Fy = 5.1962 lb; c) Fx = –

8.4853 N, Fy = –8.4853 N.

57. [JB] Descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares. B = C = 5

N. D = 10 N. BD , CD .

x

3F

y

1F

30º

20º

50º

2F



Respuesta: Bx = –2.5000 N, By = 4.3301 N, Cx = 2.5000 N, Cy = –4.3301 N, Dx = –8.6602

N, Dy = –5.0000 N.

x

D

y B

30º

C




Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra

en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la

cuerda en el punto A?

VER SOLUCIÓN.



Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura.

Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.

VER SOLUCIÓN.






Exprese las fuerzas F1, F2 y F3 como vectores cartesianos.

VER SOLUCIÓN.


El cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AC. Si se

sabe que P debe tener una componente vertical de 350 lb, determine a) la magnitud de la

fuerza P y b) su componente horizontal.

VER SOLUCIÓN.






El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC una fuerza P dirigida a lo

largo de BD.


58. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 120 N perpendicular al poste AC,

determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea AC.

59. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 180 N a lo largo de la línea AC,

determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente en una dirección perpendicular a

AC.

60. [BJ] El elemento CB de la prensa de banco que se muestra en la figura, ejerce sobre el

bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente

horizontal de P debe tener una magnitud de 1 220 N, determine a) la magnitud de la fuerza

P y b) su componente vertical.



61. [BJ] El elemento BD ejerce sobre el elemento ABC una fuerza P dirigida a lo largo de la

línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente horizontal de 300 lb, determine a) la

magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical.

62. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.



63. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

64. [RH] Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y.



Respuesta: F1x = 0, F1y = 300 N, F2x = –318 N, F2y = 318 N, F3x = 360 N, F3y = 480 N.

Vectores unitarios.

Notación vectorial cartesiana.

También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de

vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud

adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar as direcciones de los ejes x

y y, respectivamente.

Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está

representada por los escalares (positivos) Fx y Fy , entonces podemos expresar F como un

vector cartesiano.

jFiFF yx

Magnitud de la fuerza.

22

yx FFF

Dirección de la fuerza.



x

y

F

F1tan


Una fuerza jiF )lb1500()lb700( se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de

la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal.

VER SOLUCIÓN.

Operaciones con vectores.

Resultante de fuerzas coplanares.

Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de

cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x

y y de todas las fuerzas, esto es,

xxR FF

yyR FF

Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y

y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base

en una suma vectorial como se muestra en la figura

Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de RF por medio del teorema

de Pitágoras; es decir,

22

yRxRR FFF




Asimismo, el ángulo , que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por

trigonometría:

xR

yR

F

F1tan

Ejemplo 1.19. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 36.

La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la

magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

VER SOLUCIÓN.


Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario a

las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las x .




VER SOLUCIÓN.


65. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y

su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.

Respuesta: FR = 6.80 kN, 103 .

66. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y

especifique su dirección con respecto al eje x+. Considere F = 5 N y P = 7 N.

Respuesta: R = 7.0355 i – 2.5266 j.

67. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el apoyo mostrado.

Especifique la dirección con respecto a x+.

x

P

y

F

30º

45º




Respuesta: R = (–299.2726 i + 201.0868 j) N, N 5551.360R , º10.146 .

68. [JB] Dos personas tiran de una mula obstinada que interrumpe el tránsito y utilizan dos

cuerdas como se muestra en la figura. Las magnitudes de las tensiones en las cuerdas son

TAC = 400 N y TAB = 500 N. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos

fuerzas ejercidas por las cuerdas.


69. [RH] Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la

fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo que forma la

línea AB sobre el bloque de escalera.

x

300 N

y

100º

400 N

40º

x

B

y

C

40º

A 60º



Respuesta: FR = 400 N, º60 .

70. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido

contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Respuesta: FR = 721 N, 9.43 .

71. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a

partir de la ley de coseno y aplicando métodos geométricos. F1 = 1500 N, F2 = 2000 N.

x

y

1F

30º 45º

2F




72. [RH] Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza

resultante.

Respuesta: FR = 666 N.

73. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante si: a) FR = F1 + F2, b) FR = F1 – F2.

Respuesta: a) FR = (–30.0340 i + 106.5685 j) N, N 7200.110RF , º74.105 . b) FR =

(–143.1711 i – 6.5685 j) N, N 3216.143RF , º63.182 .

74. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método

de las componentes).

x

y

F2 = 80 N

60º 45º

F1 = 100 N



Respuesta: FR = (–85.2474 i + 15.6109 j) N, N 6650.86RF , º62.169 .

75. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante representada en la

figura, siendo A = 50 N la primera fuerza y B = 20 N la segunda. (Método de las

componentes).

Respuesta: R = (18.9723 i + 46.8269 j) N, N 5243.50R , º94.67 .

76. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante la tensión AB es de

4500 lb y la tensión en el cable BC es 2000 lb. Determine la magnitud y dirección de la

resultante de las dos fuerzas aplicadas en B.

Respuesta: FR = (5960.6676 i + 2539.0906 j) N, N 9304.6478R , º07.23 .

x

y

45º 50 N

100º 80 N

x

y

45º

A

100º B

x

y

20º

30º

A

B

C



77. [JB] Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza

resultante actúe a lo largo del eje AB. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza resultante?

Respuesta: F = 715.9063; 3427.716R .

Suma de un sistema de fuerzas coplanares.



Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la

resultante de las fuerzas sobre el perno.

VER SOLUCIÓN.

x

y

88º

F

B

25 N

A




Ejemplo 1.22. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA.

Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de las

componentes).

VER SOLUCIÓN.



El extremo de la barra O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares

concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

VER SOLUCIÓN.

x

y

60º

45º

100 N

200 N

300 N

200 N





Ejemplo 1.24. Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39.

Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = F1 + F2 + F3 de las tres fuerzas

sumando las componentes rectangulares o x, y de las fuerzas para obtener la fuerza

resultante.

VER SOLUCIÓN.


Determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas

del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre

el anillo A. Considere F1 = 500 N y 20 .




VER SOLUCIÓN.


Si 30 y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo

del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante.

VER SOLUCIÓN.


Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo

largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección .





VER SOLUCIÓN.


Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está

dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección .

VER SOLUCIÓN.


Tres fuerzas actúan sobre la ménsula. Determine la magnitud y la dirección de F1 de

manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una

magnitud de 1 kN.





VER SOLUCIÓN.


Tres fuerzas actúan en la ménsula. Determine la magnitud y dirección de F1 de tal forma

que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje positivo de las x y que tenga una

magnitud de 800 N.

VER SOLUCIÓN.


a) Si se sabe que º40 , determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la

figura. b) determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas

debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.





VER SOLUCIÓN.


78. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 53.




82. [RS] Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas que tienen

componentes rectangulares N )00.2,00.3( , N )00.3,00.5( y N )00.1,00.6( .

Respuesta: 7.2111 m a 56.31º.

83. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método

de las componentes).

Respuesta: FR = (–1030.4819 i + 74.2541 j) N, N 1544.1033RF , º88.175 .

84. [RS] Tres vectores se orientan como se muestra en la figura, donde 20A unidades,

40B unidades y 30C unidades. Encuentre a) las componentes x y y del vector

resultante, y b) la magnitud y dirección del vector resultante.

x

y

60º

45º

500 N

600 N

700 N

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-31/



Respuesta: R = 49.4975 i + 27.0711 j, Unidades4167.56R , º68.28 .

85. [JB] Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar

la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas. F1 = 150 N, F2 = 80 N, F3 = 110

N, F4 = 100 N. º20 , º30 , º15 .

Respuesta: FR = (199.1348 i + 14.2935 j) N, N 6471.199RF , º11.4 .

86. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = F1 + F2 + F3 encontrando la

resultante F* = F1 + F2 y formando después FR = F* + F3. F1 = 30 N, F2 = 40 N, F3 = 20 N.

x

y

1F

2F

3F

4F



Respuesta: F* = 2.3035 i + 43.2843 j, F3 = 2.3035 i + 23.2843 j.

87. La fuerza resultante se compone de cuatro fuerzas ¿cuál es la fuerzas resultante?

Respuesta: R = (–129.9038 i – 201.7949 j) N, m 9920.239R , º23.237 .

88. [JB] Hallar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura sabiendo que la

magnitud de los vectores son iguales 24 CBA unidades.

x

y

30º 45º

3F

1F

2F



Respuesta: R = 4.1928 i – 0.1928 j, 1972.4R , º38.357 .

89. [RH] Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Respuesta: FR = 567 N, 1.38 .

90. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como

su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x.

x

y 30º

B

C

A

45º

45º



Respuesta: FR = 1254 lb, 259 .

91. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección medida en

sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Respuesta: FR = 31.2 kN, 8.39 .

92. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así

como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.



93. [JB] La fuerza A tiene una magnitud de 9 N y está dirigido según el eje x. Otra fuerza B

está en el plano x y, su magnitud es de 6 N y forma un ángulo de 45º con el eje x. La fuera

C se halla en el plano x y, su magnitud es 15 N y forma un ángulo de 75º con el eje x.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Utilice métodos geométricos y

analíticos.

Respuesta: R = (17.1249 i + 18.7315 j) lb, cm 3799.25R , º57.47 .

94. [JB] Tres fuerzas horizontales actúan sobre un objeto. La magnitud de la fuerza A es de

25 kgf en dirección 60º al noreste. La magnitud de la fuerza B es de 70 kgf y actúa hacia el

eje y. La magnitud de C es 55 kgf y actúa hacia el sudoeste 45º. Determine la magnitud y

dirección de la fuerza resultante utilizando el método de las componentes.

Respuesta: FR = (51.3939 i + 52.7598 j) kgf, fkg 6520.73RF , º75.45 .

95. [JB] Dados las fuerzas A, B, C y D, de magnitudes y direcciones con respecto al eje x

están dadas por:

A = 2500 N, º290

B = 1800 N, º330

C = 3500 N, º195

D = 7000 N, º39

a) Encontrar el vector suma.

b) Demostrar la propiedad asociativa de los vectores para la adición.



c) Determinar (A – C) y (C – A). ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción

de vectores?

d) Comprobar la propiedad conmutativa para la adición de vectores.

Respuesta: a) R = (4473.1774 i + 250.1445 j) N; c) A – C = (4235.7908 i – 1443.3649 j) N,

C – A = (–4235.7908 i + 1443.3649 j) N, No se cumple la propiedad conmutativa para la

sustracción de vectores.

96. [BJ] Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las

tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.


97. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable BC si la resultante de las tres fuerzas

ejercidas en el punto B debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante.

98. [BJ] Si se sabe que º35 , determine la resultante de las tres fuerzas mostradas en la

figura.




99. [BJ] Para el collarín del problema anterior, determine a) el valor requerido de si la

resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de

la resultante.

100. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de

las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC,

b) la magnitud correspondiente de la resultante.

101. [BJ] Si se sabe que º75 , determine la resultante de las tres fuerzas que se

muestran en la figura.




102. [BJ] Determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas

debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.

103. [RH] Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80

lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección .

Respuesta: F = 62.5 lb, 3.14 .

104. [RH] Determine la magnitud de F1 y su dirección de manera que la fuerza resultante

esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N.



Respuesta: F1 = 275 N, 1.29 .

105. [JB] Tres vectores están dados por A = 6 i, B = 9 j y B = – 3 i + 4 j. Determine: a) La

magnitud y dirección del vector resultante, b) Un vector que sumado a estos tres de un

vector resultante igual a cero.

Respuesta: R = 3 i + 13 j, 3417.13R , º01.77 .

106. [RS] La pista del helicóptero en la figura muestra a dos personas que jalan una

obstinada mula. Encuentre: a) la única fuerza equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b)

la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza

resultante igual a cero.

Respuesta: a) R = (39.2945 i + 181.1971 j) N, b) R = (– 39.2945 i – 181.1971 j) N.



107. [JB] Dos fuerzas A y B que están en el plano x y actúan sobre un objeto pequeño

colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en la dirección

correspondiente a un ángulo de 30º con el eje x+. La magnitud de la fuerza B es de 80 N y

actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje x+. ¿Qué magnitud y dirección

debe tener una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres

fuerzas?

Respuesta: C = (13.2673 i – 81.5685 j) N, N 6405.82C , º24.99 .

1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO.

Cuerpos sometidos a tres fuerzas.


El tubo es mantenido en su lugar por la prensa mecánica. Si el perno ejerce una fuerza de

50 libras sobre el tubo en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los

contactos lisos en A y B ejercen sobre el tubo.

VER SOLUCIÓN.




Ejemplo 1.33. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111.

Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un

soporte como en la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53° con la

horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán

si la tensión en ellos supera los 100 N. ¿El semáforo permanecerá colgado en esta situación,

o alguno de los cables se romperá?

VER SOLUCIÓN.



En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es soportado por un

cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil sobre la posición

deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la

cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?




VER SOLUCIÓN.


Problema 2.45 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36.

Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda BC.

VER SOLUCIÓN.



Para la situación descrita en la figura, determine: a) el valor de para el cual la tensión en

el cable BC sea la mínima posible y b) el valor correspondiente de la tensión.





VER SOLUCIÓN.


El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede

resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre permanece

horizontal, determine el ángulo más pequeño con qe el cajón puede ser levantado.

VER SOLUCIÓN.


108. [RS] Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres alambres,

como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman ángulos 0.601 y 0.252

con la horizontal. Si se supone que el sistema está en equilibrio, encuentre las tensiones T1

y T2 en los alambres.

109. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe

que º20 , determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.





110. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine

la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.

En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.


111. [BJ] Si se sabe que P = 500 N y º60 , determine la tensión a) en el cable AC y b)

en el cable BC.



112. [BJ] Se sabe que la tensión permisible máxima es de 600 N en el cable AC y 750 N en

el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor

correspondiente de .

113. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine

la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.

114. [BJ] Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda

BC.


115. [BJ] Para la situación descrita en el problema anterior, determine a) el valor de para

el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la

tensión.

116. [BJ] Si se sabe que 55 y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una

fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la

tensión en el cable BC.



117. [BJ] Para la estructura y la carga del problema anterior, determine a) el valor de

para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.

118. Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la

longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en

éste no debe ser mayor que 870 N.


que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800 N, determine a) la magnitud de la

fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de .





que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200 N y que en el cable BC es de

600 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el

valor correspondiente de .

El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una

carga de 50 lb, como se muestra en la figura.


121. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio

cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in.

122. Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P =

48 lb.



Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas.



Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que

puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto

en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del

canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es

de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerza de arrastre ejercida

sobre el casco y la tensión en el cable AC.

VER SOLUCIÓN.



Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual

rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante

el cable CD. Si se sabe que 30 y 10 , y que el peso combinado de la silla y el

individuo es de 900 N, determine la tensión a) en el cable de soporte ACB y b) en el cable

de tracción CD.




VER SOLUCIÓN.



Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual

rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante

el cable CD. Si se sabe que 25 y 15 , y que la tensión en el cable CD es de 80 N,

determine a) el peso combinado de la silla y el individuo, y b) la tensión en el cable de

soporte ACB y b) en el cable de soporte ACB.




VER SOLUCIÓN.


Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se

muestra en la figura.





123. [BJ] Si se sabe que P = 500 lb y Q = 650 lb y que la pieza de ensamble se encuentra en

equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B.

124. [BJ] Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las

magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son FA = 750 lb y FB = 400 lb,

determine las magnitudes de P y Q.

Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se

muestran en la figura.


125. [BJ] Si se sabe que FA = 8 kN y que FB = 16 kN, determine las magnitudes de las dos

fuerzas restantes.

126. [BJ] Si se sabe que FA = 5 kN y que FD = 6 kN, determine las magnitudes de las dos

fuerzas restantes.

En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.




127. [BJ] Si se sabe que Q = 60 lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable

BC.

128. [BJ] Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que

60 lb en cualquiera de los cables.

Una carga de 160 kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestra en la

figura.




129. [BJ] Si se sabe que 20 , determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que

debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos las de una cuerda que pasa por una polea

simple.)

130. [BJ] Si se sabe que 40 , determine a) el ángulo y b) la magnitud de la fuerza P

que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

La carga Q se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se

sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa

a través de la polea A y sostiene una carga P.




131. [BJ] Si se sabe que P = 750 N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud

de la carga Q.

132. [BJ] Una carga Q de 1800 N se aplica a la polea C, determine a) la tensión en el cable

ACB, b) la magnitud de la carga P.

Sistemas que involucran resortes.



Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera

que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no

deformada del resorte AB es m 4.0ABl , y el resorte tiene una rigidez de N/m 300ABk .

VER SOLUCIÓN.



La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición de

equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D.




VER SOLUCIÓN.



Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg está en

equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.

VER SOLUCIÓN.





Ejemplo 1.44. Problema 2.57 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 43.

Una carga con peso de 400 N está suspendida de un resorte y dos cuerdas, las cuales se

unen a dos bloques de pesos 3W y W como se muestra en la figura. Si la constante del

resorte es de 800 N/m, determine a) el valor de W, b) la longitud sin estirar del resorte.

VER SOLUCIÓN.



Una fuerza vertical P = 10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del

resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo

necesario para el equilibrio. Considere k = 15 lb/pie.




VER SOLUCIÓN.


133. [RH] El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m.

Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una

fuerza F = 175N a la cuerda.

134. [RH] La lámpara de 10 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no

alargada de 4 pies y rigidez k = 5 lb/pie. Determine el ángulo por equilibrio.




135. [RH] El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y una longitud no alargada de 200 mm.

Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición

mostrada.

136. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando

0 . Determine la tensión en cada cuerda cuando F = 90 lb. No tome en cuenta el

tamaño de las poleas localizadas en B y D.




Respuesta: T = 53.1 lb.

137. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie

cuando 0 . Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que 30 .

Respuesta: F = 39.3 lb.

El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del

resorte.


138. [RH] Si el resorte tiene una rigidez k = 10 lb/pulg y una longitud sin estirar de 12 pulg,

determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en equilibrio.

Respuesta: d = 7.13 pulg.



139. [RH] Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio

cuando d = 4 pulg, determine la rigidez k del resorte.

Respuesta: k = 6.80 lb/pulg.

140. [RH] Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P = 80 lb genera

un ángulo 60 para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud.

Considere k = 50 lb/pie.

Respuesta: l´ = 2.66 pies.

141. [BJ] Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos

resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los

resortes son kAB = 9 lb/in y kAD = 3 lb/in, determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del

bloque.



El collarín A puede deslizarse sin fricción en una barra vertical y está conectado a un

resorte como indica la figura.


142. [BJ] La constante del resorte es de 4 lb/in, y éste no se encuentra estirado cuando h =

12 in. Si el sistema está en equilibrio cuando h = 16 in determine el peso del collarín.

143. [BJ] El peso del collarín A es 9 lb y el resorte no está estirado cuando h = 12 in. Si la

constante del resorte es de 3 lb/in, determine el valor de h para el cual el sistema está en

equilibrio.



BIBLIOGRAFÍA.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2007.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2010.

Beer, F., E. R. Johnston y D. F. Mazurek, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática,

10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2004.

Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2010.

Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados

Unidos. 2012.



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