Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte

8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte

1/22

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROBLEMAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES,FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CONDUCTORES CON CORRIENTE ELÉCTRICA,

LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPERE

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES

Problema No 1

Una partícula con carga + q y masa m = 1,53x10 -15 kg se desplaza a través de una región que

contiene un campo magnético variable ( 0,22 ) B T k

. En un instante en particular, la velocidad de la

partícula es6(1, 22 10 / )(4 3 12 )V m s i j k

, y la fuerza F

sobre la partícula tiene una magnitud de

1,75 N. a) Determine la carga q , b) determine la aceleración a

de la partícula, c) determine el radio

de curvatura de la componente circular de la trayectoria helicoidal, d) determinar la frecuencia angular

y la frecuencia de ciclotrón de la partícula.

Resolución

a) Cálc u lo de q (carga de la p artícu la):

Se sabe que: F qV B

F qV B

1,75 F

N qV B V B

. . . (1)

Hallo V B

:

V B

= 6 6 64,88 10 3,66 10 1,22 10 12

0 0 0,22

i j k

=6(0,81 1,07 ) 10 /i j m s

Hallo V B

: V B

= 61,34 10 /m s

Remplazo en (1): 66

1,751,31 10

1,34 10 /

F N

q C m sV B

b) Cálc u lo de a

(aceler ación de la par tícu la):

1ro hallo F

Se sabe: F qV B

F

= 1,31(0,81 1,07 ) /i j m s

. . . (2)

Además, por 2da ley de Newton: F m a

F

=15(1, 53 10 )kg a

. . . (3)


2/22

2

Igualando (3) y (2) hallo a

: 15(1, 53 10 )kg a

= 1,31(0,81 1,07 ) /i j m s

Despejando a

obtenemos: a

=15 2(0,697 0,92 ) 10 /i j m s

c) Cálc u lo de R (radio de la comp onente circu lar de la trayectoria hel icoidal):

Analizo el movimiento de la partícula a través de la componente circular de la trayectoria helicoidal.

d) Cálc u lo de (frecuenc ia angular) y f (frecuenc ia de cic lot rón de la par tícu la):

De (c ) se halló:mV

RqB

. Además, V y están relacionadas por: V R

Por lo tanto:

m R

R qB

; despejando obtenemos:

qB

m

Reemplazando q , B y m , tenemos:81,88 10 /rad s

Para calcular f hago uso de la siguiente relación:2

f

Luego:

871,88 10 2,99 10

2 f Hz Hz

Problema No 2

Una carga Q = 5x10-18 C, se mueve en un campo magnético uniforme 0, 4 0, 2 0,1 B i j k T

, con

una velocidad5(2 3 6 ) 10 /V i j k x m s

, en t = 0. a) ¿Qué campo eléctrico está presente en t = 0 si

la fuerza neta sobre la carga es cero? b) Si la intensidad del campo eléctrico está enteramente en la

dirección i

y 2neta F pN

en t = 0, encuentre x E .

Resolución

a) Cálcu lo de E

en 0t

si 0 NETA F

Según Lorentz, la fuerza neta sobre una carga “q” viene dada por: ( ) NETA F q E V x B

Por 2da ley de Newton aplicado a un movimiento

circular, tenemos: c c F ma ; donde:2 /ca V R

y C F F qVB (magnitud de la fuerza magnética)

Luego: 2 /qVB mV R

Despejando R tenemos:mV

RqB

Siendo2 2 66,1 10 / X Y V V V m s

Luego:

15 6

6

1,53 10 6,1 100,0325 3,25

1,31 10 0,22 R m m cm

F

V

R

ca

q

(V debe ser perpendiculara B )


3/22

3

Despejando E

tenemos: NETA F

E V x Bq

. . . (1)

Donde: 0 NETA F

(Por condición del problema)

Reemplazando 0 NETA F

en (1) obtenemos: E V x B

. . . (2)

V B

= 5 5 5

2 10 3 10 6 100,4 0,2 0,1

i j k

=

5 5 5

( 0,9 10 2, 2 10 0,8 10 ) / x i x j x k m s

Reemplazando V x B

en (2) tenemos:

5(0,9 2, 2 0,8 ) 10 / E V x B i j k x V m

b) Cálcu lo de x E si 2 NETA F pN

en 0t

Se sabe: NETA F q E qV x B

. . . (3)

Como E

se halla en la dirección i

(condición del problema), entonces se remplaza por x E i

. Luego,

la ecuación (3) equivale a:

NETA x F qE i qV x B

Reemplazando q y V x B

tenemos:

18 13 13 135 10 4,5 10 11 10 4 10 NETA X F x E i x i x j x k

18 13 13 13(5 10 4,5 10 ) 11 10 4 10 NETA X

F x E x i x j x k

Tomamos módulo:

2

218 13 13 2 13 25 10 4,5 10 ( 11 10 ) ( 4 10 ) NETA x F x E x x x

2

12 2 18 13 26 26(2 10 ) 5 10 4,5 10 121 10 16 10 x x x E x x x

Resolviendo esta ecuación obtenemos las dos soluciones siguientes:

54,143454 10 / 414,34 / x E x V m kV m

52, 343454 10 / 234, 34 / x E x V m kV m

Problema No 3

Una partícula cuya carga es q = 1,45 μC se desplaza con una velocidad V

= (1,98 x 103m/s)

j . La

partícula experimenta una fuerza4(1,53 10 )(3 4 ) F x N i k

debida a un campo magnético

B . a)

determine x B , y B y z B , o las componentes que sea posible determinar con la información dada. b) Si

además se tiene que la magnitud del campo magnético es de 0,5 T, determine las componentes de

B que faltan.


4/22

4

Resolución

a) Cálculo de x B , y B y z B , o las componentes que sea posible determinar

Se sabe que: F qV B

F

V x Bq

Luego:

4 4

6

4,59 10 6,12 10

1,45 10

x i x k F

V x Bq x C

2 23,165 10 4,22 10 F

V x B x i x k q

. . . (1)

Además:

V x B

30 1,98 10 0

x y z

i j k

B B B

= 3 31,98 10 1,98 10 z x x B i x B k

. . . (2)

Igualando las componentes de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

0,2131 ; 0,1598 x z

B B

b) Cálculo de y B , si se sabe que la magnitud de

B es 0,5 T

Se cumple: 2 2 2 x y z B B B B

; Reemplazando: 20, 5 0, 0454 0, 0255 y B

Despejando obtenemos: 0,4232 y B

Problema No 4Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de 20,0 A. Un electrón está a 1,0 cm del

centro del conductor y se mueve con una rapidez de sm /100,5 6 . Halle la magnitud de la fuerza sobre

el electrón cuando se mueve: (a) directamente alejándose del conductor, (b) paralelo al conductor en elsentido de la corriente y (c) perpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica conel conductor.

Resolución

Asumamos que el conductor con corriente se halla en la dirección z (ver figura).

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

Si la corriente I está en la dirección +z, el campo

magnético

B creado por esta corriente será entrante en

la región donde se halla el electrón (ver la figura). La

magnitud de

B viene dado porr

I B o

2 (por ser un

alambre ). Además, si el electrón se halla en movimiento dentro de

este campo magnético, entonces experimentará una

fuerza debido a este campo. Esta fuerza se halla

mediante la ecuación

BV q F .

y

B

z

r

I


5/22

5

a) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se aleja delconductor.

Primero calculo la magnitud de

B , a la distancia r = 1,0 cm, para el conductor rectilíneo muy largo

que conduce una corriente I = 20 A.

T r

I B

2

70

10.2

20.10.4

2

T B 410.4

Hallo

F sob re el electrón:

Se sabe que: F qV B

. . . (1)

Donde: C106,1eq 19 ; 6 ˆ(5 10 ) /V j m s

; T i B )ˆ104( 4

Remplazamos en (1):

F = )ˆ104()ˆ105)(106,1( 4619 i j N

F = k N ˆ)102,3( 16

Por lo tanto, la magnitud de

F será N 16102,3

b) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se mueve paralela alconductor y en el sentido de I .

En este caso: s/m)k 105(V 6

. Luego, la fuerza

F será:

j F

ik F

16

464

102.3

)104()105)(106,1(

Por lo tanto, la magnitud de

F es: N 16102,3

c) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se mueveperpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica con el conductor.

Vista de arriba hacia abajo (vista de planta)

I

V

B

r

Circunferencia concéntrica(trayectoria del electrón)

En este caso

B y

V son

paralelos

0BVqF

Es decir, no hay fuerza

magnética


6/22

6

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CONDUCTORES CONCORRIENTE ELÉCTRICA

Problema No 1Por una espira rectangular en el plano xy , con lados L1 y L2, circula una corriente I (ver figura). La espira

está en un campo magnético uniforme x y B B i B j

. Determine:

a) La fuerza neta sobre la espira

b) El par total sobre la espira rectangular

Resolución

Sabemos que sobre todo conductor de longitud , que lleva una corriente I , que se halla en el interior

de un campo magnético uniforme B

, actúa una fuerza magnética F

dada por: F I x B

Llamaremos (1), (2), (3) y (4) a los lados de la espira (ver la figura). Luego, la fuerza magnética que

actúa sobre cada uno de estos lados serán:

1 1 1( ) ( ) x y y F I L i x B i B j IL B k

; 2 2 2( ) ( ) x y x F I L j x B i B j IL B k

3 1 1( )( ) x y F I L i B i B j F

; 4 2 2( ) ( ) x y F I L j x B i B j F

a) Cálculo de R F

(fuerza resultante o fuerza neta)

Se cumple:1 2 3 4 R F F F F F

Reemplazando obtenemos: 0 R F

Nota.- La fuerza resultante sobre una espira con corriente en un campo magnético uniforme escero, porque las fuerzas sobre lados opuestos de la espira se cancelan entre sí.

b) Cálculo de R

(par resultante o momento de torsión total sobre una espira con corriente)

Se cumple:13 24 R

; donde:13 1 2 y

IL L B i

;24 1 2

( ) x

IL L B j

1 2( ) R y x IL L B i B j

y

x

I

B

I

I

I

2 L o

1 L

y

x

I

x y B B i B j

I

I

I2

L o

1 L

(1)

(2)

(3)

(4)


7/22

7

Problema No 2En la figura se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy (en z = 0). La

espira tiene lados de longitud L y sus vértices están en (0 ; 0), (0 ; L), (L ; 0) y (L ; L), y por ella

circula una corriente I en sentido horario. El campo magnético es

k LyB jLzBB oo )/()/( , con 0 B

una constante positiva. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre cada

lado de la espira, así como también la fuerza magnética neta sobre la espira.

Resolución

Por condición: 0 0 B z B y

B j k L L

;

0 B cte

Como la espira se encuentra en el plano 0 xy z , por lo tanto la expresión para B

queda:

0 B y B k L

; es decir que B

es un campo saliente al plano de la hoja

Cálculo de F

sobre cada lado de la espira

Si B

depende de una o más variables, la fuerza magnética F

viene dada por: F I d x B

Luego, la fuerza F

sobre cada uno de los lados de la espira será:

* Para el lado izquierd o de la espira: 0 ; 0 x y L

Recuerde: La dirección del vector fuerza magnética F

está dada por la regla de la mano derecha

extendida.

* Para el lado su perio r de la espir a: ; 0 y L x L

0 B y F I dy j x k L

0

0

L

IB F y dy i L

0

2

IB L F i

0 B L

F I dx i x k L

00

( ) L

F I B dx j

0 F IB L j

x

y

I

0

I L

d

F

B

d

I

L F

B


8/22

8

* Para el lado derech o de la espira: ; 0 x L y L

* Para el lado inferio r de la espira: 0 ; 0 y x L

Cálculo de R F

(fuerza resultante o fuerza neta sobre la espira)

La fuerza resultante sobre la espira es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre cada uno de loslados de dicha espira. Es decir:

1 2 3 4 R F F F F F

Reemplazando cada una de las fuerzas halladas obtenemos: 0 R F ILB j

Problema No 3

Resolución

La corriente 1 I crea alrededor del alambre un campo magnético, el cual es entrante en la región donde

se halla la espira. Este campo ejerce una fuerza magnética sobre cada lado de la espira (ver la figura).

La fuerza resultante R F

sobre la espira viene dada por: 1 2 3 4 R F F F F F

, donde:4 3 F F

Luego:1 2 R F F F

. . . (1)

0 a

b

1 I

2 I

0 a

b

1 I

2 I

4 F

3 F

2 F

1 F

z

0( ) B y

F I dy j x k L

0

0

L IB F y dy i

L

0

2

IB L F i

0( ) B y

F I dx i x k L

Como 0 y 0 F

Por una espira rectangular fluye la corriente 2 I y

está colocada paralela a un alambre filamentario de

longitud infinita por el que fluye una corriente 1 I ,

como se muestra en la figura. Calcular la fuerza

experimentada por la espira

I

L

d

F

B

d

I

L

B


9/22

9

Hallo 1 F

y 2 F

:

Se sabe que la fuerza magnética F

, debido a un campo magnético uniforme B

, sobre un conductor

rectilíneo con corriente I , viene dada por:

F I x B

; donde: 02

I B a

(Inducción magnética para un alambre )

Luego:

*1 2 1 z F I b a x B

; donde: 0 11

02

I B a

0 11 2

02

z

I F I b a x a

0 1 2102

I I b F a

*2 2 2( ) z F I b a x B

; donde: 0 12

02 ( )

I B a

a

0 12 2

0

( )2 ( )

z

I F I b a x a

a

0 1 22

02 ( )

I I b F a

a

Reemplazando 1 F

y 2 F

en (1) tenemos: 0 1 2

0 0

1 1

2 R

I I b F a

a

o también:

0 1 2

0 0

1 1( )

2 R

I I b F a

a

PROBLEMAS RESUELTOS DE LEY DE BIOT – SAVART

Problema No 1

Un cable con forma de semicírculo de radio a se encuentra en el plano yz con su centro de curvatura en

el origen (ver la figura). Si la corriente en el cable es I , calcule el campo magnético B

en el punto P, a

una distancia x por fuera sobre el eje x.

Resolución

Para valores z a , las dos corrientes anti paralelas (en z a ) producen campos que se cancelan entre

sí, por lo tanto el campo magnético B

en el punto P viene dado por la suma de los campos producidos

por el semianillo y el segmento rectilíneo que va desde a hasta a . Es decir:

(1) (2) P P P B B B

. . . (1)

y

z x

x

P I

I

I

I

a


10/22

10

Por ley de Biot-Savart: 0 1 2 1(1)3

2 1

( )

4 P

I d x r r B

r r

De la figura:

1 cosr a sen j a k

; 2r x i

; cosd a sen d k a d j

Cálcu lo de (1) P B

(induc ción magnética en el punt o P debid o al semi anil lo):

Además:2

2 1( ) cosd x r r a d i ax sen d j ax d k

Reemplazando en la ecuación de la ley de Biot-Savart para (1) P B

tenemos:

2

0(1)

2 2 3/ 20

cos

4 ( ) P

I a d i ax sen d j ax d k B

x a

Evaluando la integral:

2

0(1)

2 2 3/ 2( 2 )

4 ( ) P I a i ax j B

x a

. . . (2)

Cálcu lo de (2 ) P B

(ind uc ción magnética en el pun to P debid o al segmento rect ilíneo q ue va de

z a hasta z a ):

La inducción magnética (2) P B

para el segmento rectilíneo mostrado en la figura viene dada por:

y

zx

x P

I

2

1

a

a

y

zx

x

P

I

a

d

1r

2r

2 1r r r

0(2) 1 2

(cos cos )( )4

P I

B j x

donde:1

2 2cos

a

a x

= cos ϴ2

Luego:

0

(2) 2 2

2

4 P

I a B j

x a x

. . . (3)


11/22

11

Por Principio de superposición ( ) P TOTAL B

se halla sumando las ecuaciones (2) y (3). Es decir:

2

0 0( )

2 2 3/ 2 2 2

( 2 ) 2

4 ( ) 4 P TOTAL

I a i ax j I a B j

x a x a x

Simplificando se obtiene:

2 3

0 0( )

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2( ) ( )

4( ) 2 ( ) P TOTAL

Ia Ia B i j

x a x x a

Problema No 2Una espira rectangular por la que fluye una corriente de 10 A está colocada en el plano z = 0, como se

muestra en la figura. Calcule la inducción magnética

B en el punto P (0 ; 0 ; 2 m).

Resolución

Para calcular ( ) R P B

(inducción magnética resultante en el punto P), debido a toda la espira, aplicamos el

Principio de superposición. Para ello es necesario calcular primero

B debido a cada uno de los lados dela espira. En el gráfico mostrado a continuación se indican los segmentos (1), (2), (3) y (4). Por Principio de superposición:

( ) (1) (2) (3) (4) R P P P P P B B B B B

. . . ( )

x (m)

y (m)

0

10 A

8

4

x (m)

y (m)

0

10 A

8

4

z

1d

2d

(1)

(2)

3d

4d

(4)

3

P (0; 0; 2m)

1r

2r

2 1

r r


12/22

12

Hallo (1) P B

(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 1 de la esp ira):


2 1

( )

4 P

I d x r r B

r r

. . . ( )

Donde:1

( )d dx i

;1

4r x i j

;2

2r k

Nota.- en este caso el vector 1r

va del origen de coordenadas al elemento diferencial 1d

, y el vector

2r

va del origen de coordenadas al punto P.

Luego, remplazando en ( ) tenemos:

8 80 0

(1)3/ 2 2 3 / 20 02 2 2

( ) 2 42 4

4 4 (20 )2 4 P

dx i x k x i j I I dx j dx k

B x x

0

(1) 25 84

P I

B j k

Hallo (2) P B

(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 2 de la es pira):


2 1

( )

4 P

I d x r r B

r r

. . . ( )

Donde:2

d dy j

;1

8r i y j

;2

2r k



, y el vector

2r


Luego, remplazando en ( ) tenemos:

4 40 0

(2)3/ 2 2 3 /20 02

2 8(2 8 )

4 4 (68 )68 P

dy j x k i y j I I i k dy

B y y

0

(2) 2 868 84

P I

B i k

Hallo (3) P B

(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 3 de la esp ira):


2 1

( )

4 P

I d x r r B

r r

. . . ( )

Donde:3

d dx i

;1r x i

;2

2r k



, y el vector

2r


Luego remplazando en ( ) tenemos:

8 8

0 0(3)3/ 2 2 3 / 20 02

2

24 4 (4 )4

P

dx i x k x i

I I dx j B x x

0(3 ) ( )68 P

I B j


13/22

13

Hallo (4) P B

(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 4 de la es pira):


2 1

( )

4 P

I d x r r B

r r

. . . ( )

Donde:4

( )d dy j

;1

r y j

;2

2r k



, y el vector

2r


Luego, reemplazando en ( ) tenemos:

4 40 0

(4)3/ 2 2 3 / 20 02

( ) 2

4 4 (4 )4 P

dy j x k y j I I

B y y

0( 4) ( )

4 5 P

I B i

Reemplazando en ( ), los valores hallados para (1) P B

, (2 ) P B

, (3) P B

y (4) P B

, y simplificando obtenemos:

0 0 00, 3457 0, 3165 0,1798 P B i j k

Problema No 3

Resolución

Cuando una esfera cargada eléctricamente gira alrededor de un eje que pasa por su centro, al interior

de ella se “crean” corrientes eléctricas. Estas “corrientes” ficticias crean a su vez un campo magnético.

Para calcular este campo se recomienda tomar como referencia el campo creado por un anillo (o espira)

con corriente.

R

Se sabe que el módulo de B

para un anillo de radio R,

que conduce una corriente I, a una distancia z de sucentro, viene dado por:

2

0

2 2 3/ 22( )

IR B

R z

. . . (1)

Del gráfico: R r sen ; cos z r

Reemplazando en (1) tenemos:2

0

2 2 3/ 2

( )

2(( ) ( cos ) )

I r sen B

r sen r

. . . (3)

Este campo “B” para el anillo será un diferencial de

campo “ dB ” para la esfera. Asimismo, la “ I ” de laecuación (2) será un “ dI ”, luego la ecuación (2) seconvierte en:

R

r

cosr

rsen

Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica

constante ρ. Determine el campo magnético B

en el centro de la

esfera cuando ésta gira como un cuerpo rígido con velocidad

angular ω alrededor de un eje que pasa por su centro (Ver figura)


14/22

14

2

0. 2 2 3/ 2

( )

2(( ) ( cos ) ) ESF

dI rsendB

r sen r

Integrando tenemos:

2

0. 3/ 2

2 2

( )

2 cos ESF

dI rsen B

r sen r

. . . (3)

donde:2 /dQ dV dI dt w

2

2w r sen d d dr

Reemplazando “ dI ” en (3) y simplificando tenemos:

230

.0 0 04

R

ESF r

w B r Sen d d dr

2

0.

3 ESF

w R B

PROBLEMAS RESUELTOS DE LEY DE AMPERE

Problema No

1Un conductor sólido de radio a está apoyado mediante discos aislantes en el eje de un tubo conductor

de radio interno b y radio externo c (a todo este sistema se le denomina cable coaxial). Por el

conductor central y por el tubo circulan corrientes I en direcciones contrarias, estas corrientes están

distribuidas de manera uniforme en el área transversal de cada conductor. Calcule el campo magnético

B

para a) r a , b) a r b , c) b r c , d) r c . Construya la gráfica B versus r .

RESOLUCIÓN

De acuerdo al enunciado, la sección transversal del cable coaxial es la que se muestra en la figura:

a) Cálculo de B

para r a (en el conductor interno)

En la figura se está asumiendo que:

- En el conductor interior la corriente es

saliente, por lo tanto lo representaremos

por I .

- En el conductor exterior la corriente es

entrante, por lo tanto lo representaremos

por I .

Curva cerrada Co Trayectorias amperiana

a

r d

B

De la figura:

d d a

; B B a

I

a

b

c

I


15/22

15

b) Cálculo de B

para a r b (entre los conductores)

En este caso: ENCERRADA I I . Si remplazamos esta corriente en la ecuación de la ley de Ampere

tenemos:

0(2 ) B r I 0

2

I B

r

Vectorialmente:0

2

I B a

r

; a r b

c) Cálculo de B

para b r c (en el conductor externo)

En este caso:2 2

2 2

( )

( ) ENCERRADA

r b I I I

c b

Reemplazando esta corriente en la ecuación de la ley de Ampere tenemos:

2 2

0 2 2

( )(2 )

( )

r b B r I I

c b

2 2

0

2 22

I c r B

r c b

Vectorialmente:

2 2

0

2 22

I c r B a

r c b

; b r c

d) Cálculo de B

para r c (en el exterior del cable coaxial)

En este caso: 0 ENCERRADA I I I . Por lo tanto: 0 B

* Si no hay co rr iente encerrada por la curva cerrada C (o trayectoria amp eriana), no hay indu cción

magnética , es dec ir 0 B

.

Gráfi ca de B versus r

Se halló que: 022

Ir B

a

, para r a ; 0

2

I B

r

, para a r b ;

2 2

0

2 22

I c r B

r c b

, para b r c y

0 B ; para r c . Graficando estas ecuaciones obtenemos:

Por Ley de Ampere: .0 encC I d B

Evaluando la integral y remplazando2

2 ENCERRADA

r I I

a (esto debido a que la

distribución de corriente es uniforme), obtenemos:

2

0 2(2 )

r B r I

a

02

2

Ir B

a

Vectorialmente:0

22

Ir B a

a

; r a


16/22

16

Problema No 2

Por un conductor cilíndrico largo de radio a fluye una corriente con densidad o J J k

A/m2, a cuando se coloca a lo largo del eje z . Se pide:

a) Calcular B

en el interior y el exterior del conductor.

b) Construir la gráfica de B versus .

RESOLUCIÓN

Según el enunciado la figura sería:

a) Cálculo de B

en el interior y exterior del conductor

Para a (interior del conductor):

Por Ley de Ampere: ENCERRADAC I d B 0

; donde: . ENCERRADA I J d S

J d S d d k

z Sección transversal del conductor:

De la figura:

d d a

; B B a

Trayectorias amperianas

a

d

B

a b c

0

2

I

b

0

2

I

a

B

r


17/22

17

Luego:

k d d k J B

0

2

0 00)2(

2

0 0

3

J B

Vectorialmente:

2

0 0

3

J B a

; a

Para a (exterior del conductor):

En este caso ENCERRADA I por la curva C sería toda la corriente, por lo tanto los límites de serían

de 0 hasta a . Es decir:

k d d k J B

0

2

0 00)2(

3

0 0

3

J a B

Vectorialmente:

3

0 0

3

J a B a

; a

b) Gráfica de B versus

Se halló que:2

0 0

3

J B

, para a ; y3

0 0

3

J a B

; para a

Graficando ambas ecuaciones obtenemos:

Problema No 3Por un cilindro sólido, largo y recto, orientado con su eje en la dirección z, circula una corriente cuya

densidad es

J . La densidad de corriente, aunque es simétrica con respecto al eje del cilindro, no es

constante, sino que varía de acuerdo a la relación

k

a

r

a

I J o

2

2

2 1

2

para ar

0

J para ar ,

Donde a es el radio del cilindro, r es la distancia medida desde el eje del cilindro e o I es una

constante en amperes.

a) Calcule la corriente total que pasa por la sección transversal completa del cilindro.

b) Calcule

B en la región ar

c) Calcule

B en la región ar d) Construya la gráfica de B (magnitud de la inducción magnética) versus r .

B

MAXB

0 Ra

Ojo:

“ B ” es máximo en a .

Se cumple asimismo que:

20 0

. 3 MÁX J a B


18/22

18

RESOLUCIÓN

Según el enunciado, la figura sería:

a) Cálculo de I (corriente total) que pasa por la sección transversal completa del cilindro:

Cuando se conoce

J , y

S d se puede hallar a partir de la figura, entonces la corriente total “I” está

dada por . I J d S

. Reemplazando

J y

S d , tenemos:

k d dr r k a

r

a

I I o

a

r

2

2

20

2

01

2

dr r a

rdr a

I I

a

r

a

r 0

3

2

0

2

0 1)2(2

)4

(4

4

1

2

4 2

2

04

2

2

2

a

a

I a

a

a

a

I o

O I I

b) Cálculo de

B para ar :

Como se trata de un conductor cilíndrico largo (cilindro infinito),

B lo podemos calcular aplicando la

ley de Ampere. Además, como ar , la corriente encerrada por la curva cerrada “C” o trayectoria

amperiana sería o I .

Sección transversal del cilindro:

Por ley de Ampere:

)(. 0 ENCERRADAC I d B

Luego: )()2( 00 I r B

a

r

I B

2

00

c) Cálculo de

B para ar :En este caso también aplicamos la ley de Ampere. Pero, al momento de calcular ENCERRADA I hay que

tener en cuenta que los límites de la integral van de 0 a r, porque la trayectoria amperiana tendría

radio menor que a . Es decir:

z

J k rdrd S d

B

R

r

a

B

d

B

a

Trayectoria amperiana


19/22

19

)(. 0 ENCERRADAC I d B

S d J d Ba

r C

0

0. ;

donde:

k

a

r

a

I J o

2

2

2 1

2

Reemplazando

B y

S d , y evaluando la integral, obtenemos:

aa

r

a

r I

B 2

2

2

00

21

d) Gráfica de B versus r :

Con las ecuaciones calculadas para

B cuando ar y ar construimos la gráfica de B (módulode la inducción magnética) en función de r (distancia radial medida desde el eje del cilindro). La

gráfica obtenida sería:

Problema No 4 Por un cilindro sólido, largo y recto, orientado con su eje en la dirección z, circula una corriente cuya

densidad es J

. La densidad de corriente, aunque es simétrica con respecto al eje del cilindro, no esconstante y varía de acuerdo con la relación

( )/r ab J e k r

para r a

0 J

para r a

donde a es el radio del cilindro y es igual a 10 cm, r es la distancia radial medida desde el eje del

cilindro, b es una constante igual a 400 A/m, y es una constante igual a 5 cm, a) sea o I la

corriente total que pasa por la sección transversal completa del cilindro. Obtenga una expresión para o I

en términos de b , y a . Evalúe la expresión para obtener un valor numérico de o I , b) calcule B

en la

región r a . Exprese la respuesta en función de o I , en lugar de b , c) calcule B

en la región r a .

Exprese la respuesta en función de o I , en lugar de b , d) Calcule la magnitud de B

en r y enr a .

Resolución

a) Cálculo de o I en términos de b , y a :

Se sabe que : . . I J d S J dA

; Por condición: 0 I I corriente total Luego :

2( ) / ( ) /

00 0

0

. 2a

a r a r a

r r

b I e k rdrd k b e dr

r

B

MAXB

0 R r a


20/22

20

Resolviendo obtenemos:/

0 2 (1 )a I b e

Evaluando esta ecuación de o I con los datos dados, obtenemos: 0 108,657 I A

b) Cálculo de

B en la región r a:

Sección transversal del conductor:

o I Por ley de Ampere:

.0 encerradaC I d B

donde: 0encerrada I I

Luego: 0 0(2 ) B r I ; despejando B :

0

2

o I Br

0 0

2

I B a

r

c) Cálculo de

B en la región r a

Sabemos : .0 encerradaC I d B

; donde: .encerradaS

I J d S

Luego :

2

( ) /

0

0 0

(2 ) .r

r a

r

b B r e k rdrd k

r

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene:( ) / /0 r a ab B e e

r

De (a), se halló que:/

0 2 (1 )a I b e

)e1(2

Ib

/a

0

Por lo tanto, B en función de 0 I será:( ) / / /

0 0 0 0

//

( 1)

2 2 ( 1)1

r a a r

aa

e e I I e B

r r ee

Finalmente, el vector

B será :

/

0 0

/

( 1)

2 ( 1)

r

a

I e B a

r e

d) Cálculo de IBI

(magnitud de

B ) en r y en r a

* Si r = = 5 cm. = 5x10-2 m:( ) / /0 a ab B e e

Según datos del problema: b = 400 A/m ; a = 10 cm = 10x10 -2 m

Reemplazando estos datos en la ecuación de IBI

se obtiene:

41,168 10 B T

Si r = a: 0 0

2

I B

a

4

2,17 10 B x T

d

B"C"cerradaCurva

a

r

0I


21/22

21

Problema No 5

Resolución

a) Cálcu lo de la magnitu d y dirección de 2 I para que NETO B

en el punto P sea cero.

Se sabe que toda corriente eléctrica crea a su alrededor un campo magnético, y como en este caso

hay dos corrientes, entonces en el punto P actúan dos campos magnéticos. Además, en el punto

P el vector inducción magnética 1 B

, debido a la corriente 1 I , está dirigido hacia la izquierda (ver la

figura), entonces el vector inducción magnética 2 B

, debido a la corriente 2 I , debe estar dirigido

hacia la derecha para que NETO B

sea igual a cero (condición del problema). Por lo tanto, la

corriente 2 I debe estar saliendo perpendicularmente del plano de la página.

b) Cálcu lo de la magnitu d y dirección del campo neto ( NETO B

) en el punto Q Al igual que en el punto P , en el punto Q actúan dos campos magnéticos (uno debido a cada

corriente), por lo tanto el campo magnético resultante es igual a la suma de 1 B

y 2 B

. La dirección

Q

P

S

1 6 I A

2 I

1m

0,5 m

0,5 m

0,6m

0,8 m

Dos cables largos y paralelos están separados

una distancia de 1 m. Por el cable superior

circula una corriente 1 I de 6A hacia dentro del

plano de la página, a) cuáles deben ser la

magnitud y la dirección de la corriente 2 I para

que el campo neto en el punto P sea cero?,

b) ¿cuáles son entonces la magnitud y la

dirección del campo neto en el punto Q?,

c) ¿cuál es entonces la magnitud del campo

neto en el punto S?, d) ¿cuáles deben ser la

magnitud y la dirección de la corriente 2 I para

que el campo neto en el punto Q sea cero?

1,5m 16 A I

2 I

0,5 m

1 B

2 B

P

Por condición: 0 NETO B

Luego, se cumple que:

1 2 B B

Reemplazando:

0 1 0 2

2 (1,5 ) 2 (0,5 )

I I

m m

12

(0,5 )2

1,5

I m I A

m


22/22

de los vectores1 B

y2 B

, mostrados en la figura, se determinó aplicando la regla de la mano

derecha extendida.

c) Cálcu lo de la magnitu d del campo neto ( NETO B

) en el punto S

En el punto S los vectores 1 B

y 2 B

tienen las direcciones mostradas en la figura (compruébelo

aplicando la regla de la mano derecha extendida). Para determinar el módulo de NETO B

en el punto

S aplicamos el teorema de Pitágoras.

d) Cálcu lo de la mag nitud y d irección de la cor riente 2 I para que el campo n eto en el punto Q

sea cero

Para resolver este caso se procede en forma similar al caso del ítem (a).

Es decir:1 2

B B

(t ienen la mism a magnitud p orqu e el campo n eto es cero )

Reemplazando:

0 1 0 2

2 (0,5 ) 2 (1,5 )

I I

m m

12

(1,5 )18

0,5

I m I A

m

1 I

1 B

2 B

0,8 m

0,6m

Líneasmagnéticas

S

2 I

2 B

1 B

Q y

z

2 2

1 2S B B B . . . (1)

donde:

70 11

20 102 (0,6 )

I B x T

m

70 22

5 10

2 (0,8 )

I B x T

m

Remplazamos en (1):

7 2 7 2 6(20 10 ) (5 10 ) 2,06 10S B x T x T x T

(Saliendo perpendicularmentedel plano de la hoja)

Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte

Documents

Transcript of Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte