Boit-Savart Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos Electricidad y magnetismo

U~ Ley de Ampere-ley de Biot-Savart

4. Calcular el flujo magnético a través de una superficie espe-cífica de Un campo magnético dado o producido por una corrienteen un conductor.

5. Usar las líneas de inducción magnética para describir cua-litativamente el campo magnético.

Resumen

7.1. Ley de Ampere. En la seccron 7.1. se describe cómo unabrújula se usa para explorar tanto la dirección como la magnitudde la inducción magnética B en la vecindad de un conductor concorriente. La explicación demuestra que, B, cerca de un alambrerecto y largo, satisface la ley de Ampere, esta conclusión no prue-ba la ley de Ampere. Uno debe aceptar la ley de Ampere comoun postulado de la teoría cuyas predicciones han sido comparadascon éxito en los experimentos.

La ley de Ampere relaciona la integral de línea de un campomagnético B alrededor de una trayectoria cerrada con una corrlen-te estable que cruza una sección transversal, que se expresa conla siguiente ecuación:

El círculo en el símbolo de la lnteqral-stqnlflca que es una in-tegral cerrada. Cuando se desea calcular el campo B dentro deun conductor, la corriente encerrada la podemos obtener de la r,densidad de corriente (ecuación 4.4). Y la ecuación 7.2 la podemos "expresar en función de la densidad de corriente, ésto es:

~ r-''Y B . di = -:

r-' r-'J . ds

Donde el área de la integral de superficie de la densidad decorriente correspond-e al área que encierra la integral de línea. :,'

7.2. Campo magnético de un conductor recto y largo. El campomagnético de un conductor recto y largo, se expresa por la ecua-ción 7.4. para r > a, es decir, para puntos fuera del alambre quese calcula directamente de la ecuación 7.2. (vea ejemplo 1 del

(7.2)

(7.3)

Ley de Biot-Savart 129

texto). Para calcular el campo magnético dentro del conductor(r < a). usamos la ecuación 7.3. obteniendo que (ejemplo 2):

¡;. iro

B = -----2 tr a2 ,

Observe cómo se obtiene la corriente encerrada y que siem-pre se considera la densidad de corriente constante excepto cuan-do se especifica que varía.

7.3. Fuerza electrodinámica entre dos conductores paralelos.Dos alambres con corriente producen campos magnéticos, los cuá-les interaccionan entre sí, produciendo una fuerza de atracción ode repulsión. (Como se muestra en la figura 7.6 del texto). De

acuerdo a la ecuación:

r-' r-' r-'F=ilxB (6.13)

;:

de aquí que ambos alambres "se atraen cuando circulan por elloscorrientes en igual dirección; y se repelen cuando tienen corrien-tes en sentido contrario". Con una fuerza cuya magnitud está

dada por:

fL i i bo a(7.5)

Fajl =2 7rd

donde "d'; es la distancia que separa a los alambres. (Vea ejem-

plo ~ del texto).

7(;1. Campo de un solenoide. Un solenoide ide~1 (figura 7.9 ?:Itextol es lo suficientemente simétrico para permitir una apllcaclóndire~ta de la ley de Ampare para obtener el campo magnéticodentro del solenoide dado por la ecuación 7.6:

B = fL o ni(7.6)

De la acuaclón 7.6. vemos que B dentro del solenoide ideal nodepende de su diámetro ni de la longitud de éste, d~pende delnúmero de vueltas por unidad de longitud n y de la comente rquecircula por el solenoide. (Vea ejemplo 5 del texto).

, '.

7.5. Ley de Biot-Savart. Debido a que la ley de Ampere sola-mente se puede aplicar a problemas donde existe una simetría de

I

. I

130 Ley de Ampere-ley de Biot-Savart

la distribución de corriente ya que en cualquier otro problema sedificulta la evaluación de la integral, entonces utilizamos la leyde Biot-Savart. Se utiliza en los problemas que presentan una si-metría relativamente simple, c,ºmo,-en,-un-a[g~ finito, una

~~a clrc~laLo_~l!.adrada, ~tc., para poder resolver la ¡'ntegrarae-la ecuación 7.8.

P.o i

B =' ---¡-;- f,-..J ,-..JdI x r

,-..J.tiene que establecer el diferencial de longitud dI y el radio vec-

,-..J

tor r entre el punto donde se desea calcular B y el diferencial delongitud de acuerdo al problema en cuestión, así como el seno del

,-..J ,-..J

ángulo entre r y dI. Si en algunos casos se le dificulta evaluarla Integral, recurra a una tabla de Integrales. (Para calcular B den-tro de un conductor con corriente, no use la ley de Biot).

Problemas resueltos

Problema 1. Objetivos 1 y 2

Calcule el campo magnético para puntos fuera (r > a) y puntosdentro (r < a) de un conductor recto y largo (figura 7.1) que circu-la una corriente lo (uniformemente distribuída).

Solución:

a) Cálculo de B para r > a:

De la ecuación 7.2 tenemos que:

,-..J ,-..J

B . dI = P.e lo

de donde:

despejando B, obtenemos:

P. ie

B r > a2 'Ir r

(7.8)

Problemas resueltos 131

Figura 7.1

b) Cálculo de B para r < a.De la ecuación 7.3:

~ - --''Y B. dI =

donde la densidad de corriente es constante, esto es:

i ioe

J = =A 'Ir a2

Por lo tanto, la corriente encerrada i para cualqui~r tray~ctoriade radio r (r < al dentro del conductor, de la ecuación 4.4.

= f ,...,J . ds =

Por lo tanto:

de donde:

B 2 tt r = P.o 82


despejando B:

B Para r < a-

i»roblema 2. Objetivos 1 y 2

Usando la ley de Blot, calcule B para puntos fuera de un con-ductor recto y largo (considérelo de longitud infinita) por el cuálcircula una corriente i. Figura 7.2.Solución:

Figura 7.2

Tomamos un dx sobre el alambre a una distancia x deldel alambre y el punto p se encuentra a una distanciacentro del alambre como se muestra en la figura 7.2.

De la ecuación 7.8:

~.

/Lo i dI X r /Lo

B = -;;;;- f = --- frl 4 7r

donde dI dx, r = v' x2 + R2,y sen 0= .Jir

dI r sen O

R Rde la figura 7.2.--- =

r


Sustituyendo en la ecuación 7.8 y quitando la notación vectorial, te-nemosque:

00 R dxfJ = 4 7r

Integrando y evaluando:

B

=

/ '

2 tr R

Como podemos observar, el resultado obtenido para B aplicandola ley de Biot concuerda con el resultado de B en el problema 1 ob-tenido aplicando la ley de Ampere para r> a.

Problema 3. Objetivo 2

Calcule el campo magnético B en el centro de una espira concorriente i y radio a como se muestra en la figura 7.3.

Solución:¡ De la ecuación 7.8:

,-, r-'

/Lo dI X rr-' f' ' B = ---

centro 4 7r ,JR del

como a J. dI entonces, sen 900 = 1:


Figura 7.3

Del ejemplo 6 del capítulo 7 del texto, vemos que cuandox ~ O obtenemos el mismo valor de B.


Determine el campo magnético en el punto A para las dossemiespiras de radios a y b, conectadas como se muestran en la

~¡figura 7.4, si circula por ellas una corriente i. "Solución:


1-' ,o dI X r

B= f-~ ·rJ

Primero calculamos B para una de las semiespiras, como r, es1. a dI entonces;

B =dI

f~ donde dI = a «o-41T

Para la semlesplra de radio b tenemos que:

1-'0 i dI 1-' i tr

Bb == 4;- f /;2 == -i:-- fo

b d 8

¡;'o I-" iJ

PrOblenías resueltos 13S

Figura 7.4

Por el mismo procedimiento, la espira de radlo;a:

IJ. io

B =a 48

los segmentos que Conectan las esp!!:as no produc~n ningúncampo magnético en el punto A, ya que dI es paralelo a r y, por lotanto, sene = O. De aquí que el campo resultante en A es:

¡L i011B = B + B = _ (_ + __ )

a b 4 a b


Por dos alambres largos y paralelos de radio a y separadosuna distancia d, circulan corrientes igUales y en sentido contrario.Determine la fuerza (magnitud y dirección) por unidad de longitudque experimenta cada alambre. (Considere que d » e).Solución:


F/I =H i jro a b

2 'Ir d

Corno IO = ¡entonces:

b

l'1 •• "1/1

" " ti

136 Ley de Ampere-Iey de Biot-Savart

/ /

/ /

/~>///;/WÓ/~d-I

Figura 7.5

La dirección de la fuerza la podemos obtener de la ecuacron6.13, obteniendo las direcciones que se muestran en la siguientefigura:

B,

t- __ Fil2

f---- d ---.'

donde BI es el campo magnético producido por el alambre 1 en elalambre 2 y viceversa.

Problema 6~ Objetivo 4

Por un conductor de radio a, c'ircula una corriente i uniforme-o

mente distribuída, calcule el flujo magnético por unidad de longi-tud para una superficie plana dentro del conductor, como se mues-tra en la figura 7.6.

Solución:

De la ecuación 7.3. tenemos que:

.Problemas resueltos 137

de donde:

B 2 rr r = 1-'-0 J tr r2

despejando:

B = 1/2 1-'- J ro2 r

ds = lrlr

Figura 7.6

¡ :

Como la densidad de corriente es uniforme, entonces de laecuacióa 4.3. tenemos que:

J =A

Sustituyendo J en la ecuación del campo bt n m

1-'-0 i r

B

De la ecuación 6.1 calculam I flll)


donde ds = I dr como se muestra en la figura 7..6,sustituyendo 'el valor del campo, integrando y evaluando, obtenemos el flujo 1por unidad de longitud.

8 P.o i r


I,I'-T-I I

IIl--------2a-----_.!

,

I,-1--II

Figura 7.7

~\1\ \

C\ :

(. \..{ (',

como dI es perpendicular a r y senO = _a_ donde r = Y2 ar

Sustituyendo en la ecuación del campo, obtenemos:

2.".a

dI

evaluando y reemplazando r por su valor:

o

=

4 7T

a(2 7T a)2 -rr: a3

Pero como las dos espiras producen el mismo campo en el puntop, entonces:

\

CPm = f o

----1 dr2 .". a2

[

P.o i ,2 J 8

1J mil = 4 2tr D

o

Obtenemos que el flujo por unidad de longitud es

1J /1 =m4 .".

Como podemos notar, el flujo es independiente del radio de la 1J

sección transversal del alambre.

Problema 7. Objetivos 2 y 5

Dos espiras de radio a y separadas una distancia 2a, llevancorrientes iguales en magnitud y dirección i. Determine el campo ,.magnético en magnitud y dirección producido en el punto p quese localiza sobre el eje de las espiras a una distancia "a" de cadaespira como se muestra en la figura 7.7. 1,., .Solución: ; \1.

'-\De la ley de Biot (ecuación 7.8) en forma diferencial para una 1

espira: ~~

p. io dI X r

dB, = ---_ -' _,J4 .".Como se explica en el ejemplo 6 del texto, solamente la como

ponente en dñ«, contribuye al campo magnético en p. Por. lo tanto,

P.o i

f =. =--4 tt

r-'dI x rf -----·sen O



Un conductor recto y largo de radio "a" lleva una corriente l,calcule el flujo magnético por unidad de longitud para una super-ficie que se localiza en la parte inferior del conductor como semuestra en la figura.

(~

Solución:

El flujo magnético está dado por la ecuación 6.1:

<P = f ti . ds = f B cos (90°-0) ds

donde el campo magnético lo calculamos de la ley de Arnpere,ecuación 7.2, ésto es:


Para un conductor recto y largo:

J1.0¡

B = ---- para r > a

De la figura 7 tenemos que:

a.Gas B = -- ; x ~" a tg B

ry dx = a sec2 B d O

el diferencial de superficie está dado por:

ds = I dx = I a sec' B d B

Sustituyendo en la ecuación 6.1, del flujo obtenemos:

<P = f B cos (93°·B) ds = f B sen o ds

J1.0 iI<P = s sen O a sec' (J d (J

2 7r r

I Integrando y evaluando de 0° a 1T /4 obtenemos:1)

1 >

J>

J1.0 i 1T/4

'J sen O cos O d (J =</>/ I 2 7r cos2(Ja

J1." .i1T/4 sen Bo

Sd B

2 7r cas (Jo

rf>/I. J "/4

= ~~n (cos B)2 rr L o

1= 2;- In "'/2·

Boit-Savart Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos Electricidad y magnetismo

Documents

Transcript of Boit-Savart Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos Electricidad y magnetismo