8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
1/22
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
PROBLEMAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES,FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CONDUCTORES CON CORRIENTE ELÉCTRICA,
LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPERE
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES
Problema No 1
Una partícula con carga + q y masa m = 1,53x10 -15 kg se desplaza a través de una región que
contiene un campo magnético variable ( 0,22 ) B T k
. En un instante en particular, la velocidad de la
partícula es6(1, 22 10 / )(4 3 12 )V m s i j k
, y la fuerza F
sobre la partícula tiene una magnitud de
1,75 N. a) Determine la carga q , b) determine la aceleración a
de la partícula, c) determine el radio
de curvatura de la componente circular de la trayectoria helicoidal, d) determinar la frecuencia angular
y la frecuencia de ciclotrón de la partícula.
Resolución
a) Cálc u lo de q (carga de la p artícu la):
Se sabe que: F qV B
F qV B
1,75 F
N qV B V B
. . . (1)
Hallo V B
:
V B
= 6 6 64,88 10 3,66 10 1,22 10 12
0 0 0,22
i j k
=6(0,81 1,07 ) 10 /i j m s
Hallo V B
: V B
= 61,34 10 /m s
Remplazo en (1): 66
1,751,31 10
1,34 10 /
F N
q C m sV B
b) Cálc u lo de a
(aceler ación de la par tícu la):
1ro hallo F
Se sabe: F qV B
F
= 1,31(0,81 1,07 ) /i j m s
. . . (2)
Además, por 2da ley de Newton: F m a
F
=15(1, 53 10 )kg a
. . . (3)
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
2/22
2
Igualando (3) y (2) hallo a
: 15(1, 53 10 )kg a
= 1,31(0,81 1,07 ) /i j m s
Despejando a
obtenemos: a
=15 2(0,697 0,92 ) 10 /i j m s
c) Cálc u lo de R (radio de la comp onente circu lar de la trayectoria hel icoidal):
Analizo el movimiento de la partícula a través de la componente circular de la trayectoria helicoidal.
d) Cálc u lo de (frecuenc ia angular) y f (frecuenc ia de cic lot rón de la par tícu la):
De (c ) se halló:mV
RqB
. Además, V y están relacionadas por: V R
Por lo tanto:
m R
R qB
; despejando obtenemos:
qB
m
Reemplazando q , B y m , tenemos:81,88 10 /rad s
Para calcular f hago uso de la siguiente relación:2
f
Luego:
871,88 10 2,99 10
2 f Hz Hz
Problema No 2
Una carga Q = 5x10-18 C, se mueve en un campo magnético uniforme 0, 4 0, 2 0,1 B i j k T
, con
una velocidad5(2 3 6 ) 10 /V i j k x m s
, en t = 0. a) ¿Qué campo eléctrico está presente en t = 0 si
la fuerza neta sobre la carga es cero? b) Si la intensidad del campo eléctrico está enteramente en la
dirección i
y 2neta F pN
en t = 0, encuentre x E .
Resolución
a) Cálcu lo de E
en 0t
si 0 NETA F
Según Lorentz, la fuerza neta sobre una carga “q” viene dada por: ( ) NETA F q E V x B
Por 2da ley de Newton aplicado a un movimiento
circular, tenemos: c c F ma ; donde:2 /ca V R
y C F F qVB (magnitud de la fuerza magnética)
Luego: 2 /qVB mV R
Despejando R tenemos:mV
RqB
Siendo2 2 66,1 10 / X Y V V V m s
Luego:
15 6
6
1,53 10 6,1 100,0325 3,25
1,31 10 0,22 R m m cm
F
V
R
ca
q
(V debe ser perpendiculara B )
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
3/22
3
Despejando E
tenemos: NETA F
E V x Bq
. . . (1)
Donde: 0 NETA F
(Por condición del problema)
Reemplazando 0 NETA F
en (1) obtenemos: E V x B
. . . (2)
V B
= 5 5 5
2 10 3 10 6 100,4 0,2 0,1
i j k
=
5 5 5
( 0,9 10 2, 2 10 0,8 10 ) / x i x j x k m s
Reemplazando V x B
en (2) tenemos:
5(0,9 2, 2 0,8 ) 10 / E V x B i j k x V m
b) Cálcu lo de x E si 2 NETA F pN
en 0t
Se sabe: NETA F q E qV x B
. . . (3)
Como E
se halla en la dirección i
(condición del problema), entonces se remplaza por x E i
. Luego,
la ecuación (3) equivale a:
NETA x F qE i qV x B
Reemplazando q y V x B
tenemos:
18 13 13 135 10 4,5 10 11 10 4 10 NETA X F x E i x i x j x k
18 13 13 13(5 10 4,5 10 ) 11 10 4 10 NETA X
F x E x i x j x k
Tomamos módulo:
2
218 13 13 2 13 25 10 4,5 10 ( 11 10 ) ( 4 10 ) NETA x F x E x x x
2
12 2 18 13 26 26(2 10 ) 5 10 4,5 10 121 10 16 10 x x x E x x x
Resolviendo esta ecuación obtenemos las dos soluciones siguientes:
54,143454 10 / 414,34 / x E x V m kV m
52, 343454 10 / 234, 34 / x E x V m kV m
Problema No 3
Una partícula cuya carga es q = 1,45 μC se desplaza con una velocidad V
= (1,98 x 103m/s)
j . La
partícula experimenta una fuerza4(1,53 10 )(3 4 ) F x N i k
debida a un campo magnético
B . a)
determine x B , y B y z B , o las componentes que sea posible determinar con la información dada. b) Si
además se tiene que la magnitud del campo magnético es de 0,5 T, determine las componentes de
B que faltan.
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
4/22
4
Resolución
a) Cálculo de x B , y B y z B , o las componentes que sea posible determinar
Se sabe que: F qV B
F
V x Bq
Luego:
4 4
6
4,59 10 6,12 10
1,45 10
x i x k F
V x Bq x C
2 23,165 10 4,22 10 F
V x B x i x k q
. . . (1)
Además:
V x B
30 1,98 10 0
x y z
i j k
B B B
= 3 31,98 10 1,98 10 z x x B i x B k
. . . (2)
Igualando las componentes de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
0,2131 ; 0,1598 x z
B B
b) Cálculo de y B , si se sabe que la magnitud de
B es 0,5 T
Se cumple: 2 2 2 x y z B B B B
; Reemplazando: 20, 5 0, 0454 0, 0255 y B
Despejando obtenemos: 0,4232 y B
Problema No 4Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de 20,0 A. Un electrón está a 1,0 cm del
centro del conductor y se mueve con una rapidez de sm /100,5 6 . Halle la magnitud de la fuerza sobre
el electrón cuando se mueve: (a) directamente alejándose del conductor, (b) paralelo al conductor en elsentido de la corriente y (c) perpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica conel conductor.
Resolución
Asumamos que el conductor con corriente se halla en la dirección z (ver figura).
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Si la corriente I está en la dirección +z, el campo
magnético
B creado por esta corriente será entrante en
la región donde se halla el electrón (ver la figura). La
magnitud de
B viene dado porr
I B o
2 (por ser un
alambre ). Además, si el electrón se halla en movimiento dentro de
este campo magnético, entonces experimentará una
fuerza debido a este campo. Esta fuerza se halla
mediante la ecuación
BV q F .
y
B
z
r
I
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
5/22
5
a) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se aleja delconductor.
Primero calculo la magnitud de
B , a la distancia r = 1,0 cm, para el conductor rectilíneo muy largo
que conduce una corriente I = 20 A.
T r
I B
2
70
10.2
20.10.4
2
T B 410.4
Hallo
F sob re el electrón:
Se sabe que: F qV B
. . . (1)
Donde: C106,1eq 19 ; 6 ˆ(5 10 ) /V j m s
; T i B )ˆ104( 4
Remplazamos en (1):
F = )ˆ104()ˆ105)(106,1( 4619 i j N
F = k N ˆ)102,3( 16
Por lo tanto, la magnitud de
F será N 16102,3
b) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se mueve paralela alconductor y en el sentido de I .
En este caso: s/m)k 105(V 6
. Luego, la fuerza
F será:
j F
ik F
16
464
102.3
)104()105)(106,1(
Por lo tanto, la magnitud de
F es: N 16102,3
c) Cálculo de F (magnitud de la fuerza magnética) sobre el electrón cuando se mueveperpendicular al conductor y tangente a una circunferencia concéntrica con el conductor.
Vista de arriba hacia abajo (vista de planta)
I
V
B
r
Circunferencia concéntrica(trayectoria del electrón)
En este caso
B y
V son
paralelos
0BVqF
Es decir, no hay fuerza
magnética
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
6/22
6
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CONDUCTORES CONCORRIENTE ELÉCTRICA
Problema No 1Por una espira rectangular en el plano xy , con lados L1 y L2, circula una corriente I (ver figura). La espira
está en un campo magnético uniforme x y B B i B j
. Determine:
a) La fuerza neta sobre la espira
b) El par total sobre la espira rectangular
Resolución
Sabemos que sobre todo conductor de longitud , que lleva una corriente I , que se halla en el interior
de un campo magnético uniforme B
, actúa una fuerza magnética F
dada por: F I x B
Llamaremos (1), (2), (3) y (4) a los lados de la espira (ver la figura). Luego, la fuerza magnética que
actúa sobre cada uno de estos lados serán:
1 1 1( ) ( ) x y y F I L i x B i B j IL B k
; 2 2 2( ) ( ) x y x F I L j x B i B j IL B k
3 1 1( )( ) x y F I L i B i B j F
; 4 2 2( ) ( ) x y F I L j x B i B j F
a) Cálculo de R F
(fuerza resultante o fuerza neta)
Se cumple:1 2 3 4 R F F F F F
Reemplazando obtenemos: 0 R F
Nota.- La fuerza resultante sobre una espira con corriente en un campo magnético uniforme escero, porque las fuerzas sobre lados opuestos de la espira se cancelan entre sí.
b) Cálculo de R
(par resultante o momento de torsión total sobre una espira con corriente)
Se cumple:13 24 R
; donde:13 1 2 y
IL L B i
;24 1 2
( ) x
IL L B j
1 2( ) R y x IL L B i B j
y
x
I
B
I
I
I
2 L o
1 L
y
x
I
x y B B i B j
I
I
I2
L o
1 L
(1)
(2)
(3)
(4)
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
7/22
7
Problema No 2En la figura se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy (en z = 0). La
espira tiene lados de longitud L y sus vértices están en (0 ; 0), (0 ; L), (L ; 0) y (L ; L), y por ella
circula una corriente I en sentido horario. El campo magnético es
k LyB jLzBB oo )/()/( , con 0 B
una constante positiva. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre cada
lado de la espira, así como también la fuerza magnética neta sobre la espira.
Resolución
Por condición: 0 0 B z B y
B j k L L
;
0 B cte
Como la espira se encuentra en el plano 0 xy z , por lo tanto la expresión para B
queda:
0 B y B k L
; es decir que B
es un campo saliente al plano de la hoja
Cálculo de F
sobre cada lado de la espira
Si B
depende de una o más variables, la fuerza magnética F
viene dada por: F I d x B
Luego, la fuerza F
sobre cada uno de los lados de la espira será:
* Para el lado izquierd o de la espira: 0 ; 0 x y L
Recuerde: La dirección del vector fuerza magnética F
está dada por la regla de la mano derecha
extendida.
* Para el lado su perio r de la espir a: ; 0 y L x L
0 B y F I dy j x k L
0
0
L
IB F y dy i L
0
2
IB L F i
0 B L
F I dx i x k L
00
( ) L
F I B dx j
0 F IB L j
x
y
I
0
I L
d
F
B
d
I
L F
B
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
8/22
8
* Para el lado derech o de la espira: ; 0 x L y L
* Para el lado inferio r de la espira: 0 ; 0 y x L
Cálculo de R F
(fuerza resultante o fuerza neta sobre la espira)
La fuerza resultante sobre la espira es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre cada uno de loslados de dicha espira. Es decir:
1 2 3 4 R F F F F F
Reemplazando cada una de las fuerzas halladas obtenemos: 0 R F ILB j
Problema No 3
Resolución
La corriente 1 I crea alrededor del alambre un campo magnético, el cual es entrante en la región donde
se halla la espira. Este campo ejerce una fuerza magnética sobre cada lado de la espira (ver la figura).
La fuerza resultante R F
sobre la espira viene dada por: 1 2 3 4 R F F F F F
, donde:4 3 F F
Luego:1 2 R F F F
. . . (1)
0 a
b
1 I
2 I
0 a
b
1 I
2 I
4 F
3 F
2 F
1 F
z
0( ) B y
F I dy j x k L
0
0
L IB F y dy i
L
0
2
IB L F i
0( ) B y
F I dx i x k L
Como 0 y 0 F
Por una espira rectangular fluye la corriente 2 I y
está colocada paralela a un alambre filamentario de
longitud infinita por el que fluye una corriente 1 I ,
como se muestra en la figura. Calcular la fuerza
experimentada por la espira
I
L
d
F
B
d
I
L
B
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
9/22
9
Hallo 1 F
y 2 F
:
Se sabe que la fuerza magnética F
, debido a un campo magnético uniforme B
, sobre un conductor
rectilíneo con corriente I , viene dada por:
F I x B
; donde: 02
I B a
(Inducción magnética para un alambre )
Luego:
*1 2 1 z F I b a x B
; donde: 0 11
02
I B a
0 11 2
02
z
I F I b a x a
0 1 2102
I I b F a
*2 2 2( ) z F I b a x B
; donde: 0 12
02 ( )
I B a
a
0 12 2
0
( )2 ( )
z
I F I b a x a
a
0 1 22
02 ( )
I I b F a
a
Reemplazando 1 F
y 2 F
en (1) tenemos: 0 1 2
0 0
1 1
2 R
I I b F a
a
o también:
0 1 2
0 0
1 1( )
2 R
I I b F a
a
PROBLEMAS RESUELTOS DE LEY DE BIOT – SAVART
Problema No 1
Un cable con forma de semicírculo de radio a se encuentra en el plano yz con su centro de curvatura en
el origen (ver la figura). Si la corriente en el cable es I , calcule el campo magnético B
en el punto P, a
una distancia x por fuera sobre el eje x.
Resolución
Para valores z a , las dos corrientes anti paralelas (en z a ) producen campos que se cancelan entre
sí, por lo tanto el campo magnético B
en el punto P viene dado por la suma de los campos producidos
por el semianillo y el segmento rectilíneo que va desde a hasta a . Es decir:
(1) (2) P P P B B B
. . . (1)
y
z x
x
P I
I
I
I
a
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
10/22
10
Por ley de Biot-Savart: 0 1 2 1(1)3
2 1
( )
4 P
I d x r r B
r r
De la figura:
1 cosr a sen j a k
; 2r x i
; cosd a sen d k a d j
Cálcu lo de (1) P B
(induc ción magnética en el punt o P debid o al semi anil lo):
Además:2
2 1( ) cosd x r r a d i ax sen d j ax d k
Reemplazando en la ecuación de la ley de Biot-Savart para (1) P B
tenemos:
2
0(1)
2 2 3/ 20
cos
4 ( ) P
I a d i ax sen d j ax d k B
x a
Evaluando la integral:
2
0(1)
2 2 3/ 2( 2 )
4 ( ) P I a i ax j B
x a
. . . (2)
Cálcu lo de (2 ) P B
(ind uc ción magnética en el pun to P debid o al segmento rect ilíneo q ue va de
z a hasta z a ):
La inducción magnética (2) P B
para el segmento rectilíneo mostrado en la figura viene dada por:
y
zx
x P
I
2
1
a
a
y
zx
x
P
I
a
d
1r
2r
2 1r r r
0(2) 1 2
(cos cos )( )4
P I
B j x
donde:1
2 2cos
a
a x
= cos ϴ2
Luego:
0
(2) 2 2
2
4 P
I a B j
x a x
. . . (3)
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
11/22
11
Por Principio de superposición ( ) P TOTAL B
se halla sumando las ecuaciones (2) y (3). Es decir:
2
0 0( )
2 2 3/ 2 2 2
( 2 ) 2
4 ( ) 4 P TOTAL
I a i ax j I a B j
x a x a x
Simplificando se obtiene:
2 3
0 0( )
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2( ) ( )
4( ) 2 ( ) P TOTAL
Ia Ia B i j
x a x x a
Problema No 2Una espira rectangular por la que fluye una corriente de 10 A está colocada en el plano z = 0, como se
muestra en la figura. Calcule la inducción magnética
B en el punto P (0 ; 0 ; 2 m).
Resolución
Para calcular ( ) R P B
(inducción magnética resultante en el punto P), debido a toda la espira, aplicamos el
Principio de superposición. Para ello es necesario calcular primero
B debido a cada uno de los lados dela espira. En el gráfico mostrado a continuación se indican los segmentos (1), (2), (3) y (4). Por Principio de superposición:
( ) (1) (2) (3) (4) R P P P P P B B B B B
. . . ( )
x (m)
y (m)
0
10 A
8
4
x (m)
y (m)
0
10 A
8
4
z
1d
2d
(1)
(2)
3d
4d
(4)
3
P (0; 0; 2m)
1r
2r
2 1
r r
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
12/22
12
Hallo (1) P B
(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 1 de la esp ira):
Por ley de Biot-Savart: 0 1 2 1(1)3
2 1
( )
4 P
I d x r r B
r r
. . . ( )
Donde:1
( )d dx i
;1
4r x i j
;2
2r k
Nota.- en este caso el vector 1r
va del origen de coordenadas al elemento diferencial 1d
, y el vector
2r
va del origen de coordenadas al punto P.
Luego, remplazando en ( ) tenemos:
8 80 0
(1)3/ 2 2 3 / 20 02 2 2
( ) 2 42 4
4 4 (20 )2 4 P
dx i x k x i j I I dx j dx k
B x x
0
(1) 25 84
P I
B j k
Hallo (2) P B
(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 2 de la es pira):
Por ley de Biot-Savart: 0 2 2 1(2)3
2 1
( )
4 P
I d x r r B
r r
. . . ( )
Donde:2
d dy j
;1
8r i y j
;2
2r k
Nota.- en este caso el vector 1r
va del origen de coordenadas al elemento diferencial 2d
, y el vector
2r
va del origen de coordenadas al punto P.
Luego, remplazando en ( ) tenemos:
4 40 0
(2)3/ 2 2 3 /20 02
2 8(2 8 )
4 4 (68 )68 P
dy j x k i y j I I i k dy
B y y
0
(2) 2 868 84
P I
B i k
Hallo (3) P B
(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 3 de la esp ira):
Por ley de Biot-Savart: 0 3 2 1(3)3
2 1
( )
4 P
I d x r r B
r r
. . . ( )
Donde:3
d dx i
;1r x i
;2
2r k
Nota.- en este caso el vector 1r
va del origen de coordenadas al elemento diferencial 3d
, y el vector
2r
va del origen de coordenadas al punto P.
Luego remplazando en ( ) tenemos:
8 8
0 0(3)3/ 2 2 3 / 20 02
2
24 4 (4 )4
P
dx i x k x i
I I dx j B x x
0(3 ) ( )68 P
I B j
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
13/22
13
Hallo (4) P B
(indu cción m agnética en el punto P, debido al lado 4 de la es pira):
Por ley de Biot-Savart: 0 4 2 1(4)3
2 1
( )
4 P
I d x r r B
r r
. . . ( )
Donde:4
( )d dy j
;1
r y j
;2
2r k
Nota.- en este caso el vector 1r
va del origen de coordenadas al elemento diferencial 4d
, y el vector
2r
va del origen de coordenadas al punto P.
Luego, reemplazando en ( ) tenemos:
4 40 0
(4)3/ 2 2 3 / 20 02
( ) 2
4 4 (4 )4 P
dy j x k y j I I
B y y
0( 4) ( )
4 5 P
I B i
Reemplazando en ( ), los valores hallados para (1) P B
, (2 ) P B
, (3) P B
y (4) P B
, y simplificando obtenemos:
0 0 00, 3457 0, 3165 0,1798 P B i j k
Problema No 3
Resolución
Cuando una esfera cargada eléctricamente gira alrededor de un eje que pasa por su centro, al interior
de ella se “crean” corrientes eléctricas. Estas “corrientes” ficticias crean a su vez un campo magnético.
Para calcular este campo se recomienda tomar como referencia el campo creado por un anillo (o espira)
con corriente.
R
Se sabe que el módulo de B
para un anillo de radio R,
que conduce una corriente I, a una distancia z de sucentro, viene dado por:
2
0
2 2 3/ 22( )
IR B
R z
. . . (1)
Del gráfico: R r sen ; cos z r
Reemplazando en (1) tenemos:2
0
2 2 3/ 2
( )
2(( ) ( cos ) )
I r sen B
r sen r
. . . (3)
Este campo “B” para el anillo será un diferencial de
campo “ dB ” para la esfera. Asimismo, la “ I ” de laecuación (2) será un “ dI ”, luego la ecuación (2) seconvierte en:
R
r
cosr
rsen
Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica
constante ρ. Determine el campo magnético B
en el centro de la
esfera cuando ésta gira como un cuerpo rígido con velocidad
angular ω alrededor de un eje que pasa por su centro (Ver figura)
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
14/22
14
2
0. 2 2 3/ 2
( )
2(( ) ( cos ) ) ESF
dI rsendB
r sen r
Integrando tenemos:
2
0. 3/ 2
2 2
( )
2 cos ESF
dI rsen B
r sen r
. . . (3)
donde:2 /dQ dV dI dt w
2
2w r sen d d dr
Reemplazando “ dI ” en (3) y simplificando tenemos:
230
.0 0 04
R
ESF r
w B r Sen d d dr
2
0.
3 ESF
w R B
PROBLEMAS RESUELTOS DE LEY DE AMPERE
Problema No
1Un conductor sólido de radio a está apoyado mediante discos aislantes en el eje de un tubo conductor
de radio interno b y radio externo c (a todo este sistema se le denomina cable coaxial). Por el
conductor central y por el tubo circulan corrientes I en direcciones contrarias, estas corrientes están
distribuidas de manera uniforme en el área transversal de cada conductor. Calcule el campo magnético
B
para a) r a , b) a r b , c) b r c , d) r c . Construya la gráfica B versus r .
RESOLUCIÓN
De acuerdo al enunciado, la sección transversal del cable coaxial es la que se muestra en la figura:
a) Cálculo de B
para r a (en el conductor interno)
En la figura se está asumiendo que:
- En el conductor interior la corriente es
saliente, por lo tanto lo representaremos
por I .
- En el conductor exterior la corriente es
entrante, por lo tanto lo representaremos
por I .
Curva cerrada Co Trayectorias amperiana
a
r d
B
De la figura:
d d a
; B B a
I
a
b
c
I
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
15/22
15
b) Cálculo de B
para a r b (entre los conductores)
En este caso: ENCERRADA I I . Si remplazamos esta corriente en la ecuación de la ley de Ampere
tenemos:
0(2 ) B r I 0
2
I B
r
Vectorialmente:0
2
I B a
r
; a r b
c) Cálculo de B
para b r c (en el conductor externo)
En este caso:2 2
2 2
( )
( ) ENCERRADA
r b I I I
c b
Reemplazando esta corriente en la ecuación de la ley de Ampere tenemos:
2 2
0 2 2
( )(2 )
( )
r b B r I I
c b
2 2
0
2 22
I c r B
r c b
Vectorialmente:
2 2
0
2 22
I c r B a
r c b
; b r c
d) Cálculo de B
para r c (en el exterior del cable coaxial)
En este caso: 0 ENCERRADA I I I . Por lo tanto: 0 B
* Si no hay co rr iente encerrada por la curva cerrada C (o trayectoria amp eriana), no hay indu cción
magnética , es dec ir 0 B
.
Gráfi ca de B versus r
Se halló que: 022
Ir B
a
, para r a ; 0
2
I B
r
, para a r b ;
2 2
0
2 22
I c r B
r c b
, para b r c y
0 B ; para r c . Graficando estas ecuaciones obtenemos:
Por Ley de Ampere: .0 encC I d B
Evaluando la integral y remplazando2
2 ENCERRADA
r I I
a (esto debido a que la
distribución de corriente es uniforme), obtenemos:
2
0 2(2 )
r B r I
a
02
2
Ir B
a
Vectorialmente:0
22
Ir B a
a
; r a
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
16/22
16
Problema No 2
Por un conductor cilíndrico largo de radio a fluye una corriente con densidad o J J k
A/m2, a cuando se coloca a lo largo del eje z . Se pide:
a) Calcular B
en el interior y el exterior del conductor.
b) Construir la gráfica de B versus .
RESOLUCIÓN
Según el enunciado la figura sería:
a) Cálculo de B
en el interior y exterior del conductor
Para a (interior del conductor):
Por Ley de Ampere: ENCERRADAC I d B 0
; donde: . ENCERRADA I J d S
J d S d d k
z Sección transversal del conductor:
De la figura:
d d a
; B B a
Trayectorias amperianas
a
d
B
a b c
0
2
I
b
0
2
I
a
B
r
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
17/22
17
Luego:
k d d k J B
0
2
0 00)2(
2
0 0
3
J B
Vectorialmente:
2
0 0
3
J B a
; a
Para a (exterior del conductor):
En este caso ENCERRADA I por la curva C sería toda la corriente, por lo tanto los límites de serían
de 0 hasta a . Es decir:
k d d k J B
0
2
0 00)2(
3
0 0
3
J a B
Vectorialmente:
3
0 0
3
J a B a
; a
b) Gráfica de B versus
Se halló que:2
0 0
3
J B
, para a ; y3
0 0
3
J a B
; para a
Graficando ambas ecuaciones obtenemos:
Problema No 3Por un cilindro sólido, largo y recto, orientado con su eje en la dirección z, circula una corriente cuya
densidad es
J . La densidad de corriente, aunque es simétrica con respecto al eje del cilindro, no es
constante, sino que varía de acuerdo a la relación
k
a
r
a
I J o
2
2
2 1
2
para ar
0
J para ar ,
Donde a es el radio del cilindro, r es la distancia medida desde el eje del cilindro e o I es una
constante en amperes.
a) Calcule la corriente total que pasa por la sección transversal completa del cilindro.
b) Calcule
B en la región ar
c) Calcule
B en la región ar d) Construya la gráfica de B (magnitud de la inducción magnética) versus r .
B
MAXB
0 Ra
Ojo:
“ B ” es máximo en a .
Se cumple asimismo que:
20 0
. 3 MÁX J a B
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
18/22
18
RESOLUCIÓN
Según el enunciado, la figura sería:
a) Cálculo de I (corriente total) que pasa por la sección transversal completa del cilindro:
Cuando se conoce
J , y
S d se puede hallar a partir de la figura, entonces la corriente total “I” está
dada por . I J d S
. Reemplazando
J y
S d , tenemos:
k d dr r k a
r
a
I I o
a
r
2
2
20
2
01
2
dr r a
rdr a
I I
a
r
a
r 0
3
2
0
2
0 1)2(2
)4
(4
4
1
2
4 2
2
04
2
2
2
a
a
I a
a
a
a
I o
O I I
b) Cálculo de
B para ar :
Como se trata de un conductor cilíndrico largo (cilindro infinito),
B lo podemos calcular aplicando la
ley de Ampere. Además, como ar , la corriente encerrada por la curva cerrada “C” o trayectoria
amperiana sería o I .
Sección transversal del cilindro:
Por ley de Ampere:
)(. 0 ENCERRADAC I d B
Luego: )()2( 00 I r B
a
r
I B
2
00
c) Cálculo de
B para ar :En este caso también aplicamos la ley de Ampere. Pero, al momento de calcular ENCERRADA I hay que
tener en cuenta que los límites de la integral van de 0 a r, porque la trayectoria amperiana tendría
radio menor que a . Es decir:
z
J k rdrd S d
B
R
r
a
B
d
B
a
Trayectoria amperiana
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
19/22
19
)(. 0 ENCERRADAC I d B
S d J d Ba
r C
0
0. ;
donde:
k
a
r
a
I J o
2
2
2 1
2
Reemplazando
B y
S d , y evaluando la integral, obtenemos:
aa
r
a
r I
B 2
2
2
00
21
d) Gráfica de B versus r :
Con las ecuaciones calculadas para
B cuando ar y ar construimos la gráfica de B (módulode la inducción magnética) en función de r (distancia radial medida desde el eje del cilindro). La
gráfica obtenida sería:
Problema No 4 Por un cilindro sólido, largo y recto, orientado con su eje en la dirección z, circula una corriente cuya
densidad es J
. La densidad de corriente, aunque es simétrica con respecto al eje del cilindro, no esconstante y varía de acuerdo con la relación
( )/r ab J e k r
para r a
0 J
para r a
donde a es el radio del cilindro y es igual a 10 cm, r es la distancia radial medida desde el eje del
cilindro, b es una constante igual a 400 A/m, y es una constante igual a 5 cm, a) sea o I la
corriente total que pasa por la sección transversal completa del cilindro. Obtenga una expresión para o I
en términos de b , y a . Evalúe la expresión para obtener un valor numérico de o I , b) calcule B
en la
región r a . Exprese la respuesta en función de o I , en lugar de b , c) calcule B
en la región r a .
Exprese la respuesta en función de o I , en lugar de b , d) Calcule la magnitud de B
en r y enr a .
Resolución
a) Cálculo de o I en términos de b , y a :
Se sabe que : . . I J d S J dA
; Por condición: 0 I I corriente total Luego :
2( ) / ( ) /
00 0
0
. 2a
a r a r a
r r
b I e k rdrd k b e dr
r
B
MAXB
0 R r a
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
20/22
20
Resolviendo obtenemos:/
0 2 (1 )a I b e
Evaluando esta ecuación de o I con los datos dados, obtenemos: 0 108,657 I A
b) Cálculo de
B en la región r a:
Sección transversal del conductor:
o I Por ley de Ampere:
.0 encerradaC I d B
donde: 0encerrada I I
Luego: 0 0(2 ) B r I ; despejando B :
0
2
o I Br
0 0
2
I B a
r
c) Cálculo de
B en la región r a
Sabemos : .0 encerradaC I d B
; donde: .encerradaS
I J d S
Luego :
2
( ) /
0
0 0
(2 ) .r
r a
r
b B r e k rdrd k
r
Resolviendo la ecuación anterior se obtiene:( ) / /0 r a ab B e e
r
De (a), se halló que:/
0 2 (1 )a I b e
)e1(2
Ib
/a
0
Por lo tanto, B en función de 0 I será:( ) / / /
0 0 0 0
//
( 1)
2 2 ( 1)1
r a a r
aa
e e I I e B
r r ee
Finalmente, el vector
B será :
/
0 0
/
( 1)
2 ( 1)
r
a
I e B a
r e
d) Cálculo de IBI
(magnitud de
B ) en r y en r a
* Si r = = 5 cm. = 5x10-2 m:( ) / /0 a ab B e e
Según datos del problema: b = 400 A/m ; a = 10 cm = 10x10 -2 m
Reemplazando estos datos en la ecuación de IBI
se obtiene:
41,168 10 B T
Si r = a: 0 0
2
I B
a
4
2,17 10 B x T
d
B"C"cerradaCurva
a
r
0I
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
21/22
21
Problema No 5
Resolución
a) Cálcu lo de la magnitu d y dirección de 2 I para que NETO B
en el punto P sea cero.
Se sabe que toda corriente eléctrica crea a su alrededor un campo magnético, y como en este caso
hay dos corrientes, entonces en el punto P actúan dos campos magnéticos. Además, en el punto
P el vector inducción magnética 1 B
, debido a la corriente 1 I , está dirigido hacia la izquierda (ver la
figura), entonces el vector inducción magnética 2 B
, debido a la corriente 2 I , debe estar dirigido
hacia la derecha para que NETO B
sea igual a cero (condición del problema). Por lo tanto, la
corriente 2 I debe estar saliendo perpendicularmente del plano de la página.
b) Cálcu lo de la magnitu d y dirección del campo neto ( NETO B
) en el punto Q Al igual que en el punto P , en el punto Q actúan dos campos magnéticos (uno debido a cada
corriente), por lo tanto el campo magnético resultante es igual a la suma de 1 B
y 2 B
. La dirección
Q
P
S
1 6 I A
2 I
1m
0,5 m
0,5 m
0,6m
0,8 m
Dos cables largos y paralelos están separados
una distancia de 1 m. Por el cable superior
circula una corriente 1 I de 6A hacia dentro del
plano de la página, a) cuáles deben ser la
magnitud y la dirección de la corriente 2 I para
que el campo neto en el punto P sea cero?,
b) ¿cuáles son entonces la magnitud y la
dirección del campo neto en el punto Q?,
c) ¿cuál es entonces la magnitud del campo
neto en el punto S?, d) ¿cuáles deben ser la
magnitud y la dirección de la corriente 2 I para
que el campo neto en el punto Q sea cero?
1,5m 16 A I
2 I
0,5 m
1 B
2 B
P
Por condición: 0 NETO B
Luego, se cumple que:
1 2 B B
Reemplazando:
0 1 0 2
2 (1,5 ) 2 (0,5 )
I I
m m
12
(0,5 )2
1,5
I m I A
m
8/16/2019 Problemas Resueltos de MAGNETISMO-1ra Parte
22/22
de los vectores1 B
y2 B
, mostrados en la figura, se determinó aplicando la regla de la mano
derecha extendida.
c) Cálcu lo de la magnitu d del campo neto ( NETO B
) en el punto S
En el punto S los vectores 1 B
y 2 B
tienen las direcciones mostradas en la figura (compruébelo
aplicando la regla de la mano derecha extendida). Para determinar el módulo de NETO B
en el punto
S aplicamos el teorema de Pitágoras.
d) Cálcu lo de la mag nitud y d irección de la cor riente 2 I para que el campo n eto en el punto Q
sea cero
Para resolver este caso se procede en forma similar al caso del ítem (a).
Es decir:1 2
B B
(t ienen la mism a magnitud p orqu e el campo n eto es cero )
Reemplazando:
0 1 0 2
2 (0,5 ) 2 (1,5 )
I I
m m
12
(1,5 )18
0,5
I m I A
m
1 I
1 B
2 B
0,8 m
0,6m
Líneasmagnéticas
S
2 I
2 B
1 B
Q y
z
2 2
1 2S B B B . . . (1)
donde:
70 11
20 102 (0,6 )
I B x T
m
70 22
5 10
2 (0,8 )
I B x T
m
Remplazamos en (1):
7 2 7 2 6(20 10 ) (5 10 ) 2,06 10S B x T x T x T
(Saliendo perpendicularmentedel plano de la hoja)
Top Related