Problemas Resueltos Álgebra
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01. Reducir: M=(X+3)²-(x-3)²-12x+5 Sol: Por Identidad de Legendre: M= 12x-12x+5 M= 5 Rpta. A) 02. Reducir: B= (x+2)³ - (x+2)(x+2)(x+1) – x Sol: Factorizamos (x+2)² B= (x+2)²(x+2-(x+1)) – x B= (x²+4x+4)(x+2-x-1) – x B= (x²+4x+4)(1) – x B= x²+4x+4-x B= x²+3x+4 Rpta. E) 03. Si a+b=4 y ab=7, hallar a²+b² Sol: Recordamos el binomio al cuadrado: (a+b)² = a²+2ab+b² Reemplazando los datos: (4)² = a² + 2(7) + b² 16 = a² + 14 + b² 2 = a² + b² Rpta. B) 04. Si x²+y²=36; xy=18, calcular: x-y Sol: Recordamos el binomio al cuadrado: (x-y)² = x²-2xy+y² Reemplazando los datos: (x-y)² = 36 – 2(18) (x-y)² = 36 – 36 (x-y)² = 0 x-y = 0 Rpta. A) 05. a+b=5 Ʌ ab=7 Hallar: a 4 +b 4 Sol: Recordamos el binomio al cuadrado: (a+b)² = a²+2ab+b² Reemplazando los datos: 5² = a² + 2(7) + b² 25 = a² + 14 + b² 11 = a² + b² Ahora elevamos al cuadrado: 11² = (a²+b²)² 121 = a 4 +b 4 +2(a²)(b²) 121 = a 4 +b 4 +2(ab)² 121 = a 4 +b 4 +2(7)² 121 = a 4 +b 4 +98 23 = a 4 +b 4 Rpta. C) 06. Sabiendo que: x+y = 5; xy = 3 Hallar el valor de x³+y³ Sol: Recordamos el binomio al cubo: (x+y)³ = x³+y³+3xy(x+y) Reemplazamos los datos: (5)³ = x³+y³+3(3)(5) 125 = x³+y³+45 80 = x³+y³ Rpta. C)
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Lista selecta de problemas de álgebra.Tema: "Identidades Algebraicas"
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01. Reducir:
M=(X+3)-(x-3)-12x+5
Sol:
Por Identidad de Legendre:
M= 12x-12x+5
M= 5 Rpta. A)
02. Reducir:
B= (x+2) - (x+2)(x+2)(x+1) x
Sol:
Factorizamos (x+2)
B= (x+2)(x+2-(x+1)) x
B= (x+4x+4)(x+2-x-1) x
B= (x+4x+4)(1) x
B= x+4x+4-x
B= x+3x+4 Rpta. E)
03. Si a+b=4 y ab=7, hallar a+b
Sol:
Recordamos el binomio al cuadrado:
(a+b) = a+2ab+b
Reemplazando los datos:
(4) = a + 2(7) + b
16 = a + 14 + b
2 = a + b Rpta. B)
04. Si x+y=36; xy=18, calcular: x-y
Sol:
Recordamos el binomio al cuadrado:
(x-y) = x-2xy+y
Reemplazando los datos:
(x-y) = 36 2(18)
(x-y) = 36 36
(x-y) = 0
x-y = 0 Rpta. A)
05. a+b=5 ab=7
Hallar: a4+b4
Sol:
Recordamos el binomio al cuadrado:
(a+b) = a+2ab+b
Reemplazando los datos:
5 = a + 2(7) + b
25 = a + 14 + b
11 = a + b
Ahora elevamos al cuadrado:
11 = (a+b)
121 = a4+b4+2(a)(b)
121 = a4+b4+2(ab)
121 = a4+b4+2(7)
121 = a4+b4+98
23 = a4+b4 Rpta. C)
06. Sabiendo que: x+y = 5; xy = 3
Hallar el valor de x+y
Sol:
Recordamos el binomio al cubo:
(x+y) = x+y+3xy(x+y)
Reemplazamos los datos:
(5) = x+y+3(3)(5)
125 = x+y+45
80 = x+y Rpta. C)
-
07. Si: x+y =5 y x+y = 25
Hallar: x y
Sol:
Recordamos el binomio al cuadrado:
(x+y) = x+2xy+y
Reemplazando los datos:
(5) = 25 2xy
25 = 25 2xy
2xy = 0
xy = 0
Luego:
(x-y) = x-2xy+y
(x-y) = 25 2(0)
(x-y) = 25
Sacando raz cuadrada a cada lado, obtienes:
x-y = 5 Rpta: B)
08. Si: a+b=6 ab=4
Hallar: = +
Sol:
Recordamos el binomio al cubo:
(a+b) = a+b+3ab(a+b)
Reemplazamos los datos:
(6) = a+b+3(4)(6)
216 = a+b+72
144 = a+b
Luego reemplazamos en E:
=
E = 12 Rpta. A)
09. Si +
= 18, hallar:
Sol:
Recordamos binomio al cuadrado:
( 1
)
2
= 2 2 (1
) + (
1
)
2
( 1
)
2
= 18 2
( 1
)
2
= 16
( 1
) = 4
Luego recordamos la diferencia de cubos:
( 1
) = (
1
) (2 + .
1
+
1
)
Reemplazamos:
( 1
) = (4)(18 + 1)
( 1
) = 76 Rpta. D)
10. A partir de x4+x-4=47
Calcular: P = x+x-1
Sol:
Recordamos el binomio al cuadrado:
(x+x-2) = x4+2.x.x-2+x-4
(x+x-2) = 47+2
(x+x-2) = 49
(x+x-2) = 7
Ahora:
(x+x-1) = x+2.x.x-1+x-2
(x+x-1) = 7+2
(x+x-1) = 9
x+x-1 = 3 Rpta. C)
-
11. Si
= , +
Sol:
( 1
)
2
= 12
2 2. .1
+
1
2= 1
2 2 +1
= 1
2 +1
= 3
Luego:
( +1
)
2
= 2 + 2. .1
+
1
2
( +1
)
2
= 3 + 2
( +1
) = 5
Recordamos la suma de cubos:
( +1
) = ( +
1
) (2 . (
1
) +
1
2)
3 +1
3= 5(3 1)
3 +1
3= 25 Rpta. E)
12. Si: +
= , hallar el valor de:
= +
Sol:
( +1
)
2
= 2 + 2. .1
+
1
2
(4)2 = 2 + 2 +1
2
14 = 2 +1
2
Recordamos la suma de cubos:
( +1
) = ( +
1
) (2 . (
1
) +
1
2)
Reemplazando:
(3 +1
3) = (4)(14 1)
( +1
) = 52
13. Si +
= , : +
Sol:
( +1
)
2
= +1
2+ 2. .
1
( +1
)
2
= 7 + 2
( +1
) = 3 Rpta. D)
14. Simplificar:
= ( +
) (
) ( +
)
Sol:
P= (x+x-1) (x-x-1) (x+x-2)
Por diferencia de cuadrados:
P=(x- x-2)(x+x-2)
P=x4-x-4 Rpta. C)
15. Hallar el valor de:
= . ( + )( + )( + ) +
Sol:
= (32 1). (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) + 18
= (34 1)(34 + 1)(38 + 1) + 18
= (38 1)(38 + 1) + 18
= (316 1) + 18
= 9 Rpta. B)
-
16. Efectuar:
3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 132
Sol:
(22 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 132
(24 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 132
(28 1)(28 + 1)(216 + 1) + 132
(216 1)(216 + 1) + 132
(232 1) + 132
= 2 Rpta. A)
17. Si: x=24 y=22
Calcular: R = 2( + )(2 + 2)(4 + 4) + 88
Sol:
x-y=24-22=2
Entonces
= ( )( + )(2 + 2)(4 + 4) + 88
= ( )(2 + 2)(4 + 4) + 88
= (4 4)(4 + 4) + 88
= (8 8) + 88
= 88
= = 24 Rpta. B)
18. Si: a=50; b=48
Calcular: F= 2( + )(2 + 2)(4 + 4) + 88
Sol:
a-b=50-48=2
Entonces:
= ( )( + )(2 + 2)(4 + 4) + 88
= ( )(2 + 2)( + 4) + 88
= (4 4)(4 + 4) + 88
= (8 8) + 88
= 88
= = 50 Rpta. E)
19. Al reducir:
= +
+
+
Sol:
Resolvemos en aspa simple:
=( + )
+ ( )
( )( + )
Por identidades de Legendre y diferencia de
cuadrados se reduce a:
=
= Rpta. D)
20. Realizar:
=( + ) ( )
Sol:
Por identidades de Legendre se reduce a:
=
B = 48 Rpta. D)
21. El equivalente de:
[
+
+
+ +
+
] [( + )
] :
Sol:
Operando en aspa simple tenemos:
[( + ) ( )
( + ) + ( )] [
+
]
Por identidades de Legendre se reduce a:
[
( + )] [
+
] = Rpta: A)
-
22. Evaluar:
E= [( + ) + ( )] [( + ) ( )]
Para: a=; b=
Sol:
Por identidades de Legendre se reduce a:
E= 4(a+b) - 16ab
Factorizando:
E= 4(a4+2ab+b4-4ab)
E=4(a4-2ab+b4)
E=4(a-b)
Reemplazando:
E= 4(999-997)
E=4(2)
E=16 Rpta. C)
