Problemas probabilidades con soluciones

Probabilidad

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Estadística 1

1.- Obtener la probabilidad de las siguientes jugadas en una mano de 5 cartas de una baraja de 52 cartas: a) Pareja. b) Doble pareja. c) Trío. d) Escalera. e) Color. f) Full. g) Póker h) Escalera de color.

2.- El circuito ilustrado debajo opera si y sólo si hay una trayectoria de dispositivos funcionales de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione se indica en el gráfico. Suponga que los dispositivos fallan independientemente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito opere?

3. La probabilidad de que llueva un determinado día es 0.3. Pero cuando la vecina canta al levantarse, la probabilidad de que llueva se duplica. La vecina tiene la costumbre de cantar todos los días al levantarse a menos que vaya a salir con el novio. La vecina sale con el novio el 70% de los días. Calcule la probabilidad de que en un determinado día:

a) Llueva y la vecina haya cantado al levantarse. b) La vecina haya cantado, dado que ese día termino lloviendo. c) La vecina cante al levantarse y no llueva. d) Llueva, sabiendo que ese día la vecina no cantó al levantarse.

4.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco.

5.- Se está experimentando con tres tipos de semillas de trigo A, B, C. Se sembró una parcela en la que germinará un 60% de plantas de tipo A, 35% del tipo B, y un 5% del tipo C. La probabilidad de que una espiga tenga más de 50 granos de trigo es 0.2 para el tipo A, 0.9 para el tipo B, y 0.45 para el tipo C. Si se elige una espiga al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 50 granos? b) Sabiendo que una espiga tiene más de 50 granos ¿cuál es la probabilidad de que sea en de tipo A?

6.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco y sea lanzada por el titular.

7.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Una flecha hace blanco. Calcular la probabilidad de que la haya lanzado el titular.

0.95

0.8

0.9

0.9

0.75

0.9

Probabilidad


8.- En un curso de una escuela de ingenieros sólo hay tres grupos. Se sabe que, el 5% del grupo A, el 10% del grupo B y el 20% del grupo C aprueban todas las asignaturas en la convocatoria de junio. Se sabe también que el 40 % estudia en el grupo A, el 20% en el grupo B y el 40% en el grupo C. Si elegimos un estudiante de dicho curso al azar, calcular: a) La probabilidad de que sea del grupo A y haya aprobado todas las asignaturas en junio. b) La probabilidad de que haya aprobado todas las asignaturas en junio.

9.- Hay noventa aspirantes para un trabajo en un departamento de una cierta empresa. Algunos son titulados universitarios y algunos no, alguno de ellos tienen al menos tres años de experiencia y alguno no la tienen, el análisis exacto es

Titulados universitarios

No titulados universitarios

Al menos tres años de

experiencia

18

9

Menos de tres años de

experiencia

36

27

Si el orden en que el gerente de la empresa entrevista a los aspirantes es aleatorio, T es el suceso que el primer aspirante entrevistado sea titulado universitario, y E es el suceso de que el primer aspirante entrevistado tenga al menos tres años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades: a) P(T) ; b) P(E) ; c) P(T E) ; d) P(T E) ; e) P(E / T) ; f) P(T / E)

10.- He estudiado bien cinco de los siete temas de un examen. Se eligen dos temas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien a esos dos temas?

11.- Se lanza simultáneamente cinco monedas. Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara.

12.- ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo se pueden lanzar 3 torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.2?

13.- Una urna se ha llenado lanzando un dado y colocando bolas blancas en número igual al número de puntos obtenidos al lanzar el dado. A continuación se añadieron bolas negras en número determinado por una segunda tirada del dado. Se sabe también que el número total de bolas en la urna es 8. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 5 bolas blancas?

14.- En una clase hay 10 alumnos, de los que 8 no fuman y 12 alumnas de las que 9 son fumadoras. Se elige al azar dos estudiantes de la clase. Sea A=”elegir un alumno fumador”, B=”elegir una alumna” y C=”elegir una alumna fumadora. Hallar P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C)

Probabilidad


15.- Se tienen dos urnas, una con 50 bolas blancas y otra con 50 bolas negras. Calcular la probabilidad de escoger una urna y sacar una bola blanca. Y si sacamos 49 bolas blancas y las ponemos con las 50 bolas negras.

16.- Se ha hecho un lanzamiento de dados y se ha obtenido 4 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan lanzado 3 dados?

17.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000 unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40% respectivamente. Calcular la probabilidad de que: a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A. b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta.

18.- En el programa de Cálculo y Estadística hay 7 temas. Un estudiante prepara solamente 4 de ellos. En el examen se sacan 3 temas al azar. Calcular la probabilidad de que por lo menos dos de ellos estén entre los 4 preparados.

19.- En una reunión hay 14 personas de las que sólo 4 fuman tabaco rubio, 3 sólo fuman negro y 2 fuman de las dos clases. Se elige al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador? Se eligen al azar dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que una (al menos) fume? ¿Y la de que las dos fumen rubio?

20.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0,95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. b) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no hubiese peligro.

21.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99% cuando corresponden a los suspensos en Estadística. Calcular la probabilidad de aprobar Estadística sabiendo que aprobó el test.

22.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0.9. a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador. b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo. c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador.

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23- En una terraza de un bar el 60% de las mesas consumen vino, en el 30% cerveza y en el 20% ambas bebidas. Elegimos una mesa al azar: a) Si han pedido vino, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pedido también cerveza? b) Si han pedido cerveza, ¿cuál es la probabilidad de que no hayan pedido también vino? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan pedido ni vino ni cerveza?

24.- Tenemos 3 cajas con tornillos. En la primera hay 3 defectuosos y 7 buenos; en la segunda hay uno malo de los 5 que tiene y en la tercera tiene 8 de los que 2 son defectuosos. Escogiendo un tornillo al azar entre todos ellos, ¿cuál es la probabilidad de que sea bueno?

25.- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 10% de las personas. Existe una prueba con un índice de acierto del 90% sobre las personas enfermas; pero con un índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 1%. Calcular la probabilidad de ser una persona enferma si el resultado de la prueba es que es sana.

26.- Tres máquinas de una planta de montaje producen el 30%, 25% y 45% de productos, respectivamente. Se sabe que el 2%, 3%, y el 1% de los productos de cada máquina tienen defectos. a) Seleccionado un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de esté defectuoso? b) Seleccionado un producto al azar resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?

27.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan, respectivamente, el 40%, 30%, 20% y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa? b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar?

28.- En un pueblo existen 3 hoteles que dan servicio al 20%, 50%, 30% de los turistas. Se sabe que la probabilidad de no encontrar habitación es: 0,05, 0,08 y 0,03 respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar habitación? b) Sabiendo que ha encontrado habitación, ¿cuál es la probabilidad de que sea en el primer hotel?

29.- La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20 defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas. Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Calcular:

1º.- Probabilidad de que una unidad tomada al azar sea de la compañía A. 2º.- Probabilidad de que sea de C y defectuosa. 3º.- Probabilidad de que sea de A y buena. 4º.- Probabilidad de que sea buena.

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5º Si resultó ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía C? 6º Si es buena ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía B?

30.- Según el empleo y sexo, los profesores de la E.T.S.I.T.G.C se distribuyen según la tabla siguiente: Si nos encontramos con un profesor en el aparcamiento, calcular: a) La probabilidad de que sea hombre. b) La probabilidad de que sea catedrático. c) La probabilidad de que sea

hombre y profesor de escuela universitaria.

d) La probabilidad de que siendo mujer sea catedrático.

e) La probabilidad de que sea mujer pero no sea profesor de escuela universitaria.

f) La probabilidad de que siendo hombre no sea profesor asociado.

g) ¿Son independientes los sucesos ser catedrático y ser mujer?

31.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?

32.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras; y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide: a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?

33.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%, la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50% de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población tenga casa propia?

b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?

34.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un coche, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar? b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que hay salido por la puerta B?

Mujer (M) Hombre (H) Total Catedrático. (C) 4 6 10 Profesor Escuela Universitaria (P) 10 28 38

Profesor Asociado (S) 1 13 14

Total 15 47 62

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35.- Para garantizar el anonimato en una encuesta se diseña un procedimiento basado en el teorema de la probabilidad total. Se plantea la pregunta para saber si un empleado ha filtrado o no información a otra empresa competidora, pero solo responderá si al lanzar una moneda sale cara, en otro caso, deberá responde a otra pregunta intrascendente ¿acaba el número de su teléfono móvil en un digito menor que 5? Una vez realizada la encuesta a 100 empleados, se han contabilizado 42 síes. ¿Cómo saber cuántos de esos síes corresponden a la pregunta delicada?

36.-. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las traducidas por C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y C han traducido 125, 175 y 200 páginas respectivamente. Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún error?

37.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete B es 0.5 y de que se remita al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ganado en los tribunales es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y para el bufete C es 07.

a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso. b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo ganase el bufete

A.

38.- El 30% de los empleados de una empresa son ingenieros el 20% son economistas y el 50% no son ingenieros ni economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea directivo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

39.- Una empresa que produce baterías tiene dos plantas de fabricación, la A y la B. Cada 1000 baterías fabricadas en A una es defectuosa. Cada batería fabricada en B tiene una probabilidad de 0,002 de ser defectuosa. Si las plantas A y B producen el 65% y el 35% de las unidades respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que una batería fabricada en la empresa, sea defectuosa? Si tomamos una batería al azar y observamos que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada en la planta B?

40.- Tres tiradores hicieron una descarga simultánea y dos balas dieron en el blanco. Hallar la probabilidad de que el tercer tirador haya dado en el blanco si las probabilidades de impacto de los tres tiradores son respectivamente 0.6, 0.5 y 0.4.

Probabilidad


1.- Obtener la probabilidad de las siguientes jugadas en una mano de 5 cartas de una baraja de 52 cartas: a) Pareja. b) Doble pareja. c) Trío. d) Escalera. e) Color. f) Full. g) Póker h) Escalera de color. Solución: Ignorando el orden en el que son repartidas las cartas tenemos combinaciones de 52 elementos tomados de 5 en 5.

52 52!2598960

5 5! 52 5 !

En todos los casos consideramos que no se da ninguna jugada mejor.

Existen 13 cartas de cada palo y tomamos 2 de las cuatro iguales, quedando todavía por escoger 5-2=3

a)

34 1213 4

2 3P(pareja)

52

5

0, 422569

Para doble pareja queda por escoger 5-4=1 con 44 posibilidades.

b)

4 4 134 11

2 2 2P(doble pareja)

52

5

0,047539

c)

24 1213 4

3 2P(trio)

52

5

0,021129

10 tipos distintos de escaleras y 45 por cada tipo, y del total de escaleras hay 40 escaleras de color que tiene que ser restadas

d) 510 4 40

P(escalera)52

5

0,003935

e)

134 40

5P(color)

52

5

0,001965 Color son 5 cartas del mismo palo

f)

4 413 12

3 2P(full)

52

5

0,001441 Full es obtener un trío y una pareja

Probabilidad


g)

413 12 4

4P(pokér)

52

5

0,00024

Escalera de color son Cinco cartas en secuencia (los ases pueden emplearse como primero o como ultimo de la serie) y del mismo palo. Son 10 posibilidades de inicio por 4 palos.

h) 40

P(escalera de color)52

5

0,000015

Probabilidad


2.- El circuito ilustrado debajo opera si y sólo si hay una trayectoria de dispositivos funcionales de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione se indica en el gráfico. Suponga que los dispositivos fallan independientemente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito opere?

Solución:

En particular:

1 2 1 2 1 2P A 0,9;P A 0,95;P B 0,9;P B 0,75;P C 0,8;P C 0,9;

Sea F el suceso el circuito funciona. Sea F el suceso el circuito no funciona. La situación será:

1 2 1 2 1 2F A A B B C C

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2P(F) P A A B B C C P A A P B B P C C

1 2 1 2 1 21 P A A 1 P B B 1 P C C

1 2 1 2 1 21 P A P A 1 P B P B 1 P C P C

3 3 3

995 975 9801 0,1 0,05 (1 0,1 0,25)(1 0,2 0,1)

10 10 10 0,9507

A2

C1

C2

B1

B2

A1

0.95

0.8

0.9

0.9

0.75

0.9

Probabilidad


3. La probabilidad de que llueva un determinado día es 0.3. Pero cuando canto al levantarme, la probabilidad de que llueva se duplica. Tengo la costumbre de cantar el 70% de los días. Calcular la probabilidad de que en un determinado día: a) Llueva y haya cantado al levantarme. b) Haya cantado, dado que ese día termino lloviendo. c) Cante al levantarme y no llueva. d) Llueva, sabiendo que ese día no cante al levantarme. Solución:

Sea A el suceso {un determinado día llueve} 3.0AP

Sea B el suceso {la vecina canta al levantarse} 3.0BP , ya que el 70% de los días la vecina sale con el novio.

Si la vecina canta al levantarse, la probabilidad de lluvia es doble, 6.0BAP

a) La probabilidad de que llueva y la vecina haya cantado al levantarse es,

AP A B P P B 0.6 0.3B 0.18

b) La probabilidad de que la vecina haya cantado, dado que ese día acabó lloviendo es:

P A B 0.18BP A P A 0.3

0.6

c) La probabilidad de que la vecina cante un determinado día y no llueva es:

P B A P(B) P(B A) 0.3 0.18 0.12

Nota. Observe que )BA(BAB . d) La probabilidad de que llueva, sabiendo que ese día la vecina salió con el novio, y por tanto, no cantó es:

P(A B) P(A) PA B) 0.3 0.18APB 0.7P(B) P(B)

6

35

Probabilidad


4.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco. Solución: Consideramos los sucesos: S = “flecha lanzada por el suplente” T = “flecha lanzada por el titular” B = “la flecha hace blanco” P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/S)=0,5; P(B/T)=0.7. - Teorema de la probabilidad total P(B) P(B / S)P(S) P(B / T)P(T) 0,5 0,8 0,7 0, 2 0,54

Probabilidad


5.- Se está experimentando con tres tipos de semillas de trigo A, B, C. Se sembró una parcela en la que germinará un 60% de plantas de tipo A, 35% del tipo B, y un 5% del tipo C. La probabilidad de que una espiga tenga más de 50 granos de trigo es 0.2 para el tipo A, 0.9 para el tipo B, y 0.45 para el tipo C. Si se elige una espiga al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 50 granos? b) Sabiendo que una espiga tiene más de 50 granos ¿cuál es la probabilidad de que sea en de tipo A?

Solución: Tenemos una partición de la parcela en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,6; P(B)=0,35; P(C)=0,05. El suceso X= “más de 50 granos” y las probabilidades condicionadas a cada grupo: P(X/A)=0,2; P(X/B)=0,9; P(X/C)=0,45

P A X P(X / A)P(A) 0,2 0,6 0,12

P B X P(X / B)P(B) 0,9 0,35 0,315

P C X P(X / C)P(C) 0,45 0,05 0,0225

a)

Teorema de la probabilidad total:

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,12 0,315 0,0225 0, 4575

b)

Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

XP P(A)P A X 0,12AAP X X X XP(X) 0,4575P P(A) P P(B) P P(C)A B C

0,26

Probabilidad


6.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco y sea lanzada por el titular. Solución: Consideramos los sucesos: S = “flecha lanzada por el suplente” T = “flecha lanzada por el titular” B = “la flecha hace blanco” P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/T)=0.7. P(T B) P(B / T)P(MT) 0,7 0, 2 0,14

Probabilidad


7.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es 0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Una flecha hace blanco. Calcular la probabilidad de que la haya lanzado el titular. Solución: Consideramos los sucesos: S = “flecha lanzada por el suplente” T = “flecha lanzada por el titular” B = “la flecha hace blanco” P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/S)=0,5; P(B/T)=0.7. - Teorema de Bayes

P(T B) P(B / T)P(T) 0,7 0,2

P(T / B)P(B) P(B / S)P(S) P(B / T)P(T)) 0,5 0,8 0,7 0,2

7

27

Probabilidad


8.- En un curso de una escuela de ingenieros sólo hay tres grupos. Se sabe que, el 5% del grupo A, el 10% del grupo B y el 20% del grupo C aprueban todas las asignaturas en la convocatoria de junio. Se sabe también que el 40 % estudia en el grupo A, el 20% en el grupo B y el 40% en el grupo C. Si elegimos un estudiante de dicho curso al azar, calcular: a) La probabilidad de que sea del grupo A y haya aprobado todas las asignaturas en junio. b) La probabilidad de que haya aprobado todas las asignaturas en junio. Solución: Consideramos los sucesos: A = “alumno del grupo A” B = “alumno del grupo B” C = “alumno del grupo C” Tenemos una partición de los alumnos de la escuela en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,4; P(B)=0,2; P(C)=0,4. El suceso X= “aprobar todas las asignaturas en junio” y las probabilidades de aprobar condicionado a cada grupo:

P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,1; P(X/C)=0,2 a) Probabilidad de ser del grupo A y haya aprobado:

P A X P(X / A)P(A) 0,05 0,4 0,02

b) Teorema de la Probabilidad total:

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,02 0,02 0,08 0,12

AP

BP

CP

AXP

BXP

AXP

BXP

CXP

CXP

0, 05 0, 4

0,1 0,2

0,2 0,4

+

+

Probabilidad


9.- Hay noventa aspirantes para un trabajo en un departamento de una cierta empresa. Algunos son titulados universitarios y algunos no, alguno de ellos tienen al menos tres años de experiencia y alguno no la tienen, el análisis exacto es

Titulados universitarios

No titulados universitarios

Al menos tres años de

experiencia

18

9

Menos de tres años de

experiencia

36

27

Si el orden en que el gerente de la empresa entrevista a los aspirantes es aleatorio, T es el suceso que el primer aspirante entrevistado sea titulado universitario, y E es el suceso de que el primer aspirante entrevistado tenga al menos tres años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades: a) P(T) ; b) P(E) ; c) P(T E) ; d) P(T E) ; e) P(E / T) ; f) P(T / E)

Solución

Titulados universitarios Titulados no universitarios

Al menos tres años de experiencia

18

9

27

Menos de tres años de experiencia

36

27

63

54 36 90

a) P(T) 54

90

3

5;

b) 63

P(E)90

7

10;

c) 18

P(T E)90

1

5;

d) 27

P(T E)90

3

10;

e) P(T E) 18

P(E / T)P(T) 54

1

3;

f) P(T E) 27

P(T / E)63P(E)

3

7

Probabilidad


10.- He estudiado bien cinco de los siete temas de un examen. Se eligen dos temas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien a esos dos temas? Solución: Aplicando la Regla de Laplace tenemos combinaciones de 7 elementos tomados dos a dos como los casos posibles y 5 sobre 2 los favorables.

5

2 5 4P

7 7 6

2

10

21

Probabilidad


11.- Se lanza simultáneamente cinco monedas. Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara. Solución: En una moneda la probabilidad de obtener cara es igual a ½ y consecuentemente la probabilidad de no obtener cara 1-1/2=1/2.

Obtener al menos una cara con 5 monedas es el suceso contario de no obtener cara con ninguna de las cinco monedas y por ser independientes las monedas queda:

P(al menos 1 cara)=1-P(no obtener cara)=5

11

2

31

32

Probabilidad


12.- ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo se pueden lanzar 3 torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.2? Solución: Es suficiente con hacer blanco con un torpedo, luego pasamos al suceso contrario: P(no hacer blanco)= 1-P(hacer blanco)=1-0,2=0,8 con un torpedo. En tres disparos independientes, será: P(hacer blanco con al menos un torpedo de 3)= 31 0,8 0, 488

Probabilidad


13.- Una urna se ha llenado lanzando un dado y colocando bolas blancas en número igual al número de puntos obtenidos al lanzar el dado. A continuación se añadieron bolas negras en número determinado por una segunda tirada del dado. Se sabe también que el número total de bolas en la urna es 8. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 5 bolas blancas? Solución:

Tenemos dos sucesos: A={primera tirada salga un 5} y B={la suma de las tiradas sea 8} ;

2

5P(B)

6 de las 36 posibilidades hay 5 que suman 8, a saber (2,6),(3,5),(4,4),(5,3) y (6,2)

2

1P(A B)

6

P A B 1/ 36P(A / B)

P(B) 5 / 36

1

5

Probabilidad


14.- En una clase hay 10 alumnos, de los que 8 no fuman y 12 alumnas de las que 9 son fumadoras. Se elige al azar dos estudiantes de la clase. Sea A=”elegir un alumno fumador”, B=”elegir una alumna” y C=”elegir una alumna fumadora. Hallar P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C) Solución:

Alumnos Alumnas TOTAL:

Fuman 2 9 5

No fuman 8 3 17

TOTAL: 10 12 22

De entre 22 alumnos escogemos 2, luego 22 22 21

2312 2

En cada caso escogemos una persona obligatoriamente del suceso determinado y la segunda libremente Dos alumnos fumadores a combinar con los 20 restantes más la posibilidad de que los dos sean alumnos fumadores

2 20 1P(A)

22

2

41

231

Tenemos 12 alumnas a combinar con los 10 alumnos más la posibilidad de escoger solamente alumnas.

1212 10

2P(B)

22

2

186

231

Ahora son 9 alumnas fumadoras con los 13 restantes y solamente escoger del grupo de 9 dos. 9

9 132

P(C)22

2

153

231

Calculemos previamente las intersecciones 12 2

P(A B)22

2

24

231

2 9P(A C)

22

2

18

231

41 186 24P(A B) P(A) P(B) P(A B)

231 231 231

203

231 41 153 18

P(A C) P(A) P(C) P(A C)231 231 231

176

231

Probabilidad


15.- Se tienen dos urnas, una con 50 bolas blancas y otra con 50 bolas negras. Calcular la probabilidad de escoger una urna y sacar una bola blanca. Y si sacamos 49 bolas blancas y las ponemos con las 50 bolas negras. Solución: Obviamente en el primer caso la probabilidad de escoger urna y a continuación sacar una bola

blanca es ½

Consideramos los siguientes sucesos:

U1 = “escoger la urna nº1”

U2 = “escoger la urna nº2”

B = “sacar bola blanca”

Por el teorema de la probabilidad total

1 21 1

1 1 49B BP(B) P(U ) P P(U ) P 1U U 2 2 99

74

99

Probabilidad


16.- Se ha hecho un lanzamiento de dados y se ha obtenido 4 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan lanzado 3 dados? Solución:


A1 = “lanzar un dado”

A2 = “lanzar dos dados”

A3 = “lanzar tres dados”

A4 = “lanzar cuatro dados”

B = “obtener 4 puntos”

1

1P(B / A )

6 ; solamente un caso de 6

2 2

3P(B / A )

6 de las 36 posibilidades hay 3 que suman 4, a saber (1,3), (2,2) y (3,1)

3 3

3P(B / A )

6 de las 216 posibilidades hay 3 que suman 4, a saber (1,1,2), (1,2,2) y (2,1,1)

4 4

1P(B / A )

6 ; solamente un caso de 64

No hay razones para no suponer que los cuatros sucesos son equiprobables

1 2 3 4

1P A P A P A P A

4


3333

1 2 3 41 2 3 4

BP P(A )AP A BAP B P(B) B B B BP P(A ) P P(A ) P P(A ) P P(A )A A A A

.

3

2 3 4

3 16 4

1 1 3 1 3 1 1 16 4 6 4 6 4 6 4

18

343

Probabilidad


17.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000 unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40% respectivamente. Calcular la probabilidad de que: a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A. b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta. Solución:


A = “producir un automóvil modelo A”

B1 = “producir un automóvil en la planta 1”



Datos:

1

800 1P B

800 1200 2000 5

1; P(A / B ) 0,6

2

1200 3P B

800 1200 2000 10

2; P(A / B ) 0, 2

3

2000 1P B

800 1200 2000 2

3; P(A / B ) 0,4

a) Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)

1 2 31 2 3

1 3 1A A AP(A) P P(B ) P P(B ) P P(B ) 0,6 0,2 0,4B B B 5 10 2

0,38

b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

11 11

1 2 31 2 3

1AP P(B ) 0,6P B A BB 5P A P(A) 0,38A A AP P(B ) P P(B ) P P(B )B B B

0,32

Probabilidad


18.- En el programa de Cálculo y Estadística hay 7 temas. Un estudiante prepara solamente 4 de ellos. En el examen se sacan 3 temas al azar. Calcular la probabilidad de que por lo menos dos de ellos estén entre los 4 preparados. Solución: Tenemos combinaciones de 7 elementos tomados tres a tres como los casos posibles. Primeramente la probabilidad de responder exactamente a dos:

4 4 33 32 182P(2)7 6 57 353 23

la probabilidad de responder exactamente a los tres:

4 4 3 23 43 2P(3)

7 6 57 353 23

Y por lo tanto la probabilidad de responder al menos dos de los temas:

18 4

P(al menos 2) P(2) P(3)35 35

22

35

Probabilidad


19.- En una reunión hay 14 personas de las que sólo 4 fuman tabaco rubio, 3 sólo fuman negro y 2 fuman de las dos clases. Se elige al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador? Se eligen al azar dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que una (al menos) fume? ¿Y la de que las dos fumen rubio? Solución: Hay 9 personas fumadoras, ya que 4+3+2=9, y por lo tanto 14-9=5 son los no fumadores.

9P(un fumador)

14

Ahora escogemos dos personas y queremos calcular la probabilidad de que al menos una sea

fumador. Pasamos al suceso complementario, es decir, que ninguna sea fumador.

5 5 42 2P(al menos un fumador) 1 P(no sean fumadores) 1 1

14 131422

81

91

Por último la probabilidad de que las dos personas escogidas fumen rubio.

6 6 52 2P(rubio)

14 131423

15

91

Probabilidad


20.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0,95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. b) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no hubiese peligro. Solución:

Sea A el suceso {hay peligro} P A 0.1 P A 1 0.1 0.9

Sea B el suceso {la alarma funciona} BP 0.95A , BP 0.03A

a) B BP A B P P A 1 P P A (1 0.95) 0.1A A 0.005

b)

BP P AP(A B) 0.03 0.9AAP B P(B) 0.95 0.1 0.03 0.9B BP P A P P AA A

27

122

Resultado 22,13%

Probabilidad


21.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99% cuando corresponden a los suspensos en Estadística. Calcular la probabilidad de aprobar

Estadística sabiendo que aprobó el test.

Solución:


A1 = “Aprobar el examen de Estadística”

A2 = “No aprobar el examen de Estadística”

B1 = “Aprobar el test”

B2 = “No aprobar el test”

Datos:

1P A 0,6 1 1; P(B / A ) 0,5 2 2; P(B / A ) 0,99


11

11

1 1 11 2

1 2

BP P(A )A 0,6 0,5AP B B B 0,6 0,5 1 0,99 0,4P P(A ) P P(A )A A

750.9868421052

76

A1

A2

2B

B1

B1

2B

Probabilidad


22.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0.9. a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador. b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo. c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador. Solución:

Sean los sucesos

S = ”el despertador suena”, y S = el despertador no suena”

T = “el trabajador llega tarde”, y T = “el trabajador no llega tarde”

Del enunciado obtenemos las siguientes probabilidades

P(S) = 0.8; P(T/S) = 0,2; P(T/S )=0.9.

a) TP T S P ꞏP(S) 0.2ꞏ0.8S 0.16

b) La probabilidad de llegar temprano es uno menos la probabilidad de que llegue tarde

T TP(T) P T S T S P ꞏP S P ꞏP SS S = 0.2ꞏ0.8 + 0.9ꞏ0.2 = 0.34

Por tanto la probabilidad de que llegue temprano es P T 1 P(T) 0.66 .

c) Por la fórmula de Bayes

P S T 0.16SP T P(T) 0.34

0.47

Probabilidad


23- En una terraza de un bar el 60% de las mesas consumen vino, en el 30% cerveza y en el 20% ambas bebidas. Elegimos una mesa al azar: a) Si han pedido vino, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pedido también cerveza? b) Si han pedido cerveza, ¿cuál es la probabilidad de que no hayan pedido también vino? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan pedido ni vino ni cerveza? Solución: Consideramos los sucesos: V = “vino”; C = “cerveza” P(V)=0,6; P(C)=0,3; P(V C) 0, 2 a)

P(C V) 0, 2P(C / V)

P(V) 0,6

1

3

b)

P(C V) 0, 2P(V / C) 1 P(V / C) 1 1

P(C) 0,3

1

3

c)

P(C V) P(C V) 1 P(C V) 1 P(C) P(V) P(C V) 1 0,6 0,3 0, 2 0,3

Probabilidad


24.- Tenemos 3 cajas con tornillos. En la primera hay 3 defectuosos y 7 buenos; en la segunda hay uno malo de los 5 que tiene y en la tercera tiene 8 de los que 2 son defectuosos. Escogiendo un tornillo al azar entre todos ellos, ¿cuál es la probabilidad de que sea bueno?

Solución: Tenemos que escoger previamente una de las tres cajas: P(caja)=1/3. El suceso X= “tornillo bueno” y las probabilidades condicionadas a cada caja: P(X/caja1)=7/10; P(X/caja2)=4/5; P(X/caja3)=6/8 Teorema de la probabilidad total:

7 1 4 1 6 1P(X) P(X / caja1)P(caja1) P(X / caja2)P(caja2) P(X / caja3)P(caja3)

10 3 5 3 8 3

3

4

Probabilidad


25.- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 10% de las personas. Existe una prueba con un índice de acierto del 90% sobre las personas enfermas; pero con un índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 1%. Calcular la probabilidad de ser una persona enferma si el resultado de la prueba es que es sana.

Solución: Consideramos los sucesos: S = “persona sana” E = “persona enferma” T = “positivo” P(S)=0,9; P(E)=0,1; P(T/E)=0,9; P(T/S)=0.01. P(T / E) 1 P(T / E) 1 0,9 0,1 P(T / S) 1 P(T / S) 1 0,01 0,99 Teorema de Bayes

P(E T) P(T / E)P(E) 0,1 0,1

P(E / T)0,1 0,1 0,99 0,9P(T) P(T / E)P(E) P(T / S)P(S)

0,0111

E

S

0,1

0,9

0,1

0,9

0,01

0,99

T

T

T

T

Probabilidad


26.- Tres máquinas de una planta de montaje producen el 30%, 25% y 45% de productos, respectivamente. Se sabe que el 2%, 3%, y el 1% de los productos de cada máquina tienen defectos.

a) Seleccionado un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de esté defectuoso?

b) Seleccionado un producto al azar resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?

Solución:


D = “producto defectuoso”

B1 = “producido en la máquina 1”



Datos:

1P B 0,3 1; P(D / B ) 0,02

2P B 0, 25 2; P(D / B ) 0,03

3P B 0, 45 3; P(D / B ) 0,01

a)

Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)

1 2 31 2 3

D D DP(D) P P(B ) P P(B ) P P(B ) 0,3 0,02 0,25 0,03 0,45 0,01B B B

0,018

b)


11 11

1 2 31 2 3

DP P(B )P B D B 0,3 0,02BP D P(D) 0,018D D DP P(B ) P P(B ) P P(B )B B B

0,3

Probabilidad


27.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan, respectivamente, el 40%, 30%, 20% y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?

b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar?

Solución: Consideramos los siguientes sucesos:

M = “multa por exceso de velocidad”

B1 = “radar 1”

B2 = “radar 2”

B3 = “radar 3”

B4 = “radar 4”

Datos:

( )1P B 0,2= 1; P(M / B ) 0,4=

( )2P B 0,1= 2; P(M / B ) 0,3=

( )3P B 0,5= 3; P(M / B ) 0,2=

( )4P B 0,2= 4; P(M / B ) 0,3=

a)


1 2 3 41 2 3 4

M M M MP(M) P P(B ) P P(B ) P P(B ) P P(B )B B B B = + + + =

0,4 0,2 0,3 0,1 0, 2 0,5 0,3 0,2= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0,27

b)


( ) 11 11

MP P(B )P B M B 0,4 0,2BP M P(M) P(M) 0,27

⋅ = = = =

827

Probabilidad


28.- En un pueblo existen 3 hoteles que dan servicio al 20%, 50%, 30% de los turistas. Se sabe que la probabilidad de no encontrar habitación es: 0,05, 0,08 y 0,03 respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar habitación?

b) Sabiendo que ha encontrado habitación, ¿cuál es la probabilidad de que sea en el primer hotel?

Solución: Consideramos los siguientes sucesos:

H = “encontrar habitación”

B1 = “Hotel 1”

B2 = “Hotel 2”

B3 = “Hotel 3”

Datos:

1P B 0, 2 1; P(H / B ) 0,95

2P B 0,5 2; P(H / B ) 0,92

3P B 0,3 3; P(H / B ) 0,97

a)


1 2 31 2 3

H H HP(H) P P(B ) P P(B ) P P(B ) 0,2 0,95 0,5 0,92 0,3 0,97B B B

0,941

b)


11 11

1 2 31 2 3

HP P(B )P B H B 0,2 0,95BP H P(H) 0,941H H HP P(B ) P P(B ) P P(B )B B B

0,2

Probabilidad


29.- La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20 defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas. Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Calcular: 1º.- Probabilidad de que una unidad tomada al azar sea de la compañía A. 2º.- Probabilidad de que sea de C y defectuosa. 3º.- Probabilidad de que sea de A y buena. 4º.- Probabilidad de que sea buena. 5º Si resultó ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía C? 6º Si es buena ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía B? Solución:

Sean los sucesos:

A = ”la unidad elegida al azar sea de la compañía A”. Análogamente para las compañías B y C. Sea D el suceso “elegir unidad defectuosa” y Dc “elegir unidad buena”.

1º 300P A 0.5

600

2º 25 200 1DP C D P P CC 200 600 24 0.04166

3º cc 290 1DP A D P P AA 300 2 0.4833

4º c 290 80 175P D

600

0.90833

5º P C D 0.04166CP D P(D) 1 0.90833

0.4545

6º Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

c

c c c c

DP P(B)BBPD D D DP P(A) P P(B) P P(C)A B C

80 1100 6

290 1 80 1 175 1300 2 100 6 200 3

0.1467

Probabilidad


30.- Según el empleo y sexo, los profesores de la E.T.S.I.T.G.C se distribuyen según la tabla siguiente: Si nos encontramos con un profesor en el aparcamiento, calcular:

a) La probabilidad de que sea hombre. b) La probabilidad de que sea catedrático. c) La probabilidad de que sea hombre y profesor de escuela universitaria. d) La probabilidad de que siendo mujer sea catedrático. e) La probabilidad de que sea mujer pero no sea profesor de escuela universitaria. f) La probabilidad de que siendo hombre no sea profesor asociado. g)¿Son independientes los sucesos ser catedrático y ser mujer? Solución: En primer lugar, definimos los sucesos elementales que describen el problema: C el suceso “ser catedrático” P el suceso “ser profesor de escuela universitaria” S el suceso “ser profesor asociado” H el suceso “ser hombre” M el suceso “ser mujer”.

a) La probabilidad de que sea hombre es .

b) La probabilidad de que sea catedrático es .

c) La probabilidad de que sea hombre y profesor de escuela universitaria es .

d) La probabilidad de que siendo mujer sea catedrático es .

e) La probabilidad de que sea mujer pero no profesora de escuela universitaria es

.

f) La probabilidad de que siendo hombre no sea profesor asociado es

g) Los sucesos ser catedrático y ser mujer no son sucesos independientes, ya que las

probabilidades y son distintas.

47P(H)

62

10P(C)

62

28P(H P)

62

4

P(C M) 462CP M 15P(M) 1562

5P M P

62

34P S H 3462SP H 47P (H) 47

62

4P(C M) 0.0645

62 10 15

P(C) P(M) 0.03962 62

Mujer (M) Hombre (H) Total

Catedrático. (C) 4 6 10

Profesor Escuela Universitaria (P) 10 28 38

Profesor Asociado (S) 1 13 14

Total 15 47 62

Probabilidad


31.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras

que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue

del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que

elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?

Solución:

Tenemos los siguientes sucesos: F= “fumador”; C= “cáncer”

Tenemos una partición en dos grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a

uno de ellos: P(F)=0,4; P(Fc)=0,6.

Las probabilidades de tener cáncer condicionado a cada grupo:

P(C/F)=0,9; P(C/Fc)=0,05

Teorema de la Probabilidad total:

c cP(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,9 0,4 0,05 0,6 0,39

Teorema de Bayes:

c c

P(F C) P(C / F)P(F) 0,9 0,4P(F / C)

P(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,39

0.923076923

Probabilidad


32.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras;

y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide:

a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.

b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida

tenga cara y cruz?

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

A= “la moneda elegida tiene cara y cruz”

B= “la moneda elegida tiene cruz y cruz”

C= “la moneda elegida tiene cara y cara”

X= “Obtener cara en el lanzamiento de la moneda”

Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a

uno de ellos: P(A)=5/9; P(B)=2/9;P(C)=2/9.

La probabilidad de obtener cara con cada grupo:

P(X/A)=0,5; P(X/B)=0;P(X/C)=1

a) Teorema de la Probabilidad total:

5 2 2

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,5 0 19 9 9

1

2

b) Teorema de Bayes:

50,5P(A X) P(X / A)P(A) 9P(A / X)

P(X) P(X) 0,5

5

9

Probabilidad


33.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%,

la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50%

de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población

tenga casa propia?

b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la

probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

A= “clase baja”

B= “clase media”

C= “clase alta”

X= “casa propia”

Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a

uno de ellos: P(A)=0,3; P(B)=0,65; P(C)=0,05.

La probabilidad de tener casa propia con cada grupo:

P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,50; P(X/C)=0,8

a) Teorema de la Probabilidad total:

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,05 0,3 0,5 0,65 0,8 0,05 19

0,3850

b) Teorema de Bayes:

P(A X) P(X / A)P(A) 0,05 0,3P(A / X)

P(X) P(X) 0,38

3

76

Probabilidad


34.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una

conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al

recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un

coche, se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar?

b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que hay salido por la puerta

B?

Solución:

Sean los sucesos:

E = “escapar”; A =”elige la puerta A”; B =”elige la puerta B”

Según el enunciado, P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(E/A) =3/4= 0.75; P(E/B)= 0.2;

a) P(E) = P(E/A)ꞏP(A) + P(E/B)ꞏP(B) = 0.75ꞏ0.5 + 0.2ꞏ0.5 = 0.475

b)

P E / B ꞏP B

P(B / E)P E / A ꞏP A P E / B ꞏP B

0.1

0.475 4

=0.210526315719

Probabilidad


35.- Para garantizar el anonimato en una encuesta se diseña un procedimiento basado en el teorema de la probabilidad total. Se plantea la pregunta para saber si un empleado ha filtrado o no información a otra empresa competidora, pero solo responderá si al lanzar una moneda sale cara, en otro caso, deberá responde a otra pregunta intrascendente ¿acaba el número de su teléfono móvil en un digito menor que 5? Una vez realizada la encuesta a 100 empleados, se han contabilizado 42 síes. ¿Cómo saber cuántos de esos síes corresponden a la pregunta delicada? Solución: Planteamos dos preguntas P1 y P2:

( ) ( )1 2P P P P 0,5= = ; ( )2

SíP 0,5;P Sí 0,42P = =

( ) ( ) ( )1 21 2 1 1

Sí Sí Sí SíP Sí P P P P P P P 0,5 0,5 0,5 0,42 PP P P P = + = ⋅ + ⋅ = ⇒ =

0,34

Probabilidad


36.-. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las traducidas por C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y C han traducido 125, 175 y 200 páginas respectivamente.

Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún error?

Solución:

Definimos los sucesos:

X el suceso “la página no tiene errores”

A el suceso “la página fue traducida por el traductor A”

B el suceso “la página fue traducida por el traductor B”

C el suceso “la página fue traducida por el traductor C”

Conocemos la probabilidad de los siguientes sucesos

500125AP

,

500175BP

,

500200CP

,

10090

AXP ,

10095

BXP ,

10099

CXP

Además los sucesos XA , XB , XC son

excluyentes y recubren X, por tanto

P X P A X B X C X

P A X P B X P C X

= XP A P A + XP B P B

+ XP C P C =

=125 90

500 100+

175 95

500 100 +

200 99

500 100 =

19070.9535

2000

AP

BP

CP

AXP

BXP

AXP

BXP

CXP

CXP

10090

500125

175 95

500 100

200 99

500 100

+

+

Probabilidad


37.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete B es 0.5 y de que se remita al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ganado en los tribunales es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y para el bufete C es 07. a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso. b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo ganase el bufete A

Solución:

a) Definamos el suceso “ganar un caso" por G. Entonces, utilizando el teorema de la probabilidad total tenemos la probabilidad pedida:

G G GP G P A P P B P P C PA B C 0,3ꞏ0.6+0.5ꞏ0.8+0.2ꞏ0.7= 0.72

b) En este caso, debemos hacer uso del teorema de Bayes:

GP A ꞏPP A G 0.3ꞏ0.6AAP G P G P G 0.72

0.25

Probabilidad


38.- El 30% de los empleados de una empresa son ingenieros el 20% son economistas y el 50% no son ingenieros ni economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea directivo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Solución:

Sean los sucesos: D = “directivo”; I =”ingeniero”; E = “economista”; Pc = “Personal no Ingeniero y no Economista”

Según el enunciado, P(I) = 0.3; P(E) = 0.2; P(Pc) = 0,6 P(D/I) = 0.75; P(D/E)= 0.5; P(D/Pc) = 0.2

a) P(D) = P(D/I)ꞏP(I) + P(D/E)ꞏP(E) + P(D/Pc) = 0.75ꞏ0.3 + 0.5ꞏ0.2 + 0.5ꞏ0.2 = 0.425

b) c c

P(D / I)ꞏP(I)P(I / D)

P(D / I)ꞏP(I) P(D / E)ꞏP(E) P(D / P )ꞏP(P )

0.225

0.425 0.5294

Probabilidad


39.- Una empresa que produce baterías tiene dos plantas de fabricación, la A y la B. Cada 1000 baterías fabricadas en A una es defectuosa. Cada batería fabricada en B tiene una probabilidad de 0,002 de ser defectuosa. Si las plantas A y B producen el 65% y el 35% de las unidades respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que una batería fabricada en la empresa, sea defectuosa? Si tomamos una batería al azar y observamos que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada en la planta B? Solución:

Describimos los sucesos elementales que se definen en este problema de la forma siguiente:

Sea A el suceso, {la batería fue fabricada en la planta A}.

Sea B el suceso, {la batería fue fabricada por la planta B}.

Sea D el suceso, {la batería es defectuosa}

Las baterías defectuosas pueden haber sido fabricadas en A o en B y nos informan que una

de cada mil baterías fabricadas en A, son defectuosas, es decir, tenemos como dato

P(D / A) 1/1000 también sabemos que P(D / B) 2 /1000 .

Así pues, la probabilidad de que sea defectuosa de A es:

1 65 65P(D A) P(D / A)P(A)

1000 100 100000 y de que sea defectuosa de B es:

2 35 70P(D B) P(D / B)P(B)

1000 100 100000 , por tanto, la probabilidad de que una

batería sea defectuosa es la suma de las probabilidades anteriores:

65 70 135P(D) P(D / A)P(A) P(D / B)P(B)

100000 100000 100000 0, 00135

Probabilidad de que fuera fabricada en la planta B: P(D / B)P(B) 70 /100000

P(B / D)P(D) 135 /100000

0,5185185185

B

Probabilidad


40.- Tres tiradores hicieron una descarga simultánea y dos balas dieron en el blanco. Hallar la probabilidad de que el tercer tirador haya dado en el blanco si las probabilidades de impacto de los tres tiradores son respectivamente 0.6, 0.5 y 0.4. Solución: S= dos balas dan en el banco Ti= el tirador i da en el blanco Se pide 3P(T /S) y tenemos que 1 2 3P(T ) 0,6;P(T ) 0,5;P(T ) 0,4 , calculamos

1 2 3 1 2 3 1 2 3P(S) P(T T T ) P(T T T ) P(T T T )

P(S) (1-0,6) 0.5 0.4 + 0,6 (1-0,5) 0,4 + 0,6 0,5 (1-0,4)=0,38 Ahora bien

3 1 2 3 1 2 3P(T S) P(T T T ) P(T T T ) 0,4 0.5 0.4 + 0,6 0,5 0,4=0,2 .

Por último, 33

P(T S) 0,2P(T / S)

P(S) 0,38

0,52

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/REGLA%20DE%20LAPLACE.JPG[21/02/2012 18:54:06]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Probabilidad%20condicionada.JPG[21/02/2012 18:54:07]

http://www2.topografia.upm.es/...ticas/primero/Apuntes/Vademecum/Teorema%20de%20la%20probabilidad%20total.JPG[21/02/2012 18:54:07]

http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Teorema%20de%20Bayes.JPG[21/02/2012 18:54:09]

U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 158

Suceso

Podemos, definir un suceso de un experimento aleatorio como un subconjunto del espacio

muestral.

Suceso elemental es cada uno de los resultados posibles de una experiencia.

Suceso compuesto es el conjunto de varios sucesos elementales.

Suceso imposible es aquel que no se puede realizar nunca y se le denota .

Suceso seguro es aquel que se verifica siempre, que es precisamente el espacio muestral

E.

Suceso contrario o complementario al suceso A es cuando se verifica si no se verifica

A. Se denota A .

Sucesos incompatibles, si no pueden verificarse juntos, A B =

Sucesos independientes son cuando la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del

otro, es decir, la probabilidad de la intersección de dos sucesos coincide con el producto

de las probabilidades de dichos sucesos: P A B P A P B

Problemas probabilidades con soluciones

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