Soluciones Problemas Intercentros 2013

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid 23 de noviembre de 2012 PRUEBA POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1. En el triángulo ABC dibujamos tres paralelas a la base BC que dividen a la altura sobre dicho lado en cuatro partes iguales. Si el área del trapecio rayado es 35 cm 2 , calcula el área de dicho triángulo. Los triángulos AFG, AHJ y ABC son semejantes al ADE con razones de semejanza 2, 3 y 4, respectivamente. La razón de las áreas es 4, 9 y 16. Por lo tanto, 7 5 35 4 9 4 9 AFG de Áre a AH J de Áre a AFG de Áre a AH J de Áre a Por lo tanto Área de AFG = 7·4 = 28 y el Área de ABC = 2 2 ·Área de AFG = 112. Otra respuesta más sencilla. Se trazan paralelas a los lados AB y AC por los puntos D, E, F, G, H y J quedando dividido el triángulo ABC en 16 triángulos iguales de área 7 5 35 cada uno. Por lo tanto el área de ABC será 16·7 = 112 cm 2 . 2. Las tangentes exteriores a dos circunferencias de radios 3 y 14 forman un ángulo de 60º. ¿A qué distancia están sus centros? En los triángulos AOB y AO’C, como el ángulo en A es de 30º, se deduce que AO = 2·3 = 6 y AO’ = 2·14 = 28. Luego la distancia O’O = 28 – 6 = 22. 3. La tabla adjunta muestra algunos datos del último campeonato de pesca celebrado en el lago de la Casa de Campo. Número de peces pescados ( n) 0 1 2 3 … 13 14 15 Número de participantes que p escaron n peces 9 5 7 23 … 5 2 1 Como puedes observar hubo 9 participantes que no pescaron nada, 5 pescaron un único pez, etc. En la prensa local que cubría el evento se pudo leer al día siguiente: - El ganador obtuvo 15 peces - La media de los que pescaron 3 o más peces fue de 6 peces. - La media de los que pescaron menos de 13 peces fue de 5 peces. ¿Cuál fue el número total de peces capturados? Llamemos x al número de peces pescados entre 3 y 13 (la media de todos ellos) e y al número de participantes que pescaron entre 3 y 13 peces. Entonces: 6 1 2 5 23 1 · 15 2 · 14 5 · 13 · 23 · 3 y y x y 5 23 7 5 9 · 23 · 3 7 · 2 5 · 1 9 · 0 y y x . Desarrollando ambas expresiones se obtiene el sistema 132 5 9 6 y xy y xy . Restando ambas ecuaciones se obtiene y = 123 y xy = 9 + 6·123 = 747, de donde se deduce que el número total de peces pescados fue: 0 + 1·5 + 2·7 + 3·23 + x·y + 13·5 + 14·2 + 15·1 =5 + 14 + 69 + 747 + 65 + 28 + 15 = 943. A 3 O D B O’ C 14 x C B A J H G F E D

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