PROBLEMAS PARA LA PRIMERA PRÁCTICA

Problema 1:

Para el sistema de la figura formado por dos péndulos idénticos, cargados con cargas

iguales q y de masas iguales m.

Determine:

a) El valor del ángulo para que el sistema se encuentre en equilibrio.

b) La distancia de separación x, entre las cargas para los ángulos pequeños.

Solución:

a) Del DCL de la carga del lado derecho de la figura anterior, se tiene

De la figura anterior

Sustituyendo los valores de las fuerzas respectivas y sabiendo a partir de la primera

figura que , se obtiene

De donde se encuentra que

b) Para los ángulos pequeños se tiene: .Entonces, reemplazando

en la ecuación anterior, se encuentra

luego

Problema 2:

Una esfera maciza, no conductora, de radio , con una cavidad esférica de radio ,

como se muestra en la figura, tiene una distribución de carga volumétrica

Donde A es una constante. Calcular la carga que se encuentra en la esfera.

Solución:

Utilizando la ecuación se tiene que:

En coordenadas esféricas , entonces

Luego

De donde se encuentra que la carga en la esfera es :

Problema 3:

Una semiesfera dieléctrica tiene la distribución de carga eléctrica ,

donde está expresada en [C/m2]. Calcular la carga total que se encuentra enla

semiesfera hueca.

Solución:

Para la distribución superficial de carga se tiene que:

En este caso , Sustituyendo, se obtiene

Evaluando:

Esta expresión nos nuestra que la carga total que no está distribuida uniformen te.

Problema 4:

Se tiene un anillo de radio , cargado positivamente con una distribución de carga

uniforme lineal . Calcular E a una distancia x sobre el eje del anillo a partir de su

centro.

Solución:

De la definición de densidad de la carga, se tiene que

Lo cual producirá un diferencial de campo eléctrico en el punto en cuestión. Que de

acuerdo con la ecuación resulta:

De la figura se puede ver que al integrar, la componente perpendicular al eje se anula

quedando solamente la componente colineal, de aquí que:

Donde:

Entonces

Integrando y evaluando

Para , se tiene que

Donde representa la carga total del anillo. Del resultado anterior se puede

concluir que para grandes distancias, el anillo se comporta como una carga puntual.

Problema 5:

Considere un arco semicircular como el de la figura, cargado uniformemente con una

densidad lineal . Determinar el campo eléctrico en el centro de curvatura del arco.

Solución:

De la figura se tiene

Por simetría

Por otro lado, de la definición de campo eléctrico se obtiene que

Sustituyendo en la ecuación anterior, se puede escribir

Para este caso , donde, y , entonces

Integrando

En forma vectorial

Problema 6:

La mitad de un cascaron esférico, no conductor de radio interior , tiene una carga total

distribuida uniformemente en su superficie interior. Calcular el campo eléctrico en el

centro de la curvatura.

Solución:

De la figura se ve que pro simetría , (ver problema anterior), entonces se puede

escribir

se tiene que

Sabiendo que e integrando se obtiene

Dado que , se tiene

Como , se tiene

Dado que , sustituyendo se encuentra

Problema 7:

Una varilla de longitud no conductora tiene una distribución de carga lineal uniforme

. Determine el campo eléctrico en el punto P a una distancia sobre la perpendicular

bisectriz.

Solución:

De la figura se tiene que

La componente por simetría

Como se tiene que

Para este caso , y , luego sustituyendo se tiene

Como se obtiene

Integrando

Dado que , se encuentra

También se puede escribir

Problema 8:

Determine el campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia b del extremo

izquierdo de la barra del problema anterior.

Solución:

Teniendo presente el problema anterior, se puede escribir

Integrando se encuentra

Problema 9:

Dipolo eléctrico. Se tienen dos cargas iguales de signo contrario separadas por una

distancia pequeña, como se muestra en la figura, esta configuración se conoce como

Dipolo eléctrico. Suponiendo que , calcule el campo eléctrico debido a estas

cargas en un punto localizado a una distancia del centro del dipolo, según la

perpendicular bisectriz de línea que une las cargas. (Donde )

Solución:

De acuerdo al principio de superposición:

De la figura

Donde .

Sustituyendo los valores de , R y de , se obtiene:

Para el caso en que , entonces, se puede omitir el del dominador y la magnitud

del campo eléctrico para el dipolo está dada por:

El producto se conoce como momento del dipolo eléctrico P, y en general para el

cálculo del campo eléctrico nunca se trabaja con los factores y separados, sino

siempre con el producto que se sustituye por P. Para el caso en, el cual el campo

del dipolo se puede escribir como:

Problema 10:

Demuestre que la magnitud máxima del campo eléctrico a lo largo del eje de un anillo

cargado uniformemente ocurre cuando tiene un valor de

Solución:

El campo eléctrico para este caso es

Derivando con respecto a x e igualando a cero se obtiene

Evaluando el valor del campo en , se encuentra