69750294 Problemas Fisica Estadistica

7/29/2019 69750294 Problemas Fisica Estadistica

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Problemas

1 Fluctuaciones en el equilibrio

Los 4 primeros problemas de la coleccin son sencillas aplicaciones de la estads-tica del equilibrio al clculo de uctuaciones. En un sistema sometido a unafuerza generalizada constante, se busca la forma de la uctuacin cuadrticamedia de la magnitud conjugada de dicha fuerza tanto dentro del formalismoestadstico-clsico como estadstico cuntico.

Problema 1 Demostrar que si x es una coordenada de un sistema clsico encontacto con una fuente de temperatura T y x = x hxi entonces

D(x)2

E= kBT

@hxi@F

T

(1)

donde F es una fuerza generalizada en x debida a causas externas. Consid-rese un sistema en la distribucin cannica cuando hay perturbacin yun trmino F x extra en el hamiltoniano cuando se aplica F.

El hamiltoniano de nuestro sistema, sera pues

H = H0 F xDado que el sistema es cannico, conocemos la funcin de distribucin en el

equilibrio, respecto de la cual realizar promedios estadsticos

= exp [(H0 + F x)]D(x)2

E=

D(x hxi)2

E=

Dx2 2x hxi + hxi2

E=

=

Rdpdq x2 exp[(H0 F x)] 2 hxi

Rdpdq x exp[(H0 F x)]R

dpdq exp[(H0 F x)]+ hxi2 =

=

Rdpdq x2 exp[(H0 F x)]R

dpdq exp[(H0 F x)]+ hxi2 2 hxi2

Por otra parte, se tiene que

@hxi@F T = @

hx

i@F =Rdpdq x2 exp[(H0 F x)] Rdp

0dq0 exp[

(H0

F x)]R

dpdqexp[(H0 + F x)]2

R

dpdq x exp[(H0 F x)]R

dp0dq0x exp[(H0 F x)]Rdpdqexp[(H0 F x)]

2Es inmediato ver que, en efecto

1


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@hx

i@F T = x2

kBT hx

i2

kBT =

1

kBTD

(x)

2EProblema 2 Considrese el problema anterior en el caso de que el sistema sea

cuntico y la variable x sea clsica. Esto signica que todas las frecuen-cias ! que intervienen en la variacin temporal de x son despreciables(}! kBT)

En este caso, nuestro sistema est descrito por el siguiente hamiltonianocuntico

H = H0 F xTrabajaremos en la base de estados propios fjnig del hamiltoniano H0 sin

perturbar

H0 jni = En jnique asumiremos discreta y no degenerada. Si no lo fuese, generalizar a ambos

casos es inmediato. El valor medio del observable cuntico con comportamientoclsico x vendra dado por la traza de x como

hxi = tr

xe(H0F x)

tr

e(H0F x) =

Pn;m hnj x jmi hmj e(H0F x) jniP

n hnj e(H0F x) jniA la hora de evaluar los elementos de matriz de la expresin anterior, no

podemos hacer

eA+B

= eA

eB

= eB

eA

ya que tratamos con operadores y no con nmeros. Si [A; B] = 0, en cambio,s que podramos escribir este tipo de igualdades. En nuestro caso, sin embargo,podremos escribir eA+B como eAeB de forma aproximada. Para ello haremosuso de una frmula debida a Baker, Campbell y Hausdor para operadores A yB tales que no comuten en general ([A; B] 6= 0)

eA+B = eAeBe[A;B]=2e[A;[A;B]]=12:::

Los trminos superiores del desarollo son conmutadores dobles, triples, etc.La demostracin de esta frmula es bastante compleja, no obstante, el casoparticular en que [A; [A; B]] = [B; [A; B]] = 0 (frmula de Glauber), es sencillover1 que

eA+B = eAeBe[A;B]=2

En cualquier caso, tendremos para nuestro operador de inters

1 Cohen-Tannoudji, Quantum M echanics vol.1, complemento BII , 5 - d.

2


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e(H0F x) = eH0eF xe2[H0;F x]:::

Con lo que

hmj e(H0F x) jni = hmj eH0eF xe2[H0;F x]::: jniLos elementos de matriz de (kBT)

2[H0; F x], por las hiptesis del enunciado

sern muy pequeos ya que todas las frecuencias involucradas en el problemaverican }! kBT, por lo que podramos aproximar e2[H0;F x] y todos losrdenes superiores del desarrollo por 1. Se tendra entonces

hxi =P

n hnj x jmi hmj eH0eF x jni

Pnhnj eH0eF x jni =

Pn;m xnme

Em hmj eF x jni

PneEn hnj eF x jni =

=P

n;m eEm

hmj eF x

jni hnj x jmiPn e

En hnj eF x jni =P

m eEm

hmj eF x

x jmiPn e

En hnj eF x jni

Derivaremos ahora respecto de F para obtener la relacin (1)

@hxi@F

=

Pm e

Em hmj xeF xx jmiPn eEn hnj eF x jni(P

n eEn hnj eF x jni)2

P

m eEm hmj eF xx jmiPn eEn hnj xeF x jni

(P

n eEn hnj eF x jni)2

como [F(x) ; x] = [x; F(x)] = 0, se tiene

Xm

eEm hmj xeF xx jmi = 1kBT

Xm

eEm hmj x2eF x jmi

Es inmediato comprobar que@hxi@F

=1

kBT

hx2

hxi2iEs decir, si la variable x es cuasi-clsica, aunque tratemos el sistema apli-

cando la estadstica cuntica, se siguen obteniendo idnticos resultados. En elproblema 4 tendremos ocasin de comprobar que si escogemos un parmetromacroscpico caracterstico del sistema que no se comporte clsicamente, losresultados que acabamos de deducir no son de aplicacin.

Problema 3 Emplear el resultado del problema anterior para encontrar la uc-tuacin en el volumen a presin externa ja.

Resulta inmediato a partir del resultado del problema 1 ya que la variableconjugada del volumen V es P y por lo tanto

3


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D(V)2E = kBT@

hV

i@P TEste resultado est de acuerdo con el derivado en el apartado de teora del

tema de uctuaciones estacionarias (en el equilibrio).

Problema 4 Comprobar que los resultados de los problemas 1 y 2 pueden serincorrectos si la variable x no se comporta clsicamente. Para ello, tmesecomo variable macroscpica la componente x del momento dipolar de ungran nmero de partculas cargadas que interaccionan despreciablementey que tienen masas m, carga e, ligadas a sus centros y que oscilan con

frecuencias !0.

La componente x del momento dipolar viene dada segn

Px =NX

i=1

exi

Buscamos calcularD

(Px)2E

en ausencia de campo externo aplicado.D

(Px)2E

=D(Px 0)2

E=

P2x

dado que en ausencia de campo, el momento dipolar medio

es nulo.

hPxi =*X

i;j

e2xixj

+=

Xi;j

e2 hxixji

Como se nos dice que las partculas slo interactan despreciablemente entres, debemos interpretar esto como que existe independencia estadstica, de modoque las correlaciones hxixji = hxii hxji = 0

hPxi =NX

i=1

e2

x2i

= N e2

x2

Debemos pues calcular

x2

. Para ello, necesitamos la funcin de particincannica de la partcula i-sima. Nuestro sistema consiste en un gran nmerode partculas cargadas de masa m que realizan oscilaciones armnicas a la fre-cuencia !0 en torno a su posicin de equilibrio. Se trata pues de un conjuntode N osciladores cunticos distinguibles, con lo que la funcin de particin secalcula de forma sencilla como

Z(i)C =1X

n=0

exp

!0}

1

2+ n

= exp

!0}

2

1Xn=0

exp(!0}n) =

=exp

!0}

2

1 exp(!0})

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Promediar x2 puede ser bastante complejo. Para hacerlo, aplicaremos elteorema del virial que en este caso (potencial parablico) nos dice que

hV

i=

hT

io lo que es lo mismo, que hEi = 2 hVi. Como V = m!20x2=2, se tiene que hVi =m!20

x2

=2. Basta con conocer pues hEi para un oscilador cuntico, lo que

resulta sencillo partiendo de la funcin de particin cannica hEi = @ ln ZC

hEi = 1 exp(!0})exp

!0}2

24 !0}2 exp

!0}2

(1 exp(!0})) + !0}exp

3!0}2

(1 exp(!0}))2

35 =

=!0}2 (1 exp(!0})) + !0}exp(!0})

1 exp(!0}) =

=!0}2 +

!0}2 exp(!0})

1

exp(

!0})=

!0}

2

exp(!0}) + 1

exp(!0})

1

Finalmente, se tendra

hVi = 12

m!20

x2

=!0}

4

exp(!0}) + 1

exp(!0}) 1 )

) x2 = }2m!0

exp(!0}) + 1

exp(!0}) 1 )

) P2x = e2}N2m!0exp(!0}) + 1

exp(!0}) 1Hemos determinado pues la varianza de la componente x del momento dipo-

lar P del sistema de osciladores. Ahora bien, el momento dipolar es la variable

conjugada del campo elctrico (Px _ x), de modo que podramos aplicar el pro-cedimiento desarrollado en el problema 1 para calcular

P2x

clsicamente. Al

igual que en el clculo anterior, consideraremos un nico oscilador.

hPxi = eR

dpxdx x exp((H0 EPx))Rdpxdx exp(H0 EPx) =

= e

Rdpx exp

2mp2x

Rdx x exp

V0 Ee2xRdpx exp

2mp2x

Rdx exp(V0 Ee2x)

=

= eR11 dx x exp

m!202 x2 + E e2xR11 dx expm!202 x2 + E e2xLas integrales son secillas de resolver. Se trata del tipoZ1

1dx e(

2x2+2x) = e2

Z11

dx e(x+)2

= e2

r

2

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En nuestro caso, =

pm!20=2 y 2 = Ee

2

= e

sE2

2m!20

Por lo tanto

I =

Z11

dx exp

m!

20

2x2 + E e2x

=

s2

m!20exp

E2e2

2m!20

I =Z11

dxx exp

m!

20

2x2 + E e2x

= kBT

@I

@E=

Ee2

m!20

s2

m!20exp

E2e2

2m!20

Por lo tanto, se tiene

hxi =Ee2

m!20

q2

m!20

exp

E2e2

2m!20

q

2m!2

0

exp

E2e2

2m!20

= Ee2m!20

)

) hPxitot = N

E

m!20e2

Aplicando el resultado clsico, se llega a

D(Px)

2E

Clas= kBT

@hPxi

@E

T

= kBTN e2

m!20

D(Px)2

EClas es independiente de E, de modo que si el campo externoaplicado fuese nulo, tendramos por este procedimiento, un valor de

D(Px)2

Edistinto del obtenido ms arriba de forma cuntica tambin con E = 0. Ambosresultados slo coinciden si tomamos el lmite clsico imponiendo }!0 kBT.Si desarrollamos las exponenciales de

D(Px)

2E

Cuantomitiendo rdenes supe-

riores al cero, nos queda en efecto

D(Px)

2E

Cuant=

e2}N

2m!0

1 + !0}+12 (!0})

2 + ::: + 1

1 + !0}+12 (!0})

2 + ::: 1

e2N

2m!0

2

!0= kBT

e2N

m!20=

D(Px)

2E

Clas

2 Fluctuaciones en las proximidades del equi-librio (Hiptesis de regresin de Onsager)

En los problemas, el esquema conceptual es el siguiente. Si se tiene una variablex con un valor alejado del equilibrio (pero sucientemente prximo a l) y se

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estudia la forma en la que dicha variable relaja hacia el equilibrio. Veremosque las funciones de autocorrelacin de x en esta etapa de transicin, vienen

descritas por la misma ecuacin diferencial que rige la evolucin dinmica dex, de modo que presentan la misma dependencia funcional. Existe adems unaestrecha relacin entre las uctuaciones en el proceso de relajacin hacia elequilibrio y la forma en la que se producen las uctuaciones en el estado nal deequilibrio, de modo que podemos caracterizar estas ltimas sin ms que conocercmo evoluciona la variable x.

Como hemos dicho, si x es pequea y si suponemos adems que su ritmode variacin temporal slo depende de su valor en cada instante de tiempo,podemos desarrollar _x hasta primer orden en x como

_x = xdonde > 0. Las funciones de correlacin en el proceso de correlacin

pueden obtenerse de la siguiente forma. Siguiendo a Landau, denimos x (t + )como el valor medio de x en el instante + t con la condicin de que en t valiesex. Es intuitivamente claro que la funcin de autocorrelacin para x entre t yt + vale

x () = hxxidonde el promedio h:::i se hace sobre todos los posibles valores iniciales (en t)

de la variable x (pesndolos con sus correspondientes probabilidades). Tenemospues dos opciones a la hora de calcular el objeto h:::i para cualquier magnituden un estado alejado del equilibrio. Bien podemos tratar de determinar ladistribucin (q; p; t) dependiente del tiempo que caracteriza a nuestro sistemao bien podemos introducir la dependencia temporal en el observable que se

promedia y tomar la funcin de distribucin del estado inicial (la que da lasprobabilidades asociadas a los distintos valores de x en t) y efectuar con ellael promedio. Si adoptamos esta segunda representacin de la dinmica delobservable x, es claro que la derivada temporal d=dt puede intercambiarse conh:::i de modo que (tomando t = 0)

_x () =d

dthx (0) x ()i = hx (0) _x ()i = hx (0) x ()i

con lo que

x () = exp()y como sabemos adems que x () es una funcin par en el caso estacionario,

podemos extender el resultado para valores de negativos como

x () = exp( jj)Como hemos visto, en procesos de relajacin al equilibrio, conocida la dinmica

de x, somos capaces de obtener de forma inmediata las funciones de autocor-relacin. Veremos ahora que la dinmica de los estados alejados del equilibrio

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guarda relacin con las uctuaciones en el equilibrio, resultado de gran impor-tancia en la teora que estamos desarrollando.

Consideremos que el sistema est gobernado por el hamiltoniano H0 = H+H desde t = 1, de modo que en t = 0, habr alcanzado un equilibrioestadstico descrito por la matriz densidad = eH

0

. Consideremos tambinque [H] [H]. Si en t = 0, eliminamos H del hamiltoniano del sistema,ste experimentar una transicin en el que relajar el exceso de energa hastaalcanzar nuevamente un equilibrio descrito por eH. Sea A un observable denuestro sistema. Deniremos A como A hAi2 donde el subndice 2 en elcorchete signica promedio respecto de = eH. Reservaremos la notacinh:::i1 para el promedio respecto de = eH

0

y h:::itr para los promedios en elintervalo de transicin entre los estados de equilibrio 1 y 2.

Introduciremos tambin la notacin (i)A (t) para la funcin de autocor-

relacin de A denida como hA (0) A (t)ii donde i puede valer 1; 2 tr.

Supongamos que queremos conocer hA (t)itr. Un observable A en un sistemagobernado por un hamiltoniano H de acuerdo con

A (t) = eiHt AeiHt

por ello, hA (t)itr (t > 0) se escribira como

hAitr (t) =tr

neiHtAeiHt (t=0)

otr

n(t=0)

oEs decir, es el valor medio cuntico de A (t) para cada instante de t en

cada uno de los estados ji de la base que hayamos escogido para representarnuestro sistema, pesada por las correspondientes probabilidades asociadas a los

estados ji en el instante inicial t = 0. Desarrollando, vemos que

hAitr (t) =tr

eiHt AeiHt e(H+H)

tr

e(H+H)

Como la traza es cclica, podemos permutar A (t) ! A (t) sin problemas.Proponemos ahora un desarrollo en serie de H dado que como hemos dicho,sus elementos de matriz son despreciables frente a los de H, se llegara de estemodo a

hAitr (t) =tr

eH (1 H+ :::) eiHtAeiHt

tr feH (1 H+ :::)g =

=

treH (1 H+ :::) eiHtAeiHt

tr feHg tr feHHg ==

tr

eH (1 H+ :::) A (t)tr feHg

1 trfeHHg

trfeHg

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Observamos que el segundo sumando en el denominador es del orden de Hpor lo que se trata de una cantidad comparativamente pequea. Hacemos pues

un desarrollo del tipo (1 + x)1 1 x y obtenemos

hAitr (t) =tr

eH (1 H) eiHtAeiHttr feHg

1 +

tr

eHH

tr feHg

!=

=

tr

eHeiHtAeiHt

treHHeiHtAeiHt treH + treHH(tr feHg)2

=tr

eHeiHt AeiHt

tr feHg tr

eHHeiHtAeiHt

tr feHg +

tr

eHeiHt AeiHt

tr

eHH

(tr

feH

g)2 2

tr

eHHeiHt AeiHt

tr

eHH

(tr

feH

g)2

El ltimo sumando es cuadrtico en H con lo que suponemos que podemosignorarlo en nuestro desarrollo aproximado. Se tiene por tanto que

hAitr (t) =tr

eHeiHt AeiHt

tr feHg tr

eHHeiHt AeiHt

tr feHg +

+tr

eHeiHtAeiHt

tr

eHH

(tr feHg)2=

= hA (t)i2 + [hA (t)i2 hHi2 hHA (t)i2]

Ahora bien, si A (t) es un observable de un sistema en equilibrio estadstico(con el mismo hamiltoniano H que rige su evolucin temporal), su valor mediono depende de t. En efecto, se tiene

hAieq = Z1C tr

eiHtAeiHt

= Z1C tr

eiHt eiHtA

Donde no hemos hecho ms que utilizar el carcter cclico de la operacinde traza. es un operador hermtico (autoadjunto) por denicin, de modo que

eiHt eiHt

= (t) = (t) )

hAieq = Z1C tr f (t) Ag

Dado que trabajamos en el equilibrio, el valor de es estacionario en eltiempo y por lo tanto

hA (t)

ieq

6= f(t). Supondremos adems que la pertur-

bacin H sobre nuestro sistema se relaciona con el observable A segn f A:Se tendra entonces

hAitr (t) = hAi2 + fhhA (0) A (t)i2 hAi22

iDenotando A = hAitr (t) hAi2, se llega a

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hA (t)

itr =

hA

itr (t)

hA

i2 = fhhA (0) A (t)i2 hAi

22i

y como

hA (0) A (t)i2 = h(A (0) hAi2) (A (t) hAi2)i2 == hA (0) A (t)i2 hAi22 hA2i2 + hA2i2 == hA (0) A (t)i2 hAi22

vemos que el resultado que hemos derivado se traduce pues en

hA (t)itr = hA (t) hAi2itr = f (2)A (t)

En particular, para t = 0, se tiene

f =hA (0)itr

(2)A (0)

y por lo tanto

hA (t)itrhA (0)itr

=(2)A (t)

(2)A (0)

Esta igualdad es muy interesante ya que nos relaciona una magnitud prome-diada en el equilibrio con otra promediada en el transitorio hacia el equilibrio.La variacin de A respecto de su valor de equilibrio normalizada a su valorinicial A (0) a lo largo del transitorio entre 1 y 2 es idntica en su evolucintemporal a la de las correlaciones de la magnitud A tambin normalizadas al

valor (2)A (0) promediadas en el estado de equilibrio 2 y como vimos al princi-pio de esta seccin, bajo ciertas condiciones bastante generales, la evolucin deA y de A en el trnsito al equilibrio (convenientemente normalizadas), sonidnticas. En denitiva, este resultado nos dice que si conocemos la forma en laque la variable A relaja al equilibrio, podemos calcular las correlaciones en el

trnsito al equilibrio (1)A (t) que coinciden con las de equilibrio

(2)A (t).

Problema 5 Sea y (t) una cantidad con uctuaciones clsicas. Se supone quelas medias temporales y en un colectivo son equivalentes. Se dene la

uctuacin y (t) = y (t) hyi y la funcin de correlacin y () =hy (t) y (t + )i. Supngase que y () es despreciable para jj c.Si se asume que S c, demostrar que la uctuacin cuadrtica mediade

RS0 y (t) dt es 2S

R10 y () dProcedamos constructivamente escribiendo en primer lugar la uctuacin

cuadrtica media del objeto que se pretende estudiar

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*

ZS

0

y (t) dt!2+

=

*ZS0

y (t) dt *ZS

0

y (t) dt

+!2+=

*ZS0

(y (t) hyi) dt!2+

=

*ZS0

y (t) dt

!2+=

*ZS0

dt

ZS0

dt0y (t) y (t0)

+= ::: ft0 = t + g ::: =

*ZS0 dt

ZStt dy (t) y (t + )

+=ZS

0

dt

ZStt

d y () =

ZS0

dt

ZStt

d y ()

Para ver ms claramente cmo esta integracin doble da 2SR10

y () d,estudiemos un ejemplo simple con una forma funcional concreta para y ().

c () = exp ( jj =c)Vemos que para jj c, el valor de c () decrece considerablemente y

podramos despreciarlo a tiempos mayores. Integremos pues este c ()

ZS

0

dtZ

St

td exp( jj =c) =ZS

0

dt

ZStt

d exp( jj =c) =ZS0

dt

"Z0t

d exp( =c) +

ZSt0

d exp( =c)#

=

c

ZS0

dt

1 exp

t

c

exp

S t

c

+ 1

=

2Sc cZS0

exp

t

c

dt c

ZS0

exp

S t

c

dt =

2Sc + 2c

exp

S

c

1

2c

1 exp

S

c

=

2Sc 22c + O

eS=c

2Sc

y, por supuesto

11


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2SZ10

exp(

=c

) = 2Sc

En general, la contribucin al valor de la integral de c () para jj crepresentara rdenes superiores en el clculo de la uctuacin cuadrtica media

deRS0

y (t) dt con lo que si t y S t son ambos mayores que c, la integracinen podra extenderse entre 1 y 1 sin cambiar el valor de la integral. Losintervalos en los que t > c y S t < c son negligiblemente pequeosen comparacin con el rango total que barre la variable x, (0; S). Eliminarlos,supondra calcular la integral entre (c; S c), pero como c S, al menosde forma aproximada, podemos mantener t 2 (0; S). De modo que se tendra

ZS0

dt

ZStt

d exp( jj =c) ZS0

dt

Z11

d y ()

Como y () = y () en el rgimen estacionario (se trata de una funcinpar), podemos limitarnos a escribir

*

ZS0

y (t) dt

!2+= 2S

Z10

d y ()

Tal y como pretendamos ver. Este problema sienta las bases para analizarel movimiento Browniano. En este caso, la variable que ucta en el tiempo es

la velocidad en una componente determinada (vx) y la integralRS0

y (t) dt repre-

sentara el desplazamiento x y por tanto

RS0

y (t) dt2

sera simplemente

D(x)2

E. En el problema 7 deduciremos la ecuacin de Einstein a partir de esteresultado.

Problema 6 Se supondr que en cada caso, la funcin de correlacin paraun observable x en el tiempo positivo, es proporcional a la forma enque decae el observable (sin uctuaciones) desde su valor inicial diferentede cero. Determinar las funciones de correlacin a temperatura T en loscasos siguientes: 1) en que el observable es la componente x de la velocidadde una partcula de masa m que se mueve en un medio en el que la fuerzade resistencia es kvx. 2) el observable es el ngulo de un pndulo demomento de inercia I, amortiguamiento _ y fuerza restauradora c.

Para resolverlo, basta con plantear las ecuaciones que satisfacen vx y . Enel primer caso, se tiene

m _vx = vx ) vx = vx (0)exp

mt

por lo que

vx () = vx (0)exp

mjj

12


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Por propia denicin de la funcin de autocorrelacin vx () se tiene quevx (0) = v2x (0), donde h:::i indica promedio en el estado incial (dado queestamos en un estado de no equilibrio aunque prximo a l). El cuerpo, inicial-mente debemos suponer que se mova a velocidad vx, es decir, que su energacintica E = 12mv

2x que en virtud del teorema de equiparticin, puede escribirse

como E = 12

m

v2x (0)

= 12

kBT, por lo que

vx () =kBT

mexp

mjj

La ecuacin diferencial que rige la dinmica del segundo de los sistemas

propuestos es

I + _ + c = 0

Resolver esta ecuacin linel de segundo orden resulta sencillo

Ir2 + r + c = 0 ) r1;2 = p

2 4Ic2I

= !

Si suponemos que no hay sobreamortiguamiento, 2 4Ic deber ser nega-tivo, y las soluciones, peridicas (combinacin de senos y cosenos) moduladaspor una envolvente exponencial. Las soluciones son

(t) = et [A cos !t + B sin !t]

(0) = A

_ (0) = A + !B = 0 ) B = (0)!

(t) = (0) eth

cos !t +

! sin !ti

La funcin de autocorrelacin quedara entonces como

() = (0) ejj

hcos ! jj +

!sin ! jj

idonde (0) =

D (0)2

E, dado que en el instante inicial _ y son nulas y

slo tenemos el potencial armnico en V () = 12c2. El teorema del virial nos

dice en este caso que hEi = 2 hVi (hTi = hVi) mientras que el de equiparticin,que hEi = kBT, con lo que en la situacin inicial, se tiene

D (0)2

E= kBTc

() =kBT

cejj hcos ! +

!sin !

jji

Problema 7 Empleando los resultados anteriores determinar el desplazamientocuadrtico medio en x en el instante S de una partcula en movimiento atemperatura T en un medio con mobilidad 1 = Fx=vx

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Retomamos aqu los resultados del problema 5. Nuestra variable clsica que

ucta en el equilibrio es la velocidad vx y su integral RS0

vx (t) dt nos da laposicin a tiempo S como ya adelantbamos en su momento. Tendramos pues

D(x (S))2

E= 2S

Z10

vx () d

donde, la funcin de correlacin viene dada por vx () = hvx (0) vx ()i ypuede calcularse partiendo de un proceso alejado del equilibrio nal a velocidadvx (0) y con _vx (0) nula. A partir de este momento, la partcula se deja libreen el uido viscoso y por lo tanto reduce su velocidad inicial hasta alcanzareventualmente el equilibrio hvxieq = 0. La ecuacin diferencial que gobierna laevolucin de la velocidad en este proceso sera

m _vx = 1

vx ) vx (t) = vx (0)exp tm )) vx () =

kBT

mexp

jj

m

Por lo tanto, se tiene

D(x (S))2

E=

2SkBT

m

Z10

exp

m

d = 2SkBT

En el enunciado tambin se da una solucin particular a la ecuacin dedifusin

@t = D

r2

=n exp

r2

4Dt

(4Dt)3=2

Para partculas con velocidad inicial dada que se difunden partiendo el origende coordenadas en un uido de constante de difusin D. Interpretando comouna probabilidad de presencia de la partcula, se ve que, integrando en x y eny, la probabilidad de presencia en x de la partcula, queda como

=

Zdy

Zdz

n expx2+y2+z24Dt

(4Dt)3=2

_ exp

x

2

4Dt

Una gaussiana genrica para la variable x tiene formalmente el aspecto

exp

x

2

2 hx2i

) x2 = 2DtConocemos

D(x (t))2

Een nuestro problema, de modo que si x (0) = 0,

x (S) = x (S) y por tanto

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15/21

x2 (S) = D(x (S))2E = 2SkBT = 2DS )D

= kBT

Esta es la relacin de Einstein. Si la partcula fuese esfrica, = (R), demodo que midiendo D y la temperatura, se puede dar una estimacin del radiode las partculas que se difunden en un determinado uido viscoso.

Problema 8 La velocidad v de una partcula coloidal de masa m suspendidaen un lquido a temperatrua T verica la ecuacin m _v = v + F(t)donde es una friccin y F(t) una fuerza uctuante que el lquido ejercesobre la partcula. Si se presume que F(t) es una fuerza estocstica conlas propiedades hF(t)i = 0 y hF(t) F(t0)i = 2kBT (t t0) encontrar elpromedio de la velocidad, as como su funcin de autocorrelacin. Ademscalclese la desviacin cuadrtica media en la posicin de la partcula paraun tiempo sucientemente largo (t

m=)

En este problema, tenemos ocasin de chequear los resultados del anterior,derivados usando la hiptesis de regresin de Onsager, de forma directa y sen-cilla. Resolvemos en primer lugar la ecuacin diferencial para v (t)

_v +

mv =

F(t)

m

(t) _v +

m (t) v = (t)

F(t)

m)

) d (t)dt

=

m (t) ) (t) = e=mt

d

dt

ve=mt

= e=mt F(t)

m

v (t) =

Zt0

F(t0) e=m(tt0) dt

0

m+ Ce=mt

No hemos hecho ms que aplicar la frmula de Leibniz para ecuaciones difer-enciales lineales de primer orden (o encontrar un factor integrante apropiado).Identicamos la constante C como v (0) ya que

v (0) =

Zt0

e=m(tt0)F(t0)

dt0

m+ Ce=mt

t=0

= C

de modo que

v (t) = v (0) e=mt +Zt0

e=m(tt0

)F(t0) dt0m

La velocidad media es claramente nula, ya que

15


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hv (t)i = v (0) e=mt + Zt0

e=m(tt0) dt0m

=

= hv (0)i e=mt +Zt0

e=m(tt0) hF(t0)i dt

0

m= hv (0)i e=mt

A tiempos t =m, el promedio temporal de hv (t)i es nulo, tal y como se es-pera de un movimiento aleatorio producido por una fuerza delta correlacionada.Para estimar la funcin de auto correlacin de la velocidad, procederemos deforma anloga. Evaluaremos primero el promedio de v (t) v (t0) en la escalade tiempos microscpica y posteriormente ejecutaremos un promedio sobre untiempo lo sucientemente grande de la siguiente forma

hv (t + t00) v (t0 + t00)i = 1T

ZT

0

dt00m

hv (t + t00) v (t0 + t00)i = v (t; t0)

Para tiempos t lo sucientemente grandes, la exponencial en v (t) tiende aanularse, as que podramos partir directamente de

v (t + t00) Zt+t000

e=m(t+t00t1)F(t1)

dt1m

v (t0 + t00) Zt0+t000

e=m(t0+t00t2)F(t2)

dt2m

hv (t + t00) v (t0 + t00)i =

=

Zt+t000

dt1m

Zt0+t000

dt2m

e=m(t+t00t1)e=m(t

0+t00t2) hF(t1) F(t2)i

= 2kBT

Zt+t000

dt1m

Zt0+t000

dt2m

e=m(t+t00t1)e=m(t

0+t00t2)(t1 t2)

En este punto, debemos hacer tender t + t00 y t0 + t00 a innito. Para ello, espreciso efectuar primero un cambio de variables u1 = t+t

00t1 y u2 = t0+t00t2

v (t; t0) = 2kBTZ

0

t+t00

du1m Z

0

t0+t00

du2m

e=m u1e=m u2 (t + t00 u1 t0 t00 + u2) =

= 2kBT

Z10

du1m

Z10

du2m

e=m u1e=m u2 (t u1 t0 + u2)

La accin de la delta en la integral en du1 consiste en cambiar u1 por tt0+u2en la correspondiente exponencial, con lo que nos quedara

16


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v (t; t0) = 2kBT e

=m

(t

t0

)m2

Z10

du2 e2=m u2 =

= 2kBTe=m (tt

0)

m2m

2=

kBT

me=m (tt

0)

Si denimos t0 = t + , recuperamos la expresin del problema anterior parav () con > 0. Por ltimo, se nos pide calcular la desviacin cuadrticamedia en la posicin de la partcula (para tiempos sucientemente largos), paraello, deberemos hacer nuevamente uso del resultado del problema 5. Vemosloen detalle

*Zt

0

v (t0) dt02

+ = *Zt

0

v (t0)

hv (t)

idt0

2

+Hemos visto que hv (t)i es nulo para tiempos sucientemente largos, luego

*

Zt0

v (t0) dt02+

=

Zt0

dt0Zt0

dt00 v (t0) v (t00)

=

=

Zt0

dt0Zt0

dt00 hv (t0) v (t00)i =

= 2t

Z10

v () = 2tkBT

m

Z10

e=m d =

=2tkBT

Este resultado est en total acuerdo (evidentemente) con el del problemaanterior ya que 1 juega aqu el papel de .

Problema 9 Si se asume que la funcin de correlacin de la intensidad decorriente en un circuito de inductancia L y resistencia R, decae del mismomodo en el que lo hace la intensidad, determinar la uctuacin cuadrticamedia en la carga que pasa por el circuito en un tiempo S. Recordar que laecuacin que rige la evolucin de la intensidad de corriente en un circuitocomo el que nos ocupa es L _I+ RI = 0.

Basta con proceder del mismo modo que en los problemas 6 y 7

_I+

R

L I = 0 ) I = I(0) eR=L t

) I () = DI(0)2E eR=L jtjLa energa de un circuito magntico induccin L es E = 1=2 LI2 y por lo

tanto

hEi = 12

L

I2

=1

2kBT )

I2

=

kBT

L

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De modo que

I () = kBTL

eR=L jtj

Volviendo al problema 5, las uctuaciones en la carga, estaran caracteri-zadas por

I =dQ

dt) Q (t) =

ZS0

I(t) dtD(Q (t))2

E=

D(Q (t) hQ (t)i)2

E=

=2SkBT

L

Z10

eR=L t =2SkBT

L

3 Susceptibilidad generalizada

Problema 10 Calcular la susceptibilidad generalizada para el caso de una sealx (t) que produce una respuesta y (t) = x (t + ) x (t). Obtener la uc-tuacin cuadrtica media de la salida si el espectro de potencias de x esGx (!). Obtener tambin la funcin de autocorrelacin de x en trminosde Gx (!).

Separando las seales en componentes monocromticas de Fourier, tendramos

x = x! ei!t ; y = y! ei!t

y e

i!t

= x! ei!(t+)

x!ei!t

) y = x! ei! 1La susceptibilidad generalizada (!) a frecuencia ! es precisamente el fac-

tor entre parntesis ya que vara la amplitud y la fase de la seal de entrada,devolvindonos la de salida y! = (!) x!.

(!) =

ei! 1La seal completa, es una superposicin de estos modos de Fourier (una in-

tegral o un sumatorio sobre !). El espectro de potencias de una seal cualquieray (t) viene denido segn

Gy (!) = lims!1

2

SDjYS (!)j2

Edonde YS es la transformada de Fourier de y (t) denida slo en un cierto

intervalo nito de tiempos caracterizado por S y nula en el resto. Denir asGy (!) tiene la ventaja de evitar problemas de convergencia con la transformadade Fourier de la seal completa y (t). En cualquier caso, Gy (!) verica unaimportantsima propiedad

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y2 = 1p2 Z1

0

Gy

(!) d!

Tomaremos aqu la transrormada directa comoR

dtp2

ei!t::: y la inversa

comoR

dtp2

ei!t::: aunque podramos haber escogido otras deniciones. Elespectro de potencias de la entrada y la salida, se relacionan segn.

Gy (!) = jj2 Gx (!)En nuestro problema, la uctuacin cuadrtica media de y (t) (que suponemosconvenientemente trasladada, de modo que hyi = 0) vale

y2

=

Z10

Gx (!)

ei! 1

2

d! =

Z10

1 ei! ei! + 1

Gx (!) d! =

= 2Z10

(1 cos !) Gx (!)

Por otra parte, el promedio de la seal y2 quedara como

D[x (t + ) x (t)]2

E=

Dx (t + )2

E 2 hx (t + ) x (t)i +

Dx (t)2

E=

= 2D

x (t)2E

2x ()Igualando ambas expresiones, vemos que

x () =

Z10

cos ! Gx (!) d!

Es decir, la funcin de autocorrelacin de la variable x (al menos en estecaso, aunque el resultado es general), es proporcional a la transformada cosenode su espectro de potencias. Podemos invertir esta relacin de forma sencilla.Basta con extender de forma par Gx (!) sobre las frecuencias negativas, con loque la expresin anterior, quedara como

x () =1p2

Z11

ei!p

2

2Gx (!) d! )

)p

2

2Gx (!) =

1p2

Z11

ei!x () d )

) Gx (!) = 2 Z

1

0

cos ! x () d

Al duplicar y posteriormente reducir el dominio de integracin de ambasfunciones pares Gx (!) y x (), se incluyen los factores 2 correspondientes. Undetalle importante es que este problema es puramente acadmico ya que la sealde salida viola claramente el principio de causalidad. La respuesta y (t) dependede la historia futura de x (x (t + )).

19


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Problema 11 Mostrar que si la funcin de correlacin ha decado a cero en > c, entonces su espectro de potencias ser constante hasta frecuencias

de un orden 1c .

De la relacin anterior, vemos directamente que

Gx (!) =2

Z10

cos ! x () d 2

Zc0

cos ! x () d

Extender la integracin ms all de c implica sumar ceros. Si tenemosen cuenta que puede acotarse por c, entonces, para frecuencias ! 1=c,cos ! puede aproximarse a la unidad. No existe ninguna dicultad como yase ha dicho en extende la integracin a 1 ya x () puede considerarse nula apartir de c, de modo que

Gx (!) 2

Zc0 x () d 6= f(!)

Como vemos, el espectro de potencias es aproximadamente constante hastafrecuencias menores pero del orden de 1=c.

Problema 12 Los modos normales de un cristal imperfecto contribuyen a lacomponente x del momento dipolar px del cristal como px =

Pr rqr.

qr es la coordenada del modo normal y !r, su frecuencia yP

r _qr=2 esla energa cintica. Se supone que los modos forman un continuo. Sepide relacionar el espectro de potencias de las uctuaciones de px a latemperatura T (sucientemente alta), de forma que los modos normalesse comporten clsicamente, con a (!) =

P!

2r

Las uctuaciones de px, dado que los modos son independientes, estarancaracterizadas por

p2x

=

Xr

2r

q2r

Ahora bien, como el sistema est en equilibrio a la temperatura T, podemosaplicar el teorema de equiparticin al potencial armnico 12q

2r !

2r que sabemos

por el teorema del virial que verica hVi = hTi = 12 hEi

1

2

q2r

!2r =1

2kBT )

q2r

=kBT

!2r

p2x = Xr

2rkBT

!2r

Sabemos del problema 10 que

y (t) =1p2

Z10

d! Gy (!)

20


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Dado que los modos forman un continuo, podemos interpretar

Pr como una

integral en d!, de modo que ignorando el factor arbitrario (2)1=2, tendramosque

X!

2rkBT

!2d! = Gpx (!) d! ) Gpx (!) d! =

kBT

!2a (!) d!

21

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