PROBLEMAS VARIADOS 1 1.- Una plataforma circular de masa M = 360 kg y radio R puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. En el instante t=0, dos personas cada una de masa m = 60 kg se encuentran situadas en sendos extremos de un dimetro de la plataforma. Ambas personas y la plataforma estn en reposo en el instante t=0. Si ambas personas se desplazan en el mismo sentido que avanzan las agujas de un reloj con velocidad constante, cuando hayan recorrido una vuelta completa respecto de la plataforma, determinar el ngulo que han girado respecto de un observador inercial que est fuera de la plataforma. El sistema plataforma-personas constituye un sistema aislado, y ello conlleva que el momento angular se conserve. Si las personas se desplazan en el sentido de las agujas del reloj la plataforma debe girar en sentido contrario para que el momento angular total sea nulo, tal como lo era en el instante t=0. Designamos con la velocidad angular de rotacin de la plataforma respecto del sistema inercial exterior y v la velocidad lineal de las personas respecto del mismo sistema. La velocidad v de las personas es igual a

Rv p= Siendo p la velocidad angular de las personas respecto del observador inercial. La conservacin del momento angular establece que

dtdMR

21

dtd

2mRIRR 2m 2p2p == Si el ngulo girado por la plataforma es , las personas deben haber girado una vuelta ms beta, =2+

21656

54-2144180*

54

54

232

60*43602

4mM2d

4mMd

2

00pp

======

=+=+=+= +

2.- Un dispositivo ptico est fabricado con vidrio de n = 1,5, tiene la forma de un cuarto de cilindro (ver figura 1). Sobre l y por la cara plana se hacen incidir rayos luminosos a distintas alturas h, se pide encontrar una expresin que nos d los valores de x positivos para los que la luz incide sobre la recta AB

Fig. 1 Como la luz incide desde el vidrio al aire, esto es, desde un medio de mayor ndice a uno de menor, habr una altura mxima hmax, para la que el rayo refractado forme un ngulo de 90, por encima de ese hmax los rayos se reflejarn y no se refractarn. Para ese hmax corresponde un x mnimo.

Fig.2 Segn la ley de Snell n sen i = 1 sen re

De la figura 2 se deduce: sen i =Mhitag;

Rnhrsen

Rh

e ==

itaghRx

hMRx

htag+

=+=

R

x A B

h i re

M

i

R x A

h i re

Pero el ngulo alfa es igual a irr i ee ==+ ( )

itaghRx

hirtag e+

= (1)

Cuando re = 90 se obtendr el valor de x mnimo

( )

=

=

+=

+=

+=

+=

1icos

1RRitagicos

1isenRRitag

itag1isenRx

Ritag

1itaghx

itaghRx

hitag

1

itaghRx

hi09tag

2

2

min

min

minmin

El valor del ngulo de incidencia para el que re = 90, se calcula a partir de la ley de

Snell n sen i = sen 90 ; sen i =35isen1icos

32

5,11 2 ===

cm1,70815

3*5x min =

= 3.- La densidad de un planeta, de radio R, depende de su distancia al centro del mismo segn la ecuacin kro = Siendo r la distancia desde el centro del planeta al punto considerado. El valor en la superficie del planeta es del valor mximo de la densidad.A qu distancia del centro del planeta la intensidad del campo gravitatorio es mxima? La densidad mxima es o y ocurre cuando r = 0,. Cuando r =R la densidad es un cuarto de o

rR

43

R

43kkR

41 o

oo

0o === La intensidad del campo gravitatorio a una distancia r del centro del planeta vale

2r rGMg =

Siendo M la masa comprendida en una esfera de radio r. Consideramos una capa esfrica de radio l y espesor dl, siendo r>l , la masa de esa capa esfrica es

== lR

43*dll4*dVdM oo

2l

Para hallar la masa M hemos de integrar la anterior expresin entre cero y r

4

4rRo3

3

3ro4dllR

o

43

o

o2l4M

r =

=

El campo gravitatorio es:

=

=

4R3rr

34G

rRr

43

3r4

Gg

2

02

4o

3o

r

Para hallar la distancia r a la cual el valor de la intensidad del campo gravitatorio es un mximo, derivamos la expresin anterior con respecto a r e igualamos a cero

R98rR

2R93r

340

2R3r

34G

drdg

or ===

=

4.- En un contenedor se mantiene la altura del agua constante H. Por un orificio situado a una altura H/3 surge el agua, la cual alcanza una cierta distancia del contenedor. Se pide a que altura se debe practicar un orificio igual para que el agua alcance la misma distancia del contenedor. De acuerdo con el teorema de Torricelli la velocidad de salida del agua est dada por la ecuacin

2ghv = Siendo h la altura desde el centro del orificio a la superficie libre del lquido. Si aplicamos esta ecuacin al primer orificio tenemos

3Hg2H

31H2gv =

=

Las ecuaciones del chorro de agua en el aire son:

2gt21H

31y;t

3Hg2vtx ===

Cuando y=0, el alcance del chorro es:

3

H223g2H

3Hg2x

3g2Htgt

21H

310 aa

2a ====

Designamos con h la altura del otro agujero respecto del suelo y cmo ha de alcanzar la misma distancia, podemos escribir

( ) ( )2aaa tg21h0y;thH2g3 H22vt3 H22 ==== De ambas ecuaciones

( ) ( ) 222 hHh9

2H2hhH29

8Hg2hhH2g

3H22 ===

Resolviendo la ecuacin de segundo grado

H31hyH

32h

23HH

29

8HHHh

22

==

=

=

5.- Un hilo uniforme tiene forma de rectngulo ABCD

Si se conecta dicho rectngulo a un circuito elctrico por los vrtices AB, la resistencia vale R1, pero si a ese mismo circuito se conecta por los vrtices BC la resistencia es R2=1,6 R1 Cul es la relacin de las longitudes de los lados del rectngulo? Designamos con r1 a la resistencia del lado AB y con r2 la del lado BC. Los dos posibles conexiones son las de la figura inferior

En el primer caso la resistencia r1=AB est en paralelo con las resistencias en serie r2+r1+r2 ( )

( )( )( )21

2111

211

21

2111 rr22rrrR

2rrrrr2

2rr1

r1

R1

++=+

+=++=

A

B C

D

B A

D C

B C

A D

En el segundo caso la resistencia r2=BC est en paralelo con las resistencias en serie r1+r2+r1 ( )

( )( )( )21

1222

122

21

1222 rr22rrrR

2rrrrr2

2rr1

r1

R1

++=+

+=++=

( )( ) 1,62rrr

2rrrRR

211

122

1

2 =++=

Si hacemos r1 igual a la unidad resulta:

01,61,2rr3,2r1,62rr 22222

22 =+=+

Resolviendo la ecuacin de segundo grado y considerando la solucin positiva r2 =2, por tanto, la relacin de longitudes es la misma que la de resistencias por ser un hilo uniforme. 6.- Se construye un pentgono regular con hilo uniforme de igual grosor. Dos vrtices contiguos del pentgono se unen por medio de hilos conductores a una batera. Calcular la intensidad del campo magntico en el centro geomtrico del pentgono. El esquema elctrico del circuito es la figura inferior.

Si consideramos un elemento de conductor dl recorrido por una corriente I , la intensidad del campo magntico est dado por la expresin

dl r

dB

I

I1 I2

La corriente I procedente de la batera se bifurca en I1 e I2. La intensidad I1 es cuatro veces inferior a I2, puesto que el ramal superior del pentgono tiene cuatro lados y el inferior uno. Para decidir la direccin del campo magntico creado por cada uno de los lados debemos recordar la ley de Biot-Savart.

3rrldIKBdrrr =

El producto vectorial rld r

r , nos indica la direccin de Bd

r. Si ld

r y r

rse encuentran en el

plano del papel el campo magntico es perpendicular al plano del papel y dirigido hacia adentro

Si aplicamos lo dicho anteriormente al caso del polgono, deducimos que los cuatro lados por los que circula I1 crean un campo magntico perpendicular al plano que contiene el hexgono y dirigido hacia dentro. El campo de esos cuatro lados es la suma de cada uno de ellos. En cambio el lado por el que circula I2 = 4I1 es perpendicular al plano del hexgono pero dirigido hacia fuera. Dado que el campo depende de I y de la distancia y en los dos casos la distancia es la misma , se deduce que el campo magntico de los cuatro lados es igual al del nico lado por circular por este ltimo una intensidad cuatro veces mayor. En consecuencia el campo total es nulo. 7.-Calcular en el circuito de la figura inferior la corriente total que atraviesa la batera

Esto nos lleva a decir que la resistencia de 2 y la de 6 estn en paralelo y el conjunto de las dos en serie con la de 1,5 . El circuito de la parte superior excluyendo a la resistencia de 3 queda as (fig 1)

2

6

B A,D

Fig.1

C

2

6

B A,D

Fig.2

A

B C D

6V

2 1,5

6

3

Vamos a convertir este esquema en otro en el que se vea ms fcilmente la disposicin de las resistencias. Para ello sealamos los nudos ABCy D ,; observamos que entre Ay D no existe resistencia , por tanto, esos dos puntos estn al mismo potencial y por tanto son el mismo nudo.

La resistencia de 3 est entre By C, por tanto, en paralelo con las de la. figura 1. El circuito definitivo es el de la figura 2. Resistencia entre C y A

23R

61

21

R1

CACA

=+= Resistencia entre B y A

3231,5R BA =+=

Resistencia total del circuito

=+=23

31

311

TT

RR

Intensidad total

AI 45,1

6 ==

3

8.- Un bloque de peso P se encuentra en reposo sobre un suelo horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento esttico . Sobre el bloque se aplica una fuerza F que puede formar con la horizontal cualquier ngulo agudo . Calcular la fuerza mnima que se precisa para iniciar el movimiento del bloque y el valor del ngulo. El diagrama de fuerzas que acta sobre el bloque es el siguiente:

Para calcular el valor mnimo de F derivamos F con respecto a la variable e igualamos a cero.

( ) tagcossen0sencoscossenP

ddF

2 =+=

++=

222222

11

tag11cos

cos11tag1cossen

+=

+==+=+

2

22

2222

1

11

1

tag11

1sensen

1tag

111cossen+

=+

=+

==+=+

Sustituyendo en la ecuacin (1)

2

2

2

2

min1

P

1

11

PF +=+++

=

N F

P FR=N

P=N+Fsen N = P Fsen Fcos = Fcos = (P-Fsen ) ; F(cos + sen ) = P

(1)sencos

PF +=

9.- La rueda de una locomotora es ro =1 m a la temperatura de 0Cul es la diferencia entre el nmero de rotaciones de la rueda, a lo largo de un recorrido de L=1000 km en verano con una temperatura de t1= 25C y

en invierno con una temperatura de t2= -25C. El coeficiente de dilatacin lineal es = 2.10-5 K-1. La longitud de la rueda en funcin de la temperatura es ( ) ( )2ot21ot1 t1r2L;t1r2L +=+= El nmero de vueltas en L = 106 m

( ) ( )2o21o1 t1r2Ln;

t1r2Ln +=+=

La diferencia

15925*2.101

125*2.101

12

10t1

1t1

1r2

Lnn 556

12o12 =

+=

++=

10.- Desde un terreno plano que forma con la direccin horizontal un ngulo , se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba formando la direccin de la velocidad inicial un ngulo con la horizontal. A) Calcular el valor de para que el cuerpo permanezca en el aire el mayor tiempo posible b) Lo mismo para que el alcance sea el mayor posible. a) Las ecuaciones del movimiento del cuerpo en el sistema de referencia que se indican

Supongamos que cuando el tiempo t es el mayor posible el impacto del cuerpo con el suelo tiene de coordenadas xa e -ya , ambas coordenadas relacionadas por

-ya = xa tag

X

Y en la figura son: x = vo (cos ) t

y = vo (sen ) t- 21 g t2

( ) ( )( ) ( ) ( )costagsen

g2v

tgt21tsenvtagtcosv

gt21tsenvtagxy;tcosvx

o2oo

2oaaoa

+==

===

El tiempo mayor posible ha de cumplir que su derivada con respecto a sea cero

( )tag

1tag1tag*tag0sentagcosg

2vddt o ====

Los ngulos complementarios tienen el seno de uno igual al coseno del otro y viceversa, por tanto, sus tangentes cumplen la relacin anterior, lo que quiere decir

90 =+ b) Para buscar la condicin de alcance mximo la forma de operar es semejante a la anterior

-ym = xm tag

( ) ( )( )

( ) ( )( )cossencostag

g2v

x

costagcostagg

2vxtagtag

g2

cosvx

cosvxg

21tagtag

cosvxg

21

cosvxsenvtagx

gt21tsenvtagxy;tcosvx

22o

m

222o

m22o

m

22o

m

2

o

m

o

mom

2ommom

+=

+=+=

=

=

===

El alcance mayor posible ha de cumplir que su derivada con respecto a sea cero

( )

( ) tag2sen2costag

2sen2sen12sen*tagsen1sen

2sen*tagcossensen2cos*tagcossen

0cossensen2cos*tagg

2vd

dx

222

2222

222om

===+

=+=+

=+=

902tag

12tag =+=

11.- Un reloj de pndulo funciona perfectamente cuando la temperatura es 15,0C. Si la temperatura ambiente sube a 30,0C, calcular cuntos segundos se retrasar al cabo de 24 horas? La longitud del pndulo a t15 es 0,50 m y el coeficiente de dilatacin del material con que est hecho es = 2,0.10-5 K-1. Calculamos los periodos

( )

g15*2.1010,52T;

g0,52T

5

3015

+== Sustituyendo valores resulta:

T15=1,418503 s y T30 = 1,418716 s En cada periodo la diferencia de tiempo es 2,13.10-4 s

12,97sxx3600*24

2,13.101,418503

4 == Teniendo en cuenta que para hacer el clculo hemos tomado g = 9,81 m/s2 y el valor del coeficiente de dilatacin que est dado con una cifra significativa, el resultado numrico est afectado de esas incertidumbres. Por ello debemos decir que el reloj retrasa aproximadamente unos 13 segundos. Con los valores dados, la incertidumbre es del orden de

%5100.0,21,0

1502,0

81,901,0 =

++

Lo que nos indica que el retraso debe estar comprendido entre 12 y 14 segundos.

12.-Sobre la pared lateral de un acuario de vidrio y desde el aire se enva un rayo luminoso con un cierto ngulo de incidencia. Se pide determinar si existe un ngulo de incidencia tal que despus de penetrar en el vidrio no lo haga en el agua. ndice de refraccin del vidrio 1,5 y del agua 1,33. El esquema de la marcha de los rayos es el de la figura

La aplicacin de la ley de Snell

esen1,33senr1,5;senr1,5isen1 ff ==

Si queremos que el rayo no penetre en el agua entonces e = 90, luego el seno del ngulo de incidencia tena que valer 1,33 y eso no es posible, en consecuencia, cualquiera que sea el ngulo de incidencia el rayo llegar al agua. 13.- La longitud de onda promedio del filamento de una bombilla es 12.10-5 cm. Calcular el nmero de fotones emitidos por unidad de tiempo, si la potencia de la bombilla es 200 W. La energa asociada a un fotn es

chhE ==

Si N representa el nmero de fotones emitidos por unidad de tiempo NE es igual a la potencia de la bombilla

sfotones1,2.10

3.10*6,6.1012.10*200

hc200N200

cNh 20934

7

====

aire vidrio agua

i rf

e

PROBLEMAS VARIADOS 2 14.- La fotografa del espectro del Sol para la lnea amarilla ( 0A5890. = ) se encuentra desplazada 00,08A segn el borde del Sol del cual provenga la luz. Calcular la velocidad lineal de los puntos del ecuador del Sol debido a su movimiento de rotacin Consideramos a la Tierra fija, donde se recibe la fotografa, y el Sol rotando. La luz de un borde del Ecuador se acerca a la Tierra y la del borde opuesto se aleja. Segn el efecto Doppler, las frecuencias registradas son respectivamente:

FFFF vcc

c

cv1

;vc

c

c

cv1

+=+==

=

Restando los inversos de las ecuaciones anteriores

=

+= 2F2F

FF vc2v

c

vc1

vc1

1

1

Hacemos 2 = y 22F2 cvc

sm.100,2

5890.10*20,08.10*3.10

2cv 310

108

F ===

15.- Un recipiente de volumen V se conecta a una bomba de pistn cuya cmara tiene un volumen V. La presin inicial del recipiente es P. Se pide el nmero de emboladas que hay que efectuar para que la presin del recipiente se reduzca a Pf. La variacin de temperatura se considera despreciable. Cuando la bomba aspira el volumen inicial V del recipiente aumenta a V+V y por consiguiente la presin disminuye a p1. Despus de la aspiracin las vlvulas funcionan para que el aire contenido en la cmara de la bomba salga al exterior. La presin en el recipiente es:

p1 (V+V) = PV VVPVp1 +=

Si ahora se efecta una segunda embolada, la presin disminuye a p2.

p2(V+V)=p1V 2

12 VV

VPVV

Vpp

+=+=

Al cabo de n emboladas

+

=

+=

+=VV

Vlog

PPlog

nVV

VlognPP

logVV

VPPf

fn

f

16.- Un barmetro de mercurio tiene una longitud de tubo L y en su cmara se ha introducido vapor de agua. Cuando la presin atmosfrica es po y la temperatura To la altura del mercurio es H1. Se pide calcular la presin atmosfrica, en mm de mercurio, cuando la altura indicada por el barmetro es H y la temperatura es T.

Consideramos que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto y S designa la seccin del tubo del barmetro ( ) ( )

THLSp

THLSp 2

0

11 = Despejando p2 y llevando a (1)

( ) HHLHL

TTHpPPH

HLHL

TTp 1

o1oatmatm

1

o

1 +==+

L H1

A

po

L H

A

Patm

Designamos con p1 la presin del vapor de agua en la cmara del barmetro en el caso primero y con p2 en el caso segundo. Igualamos las presiones en le caso primero y en le segundo p1+H1= po ; p2+H= Patm (1)

17.-Dos cilindros se encuentran inicialmente situados como indica la figura.

A medida que desliza el cilindro inferior hacia la derecha, el superior, mientras est en contacto con l, sigue empujndolo y haciendo que su velocidad aumente, por tanto, sta adquirir un valor mximo y a partir de ese momento los cilindros dejan de estar en contacto, ya que si siguiesen en contacto la velocidad aumentara an ms y eso no es posible porque hemos llegado al mximo valor de ella.

En este momento el cilindro superior posee una velocidad vy dirigida hacia abajo y el cilindro inferior una velocidad vx dirigida hacia la derecha. Dado que no existen rozamientos, la energa cintica que han adquirido los cilindros proviene de la prdida de energa potencial del cilindro superior.

2gyvvmgymv21mv

21 2

y2x

2y

2x =+=+ (1)

y

x

2R

De forma suave, se desplaza el cilindro inferior hacia la derecha y as comienza a deslizar por la accin del cilindro superior que acta en contacto con el inferior y con la pared vertical. Se admite que no existe ningn rozamiento entre las superficies que estn en contacto. Se pide la velocidad final que alcanza el cilindro inferior

En la figura de la izquierda se representan los cilindros en la situacin inicial y cuando ha transcurrido un cierto tiempo. R representa el radio de cada cilindro, inicialmente la distancia entre sus centros de masa es 2R. Al cabo de un cierto tiempo, el cilindro superior ha descendido una altura y mientras que el inferior ha sufrido un desplazamiento horizontal x. Se ha dibujado un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es 2R, el cateto contiguo x y el opuesto 2R-y

Volviendo al tringulo de la figura:

( ) 2Rcosx2Rxcos;sen12Ry

2Ry2Rsen ====

( )[ ]( )

dtd*2Rcos

dtd*

dsen12Rd

dtd*

ddy

dtdyv

dtd*2Rsen

dtd*

d2Rcosd

dtd*

ddx

dtdxv

y

x

====

====

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones resulta:

senvcosv yx = Sustituyendo en la ecuacin (1)

[ ]( )sensen12R2gvsen2gysencos1

2gyv2gysencosvv x

2

2x2

22x

2x ==

+==+

Para calcular el valor mximo de vx respecto del ngulo , derivamos e igualamos a cero

( ) ( )( )

( ) ( )32sencos3sencos2cossencos2sen2cos

cossencossen120sen14gR2

cossen4gRcos*sen18gR

0sen14gR2

cos4gRsencos*sen14gRd

dvx

===

==

=

+=

34gR

32

32*

3214gRvx =

=

18.- Una varilla uniforme de longitud L desliza con velocidad v por un suelo horizontal sin rozamiento. La varilla encuentra que a partir de una lnea M el suelo presenta un coeficiente de rozamiento constante. La varilla penetra en ese suelo y se detiene al cabo de un cierto tiempo, quedando una parte de ella en el suelo sin rozamiento, tal como indica la figura inferior.

Determinar el tiempo que emplea la varilla desde que llega a la lnea M hasta que se para. Cuando la varilla desliza por el suelo sin rozamiento, las fuerzas que actan son el peso en direccin vertical al suelo y hacia abajo y la fuerza normal con que el suelo empuja a la varilla , vertical y hacia arriba, la suma de ambas fuerzas es nula y la varilla mantiene su velocidad constante. Cuando penetra en e suelo con rozamiento aparece una fuerza horizontal de rozamiento en sentido contrario a la velocidad. Esta fuerza de rozamiento vale.

NFR = Siendo el coeficiente de rozamiento y N la fuerza de reaccin del suelo con rozamiento sobre la varilla. N aumenta a medida que la varilla penetra en el suelo con rozamiento. Si la varilla ha penetrado una distancia x en el suelo con rozamiento

kxFxL

mgFxL

mgN RR === En consecuencia, la fuerza que frena a la varilla es directamente proporcional a la longitud de varilla que ha penetrado en el suelo con rozamiento. Esta situacin es la misma que cuando un mvil efecta un movimiento armnico y se desplaza desde la posicin de equilibrio hacia la mxima elongacin y cuando alcanza sta, su velocidad se anula. Aqu la varilla al llegar a la lnea M lleva una velocidad v, al penetrar aparece la fuerza de rozamiento y se para hasta frenarse, por tanto, equivale a un tiempo de un cuarto de periodo en el m0vimiento vibratorio armnico.

gL

2

4Tt

Lmg

m2km2T ====

M

L x

19.- De acuerdo con la teora de la relatividad un cuerpo formado por la adicin de masas, m1 , m2 mn , su masa es inferior respecto a la suma en una cantidad 2c

Em = donde E es la energa de enlace (energa que se ha de suministrar al cuerpo para separar las masas individuales que lo componen) y c es la velocidad de la luz. Calcular m para la Tierra, admitiendo que E solamente corresponde a la energa gravitacional. Admitir que la Tierra es una esfera de densidad constante. Para realizar el calculo vamos a suponer que desde el infinito traemos capas esfricas de espesor dr, las cuales las vamos apilando, hasta formar una esfera cuyo radio final es el de la Tierra. En un determinado momento la esfera que ya hemos formado tiene un radio r y sobre ella y desde el infinito traemos una capa esfrica de radio r y espesor dr.

La energa necesaria para realizar el procesor de sumar la capa esfrica a la esfera r , esta dada por

dE = dm*( Potencial gravitatorio de partida menos potencial gravitatorio de llegada) siendo, dm la masa transportada , esto es , la masa de la capa esfrica. El potencial gravitatorio en el infinito es cero y en la superficie de la esfera de radio r

rGmV =

Siendo m la masa de la esfera de radio r

r34m;drr4dm 32 ==

r infinito dr

( ) dr3

r4Gr

r34G

0drr4dE42

3

2 =

+=

Para construir la esfera de radio igual al de la Tierra, hemos de sumar los trabajos anteriores desde que el radio inicial es cero hasta que alcanza el valor R ( ) ( )

15R4Gdr

3r4G

0E

5242

== R

(1)

La energa anterior sera la que necesitsemos para destruir la esfera terrestre llevando capas de espesor dr al infinito.

4G3g

R

R34

GRMGg 2

3

2 === Sustituyendo en (1)

( ) ( )( ) kg2,5.103.10*6,67.10*5

6370.10*9,8*35Gc

R3gmG5R3g

15

RGR4

3g*G4E 152811

332

2

32325

22

====

=

20.- Un cubo de arista a, se apoya sobre dos varillas Ay B dispuestas horizontalmente con una distancia entre ellas igual a la arista a del cubo. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, para qu valores del ngulo el cubo puede mantenerse en equilibrio.

La posicin de equilibrio ms estable del cubo es cuando = 45. En la figura superior el cubo aparece desplazado y si no hubiese rozamiento tendera a girar en el sentido de

la flecha, esto es, en sentido contrario a las agujas del reloj, hasta alcanzar la posicin de 45. En esa situacin se han dibujado las fuerzas que actan sobre el cubo. Si desplazsemos el cubo hacia la derecha las fuerzas de rozamiento tendran sentido contrario a las dibujadas en la figura y el cubo de no existir rozamiento se desplazara en el sentido de las agujas del reloj. Si el cubo est en equilibrio se cumple que la suma de las fuerzas sobre el eje X es nula y el momento de las fuerzas respecto del centro de masas, C.M. , tambin es nulo.

(1)cosFsenNsenFcosN

0cosFsenNcosNsenF

R22R11

R221R1

++==+

Los momentos de las fuerzas dirigidos hacia dentro del papel se consideran positivos y hacia fuera negativos.

( ) ( ) )2(12cosNsen21NFF0

2apN

2aFsena

2aN

2aF

02apN

2aFp

2aN

2aF

21R2R1

22R21R1

22R211R1

+=+

=

+

=

+

Los valores de las fuerzas de rozamiento son: 2R21R1 NF;NF (3) De la ecuacin (1) se deduce:

tagNNFtagFFtagNtagFN 21R2R1R22R11 =+++= (4) A partir de las ecuaciones (3)

( )21R2R12R21R1 NtagNFtagFNF;tagNtagF ++ (5) De las ecuaciones (4) y (5)

( )( ) ( ) ( )

( ) )6(NN

tagtag1tag

NNtag1

tagNtag1NtagNNtagN

N-tagNNtagNtagNNNtagN

1

2

1

2

21211

22112121

++

+++

De las ecuaciones (3) : ( )21R2R1 NNFF ++ (7)

De las ecuaciones (7) y (2)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

(8)NN

12cossen21

12cosNNsen21N12cosNsen21NN

12cosNsen21NNN

1

2

1

22211

2121

+

+++

Comparando las ecuaciones (8) y (6), se deduce que

tagtag1

12cossen21

+

+ (9) La inecuacin (9) se resuelve mediante la hoja de clculo

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

15 20 25 30 35 40 45

angulos en grados

prim

ero

y se

gund

o m

iem

bro

de

(9)

primero segundo

Aproximadamente a unos 36 se igualan los valores del primer miembro con el segundo y a partir de ah el primero es mayor que el segundo tal como exige el problema. Si se precisa algo ms el clculo resulta que

ngulo Primer miembro Segundo miembro 36,1 0,9075 0,9198 36,2 0,9188 0,9166

Entre 36,2 y 45 hay equilibrio, en el intervalo 45-36,2 = 8,8 y si el cubo se sita desplazado para que gire en sentido de las agujas del reloj hay equilibrio entre 45 y 53,8. En total hay equilibrio desde 36,2 a 53,8 .

21.-Dos cilindros idnticos, de radio R, estn en reposo sobre un suelo horizontal. A uno de ellos se le aplica una fuerza F en su centro y al otro en la periferia, tal como indica la figura inferior

El coeficiente de rozamiento de los cilindros con el plano es el mismo .. Se pide calcular la fuerza mxima F que puede aplicarse a cada cilindro sin que se produzca deslizamiento y las aceleraciones de sus centros de masas. Sobre el primer cilindro actan las fuerzas que se indican en la figura 1

Fig.1 Las ecuaciones del movimiento del cilindro para la traslacin y rotacin son:

Ra

IR*FmaFF

CM

R

R

===

La ltima ecuacin se cumple siempre que el cilindro no deslice. Si se aumenta el valor de F la aceleracin del centro de masas aumenta y tambin la aceleracin angular por lo que FR debe aumentar. Ahora bien esta fuerza de rozamiento no puede aumentar indefinidamente sino que alcanza un valor mximo FR= mg que se corresponde con un valor mximo de F = Fmax , y el cilindro rueda sin deslizar. Si F supera ese valor mximo entonces se produce rodadura y deslizamiento.

F

F

F

FR Peso = mg

F = Fuerza aplicada FR = fuerza de rozamiento Peso del cilindro, P = mg

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta:

Ra

g2aR

a*mR

21R*mgIR*mg

mamgF

CM

CMCM2

max

====

=

Sustituyendo la aceleracin hallada en la primera ecuacin

mg3mgg2mFmax =+=

Para el segundo cilindro las fuerzas se indican en la figura 2.

Fig. 2 Aqu la fuerza de rozamiento acta en el sentido del movimiento del centro de masas. Veamos el porqu. F y FR actan creando una aceleracin hacia la derecha de valor

maFF R =+

El momento de la fuerza F tiene sentido contrario al de la fuerza de rozamiento, El momento de F crea una aceleracin angular para que el cilindro ruede hacia delante, mientras que el momento de FR se opone a ello. ( ) IR*FF R = Si la fuerza FR actuase en sentido contrario a como lo hace estaramos ante una situacin paradjica, los dos momentos de ambas fuerzas tienden a hacer rodar hacia delante el cilindro, pero la FR se opone a las traslacin del centro de masas. Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor mximo FR= mg , la fuerza aplicada F es la mxima.

F

FR

Peso = mg

ma21

RRa*mR

21

RImgF

mamgF

2

max

max

===

=+

Restando las ecuaciones anteriores

g4ama21mg2 ==

y

mg3mgmaFmax == Si la fuerza de rozamiento actuase como en le caso 1, las ecuaciones seran

( )Ra

IR*FFmaFF

CM

R

R

==+

=

Operando con estas tres ecuaciones

ma21

RRa*mR

21

mgF

mamgF

2

max

max

==+

=

De ambas ecuaciones

g4aa21mg2 ==

mg3Fmax = Segn la primera ecuacin el cilindro rodara en sentido contrario a la fuerza aplicada. Lo lgico es admitir que la fuerza de rozamiento acta como hemos supuesto en la figura 2.

PROBLEMAS VARIADOS 3 22.-Dos abalorios iguales de masa m y carga q pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas barras estn en le mismo plano vertical formando un ngulo con la horizontal. Determinar a qu altura por encima de la horizontal pueden elevarse ambos abalorios. Inicialmente se encuentran a una distancia L entre s y

a una distancia l de los extremos de las barras, tal como indica la figura 1.

Fig.1

a) Suponemos que los abalorios se desplazan hacia arriba una distancia que es inferior a l , o en otras palabras , que no abandonan las barras.

En el equilibrio reencuentran a una distancia S y se han elevado una altura h sobre la horizontal. Los abalorios han ganado energa potencial gravitatoria respecto de la posicin inicial y esta ganancia es debida a la prdida de energa potencial elctrica de las cargas

L l

S h

x

L l l

Fig.2

=S1

L1

4q2mgh

o

2

De la figura 2 se deduce:

tag2hL2xLS +=+=

(1)tag2L

mg8qh

mg4q2hLtag

2hLtag2h

4q

2hLtagtag

L1

4q

tag2hL

1L1

4q2mgh

o

2

o

2

o

2

o

2

o

2

==+

+=

+=

+=

Veamos cul es la condicin para que los abalorios no se salgan de las barras. El lmite viene determinado porque los abalorios recorran sobre la barra la longitud l. En este caso h es igual a l sen

+= tag2Lsenlmg8qtag

2L

mg8qsenl o

o

2

Si q es mayor que la raz cuadrada de la expresin anterior los abalorios abandonan las barras con una velocidad v, y una vez fuera de las barras describirn un movimiento parablico. Para que esto ocurra, la suma de las energas potenciales gravitatorias ms las cinticas de ambos abalorios deben ser iguales a la prdida de energa potencial gravitatoria al llegar a los extremos de las barras

( ) sen2glcos2lLL 2lcosm 4qvcos2lL

1L1

4q

tagsen2lL

1L1

4qsen2mglmv

21*2

o

22

o

2

o

22

+=

+=

+=+

La altura que alcanza un abalorio cuando abandona la barra viene dada por la expresin que determina la altura mxima en un movimiento parablico

( )

( ) lsensen*2lcosLL2lcos

8mgqH

2g

sen*2glsen2lcosLL

2lcos m4

q

2gsenvH

32

o

2

2

o

2

22

+=

+==

La altura total respecto de la posicin inicial es:

( )( )

++=

++=

2lcosLLsenlcos

4mgqcoslsenh

senl-sen*2lcosLL

2lcos8mg

qlsenh

2

o

22

total

32

o

2

total

23.-Sobre el eje X se encuentra una carga q1, a su derecha y a una distancia l se encuentra una carga +q2, siendo en valor absoluto q2>q1. Ambas cargas estn fijas. Por el eje X y por la izquierda de q1 y desde el infinito se acerca una masa m con una carga +q3. Calcular la velocidad mnima que debe tener en el infinito esta carga para que pueda alcanzar a q1. En la figura est el esquema de la situacin de las cargas

En el punto P a una distancia r de q1, los campos elctricos de la dos cargas se anulan. A la izquierda de P predomina el campo de +q2 y a la derecha de P el de -q1. Dado que la carga q3 es positiva, a la izquierda de P es repelida, pero si rebasa el punto P, entonces es atrada, por consiguiente, si +q3 ha de llegar a -q1 basta con que su velocidad en P sea nula , ya que de ah en adelante ser atrada por q1. El trabajo que es necesario realizar para que la carga +q3 llegue a P es:

( ) ( )

+=== rq

lrq

41qV0qVVqW 12

o3P3P3

El signo negativo indica que el trabajo debe realizarse en contra de las fuerzas del campo. Este trabajo se realiza a costa de la energa cintica inicial que la carga q3 tiene en el infinito

+=

+= rq

lrq

m42q

vr

qlr

q4

1qmv21 12

o

312

o3

2

El valor de r se puede calcular a partir de que en el punto P las fuerzas son iguales

( )1

qq

1r1qq

rl

qq

rlr

lrq

41

rq

41

1

21

2

1

22

2

o21

o ===++=

P

r l

+q2 -q1

24.-Un prisma cuya seccin principal es un tringulo issceles de base a y ngulo 2 = 160 (ver la figura) posee un ndice de refraccin n =1,5 .

Un haz de luz, cuya anchura es a4

3b = , y potencia P =8000 W, la cual est distribuida uniformemente sobre el haz, incide sobre el prisma. Dibujar la grfica de la fuerza F que acta sobre el prisma en funcin de x , siendo x la distancia en horizontal que existe entre el vrtice A del prisma y el centro B del haz luminoso. Calcular el valor mximo de F. Considerar que el haz luminoso penetra por entero en el prisma y por tanto se desprecian las posibles reflexiones.

Vamos a dividir el prisma en dos partes simtricas. Calculemos el ngulo con el que un rayo sale del prisma, tal como indica la figura inferior

b

a 2

a/2

90

A

BC

Fig.1

Por la ley de Snell ( ) 6,6478sen1,590sen*1 == En el tringulo ABC ( ) 9018090 ==+++ Por la ley de Snell ( ) 0,0877sensen*1-90sen*1,5 == Un fotn con energa E posee un momento lineal

cE .De la figura 1 se deduce que un

fotn que incida sobre la parte derecha del prisma cambia su direccin, teniendo una

componente en direccin horizontal y dirigida hacia la izquierdacsenE

Y otra en direccin vertical ccosE

Sobre la parte izquierda del prisma un fotn en posicin simtrica con el de la figura 1

tendra de componentes: ;csenE+

ccosE .

La fuerza horizontal que aparece sobre la mitad del prisma derecho y dirigida hacia la izquierda se anula con la fuerza horizontal que aparece en la mitad izquierda del prisma y dirigida hacia la derecha. La fuerza neta horizontal sobre el prisma es cero. Esto ocurre porque la mitad del prisma recibe la misma potencia luminosa que la otra mitad y se debe a la situacin simtrica del prisma cuyo centro coincide exactamente con el centro del haz luminoso. La situacin cambia si el centro del prisma no coincide con el centro del haz luminoso, ya que entonces una mitad del prisma recibe mayor potencia que la otra mitad. En la figura 2 se representa el haz y la base a del prisma situada en distintas posiciones

Cuando x =0 la potencia recibida por la parte izquierda del prisma es igual que la que recibe la parte derecha , por tanto , las fuerzas horizontales son iguales y de sentido contrario y su suma es nula , lo que indica F =0 Cuando x = 1/16a, la potencia recibida por la mitad izquierda del prisma es mayor que por la parte derecha. La fuerza es proporcional a la superficie recibida

a81kFFF

a161a

83kxa

83kF;a

161a

83kxa

83kF

21

21

==

=

=

+=

+=

Cuando x = 1/8a,

a41kFFF

a81a

83kxa

83kF;a

81a

83kxa

83kF

21

21

==

=

=

+=

+=

b=3/4 a

3/8a 3/8a

3/8a +x 3/8a -x

x=0

x=1/16a

3/8 a+x=a/2 3/8 a-x

a/2

x=1/8a

a/8

a/2

x=2/8a

x=3/8a

x=4/8a=a/2

x=7/8a

fig.2

Cuando x = 2/8a,

a83kFFF

a81

21kxa

83kF;

2akF

21

21

==

=

== a

Cuando x = 3/8a,

a21kFFF

0a83a

83kxa

83kF;

21kF

21

21

==

=

=

== a

A partir de 3/8, la fuerza disminuye ya que disminuye la luz que le llega a la parte izquierda del prisma. Cuando x = 7/8a resulta que ya no le llega luz al prisma y por consiguiente la fuerza es cero. Representamos en el eje de abscisas x/a frente a la fuerza relativa al valor mximo

x/a 0 1/16=0,5/8 1/8 2/8 3/8 7/8

F/Fmax 0 1/4 1/2 3/4 1 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x/a

F/F m

ax

La fuerza mxima se produce cuando la mitad izquierda del prisma recibe luz y la mitad derecha no la recibe.

La energa que recibe el prisma por unidad de longitud es a

P

43

y la que recibe la mitad

izquierda del prisma PaaP

32

2*

34 = .

La fuerza esta determinada por la variacin del momento lineal con respecto al tiempo

N1,56.103.10*3

0,0877*8000*2c

senP32

tcsenE

F 68

t

==== 25.- Una membrana horizontal oscila armnicamente a lo largo de un eje vertical con una frecuencia f= 100 Hz. Calcular la amplitud de las oscilaciones si unos granos de arena que estn sobre la membrana saltan hasta una altura de de H= 2 cm respecto de la posicin central de la membrana. Cuando la membrana est en su posicin inicial de equilibrio, en la que la aceleracin es cero, un grano de arena de masa m est sometido a dos fuerzas su peso y el empuje de la membrana. En una posicin en que la membrana est separada de su posicin de equilibrio, resulta que existe una aceleracin vertical dirigida hacia la posicin de equilibrio. Si analizamos las fuerzas desde un sistema ligado a la membrana, que es un sistema no inercial, las fuerzas que actan estn representadas en la posicin 2 de la figura1.

En la segunda posicin sobre el grano actan las fuerzas indicadas, siendo E menor que en la primera posicin. En al tercera el empuje se ha anulado y mg = Fi =ma; al cesar E

mg mg mg

E E

FiFi

Fig.1

el grano puede abandonar la membrana, y esto ocurre cuando la aceleracin de la membrana es igual a g. Si para la posicin de equilibrio la ecuacin del movimiento armnico es tsenAy = , la ecuacin de la velocidad es tcosAv = y la de la aceleracin tsenAa 2= . Cuando el valor absoluto de la aceleracin sea igual a g, es cuando el grano puede abandonar la membrana

gtsenA2 = (1) En ese instante la velocidad vertical del grano es: tcosAv = Debido a esa velocidad alcanza una altura respecto de la posicin de la membrana cuando

la abandona igual a: 2g

tcosAh222

= Respecto a la posicin inicial de la membrana

2gtcosAtsenAH

222

+= (2) A partir de las ecuaciones (1) y (2)

2

222

22

2

2

2

22

2

22

2

42

222

2

ggH2

A2

2ggH4

A

2g2

gHA

2gH

2gA

2g

2gA

g

2gA

g1A

AgAH

=

=

=

=+=

+=

Sustituyendo valores

mm1m9,96.10100*4

9,82.10*9,8*100*4*2A 422

2222

==

26.- Un objeto en forma de L se encuentra a la izquierda de una lente convergente de distancia focal f. Las dimensin vertical del objeto el h y la horizontal x, tal como se indica en la figura.

El aumento transversal es

hh

= y el longitudinal xx = . Encontrar la

relacin entre ambos aumentos y en particular cuando x sea muy pequeo comparado con s.

De la figura se deduce que: ss

hh ==

La ecuacin de las lentes delgadas

sffss

fssf

s1

f1

s1

f1

s1

s1

+=+=+==+

sff

ssf

fs

+=+=

Aplicando de nuevo la ecuacin de las lentes delgadas:

( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )xsfsfxfx

xsfsffxsfssffxsxffssf

xsfsfsffxfs

sffs

xsfxsfx

sxsf

xsfxx-sfxsf

x-s1

f1

xs1

f1

xs1

x-s1

2

22222

++=

++++=++

+=++=

+=+=+=+=++

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) sfx1

sfxsf

xsfsf

sffxsfsf

fxx

22

2

22

+=

++

=+++=++

==

En el caso de que x sea muy pequeo frente s , la fraccin del denominador es un nmero muy pequeo , y para este caso

2 =

h

x f

F

s s

xh

PROBLEMAS VARIADOS 4

27.- Dos lentes convergentes tienen la misma distancia focal F y estn situadas a una distancia F una de la otra. La segunda lente est a una altura h por debajo de la primera tal como indica la figura.

En el eje principal de la lente 1 est situado un punto luminoso S a una distancia 2F de dicha lente. Calcular la distancia en lnea recta entre S y la imagen S1 que forman las dos lentes. Para determinar donde se forma la imagen de S1 escogemos dos rayos luminosos procedentes de S. Uno que se desplaza por el eje principal de 1 y otro que se dirige desde S a la lente 1 apuntando al lugar donde se encuentra el foco objeto de la lente 2. El primer rayo atraviesa la lente 1 sin desviarse y llega a la dos, en ella se refracta y pasa por el foco imagen de la lente 2 ya que es un rayo paralelo a su eje principal. Si slo estuviese la lente 1 podremos calcular dnde se forma la imagen de S, aplicando las formulas de las lentes delgadas

2Fs2F1

F1

s1

F1

s1

2F1

222

===+ En la figura ese lugar est sealado con la letra M. El segundo rayo procede de S y llega a la lente1 en el foco objeto de la lente 2 , se refracta y camina hacia el punto M , pero en su camino se encuentra con la lente 2, para sta es un rayo que procede del foco objeto y por tanto despus de atravesar la lente sale paralelo a su eje principal. En la figura se observa dnde se cortan los dos rayos considerados y ese es el lugar donde se forma la imagen S1.

1

2 2F

F

S h

Comparando los tringulos semejante aOM y BNM

2hbN

FbN

2Fh

NMbN

OMaO ===

Comparando los tringulos semejantes bNS1 y PNQ

2FbS

Fh

bS2h

PQNP

bSNb

111

===

2222

1 h49F21

2h

2FF2FSS +=

+

++=

28.- Los compartimentos AB y CD de un tubo vertical estn llenos de aire. Los extremos del tubo estn cerrados. Las partes BC y DE son de mercurio y en la parte superior EF se ha hecho el vaco. Las longitudes de cada una de las partes son iguales a h. La presin en el punto A es p. El tubo se gira cuidadosamente y adopta la posicin de las distintas partes indicadas en la figura. Calcular la presin en el punto inferior F en funcin de p. Se supone que al darle la vuelta al tubo la temperatura no

vara. Cuando el tubo se gira el compartimiento de aire AB pasa a ser A1B1 y el CD a C1D1.

inicial final

x

A

B

C

D

E

F

F

A1

B1

C1 D1

mercurio

S1 S

M

1

a

b O N

P Q

2 2F

F

Designamos con S la seccin del tubo .Los volmenes de cada uno de los compartimientos de aire en el estado inicial son Sh.. Las presiones son PE = 0 ; PD = PDC=gh ; PB=PDC+ gh=PA=p=2 gh Siendo la densidad del mercurio Las presiones en las cmaras de aire son p en AB y p/2 en CD El aire contenido en la cmara AB ocupa en la posicin final la cmara A1B1.La presin ahora en esta cmara es px Teniendo en cuenta que la temperatura no ha variado se cumple, de acuerdo con la ley de Boyle-Mariotte

xpphSxppSh xx == (1) La cmara de aire CD tiene una presin p/2 y al volcar el tubo pasa a ser C1D1. Puesto que el tubo no ha variado de tamao y tampoco las alturas del mercurio se deduce que la altura H de esa cmara es: 5h= 2h +x +H H = 3h-x Aplicando la ley de Boyle.Mariotte, y designando con p2 a la presin en C1D1 en el estado final

( ) ( )x3h2phpx-3hSpSh

2p

22 == (2) De acuerdo con la figura se deduce que.

2pppghpp x2x2 +=+= (3)

De las ecuaciones (2) y (3) se deduce que.

( ) ( ) 2p

x3h2php

2pp

x3h2ph

xx =+= (4) Llevando la ecuacin (4) a la (1)

( )h6x

x6hx3hxhx2hx6hxx3h

hx2hx2p

x3h2phph 2222

=

=+==

=

La presin en F en el estado final es:

( )

+=

++=

+

+=

+=

+=+=+=

661p

126626p

21

2436626pp

21

6261p1

h63hh

2p

2p

x3h2phghpp

F

2F

29.- En el dispositivo de la figura inferior AB es una varilla conductora que se apoya sobre un conductor fijo FCDE. La varilla conductora puede deslizarse sin rozamiento sobre el conductor fijo. Un campo magntico uniforme B=2.10-2 T tiene la direccin positiva del eje y se extiende sobre el plano XY. Si la varilla AB se desliza con velocidad

jvvrv = , siendo v= 3 m/s. Calcular la fuerza electromotriz inducida. La resistencia

elctrica del circuito es 3 . Determinar la potencia que se debe aplicar para mantener el sistema en movimiento.

La ecuacin BvqF

rrr = nos permite decir dnde se acumulan los electrones. En la figura est representado el vector Bv

rr que al multiplicar por la carga negativa del electrn indica una fuerza sobre los mismos dirigida desde A a B, en otras palabras el extremos A es el positivo y el B el negativo. Esto nos indica que la corriente en el circuito es en el sentido ADCBA. Para calcular la fuerza electromotriz inducida, calculamos la circulacin a lo largo de la lnea cerrada ABCD

( ) drcosBvrdBvrdqFrdE

m === rrrrrrr

rr

En la integral anterior la circulacin por BC, CD y DA es nula por ser el producto Bvrr , ya que v=0,

adems es 180 , por lo que la integral anterior queda reducida a

( ) -vBLBAvBrrvBdrvBdrvB BArB

rA

B

A

==== El movimiento de la varilla no es espontneo, ya que al aparecer una corriente desde B hacia A , sobre la varilla aparece una fuerza dada por la ecuacin

LBIFBBAIF ABAB ==rrr

Siendo I la intensidad de la corriente inducida que atraviesa la varilla AB y cuyo valor es R

LvBRI == ,

siendo R la resistencia del circuito. BAr

es un vector dirigido desde A hacia B, el producto vectorial por Br

da lugar a que el vector ABFr

tenga la direccin negativa del eje Y, esto es, contrario a la velocidad. En consecuencia si queremos que la varilla se desplace con velocidad v constante hacia la derecha hemos de aplicar un fuerza igual en modulo a FAB y dirigida hacia el eje Y positivo. La potencia que hemos de

A

B C

D

vv

E

F

B

Bv dr X

Y

Z

rA

rB

rA-rB= AB= L

aplicar es el trabajo efectuado en un tiempo dividido por ese tiempo. En el tiempo t la varilla se desplaza hacia la derecha una distancia vt el trabajo es FAB vt y la potencia

vBLIt

tvFP AB == En definitiva lo que ocurre es que hay que aplicar un trabajo para desplazar la varilla y ese trabajo aparece en forma de energa elctrica, si no fuese as resultara que tendramos una corriente elctrica sin consumir trabajo y eso es imposible. 30.- El hilo conductor, de longitud infinita, lleva una corriente de I amperios. El cuadro conductor, de lado L, se desplaza con una velocidad v

ambos se encuentran en el mismo plano YZ. Determinar la fuerza electromotriz inducida en el cuadro en funcin de la distancia x. Para calcular la fuerza electromotriz inducida, calculamos la circulacin a lo largo de la lnea cerrada ABCD. Antes veamos la direccin y sentido del vector Bv

rr , en cada uno de los lados y el ngulo que forma dicho vector con los rdr de cada uno de los lados. El campo magntico creado por el hilo conductor tiene de mdulo

r2I

B o=r y el vector Br tiene la direccin del eje X negativo.

Bvrr sobre el lado BC forma un ngulo de cero grados con rdr Bvrr sobre el lado DA forma un ngulo de ciento ochenta grados rdr Bvrr sobre cualquier punto del lado AB forma un ngulo de 90grados con rdr Bvrr sobre cualquier punto del lado CD forma un ngulo de 90 grados con rdr

Segn lo anterior

( )( ) ( ) ( )axx

12

vIaa)xx

a2Iav

x1

ax1

2Iav

ax2I

vaax2

Iv

avBavBdrvB-drvBrdBvrdqFrdE

2ooooo

DABC

A

D

C

Bm

+=

+

=

+=+=

=+==== rrrrr

rr

A B

C D

v

L

I

X

Y

Z

x

dr

La interpretacin del signo menos es la siguiente: De acuerdo con la ley de Lenz la fuerza electromotriz inducida se opone a la causa introducida en el circuito. Al moverse el circuito hacia la izquierda el flujo que lo atraviesa disminuye y la fuerza electromotriz inducida trata de mantenerlo ,, para ello , existen dos opciones posibles que la corriente vaya en el sentido ABCDA o en el sentido ADCBA. Si ocurriese el sentido ABCDA el flujo debido a esa corriente no se opone a la disminucin de flujo que ocurre por moverse la espira hacia la izquierda, en cambio si ocurre en el sentido ADCBA entonces trata de que no disminuya el flujo debido al movimiento de la espira ya que el campo magntico inducido tien lel sentido del campo B creado por la corriente. Ese sentido de giro es negativo ya que se dirige del eje Z al Y.

Este problema se puede tambin resolver a partir de la ecuacin dtd =

Llamamos xo a la distancia desde el hilo al lado DA de la espira en el tiempo t=0 y designamos con x la distancia del hilo al lado DA en el tiempo t x=xo+vt Consideremos una franja de espesor dr en la espira , como indica la figura

El flujo magntico que atraviesa la franja vale 180 cosadrr2I

SdBd o == rr . El flujo a travs de la espira

vtxavtx

ln2

Iax

axln2

Iar

dr2

Ia

o

oooax

x

o

+++=+== +

( ) ( )( )

( )axx1*

2vIa

xavxvxv*

axx*

2Ia

vtxvavtxvvtx

*avtx

vtx*

2Ia

dtd

2o

2o

2o

oo

o

oo

+=

+=++++

+++==

dr

r

x

31.- Para elevar la temperatura en 1 K de un gas desconocido se necesita aportar 650 J de energa si se hace a volumen constante y 910 J si el proceso es a presin constante. De qu gas se trata? En el proceso a volumen constante la energa aportada aumenta la energa interna del gas,. En el proceso a presin constante se aumente la energa libre del gas. Ambas magnitudes termodinmicas estn relacionadas

32260

8,31.10MM

10001*8,31

260n

nRRp260650910pUH3

====

===+=

El gas debe se O2. 32.- En el circuito de la figura inferior cada una de las pilas tiene una fuerza electromotriz y una resistencia interna r. El voltmetro tiene una resistencia interna muy superior a r y los cables carecen de resistencia. Determinar cul ser la lectura del voltmetro

El circuito de la figura equivale al siguiente

La intensidad que circula por la malla superior es: r

r3r3

R

I =++==

y tiene el sentido de movimiento de las agujas de un reloj, como seala la flecha curvada de la figura. Si tomamos como sentido positivo el de la corriente y calculamos la diferencia de potencial por la parte inferior

V

B A

3,3r

B ,r

A

0rrIrIRVV BA ====

Si calculamos la misma diferencia de potencial por la parte superior

( ) 033rr3-3rIIRVV BA =+===

32.-En el circuito de la figura inferior determinar la frecuencia de resonancia

La impedancia de la rama que contiene la bobina vale iLRZ L1 +=

La impedancia de la rama que contiene el condensador vale iC1RZ C1 =

La admitancia de todo el circuito

CiR

1iLR

1YC

L ++=

Multiplicamos por el conjugado del denominador en cada fraccin

+++++

++=++

++=

222C

222L

222C

C222

L

L

222C

C

222L

L

C1R

C1

LRL-

C1R

RLR

RY

C1R

CiR

LRiLRY i

La resonancia se produce cuando la parte imaginaria es nula

( )

CLR

CLR

LC21f

CLR

CLR

LC1

CLRLC

CCLR

LCRCLCLR

CLCRLCLR1CR

CLR

L

2C

2L

r2C

2L

r

2C

2

2L

2r

2L

222C

2r

2r

22L

2r

22C2

r22

C

r2r

22L

r

=

=

==

+=++=+

RL

L

RC

C

Para que haya resonancia se tiene que cumplir que

CLRy

CLR 2C

2L >>

o tambin que

CLRy

CLR 2C

2L

31 m11760,9371,192300V ==

Para el segundo globo, la densidad del vapor de agua es:

3

5w

W mkg0,581

3738,30,01810

RTpM

===

32 m9140,5811,192

300V == b) El calor necesario para calentar el aire a presin constante es:

( ) ( ) J8,83.10808,327

3738,3117610TTRC

RTpV

TCnQ 75

oV1

paire1 ==+==

El agua se calienta desde 293 a 373 y luego se evapora ( ) LmTTCmQ aguaowagua2 += Calculamos la masa de agua

kg2850,0183738,349110m

3738,3149110

RTpVnnRTpV

5

agua

5

==

=== ( ) J7,51.102,3.10285804200285LmTTCmQ 86aguaowagua2 =+=+= c) Los globos pierden calor por la envoltura. Designamos a q1 como la energa perdida por unidad de tiempo, el calor total perdido por el primer globo en un tiempo dt es : q1*dt El segundo globo pierde en un tiempo dt : q2*dt

Para el primer globo la fuerza ascensional es: F1=E-P = PgV e1 gdV0gdVdPgdVdF e1e1e11 ===

(1)T

dTgnMdF

gRTpMdT

pnRgdT

pnRdFdT

pnRdVnRTpV

o

P1

o

Pe111

=

====

La prdida de calor en el tiempo dt provoca una disminucin de temperatura dT

P

1p1 nC

dtqdTdTnCdtq ==

Llevando esta ecuacin a (1)

oP

P11

1

P

1

o

P1 TC

gMqk

dtdF

nCdtq

TgnM

dF === (2) Para el segundo globo caso 1)

gdVdPgdVdF e2e22 == En este caso dP =0 , ya que el agua condensada queda dentro del globo. El calor perdido por la envoltura determina que se condense agua

(3)

TdngTMdF

gRTpM

dnp

RTgdnp

RTdFdnp

RTdVnRTpV

o

P2

o

Pe222

=

====

La prdida de calor en el tiempo dt provoca una disminucin en el nmero de moles dn que se condensan

LMdtq

dnLMdndtqW

2W2 == (4)

Llevando la ecuacin (4) a (3)

LMq

TTgM

kdt

dFLM

dtqT

TgMdF

W

2

o

P2

2

W

2

o

P2 === (5)

A partir de (2) y (5)

TCqLMq

LMTTgqMTC

gMq

kk

P2

W1

Wo

2P

oP

p1

2

1 == (6)

La prdida de calor q1 es directamente proporcional a la superficie del globo y la prdida q2 tambin lo es y como son del mismo material

2

1

2

1

SS

qq =

32

2

1

2

132

22

32

11

211

311 V

VSS

43V4S

43V4S4S;R

34V

=

=

===

sN0,0440,3

6,841k

84,63738,3

27

2,3.100,018491

1176

TC

LMVV

TCqLMq

kk

2

632

P

W

32

2

1

P2

W1

2

1

==

=

=

==

2) Para el segundo globo caso 2)

dPgdVdF e22 = En este caso dP no es cero, ya que el agua condensada sale del globo.

dP = dn*MW*g= Ldtgqg*M*

LMdtq 2

WW

2 =

( ) ( ) 35,31293018,0373*029,03,827

2.3.100,0180,029491

1176

kk

TMTMC

LMMVV

kk

TCTM

TMTM

LMVV

TC1TMTMq

LMq

1TMTM

Lgq

TCgMq

kk

1TMTM

Lgqk

dtdF

Lgdtq

LMdtq

TTgMdF

632

2

1

oWPP

WP

32

2

1

2

1

oPoW

oWP

P

32

2

1

opoW

P2

P1

oW

P2

oP

P1

2

1

oW

P22

22

W

2

o

P2

=

=

=

=

=

=

===

sN0,0220,3

13,351k 2 ==

34.- Se lanza un proyectil, con velocidad inicial vo , desde un suelo horizontal formando un cierto ngulo con la horizontal. Este ngulo es tal que el alcance sobre la horizontal es el mximo posible. Desde una altura y = h se traza una recta paralela al suelo que corta a la trayectoria del proyectil en dos puntos. Calcular la distancia D en direccin horizontal de ambos puntos en funcin de h. Dibuje la grfica de D frente h cuando la velocidad inicial es vo= 20 m/s . A que corresponden los valores mximo y mnimo de D?. Tome g = 10 m/s2 Tomamos ejes de referencia el de abscisas paralelo al suelo y a su nivel y el de ordenadas perpendicular al anterior. Las ecuaciones de la trayectoria son:

2o

0

gt21tsenvy

tcosvx

==

Cuando y = 0 , el proyectil est en la salida o ha recorrido su trayectoria y choca contra el suelo

gsen2v

tgt21tsenv0 oa

2aa0 ==

ta es el tiempo que emplea el proyectil en recorrer su trayectoria y llegar al suelo

gsen2v

gsen2v

cosvx2oo

oa == El alcance depende de la velocidad inicial y del ngulo de salida, si fijamos vo, podemos calcular para qu ngulo el alcance es el mximo posible

450cos202cos2gv

ddx 2oa ====

Las ecuaciones paramtricas para este movimiento de mximo alcance son

(1)v

gxxy45cosv

gx21

45cosvx45senvgt

21t45senvy

45cosvxtt45cosvx

2o

2

22o

2

oo

2o

oo

===

==

Si en la ecuacin (1) hacemos y = h se obtiene dos soluciones que corresponden a las abscisas de los puntos de corte de la recta con la parbola

2g4ghvvv

2g

v4ghv

1v

v2g

vgh411

x0hxxvg 2oo

2oo

2o2

o

2o

2o2

2o

=

=

==+

La distancia D entre ambas abscisas es

g

4ghvv2g

4ghvvv2g

4ghvvvxxD

2oo

2oo

2o

2oo

2o

12

=+== Para dibujar la grfica tenemos en cuenta que el radicando no sea negativo, por tanto, el mximo valor de h es 10 m.

05

1015202530354045

0 2 4 6 8 10 12

h /m

D/m

Cuando h = 0 m, D se corresponde con el alcance horizontal del proyectil y cuando h=10 m es la altura mxima. Para comprobarlo

m4010

90sen20g

sen2vx

22o

a === La altura mxima se obtiene cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero

gsenv

t0gtsenvdtdyv ohhoy ====

Sustituyendo

m1020

0,5400g

45senv21

g45senv

g21

g45senv

gt21tsenvy

22o

2

22o

22o2

hh0max =====

PROBLEMAS VARIADOS 5 35.- Un anillo de radio R tiene distribuida uniformemente una carga de Q culombios . a) Calcular el campo elctrico en un punto de su eje que dista del centro del anillo x. b) Dibujar la grfica campo (eje Y) frente a distancia x, para una espira de radio R=10 cm y Q = 1 nC c) Determinar para qu valor de x el mdulo del campo es mximo y el valor del campo en ese punto.

Escogemos dos elementos de longitud dl situados en los extremos de un dimetro. Cada

elemento tendr una carga dq = dlR2

Q y crearn sendos campos Edr

, tales como los

que se indican en la figura superior. Ambos campos tienen la componente sobre la vertical igual y de sentido contrario y sobre la horizontal igual y del mismo sentido. Esto supone que al sumar las contribuciones de los distintos elementos en los que se descompone el aro la componente vertical se anula y solo queda sumar la componente sobre el eje horizontal.

( )( ) ( )2322o2322o2eje

023

22o

2eje3

o2

oeje

xR4

QxR2xRR8

QxE

dlxRR8

QxEL

xdlR2

Q

41

Lx

LdQ

41cosdEdE

R2

+=

+=

+

=

===

RdE

dE

x

L

b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30

x/cm

Eeje

en N

/C

De la grfica se observa que el campo presenta un mximo. Para hallar su valor derivamos la funcin Eeje=f(x) frente a x e igualamos a cero. c)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 7,07cm2cm10

2Rx2xR3xxR

03xxRxR0xR

2xxR23xxR

4Q

dxdE

22222

221

2223

22322

21

2223

22

o

eje

=====+

=++=

+++

=

( ) ( ) CN346

0,07070,1

0,0707109.10xR

Qx4

1E23

22

99

23

22oeje =

+=

+=

36.- Un bloque de madera de dimensiones a *b*c y densidad respecto del agua. Cuando el bloque est flotando con el lado a en posicin vertical se empuja hacia abajo y se suelta. Calcular el periodo de oscilacin del bloque. Cuando el bloque est flotando el peso es igual al empuje. Si designamos con a1 la parte sumergida del bloque , M la densidad de la madera y A la del agua

aaagbcagabcEP

A

M1A1M ====

Si sumergimos el bloque una distancia x respecto a la posicin inicial de equilibrio, el empuje ahora es superior al peso y esa fuerza resultante tender a llevarlo a la posicin inicial

=

( ) ( )xKbcgxFgabcbcgxbcg

aF

gabcbcgxaFgabcgbcxaP-E F

AMAAA

M

MAMA1

==+=+=+=

Dado que la fuerza es proporcional al desplazamiento al igual que en un movimiento armnico

ga2

gbcabc2

Km2T

A

M ===

a

x

Nivel del agua a1

37.- En la fisin de un ncleo de U23592 se liberan aproximadamente 185 MeV de energa. Un reactor nuclear funciona con este istopo y genera una potencia de 100 MW. Calcular los kilos de este istopo que se desintegran en un ao de funcionamiento del reactor.

La energa desarrollada por el reactor en un ao es:

aoMJ3,154.10

dias86400

aodias365

sMJ100 9=

Un mol de istopos son NA = 6,02 1023 istopos individuales y su masa es 235 g = 0,235 kg. La energa generada por esa masa es:

MJ1,782.10J1,782.10eVJ1,6.10eV106,02.10185MeV6,02.10185 7131962323 ===

kg6,14xx

3,154.100,235kg

MJ1,782.10 97 == 38.- Encontrar la relacin general entre el ngulo de desviacin de un prisma, de ngulo , e ndice de refraccin n, situado en el aire ( n=1) en funcin de , i, n, r, r, e,( ver figura) y a partir de esa ecuacin deducir la expresin para el ngulo de desviacin mnima. Determinar el ngulo de incidencia que produce desviacin mnima en un prisma de a =60 y n=1,5.

De la figura se deduce que -eirr;reri +==+=+ Aplicando la ley de Snell

esensenrn;senrnisen ==

i

r r e

( )senrsenrn2

eicos2

eisen2esenisen +=+=+ Sustituyendo de (1)

( ) ( )2

eicos

senrsenrn2sen2senrsenrn

2eicos

2eisen2

+=++=+ (2)

2r-rcos

2sen2

2r-rcos

2rr2sensenrsenr =+=+ (3)

Llevando (3) a (2)

2eicos

2rrcos

2senn

2sen

2eicos

2rrcos

2sen2n

2sen2

=+

=+

Para que la expresin anterior d sea mnimo el denominador del segundo miembro ha de ser mximo y el mximo valor posible del coseno es la unidad , por tanto eso ocurre cuando i=e,. Adems

12r-rcosrrisen esensenrn;senrnisen =====

2senn

2sen min =+

48,59i48,592

60602i0,752

60sen1,52

60sen min ==+==+

39.- En el sistema de poleas de la figura inferior se supone que carecen de masa y que el sistema se desplaza sin rozamiento. Se pide calcular la aceleracin de las masas.

Tomando como sentidos positivo vertical hacia abajo, las ecuaciones de las tres masas son:

)3(amTgm

)2(am2Tgm

)1(amTgm

333

222

111

==

=

Imaginemos que las masas m1 y m3 fuesen iguales, si la masa m2 se desplaza hacia abajo x2 , las otras dos masas se desplazan hacia arriba x1 e x3 . La distancia x2 se reparte por igual en las dos ramas de la cuerda de modo que x1es la mitad de x2 , lo mismo le ocurre a la masa 3. Por tanto las aceleraciones guardan la relacin

231

2aa

a+= (4)

En el caso expuesto a1 = a3 y en general sern distintas si las masas m1 y m3 son diferentes. El signa menos se debe a que la aceleracin de m2 es hacia abajo (sentido positivo) y las otras dos sentido negativo. Ahora debemos resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. Despejamos T de la ecuacin (3) y sustituimos en la (1) ( ) 11331 amagmgm = (5) Multiplicamos la ecuacin (1) por 2 y le restamos la (2)

m2g

m1g m3g

T T

T T

( ) 221121221121 ama2mm2mgama2m2Tgm2Tg2m ==+ En la ltima ecuacin sustituimos a2 por la ecuacin (4)

( ) ( )( )

)6(m

2m2m2am2m2g

a

2am

2m2mam2mg

2aa

ma2mm2mg

2

21121

3

3221121

3121121

+=

+

+=

+=

Llevando la ecuacin (6) a la (5)

gmmmmm4mm3mmmm4ma

322131

3221311 ++

+==+

=+

12113213213132313221

112

121121331

ammammamm-am4mgm2mgm4mgmmgmm

amm

ama4mg2mg4mmgmgm

Llevando la ecuacin de a1 a la (1)

++=

+++=++

+=

322131

321

322131

3221311

322131

32213111

mmmmm4mm4m

gmT

mmmmm4mm3mmmm4m

1gmTgmmmmm4mm3mmmm4m

mTgm

Sustituyendo la tensin en la ecuacin (2)

gmmmmm4mm4mmmmma

322131

3132212 ++

+=

++=

=++=

++

322131

312

2322131

3122

322131

3212

mmmmm4mm8m

1ga

ammmmm4m

4mg2mgam

mmmmm4mm4m

g2mgm

Sustituyendo la tensin en la ecuacin (3)

gmmmmm4mmmm3mm4m

a322131

3221313 ++

+=

++=

=++=

++

322131

213

3322131

2133

322131

3213

mmmmm4mm4m

1ga

ammmmm4m

4mgmgam

mmmmm4mm4m

gmgm

40.-Un recipiente de volumen V contiene un gas a la presin p. Se desea disminuir la presin a p y para ello se conecta el recipiente a una bomba de cuya cmara tiene un volumen V. Determinar el nmero de emboladas que se han de dar para lograrlo. Se admite que la temperatura no vara El funcionamiento de la bomba es el siguiente:

La bomba tiene dos vlvulas 1 y 2 en la figura. Se cierra la 1 y con la dos abierta se lleva el pistos hasta la vlvula 1 . A continuacin se cierra la 1 se abre la 2 y se lleva el pistn hasta la posicin inicial, con lo que el gas que inicialmente ocupaba un volumen V pasa a ocupar un volumen V+V. Se cierra la 1 y se lleva el pistn hasta 2, pero como 1 est abierta el volumen V de aire sale al exterior. El ciclo se repite una y otra vez. Dado que no hay cambio de temperatura tenemos Primera embolada ( )VVppV 1 += Segunda embolada

( ) 21221 VVVp

VVV

VVpV

VVVppVVpVp

+=++=

+=+= Ensima embolada

VVVpplog

nV

VVnlogplogplogV

VVppn

+=++=

+=

1

2

V

V

41.- Una partcula se encuentra en el tiempo t=0 en la esquina superior A de una puerta rectangular que gira alrededor del eje Z con velocidad angular constante .

Lossejes XYZ son de un sistema S inercial, y los ejes X Y y Z pertenecen a un sistema S, ligado a la puerta y que por tanto giran con ella. En el instante t=0 ambos sistemas de coordenadas estn superpuestos. Determinar expresando los resultados en el sistema mvil S a) la velocidad relativa b, de arrastre y absoluta de la partcula en funcin del tiempo b) la aceleracin relativa, de arrastre, de Coriolis y absoluta en funcin del tiempo. Al cabo de un tiempo t la situacin de la puerta est indicada en la figura 1.

X

Y

Z

vo

Y

X

A

L

h

X

X

Z

Y

Z

vot

L-vot

t

r

h

Fig.1

La puerta ha girado un ngulo t y con ella los ejes del sistema S. En ese mismo tiempo la partcula ha avanzado por la puerta una longitud vot. Desde el sistema mvil S la velocidad de la partcula es:

ivv orr =

La velocidad de arrastre es:

( )[ ] ( )[ ]tvLjtvLjh0tvL00kji

rv ooo

arrastre ==

== rrrrr

rrr

( ) jtvLivvvv oorelativaarrastreabsoluta rrrrr +=+=

b) La aceleracin relativa es cero, pues la velocidad es constante. La aceleracin de arrastre es la centrpeta

( )( )

( )[ ]tvLi0tvL000kji

ra o2

o

entrpetac =

== rrrr

rrrr

jv200v-00kji

2v2a 0o

Coriolis

rrrr

rrr ===

( ) jv2itvLa oo2absoluta rrr = 42.- Considerar el problema 41. a) Obtener la ecuacin de la trayectoria de la partcula en el sistema fijo b) determinar los vectores velocidad absoluta y aceleracin absoluta en el sistema de referencia fijo S al cabo de 10 s de iniciado el movimiento, sabiendo que en el instante inicial los ejes X y X coinciden y que L = 1 m , vo = 0,05 m/s y = 20 rpm. Si nos fijamos en la figura 1, las coordenadas de la partcula en el sistema S, al cabo de un tiempo t, son:

( ) ( )( )2o22

oo

tvLx

tsentvLy;tcostvLx

=+==

y

La trayectoria en el plano z=h, se obtiene sustituyendo valores en las ecuaciones de las coordenadas

trayectoria en espiral x2+y2=(L-vot)2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

b)

X

Fig.1

Y

Z

vot

L-vot

t

r

h

Las componentes de los vectores unitarios i y j sobre el sistema de referencia X Y son respectivamente.

( ) ( )tjcos,tjsen;tisen,ticos Que puestos en forma vectorial y dado que i y j valen la unidad

jtcositsenj;jtsenitcosirrrrrr +=+=

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )

o o o o

o o o o

v l v t j v i l v t s e n t i cos t j v cos t i sen t j

l v t s e n t v cos t i l v t cos t v sen t j

202 202 2021 0,0510 sen 10 0,05cos 10 i60 60 60

202 2021 0,0510 cos 1060 60

= = + += + +

= + + +

r r r r r rrr r

r

2020,05sen 10 j60

r

v 0,88i 0,57 j= r rr

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

2 2 o o o o

2 2 o o o o

2

a l v t i 2v j l v t cos t i sen t j 2v s en t i cos t j

l v t cos t 2v s en t i l v t sen t 2v cos t j

202 202 202 2021 0,0510 cos 10 20,05 sen 1060 60 60 60

= = + += + +

= +

r r r r r rrr r

r

( )2i

202 202 202 2021 0,0510 s en 10 20,05 cos 10 j60 60 60 60

+

+ r

jia 79,128,1 = rr

t

t X X

Y

Y

i

j

43.- Una partcula de masa m1 colisiona, de forma elstica, con una partcula de masa m2, siendo m1>m2. La partcula 2 se encuentra en reposo Cul es el mximo ngulo de desviacin de la primera partcula respecto de su direccin inicial? .Se supone que las velocidades de las partculas son mucho ms pequeas que la de la luz.

En el choque elstico hay conservacin de la cantidad de movimiento y de la energa

222

211

21

2211

22111

vm21vm

21vm

21

senvmsenvmcosvmcosvmvm

+==

+=

Despejamos de la ecuacin 2, sen ; y de la tercera v2.

( )2122

122

22

11 vvmm

v;vmsenvm

sen ==

Designando a Mmm

2

1 = , resulta:

( )21222

12

22

221

2

vvMsenvM

1v

senvM1cos ==

Llevando cos y v2 a la primera de las ecuaciones iniciales:

( ) ( )( ) senv

Mvv

cosvvsenvMvvMcosMvMv

vvMsenvM

1vvMcosMvMv

221

21

2

122

122

12

1

21

2

221

221

21

+=+=

+=

v1

v

v2

( )( )

M2vvvvvvMcos

Mvvcos2vvvv

Mvv

senvcos2vvcosvvsenvM

vvcosvv

1

21

221

221

2

121

2

21

222

1122

1222

1

21

22

1

++==+

=++=

En el problema nos piden que el ngulo sea el mximo posible, o el coseno el valor mnimo, para ello derivamos la anterior expresin con respecto a v1 e igualamos a cero ( ) ( )[ ]

( )( )

21

211

2

1

2

1

1

221

221

221

21

221

221

21

221

2

21

221

2111

mmmmvv

1mm

1mm

vv

1M1Mvv0vvMvMv

0vvMvMv2v2Mv

0Mv4v

2vMvvvvM2v2MvM2vv

+=

+

=

+==++

=++

=+++

Sustituimos el valor de v1 en coseno .

( )1

2max

2

1

221

22

21

21

2121

2212

21

211

21

21

21

2

1

2

21

2

21

21

21

21

21

2

1

2

1

2

1

21

21

21

21

2

1

21

2122

21

212

2

12

2

1

mmsen

mm

mmm1

mmmmm

mm1sen

mmmmm

mmcos

mmmm

mm2

mmm

mmm

mmmm

mmmm

mm2

1mm1

mm

mmmm

mmmmv

mm2v

mmmm

vvmmmm

vmm

vmm

cos

=

==

+

=

+

=+

+

+

+

=

=+

+

++

=

+

+++

+=

Calculamos ahora el valor de v2 y del ngulo beta.

21

12

21

2

2

122

21

2121

21

2121

21

222

222

211

21

mm2mv

mm2m

mmv

mmmm1vm

mmmmvmvmvmvmvmvm

+=

+=

+=+

=+=

1

21

21

12

1

2

21

2112211

2mmmsen

senmm

2mvm

mm

mmmm

vmsenvmsenvm

=

+=+=

44.- Un condensador plano de capacidad C est descargado. Mediante un hilo muy largo se une una de las armaduras a una esfera de radio R y carga qo y la otra se une a tierra. Calcular la carga que permanece en la esfera despus de la unin. Parte de la carga de la esfera pasa al condensador y este flujo de carga cesa cuando los potenciales se igualen. Designamos con qC la carga que adquiere el condensador y con q la carga que permanece en la esfera. Por una parte se conserva la carga y por otra se igualen los potenciales del condensador y de la esfera

Rq

41

Cq

qqq

o

C

Co

=+=

1

R4Cq

qCq

R41q

Cq

Rq

41

Cqq

o

o

o

o

o

o

+=

+==

45.- se lanza un proyectil formando un ngulo con la horizontal. En el punto ms alto de su trayectoria h su velocidad es v1. La velocidad en un punto de la trayectoria que es la mitad de la altura mxima h/2 es v2 y entre ambas velocidades existe la relacin

2v76

1v = Calcular el ngulo de lanzamiento. Las ecuaciones paramtricas del movimiento del proyectil son:

2gt21tsenvy

tcosvx

==

Las ecuaciones de las velocidades sobre los ejes coordenados son:

gtsenvdtdyv

cosvdtdxv

Y

X

==

==

En el punto ms alto de la trayectoria la componente vy de la velocidad es nula. El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura mxima es:

gsenvtgtsenv0 hh ==

Y el valor de h

gsenv

21

gsenvg

21

gsenvsenvgt

21tsenvh

22

2

222hh === (1)

La velocidad en el punto ms alto de la trayectoria:

cosvvv x1 == (2) Cuando el proyectil se encuentra a una altura h/2 la velocidad v2 tiene dos componentes v2x y v2y, cuyos valores son respectivamente

h/22y

2x

gtsenvv

cosvv

==

Para averiguar la componente v2y necesitamos saber el tiempo que el proyectil emplea en alcanzar la altura h/2, para ello sustituimos en una de las ecuaciones paramtricas

0gh

gtsen2v

tgt21tsenv

2h h/22

h/22h/2h/2 =+=

Resolviendo la ecuacin de segundo grado

=

=

=

=

222

gvsen

2

2g

vseng

2vsen

t

2gg

senv21

4

gsen4v

g2vsen

2g4h

gsen4v

g2vsen

t

h/2

22

2

22

2

22

h/2

Se ha escogido de las dos soluciones la que corresponde al tiempo menor, que es cuando la altura h/2 la alcanza el proyectil antes de llegar a la altura h . La otra solucin es cuando el proyectil llega a la altura h/2 despus de alcanzar la mxima altura h. Sustituimos el tiempo en la expresin de la velocidad v2y.

22senv

2221senv

222

gsenvgvsenv2y =

=

=

2senvcosvvvv

22222

2y22x2 +=+=

De acuerdo con el enunciado del problema

3021sensen3sen1

sen3vcosv2

senvcosv76cosvv

76v

22

222222

222221

===

=

+==

PROBLEMAS VARIADOS 6 46.-Diez moles de un gas se encuentran a la temperatura de 293 K y a la presin de 1 atmsfera. El calor especfico de este gas a volumen constante es 19,6 J/molK. A dicho gas se le suministran 104 J de calor a presin constante. Calcular la variacin de energa interna del gas y el trabajo ejecutado. Dado que el calor se le suministra a presin constante la variacin de entalpia del proceso vale H = 105 J.

( ) ( )( ) ( )( ) 329K2938,319,610

10T

TRCn

HTTTRCnTTnC10H

4

F

IV

FIFVIFp5

++=

++=+===

( ) J7,1.103619,610TTnCU 3IFV ==

J2,9.10107,1.10WWQU 343 ==+= El criterio de signos utilizado es que lo que recibe el sistema es positivo y lo que desprende o ejecuta negativo. 47.-Un prisma de vidrio de n =1,5 posee un ngulo = 60. Por su cara AB inciden rayos luminosos que llegan a la cara BC, unos se refractan y otros se reflejan. Los que se reflejan llegan a la cara AC y salen al aire formando un cierto ngulo . Se pide determinar el mayor ngulo posible.

Los rayos que llegan a la cara BC y se reflejan deben hacerlo con un ngulo el cual ha ser mayor que el ngulo lmite, ya que si es menor se refractan en la cara BC.

De la figura se deduce: que el ngulo de incidencia sobre la cara AC vale:

Normal a BC

A

B

C

Normal a AC

90- y =90 Segn la ley de Snell ( ) sen190senn = Para que sea el mayor ngulo posible es necesario que sea el menor posible.

( ) 3090180180 +===++

De la ltima expresin se deduce que el valor mnimo de ocurre cuando sea mnimo y precisamente el valor mnimo de se produce cuando es igual al ngulo lmite prisma aire.

41,8l1,51senlsen901senl1,5 ====

( )[ ] 27,9sen71,8)sen(901,5sen3090sen1,5 ===+

48.-En la figura inferior AB es una carretera y el punto C es un lugar del campo. Un automvil si se desplaza por la carretera lo hace con una velocidad v constante y si lo hace por el campo con una velocidad veces menor que por la carretera. Calcular el valor de x para que el automvil que se desplaza de A a C lo haga en el tiempo mnimo posible.

El automvil va de A a M por la carretera, recorriendo la distancia LC y y de M a C por el campo recorriendo la distancia LCP. De la figura se deduce que

LC+x = constante = K El tiempo total del viaje es: ( )

vhxxK

vhxxK

vL

vL

vL

vL

t2222

CPCCPCtotal

+++=++=+=+= Como el tiempo total ha de ser mnimo y K es constante y v tambin, el trmino entre parntesis ha de ser mnimo

mnimohxx 22 =++ Derivamos con respecto a x e igualamos a cero

1hxxhxxhx0

hx22x1

2

222222

22 ==+=+=

++

A B

C

x

h

M

LC

LCP

49.-En el circuito de la figura inferior hay que determinar el valor de la resistencia R para que la potencia calorfica generada en dicha resistencia sea la mxima posible y adems calcular cunto vale esa potencia mxima. Se supone que las pilas carecen de resistencias internas.

Se toma como sentido positivo el de las agujas de un reloj. Las ecuaciones para las mallas izquierda y derecha son:

IRRIEIRRIE

222

111

+==

Para un nudo I = I1+I2

A partir de las tres ecuaciones

( )

( ) ( )21211221

21

2121

21

1221

2

2

1

1

21

21

2

2

1

1

212

2

1

1

RRRRRREREI

RRRRRRR

RRRERE

I

RE

RE

RRRRR

1IRE

RE

RR

RR1I

RIRE

RIRE

I

+++=++

+=

+=

+++=

+++=

La potencia trmica generada en la resistencia R, vale:

( )( )[ ] RRRRRR

RERERIP 22121

212212 ++

+== (1) Como se pide que la potencia sea mxima derivamos la funcin anterior respecto de R e igualamos a cero. ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )[ ] 042R1RR2R1R2R1R2R1RR2R1R2

21R2E2R1E

21R2E2R1E

22R1RR2R1R

dR

dP =++

+++++++= R

De la ecuacin anterior

( ) ( ) ( )21

212121212121 RR

RRRRRRRR0RR2RRRRRR +=+=+++ (2) Llevando la ecuacin (2) a (1)

E1 E2

R1 R

R2

I1

II2

+

( )( )

( )

( )( )2121

21221

max

21

2122

21

21221

21

212

2121

2121

21221

max

RRR4RREREP

RRRR

R4RRERE

RRRR

RRRR

RRRR

REREP

++=

++=+

++++=

50.-El filamento de una bombilla, 220 V , 100 W, tiene una longitud L y un dimetro D=0,1 mm y su resistividad = 5,5.10-8 m. Despus de que la bombilla permanece un largo tiempo encendida, adquiere una temperatura constante. Si se admite que todo el calor producido en el filamento se radia al exterior, estimar el valor de esa temperatura. Considrese que el filamento se comporta como un cuerpo negro. Dato constante de Stefan-Botlzmann, 4K2m

W8-5,67.10 = Cuando se alcanza el estado estacionario la energa trmica producida en la unidad de tiempo es igual a la emitida en forma de radiacin por la superficie del filamento. La potencia trmica es P = IV y la radiada DLTST 44 =

44

DLPTDLTP == (1)

Para calcular L

4PDVL

4LDV

RVVIP

2222

2

==== Llevando la ltima relacin a (1)

( ) K5340,1.102203,145,67.105,5.101004

DV4P

4PDVD

PT 4 3322882

4322

2

422 =

===

51.-Calcular la capacidad del sistema de condensadores de la figura inferior. Cada placa metlica tiene una superficie S y entre dos placas existe una distancia d.

Para saber cmo estn conectados los condensadores hemos numerado las placas. Las figuras inferiores indican cmo se conectan las placas.

A

B

1 2 3 4

d

En la ltima figura se observa que los dos condensadores inferiores se encuentran en serie y el conjunto de ellos en paralelo con el tercero. Por tanto la capacidad del conjunto es:

La capacidad de 2-1 y 4-3 2CC

C1

C1

C1

AA

=+=

La capacidad equivalente 2C3C

2CCE =+=

La capacidad de cada condensador plano es: d

S23C

dSC E ==

52.-El espacio comprendido entre una lente plano-convexa y un vidrio plano (dispositivo para formar anillos de Newton) est lleno de un lquido de ndice de refraccin n. El radio del tercer anillo brillante observado por reflexin vale 3,32 mm. Determinar el valor de n, sabiendo que el radio de la cara convexa de la lente es 10 m y la luz empleada tiene una lo