Problemas de programacion lineal

Método gráfico

1. La empresa de autos TOYOTA produce dos tipos de autos, A y B que se deben procesar a través de dos departamentos. El Departamento 1 tiene 70 horas disponibles y el departamento 2 60 horas disponibles; la fabricación del coche A requiere de 4 horas en el departamento 1 y 2 horas en el departamento 2. Cada coche B requiere dos horas en el departamento 1 y cuatro en el departamento 2.

La utilidad del auto A es $40,000 y del auto B de $60,000 ¿Cuántos autos A y B se deben producir para obtener la máxima ganancia?

Variables de decisión

X= Número de autos A producidos

Y=Número de autos B producidos

La función objetivo a maximizar es la ganancia

Z=40 x+60 y (en miles de unidades monetarias)

Restricciones Igualdades

4 x+2 y≤70 4 x+2 y+S1=70

2x+4y<=60 2 x+4 y+S2=60

X ,Y≥0

Forma estándar de la función objetivo

Z=40 x+60Y +S1+S2

dep.1 Fiesta Focus Hr. Disponiblesdep.2 4 2 70

utilidad 2 4 6040 000 60 000

Produccion de autos

forma 1 2 3 4 5 6variable xy xs1 xs2 ys1 ys2 s1s2

x 0 0 0 17.5 30 13.33y 0 35 15 0 0 8.33s1 70 0 40 0 -50 0s2 60 -80 0 25 0 0

sistemas de s1=70 y=15 x=17.5 x=13.33ecuaciones s2=60 s1=40 s2=25 y=8.33

z 130 xs1 940 725 x 1033.33

2. Una empresa de ingeniería Civil necesita producir Trabes ASSTHO y Cajón para la construcción continúa de puentes carreteros, le empresa de prefabricados que las produce sabe que las trabes tipo ASSTHO necesitan pasar 8 horas en el andén 1 y 12 horas en el andén 2, las trabes cajón 12 horas en el andén 1 y 8 horas en el andén 2, el contenido límite de cemento por hora en el andén 1 es de 1.2 m3 y 1.5 en el dos. La utilidad para la trabe ASSTHO es de $5000 y de $6500 para la trabe cajón, maximice la utilidad.


X= Número de trabes ASSTHO producidas

Y=Número de trabes Cajón producidas

ASSTHO Cajón m3 de ConcretoAnden 1 8 12 1.2Andén 2 12 8 1.5Utilidad 5000 6500

Producción de trabes prefabricadas


Z=5 x+6.5 y


8 x+12 y≤1.2 8 x+12 y+S1=1.2

12x+8y<=1.5 12 x+8 y+S2=1.5

Siendo X ,Y≥0


Z=5 x+6.5Y +S1+S2

Forma 1 2 3 4 5 6Variable xy xs1 xs2 ys1 ys2 s1s2

x 0 0 0 0.15 0.125 0.105y 0 0.1 0.187 0 0 0.03s1 1.2 0 -1.044 0 0.5 0s2 1.5 0.7 0 -0.3 0 0

Sistemas de s1=1.2 y=0.1 x=0.105euaciones s2=1.5 s2=0.1 y=0.03

simultaneas

z 0 0.65 X X 0.625 0.72

X= 105 Trabes ASHTOY= 30 Trabes Cajóns1= 0s2= 0

z= 720

solucion unica

3. Una vinatería muy prestigiosa tiene dos proveedores de sus dos botellas más vendidas Buchanans y Chivas Regal, El primer proveedor tiene una existencia de 5000 botellas y el segundo de 4500, un viaje del primer proveedor incluye 250 botellas Buchanans y 150 chivas, un viaje del segundo incluye 200 botellas Buchanans y 180 de Chivas Regal. La utilidad por botella es de $240 y $220 maximice la utilidad.


X= Número de botellas “Buchanans”

Y=Número de botellas “Chivas Regal”

NBB NBC ExistenciaE 1 250 150 5000E 2 200 180 4500Utilidad 240 220

Producción de botellas


Z=240 x+220 y


250 x+150 y≤5000 250 x+150 y+s1=5000

200 x+220 y≤4500 200 x+220 y+s2=4500

Siendo X, Y >=0 como condiciones de NO negatividad


Z=240 x+220 y+s1+s2


x 0 0 0 20 20.45 17y 0 33.3 20.4545 0 0 5s1 5000 0 1931.83 0 -112.5 0s2 4500 5 0 500 0 0

Sistemas de s1=5000 y=33.3 y=20.45 x=20 x=17euaciones s2=4500 s2=5 s1=1931.83 s2=500 y=5

simultaneasz 0 7326 4499.99 4800 X 5180

X= 17 Trabes ASHTOY= 33.3 Trabes Cajón

s1= 0s2= 0

z= 5180

solucion unica

4. La empresa de motos YAMAHA produce dos tipos de motos, A y B que se deben procesar a través de dos departamentos. El Departamento 1 tiene 40 horas disponibles y el departamento 2 50 horas disponibles; la fabricación del coche A requiere de 4 horas en el departamento 1 y 5 horas en el departamento 2. Cada coche B requiere 6 horas en el departamento 1 y 3 en el departamento 2.

La utilidad del auto A es $40,000 y del auto B de $55,000 ¿Cuántas motos A y B se deben producir para obtener la máxima ganancia?


X= Número de motos A producidas

Y= Número de motos B producidas

A B HDAnden 1 4 5 40Anden 2 6 3 60Utilidad 40000 55000

Motos YAMAHA


Z=40 x+55 y


4 x+5 y≤40 4 x+5 y+s1=40

6 x+3 y≤60 6 x+3 y+s 2=60

X, Y >=0


Z=40 x+55 y+s1+s2


x 0 0 0 10 10 10y 0 8 30 0 0 0s1 40 0 -60 0 0 0s2 60 36 0 0 0 0

Sistemas de s1=40 y=8 x=10 x=10 x=10euaciones s2=460 s236 s2=0 s1=0 y=0

simultaneas

z 0 440 X 400 400 400

X= 0 Trabes ASHTOY= 8 Trabes Cajón

s1= 0s2= 0

z= 440

solucion unica

5. Una empresa contratista manda hacer puertas para sus proyectos con dos distintos proveedores, pero cada empresa solo puede producir lo equivalente a $13000 dls. En producción para la empresa 1 y $15000 dls en producción para la empresa 2. El proveedor 1 cobra 200 por la puerta madera y 220 por las de aluminio y el proveedor dos 180 por las de aluminio y 235 por las de madera produciendo una ganancia de $300 por las puertas de madera y $320 por puerta de aluminio.


X= Número de puertas de aluminio producidas

Y= Número de puertas de madera producidas

C 1 C 2 RecProv 1 200 220 13000Prov 2 180 235 15000Utilidad 300 320

Producción de trabes prefabricadas


Z=300 x+320 y


200 x+220 y≤13000 200 x+220 y+s1=13000

180 x+235 y≤15000 180 x+235 y+s2=15000

X ,Y≥0 como condiciones de NO negatividad


Z=300 x+320 y+s1+s2


x 0 0 0 65 83.333 -33.11y 0 59.1 63.8298 0 0 89.19s1 13000 0 -1042.56 0 -3666.7 0s2 15000 1113.64 0 3300 0 0

Sistemas de s1=13000 y=59.1 x=65euaciones s2=15000 s2=1113.64 s2=3300

simultaneasz 0 18912 X 19500 X X

X= 65 Trabes ASHTOY= 0 Trabes Cajón

s1= 0s2= 0

z= 19500

solucion unica

Método gráfico

1. Una fábrica de acero requiere fabricar tubos (T) y perfiles(P); se dispone de 500 Ton de acero A, 300 Ton de acero B y 108 Ton de acero C. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 kg de A, 150 kg de B y 72 kg de C; para producir un metro de P por día se necesitan 200 kg de A, 100 kg de B y 27 kg de C.

Si T se vende a $40 el metro y el P se vende a $50 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y P se deben fabricar?

Variables

XT: Cantidad de metros diarios de acero tipo T a fabricar

XP: Cantidad de metros diarios de acero tipo P a fabricar

Restricciones

0.125T+0.2P≤500 Acero A

0 .15T+0.1 P≤300 Acero B

0.072T+0.027 P≤108 Acero C

Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.

Función

(Z)max=40T+50P

Restricciones:

T≤0

P≤0

0.125T+0.2P≤500

0.15T+0.1P≤300

0.072T+0.027 P≤108

Tabla de Valores

Valores T P1 4000 25002 2000 30003 1500 4000

Tabla de coordenadas resultados de evaluar la función en Z

T Y Z1 0 0 02 1500 0 60 0003 857.14 1714.24 120 000.14 571.43 2142.86 130 000.25 0 2500 125 000

De la tabla se obtiene el máximo valor de z y se obtiene que se pueden hace 571.43m de tubo y 2142.86 m de perfil

2. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programas su producción semana debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días después de entregado. Actualmente está armando dos artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben ser armados y probados por personal especializado. La empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del T14 pero en ningún caso deben superar en más de 150 al número de equipos T14. En el cuadro 2.4 se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, expresado en minutos así como la disponibilidad de tiempo.

Equipos Y ZArmados T14 12 min Disponibilidadpruebas 10 min 12 min 55hcostos 30 min 6 min 100h

$100 $60

T= numero de artículos T14 a producir

B= numero de artículos B2 a producir

MinZ=100T +60B

Sujeta a

T+B≥100

−1/4 T+B≥0

−T+B≤150

10T+12 B≤3300

30T+6B<6000

Tabla de coordenadas y evaluación en Z

Punto T B Costoa 0 100 6000b 80 20 9200c 140.48 47.62 21905.2d 174 130 25 200e 68.18 218.18 19 908.8f 0 150 9000

El punto a es el menos por lo tanto se buscara hacer o artículos de t y 100 de b.

3. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO :

Maximizar el ingreso total.

VARIABLE:

Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

Maximizar

Z=300 x1+100 x2

Sujeto a:

40 x 1+8 x2≤800

10 x1+5 x2≤320

X 2≤60

Punto X1 X2 Costoa 0 60 6000b 2 60 6600c 12 40 7600

d 20 0 6000

e 0 0 0

12 Cantidad de auditorias y 40 cantidad de liquidaciones z= $ 7600 dls

4. Maximizar la función objetivo:

Z=X+12Y

Restricciones

10 X+Y ≤10

X+10Y ≤10

2 X+3Y≤6

X=1/2

Y=1 /2

x=.5 ; y=.5 ; z=6.5

5. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Variables OriginalesX: Acciones de tipo AY: Acciones de tipo B

inversion RendimintoTipo A x 0,1xTipo B y 0,08y

Funciónobjetivo 0,1 x+0,08 y

Restricciones

X≥0

y≥0

x+ y≤210000

x≤130000

y≥60000

x≤2 y

El punto optimo es C donde

x=130000 , y=80000 ; z=19400

6. Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad. OBJETIVO: Minimizar los costos de publicidad.

Variables de decisión:

X1: Anuncios para las familias de ingreso alto.X2: Anuncios para las familias de ingreso medio.

Restricciones

Función objetivo

El punto optimo es C donde

x=18 , y=0 ; z=36000

Método simplex

1. En una granja de pollo se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. en el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 dólares y el del tipo II es de 30 dólares. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Sustancia A Sustancia B PrecioTipo I 1 5 10Tipo II 5 1 30

15 15

Variable de decisión

Tipo I: x

Tipo II: Y

Min z=10 x+30 y

Restricciones

X+5 y ≥15

5 x+ y≥15

x , y ≥0

Problema convertido

−z+10 x+30 y+0 x1+M x2+0 x3+M x4=0

X+5 y−x1+x2=15

5 x+ y−x3+x4=15

Solución

Variable básica Ec Z x y x1 x2 x3 x4Z 0 1 10 30 0 M 0 M 0X2 1 0 1 5 -1 1 0 0 15X4 2 0 5 1 0 0 -1 1 15

Variable básica Ec Z x y x1 x2 x3 x4Z 0 1 10-6M 30-6M M 0 M 0 -30MX2 1.00 0.00 1.00 5.00 -1.00 1.00 0.00 0.00 15.00 3.00X4 2.00 0.00 5.00 1.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 15.00 15.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2 x3 x4Z 0.00 1.00 4-4.8M 0.00 6-.2M 1.2M-6 M 0 -12M-90Y 1.00 0.00 0.20 1.00 -0.20 0.20 0.00 0.00 3.00 15.00X4 2.00 0.00 4.80 0.00 0.20 -0.20 -1.00 1.00 12.00 2.50

Variable básica Ec Z x y x1 x2 x3 x4Z 0.00 1.00 0.00 0.00 5.83 M-5.833 .833M M-.833 -100Y 1.00 0.00 0.00 1.00 -0.21 0.21 0.04 0.04 2.50X 2.00 0.00 1.00 0.00 0.04 -0.04 -0.21 0.21 2.50

Coeficiente Lado derecho

Division




Division

x=2.5 , y=2.5; z=10∗2.5+30∗2.5=100

2. Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montake y sección de pintura. El articulo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura y el articulo B tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.

La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada dia. El beneficio que se obtiene produciendo el articulo B es de 40 dolares y el de A es de 20 dolares

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Articulo A (x) Articulo B (y)Montura 1 3 9Pintura 2 1 8Precio 20 40


Articulo A: x

Articulo B: Y

Max z=20 x+40 y

Restricciones

x+3 y≤9

2 x+ y≤8

x , y ≥0

Problema convertido

z=−20 x−40 y+0 x1+0 x2

x+3 y+ x1=9 ,2x+ y+x2=8

Solucion

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -20 -40 0.00 0 0.00x1 1.00 0.00 1 3 1 0 9 3.00x2 2.00 0.00 2 1 0.00 1 8 8.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -6.67 0.00 13.33 0.00 120.00y 1.00 0.00 0.33 1.00 0.33 0.00 3.00 9.00x2 2.00 0.00 1.67 0.00 -0.33 1.00 5.00 3.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 0.00 0.00 13.33 0.00 120.00y 1.00 0.00 0.00 1.00 0.40 -0.20 2.00 9.00x 2.00 0.00 1.00 0.00 -0.20 0.60 3.00 3.00


División

Lado derecho

DivisiónCoeficiente


División

x=3 , y=2; z=20∗3+40∗2=140

3. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1.5 g de plata, vendiéndolas a 40 dolares cada una. Para lfabricacion de las del tipo B emplea 1.5 g de oro y 1 gr de plata y las vende a 50 dolares. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.

Calcula cuantas joyas se ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.

Oro Plata PrecioTipo A (x) 1 3/2 40Tipo B (y) 3/2 1 50

750 750


Tipo A: x

Tipo B: Y

Max z=40x+50 y

Restricciones

x+3 y2

≤750

3x2

+ y≤750

x , y ≥0

Problema convertido

z=−40 x−50 y+0 x1+0 x2 x+3 y2

+x1=750 ,3 x2

+ y+x2=750

Solución

CoeficienteLado

derechoDivisiónVariable

básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -40.00 -50.00 0.00 0.00 0.00x1 1.00 0.00 1.00 1.50 1.00 0.00 750.00 500.00x2 2.00 0.00 1.50 1.00 0.00 1.00 750.00 750.00

CoeficienteLado


básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -6.67 0.00 33.33 0.00 25000.00y 1.00 0.00 0.67 1.00 0.67 0.00 500.00 750.00x2 2.00 0.00 0.83 0.00 -0.67 1.00 250.00 300.00

CoeficienteLado


básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 0.00 0.00 28.00 8.00 27000.00y 1.00 0.00 0.00 1.00 1.20 -0.80 300.00x 2.00 0.00 1.00 0.00 -0.80 1.20 300.00

x=300 , y=300; z=40∗300+50∗300=27000

4. Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica está dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla

Montaje AcabadoUtilitaria 3 horas 3 horasLujo 3 horas 6 horas

El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo ¿Cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?

Montaje Acabado PrecioUtilitarias (x) 3 3 300Lujo (y) 3 6 400

120 180


Utilitarias: x

Lujo: Y

Max z=300 x+400 y

Restricciones

3 x+3 y≤120

3 x+6 y≤180

x , y ≥0

Problema convertido

z=−300 x−400 y+0 x1+0 x2

3 x+3 y+x1=120,3 x+6 y+x2=180

Solución

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -300.00 -400.00 0.00 0.00 0.00x1 1.00 0.00 3.00 3.00 1.00 0.00 120.00 40.00x2 2.00 0.00 3.00 6.00 0.00 1.00 180.00 30.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -100.00 0.00 0.00 66.67 12000.00x1 1.00 0.00 1.50 0.00 1.00 -0.50 30.00 20.00y 2.00 0.00 0.50 1.00 0.00 0.17 30.00 60.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 0.00 0.00 66.67 33.33 14000.00x 1.00 0.00 1.00 0.00 0.67 -0.33 20.00y 2.00 0.00 0.00 1.00 -0.33 0.33 20.00


División


División


División

x=20 , y=20; z=300∗20+400∗20=14000

5. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster, y cada chaqueta precisa 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 $ y el de la chaqueta en 40 $. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

Algodón Poliéster PrecioPantalones (x) 1 2 50Chaquetas (y) 3/2 1 40

750 1000


Pantalones: x

Chaquetas: Y

Max z=50 x+40 y

Restricciones

x+2 y≤750

3x2

+ y≤1000

x , y ≥0

Problema convertido

z=−50 x−40 y+0 x1+0 x2

x+2 y+x1=750 ,3 x2

+ y+x2=1000

Solución

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 -50.00 -40.00 0.00 0.00 0.00x1 1.00 0.00 1.00 2.00 1.00 0.00 750.00 750.00x2 2.00 0.00 1.50 1.00 0.00 1.00 1000.00 666.67

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 0.00 -6.67 0.00 33.33 33333.33x1 1.00 0.00 0.00 1.33 1.00 -0.67 83.33 62.50x 2.00 0.00 1.00 0.67 0.00 0.67 666.67 1000.00

Variable básica Ec Z x y x1 x2Z 0.00 1.00 0.00 0.00 5.00 30.00 33750.00y 1.00 0.00 0.00 1.00 0.75 -0.50 62.50x 2.00 0.00 1.00 0.00 -0.50 1.00 625.00


División


División


División

x=625 , y=62.5; z=50∗625+40∗62.5=33750

6. “Problema no propuesto”

Max Z=x+9 y+ z

Restricciones

x+2 y+3 z ≤9

3 x+2 y+2 z≤15

x , y , z≥0

Problema convertido

Z−x−9 y−z+0 x1+0 x2=0

x+2 y+3 z+x1=9

3 x+2 y+2 z+x2=15

Solución

Variable básica Ec Z x y z x1 x2Z 0.00 1.00 -1.00 -9.00 -1.00 0.00 0.00 0.00x1 1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 1.00 0.00 9.00 4.50x2 2.00 0.00 3.00 2.00 2.00 0.00 1.00 15.00 7.50

Variable básica Ec Z x y z x1 x2Z 0.00 1.00 3.50 0.00 12.50 4.50 0.00 40.50y 1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 0.50 0.00 4.50x2 2.00 0.00 2.00 0.00 -1.00 -1.00 1.00 6.00


División


División

x=0 , y=4.5 ; z=0; Z=40.5

1. Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10,000.Dedicará $4,000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6,000. Al oír esta noticia, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo.Para ser un socio pleno en el caso del primer amigo debe invertir $5,000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor de su tiempo) sería de $4,500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4,000 y 500 horas, con una ganancia estimada igual a la anterior. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían asociarse con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción.Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.


Parte en la empresa 1: X1

Parte en la empresa 2: X2

Max z=4500 X1+4500 X2

Restricciones

400 X1+500 X2≤600(horas)5000 X1+4000 X2≤6000(dinero)

Problema dual

z=600 X 1+6000 X2

Restricciones

400 X1+5000 X2≥4500500 X1+4000 X2≥4500

Problema convertido

Minimizar-z+600 X1+6000 X2+0 X3+0 X4+M X5+M X6=0Condiciones400 X1+5000 X2−X3+X5=4500500 X1+4000 X2−X 4+X6=4500

Solución

Variable básica Ec Z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 600 6000 0 0 M M 0X5 1 0 400 5000 -1 0 1 0 4500X6 2 0 500 4000 0 -1 0 1 15

Variable básica Ec Z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 600-900M 6000-9000M M M 0 0 -9000Mx5 1 0 400 5000 -1 0 1 0 4500 0.90x6 2 0 500 4000 0 -1 0 1 4500 1.13

Variable básica Ec Z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 -180M+120 0 1.2-.8M M 1.8M-1.20 0 -900M-5400x2 1 0 0.08 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.90 11.25x6 2 0 180.00 0.00 0.80 -1.00 -0.80 1.00 900.00 5.00

Variable básica Ec Z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 0 0 0.66666667 0.66666667 M-0.667 M-0.667 -6000x2 1 0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50X1 2 0 1.00 0.00 0.00 -0.01 0.00 0.01 5.00


Divisón

Divisón




Divisón

x1=5 , x 2=.5; z=600∗5+6000∗.5=6000

2. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamblaje y distribución de $4, $10 y $12 respectivamente.

La distribución de los insumos a los productos se resume en la siguiente tabla:

Producto 1 Producto 2 DisponibilidadFundicion 1 1 4Ensamblaje 2 3 10Distribución 4 2 12Beneficio 2 3

Determinar la combinación a producir que maximice los beneficios.


Producto 1: x

Producto 2: Y

Max z=2 x+3 y

Restricciones

x+ y≤ 4

2 x+3 y ≤10

4 x+2 y ≤12

Convierta a Dual y resuelva por simplex

Min z=4 x+10 y+12 z

Restricciones

x+2 y+4 z ≥2

x+3 y+2 z ≥3

Problema convertido

−Z+4 x+10 y+12 z+0 x1+M x2+0 x3+M x4=0

x+2 y+4 z−x1+x2=2

x+3 y+2 z−x3+ x4=3

Solución

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4Z 0 1 4 10 12 0 M 0 M 0x2 1 0 1 2 4 -1 1 0.00 0 2x4 2 0 1 3 2 0 0 -1 1 3

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4Z 0 1 4-2M 10-5M 12-6M M 0 M 0 -5Mx2 1 0 1 2 4 -1 1 0.00 0 2 0.50x4 2 0 1 3 2 0 0 -1 1 3 1.50

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4Z 0 1 -.5M+1 -2M+4 0 3-.5M 1.5M-3 M 0 -2M-6z 1 0 0.25 0.50 1.00 -0.25 0.25 0.00 0.00 0.50 1.00x4 2 0 0.50 2.00 0.00 0.50 -0.50 -1.00 1.00 2.00 1.00

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4Z 0 1 0 0 0 2 M-2 2 M-2 -10z 1 0 0.13 0.00 1.00 -0.38 0.38 0.25 -0.25 0.00y 2 0 0.25 1.00 0.00 0.25 -0.25 -0.50 0.50 1.00

x=0 , y=1 ; z=0; Z=10∗1=10

Como la solución arroja el valor de z igual a 0, se dice que es degenerada la solución, hay múltiples soluciones.

3. En una fábrica se elaboran 3 tipos de herramientas A, B y C. En la fábrica trabajan 3 obreros durante 8 hrs diarias y un revisor para comprobar las herramientas una vez construidas, y trabaja 1 hr diaria. Para la construcción de A se emplean 3 hrs diarias de mano de obra y precisa de 6 min de revisión, para la construcción de B se emplean igual 3 hrs de mano de obra y 4 min de revisión, Para C es necesaria 1 hr de mano de obra y 3 min de revisión. Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias y el precio de cada herramienta es de 4000, 3000 y 2000 respectivamente.

Hallas las unidades que se deben elaborar cada día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo.


Herramienta A: x

Herramienta B: y

Herramienta C: z

Max z=4000x+3000 y+2000 z

Restricciones

3 x+3 y+z ≤24

6 x+4 y+3 z ≤60

x+ y+z≤12

Convierta a Dual y resuelva por simplex

Min z=24 x+60 y+12 z

Restricciones

3 x+6 y+z≥4000

3 x+4 y+z ≥3000

x+3 y+ z≥2000

Problema convertido

−z+24 x+60 y+12 z+0 x1+M x2+0 x3+M x4+0 x5+M x6=0

3 x+6 y+z−x1+x2=4000

3 x+4 y+z−x3+ x4=3000

x+3 y+ z−x5+x6=2000

Solución

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 24 60- 12 0 M 0 M 0 M 0x2 1 0 3 6 1 -1 1 0 0 0 0 4000 666.67x4 2 0 3 4 1 0 0 -1 1 0 0 3000 750.00x6 3 0 1 3 1 0 0 0 0 -1 1 2000 666.67

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 24-7M 60-13M 12-3M M 0 M 0 M 0 -9000Mx2 1 0 3 6 1 -1 1 0 0 0 0 4000 666.67x4 2 0 3 4 1 0 0 -1 1 0 0 3000 750.00x6 3 0 1 3 1 0 0 0 0 -1 1 2000 666.67

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6

Z 0 1 -.5M-6 0 2-.833M 10-1.1667M 2.167M-10 M 0 M 0-333.33M-40000

y 1 0 0.5 1 0.16666667 -0.16666667 0.16666667 0 0 0 0 666.666667 1333.33

x4 2 0 1 0 0.33333333 0.66666667 -0.66666667 -1 1 0 0 333.333333 333.33x6 3 0 -0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0 0 -1 1 0 0.00

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6

Z 0 1 0 0 -.667M 14-.833M 1.8333M-14 .5M-6 .5M+6 M 0-166.67M-38000

Y 1 0 0 1 0 -0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 500#¡DIV/

0!X 2 0 1 0 0.33333333 0.66666667 -0.66666667 -1 1 0 0 333.333333 1000.00x1 3 0 0 0 0.66666667 0.83333333 -0.83333333 -0.5 0.5 -1 1 166.666667 250.00

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 0 0 0 9 M-9 -3 M+3 6 M-6 -39000Y 1 0 0 1 0 -0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 500 1000.00X 2 0 1 0 0 0.25 -0.25 -0.75 0.75 0.5 -0.5 250 -333.33Z 3 0 0 0 1 1.25 -1.25 -0.75 0.75 -1.5 1.5 250 -333.33

CoeficienteLado

derecho DivisiónVariable básica Ec Z x y z x1 x2 x3 x4 x5 x6Z 0 1 0 0 0 6 M-6 0 M 6 M-6 -36000X3 1 0 0 2 0 -1 1 1 -1 0 0 1000X 2 0 1 1.5 0 -0.5 0.5 0 0 0.5 -0.5 1000

Z 3 0 0 1.5 1 0.5 -0.5 0 0 -1.5 1.5 1000

x=1000 , y=0 ; z=1000; Z=36000

4. Una compañía de tecnología solar produce tres diferentes tipos de calculadora y las clasifica como científica, empre-

seriales y para graficas de acuerdo con sus capacidades de cálculo. Los tres tipos tienen los requerimientos de Prod-

cción que se proporcionan en la siguiente tabla.

Científica Empresarial GraficasComponentes de circ. 5 7 10tiempo de ensamble 1 3 4Estuches 1 1 1


Cientifica: x

Empresarial: y

Graficas: z

Max Z=6 x+13 y+20 z

Restricciones

5 x+7 y+10 z ≤40000

1 x+3 y+4 z≤30000

1 x+1 y+1 z≤9000

Convierta al problema Dual

Min z=40000x+30000 y+9000 z

Restricciones

La empresa tiene un limite mensual de 40,000 componentes de circuito, 30,000 hrs. De trabajo y 9,000 estuches. Silas ganancias son de $6.00 para la científica, $13.00 para la empresarial y de $20.00 para las graficas, ¿que cantidad de-bería producirse de cada una para lograr la ganancia máxima?.

5 x+1 y+z ≥6

7 x+3 y+ z≥13

10 x+4 y+z ≥20

Problema convertido

−z+40000 x+30000 y+9000 z+0 x1+M x2+0 x3+M x4+0 x5+M x6=0

5 x+ y+ z−x1+x2=6

7 x+3 y+ z−x3+x4=13

10 x+4 y+z−x5+x6=20

“El problema no ha podido ser resuelto”

X=2 Z=80000

5. Maximizar la siguiente ecuación para el No # de vigas requeridas en un edificio

Max Z=40 x+18 y

Restricciones

16 x+2 y≤700

6 x+3 y≤612

x≤80

y ≤120

Problema dual

Min Z=700 x+612 y+80 z+120w

16 x+6 y+z≥40

2 x+3 y+w≥18

Problema convertido

−z+700 x+612 y+80 z+120w+0x1+M x3+0 x2+M x4+¿0

16 x+6 y+z−x1+ x3=40

2 x+3 y+w−x2+x4=18

Solución

Variable básica Ec Z x y z w x1 x2 x3 x4Z 0 1 700 612 80 120 0 0 M M 0x3 1 0 16 6 1 0 -1 0 1 0 40x4 2 0 2 3 0 1 0 -1 0 1 18

Variable básica Ec Z x y z w x1 x2 x3 x4Z 0 1 700-18M 612-9M 80-M 120-M M M 0 0 -58M 0x3 1 0 16 6 1 0 -1 0 1 0 40 2.5x4 2 0 2 3 0 1 0 -1 0 1 18 9

Variable básica Ec Z x y z w x1 x2 x3 x4Z 0 1 0 349.5-2.25M .125M+36.25 120-M 43.75-.125M M 1.125M-43.75 0 -13M-1750 0X 1 0 1 0.375 0.0625 0 -0.0625 0 0.0625 0 2.5 6.66666667x4 2 0 0 2.25 -0.125 1 0.125 -1 -0.125 1 13 5.77777778

Variable básica Ec Z x y z w x1 x2 x3 x4Z 0 1 0 0 55.667 -35.333 24.333 155.333 M-24.333 M-155.333 -3769.333X 1 0 1 0 0.08333333 -0.16666667 -0.08333333 0.16666667 0.083333333 -0.16666667 0.33333333 -2Y 2 0 0 1 -0.05555556 0.44444444 0.05555556 -0.44444444 -0.055555556 0.44444444 5.77777778 13

Variable básica Ec Z x y z w x1 x2 x3 x4Z 0 1 0 79.5 51.25 0 28.75 120 M-28.75 M-120 -3310X 1 0 1 0.375 0.0625 0 -0.0625 0 0.0625 0 2.5W 2 0 0 2.25 -0.125 1 0.125 -1 -0.125 1 13


División


División


División



División

x=2.5 , y=0; z=0 ;w=13; Z=3310

6.

Problema primal

Min Z=315 x+110 y+50 z

Restricciones

15 x+2 y+z ≥200

7.5 x+3 y+z ≥150

5 x+2 y+z ≥120

Problema dual

Max Z=200 x+150 y+120 z

Restricciones

15 x+7.5 y+5 z ≤315

2 x+3 y+2 z≤110

x+ y+z≤50

Problema convertido

z−200 x−150 y−120 z+0 x1+0 x2+0 x3=0

15 x+7.5 y+5 z+x1=315

2 x+3 y+2 z+x2=110

x+ y+z+ x3=50

Solución

Variable básica Ec Z x y z x1 x2 x3Z 0 1 -200 -150 -120 0 0 0 0x1 1 0 15 7.5 5 1 0 0 315 21x2 2 0 2 3 2 0 1 0 110 55x3 3 0 1 1 1 0 0 1 50 50

Variable básica Ec Z x y z x1 x2 x3Z 0 1 0 -50 -53.3333333 13.3333333 0 0 4200x 1 0 1 0.5 0.33333333 0.06666667 0 0 21 63x2 2 0 0 2 1.33333333 -0.13333333 1 0 68 51x3 3 0 0 0.5 0.66666667 -0.06666667 0 1 29 43.5

Variable básica Ec Z x y z x1 x2 x3Z 0 1 0 -10 0 8 0 80 6520x 1 0 1 0.25 0 0.1 0 -0.5 6.5 26x2 2 0 0 1 0 0 1 -2 10 10z 3 0 0 0.75 1 -0.1 0 1.5 43.5 58

Variable básica Ec Z x y z x1 x2 x3Z 0 1 0 0 0 8 10 60 6620x 1 0 1 0 0 0.1 -0.25 0 4y 2 0 0 1 0 0 1 -2 10z 3 0 0 0 1 -0.1 -0.75 3 36


División


División

Lado derecho

Lado derecho

Coeficiente

CoeficienteDivisión

División

x=4 , y=10 ; z=36; Z=6620

Problemas de programacion lineal

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