Planteamiento Problemas Programacion Lineal

Investigacin de Operaciones

M. En C. Eduardo Bustos Faras 1

Planteamiento de problemas de programacin lineal



Ejemplo. Fabricantes muebleros

Asignacin de recursos limitados



La Fabricantes muebleros, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales.

La compaa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana.

La planta 2 es una planta ms nueva y no opera a su capacidad total.

Sin embargo, y dada que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen los dos turnos.



En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana.

No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno.

La tabla muestra el tiempo de produccin (en horas par unidad) y los costos estndar (en dlares por unidad) en cada planta.



TABLA. Tiempo (horas) y costos (dlares)



La compaa ha competido con xito en el pasado asignando un precio de $350 a los escritorios ejecutivos.

Sin embargo, parece que la compaa tendr que reducir el precio de los escritorios secretariales a $275 con el objeto de estar en posicin competitiva.

La compaa ha estado experimentando excesos de costos en las ltimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restriccin presupuestaria semanal sobre los costos de produccin.

El presupuesto semanal para la produccin total de escritorios ejecutivos es $2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es $2200.

A los administradores les gustara determinar cul es el nmero de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades, en la prxima semana.



SOLUCIN

ObjetivoLa compaa necesita determinar el nmero

de escritorios ejecutivos y secretariales que deben fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto de maximizar las utilidades.

La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferencia entre el precio de venta y los costos estndar.



Restricciones1.No se dispone de ms de 80 horas para la

produccin combinada de escritorios en la planta 1.

2.No se dispone de ms de 50 horas para la produccin combinada de escritorios en la planta 2.

3.Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder $2000.

4.Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder de $2200.



Variables de decisinDado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo

de escritorio que va a fabricarse en la planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables:

X1 = nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1, la prxima semana.

X2 = nmero de escritorios secretariales que se fabrican en Ia planta 1 , la prxima semana.

X3 = nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2, la prxima semana.

X4 = nmero de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2, la prxima semana.



Coeficientes de la funcin objetivo (estructura matemtica)

La funcin objetivo se expresar en dlares, puesto que el objetivo es maximizar utilidades; por tanto, los coeficientes cj se expresarn en dlares por unidad, dado que las xj estn expresadas en unidades.

Los coeficientes cj se determinan encontrando la diferencia entre el precio de venta de un determinado tipo de escritorio y los costos estndar multiplicados en la fabricacin de ese escritorio en la planta especfica.

Por ello:

C1 = 350 - 250 = $100/escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1C2 = 275 -200 = $75/escritorio secretarial fabricado en la planta 1C3 = 350 - 260 = $90/escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2C4 = 275 - 180 = $95/escritorio secretarial fabricado en la planta 2



Funcin objetivo (estructura matemtica)

MAXIMIZAR: Z = 100X1+75X2+90X3+95X4



Restricciones (estructura matemtica)

Es posible identificar y verificar la consistencia de las unidades de medicin de los coeficientes aij y de los valores del segundo trmino al mismo tiempo que se desarrolla la estructura matemtica de las restricciones.

Puesto que las unidades de medicin pueden diferir de una restriccin a otra, se considera cada una de ellas en forma separada.

1. Lmite del tiempo de produccin en la planta 1 (80 horas):(7.0 horas / unidad) x (x1 unidades) +(4.0 horas / unidad) x (x2 unidades)



2. Lmite del tiempo de produccin en la planta 2 (50 horas):

(6.0 horas / unidad) x (x3 unidades) +(5.0 horas / unidad) x (x4 unidades)



Planteamiento matemticoMAXIMIZAR: Z = 100x1 + 75x2 + 90x3 + 95x4

Sujeto a: 7.0x1 + 4.0x2



Ejemplo. Hospital de la Mujer

Dieta de costo mnimo



La seora Lpez, dietista del Hospital, es responsable de la planeacin y administracin de los requerimientos alimenticios de los pacientes.

La seora Lpez examina en estos momentos un caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias.

Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mnimos por da: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del nutriente B y 1500 unidades del nutriente C.



Cada onza de la fuente alimenticia No. 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades de nutriente B y 200 unidades de nutriente C; cada una de la fuente alimenticia No. 2 contiene 200 unidades de nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C.

Ambas fuentes alimenticias son algo costosas (la fuente No. 1 cuesta $6.00 por libra y la fuente No. 2 cuesta $8.00 por libra); por tanto, la seora Lpez desea determinar la combinacin de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos las requerimientos nutritivos.



SOLUCION



Objetivo

El objetivo en este caso consiste en determinar el nmero de onzas de cada una de las dos fuentes alimenticias que cuesten lo menos posible y que satisfagan los requerimientos nutritivos de los nutrientes A, B y C.

Un punto importante que debe reconocerse es que las unidades de medicin para las fuentes alimenticias se expresan en onzas, en tanto que sus costos se expresan en libras.



Restricciones

1.Se deben consumir cuando menos 1000 unidades del nutriente A por da.

2.Se deben consumir cuando menos 2000 unidades del nutriente B por da.

3.Se deben consumir cuando menos 1500 unidades del nutriente C por da.

4.No existe restriccin sobre Ia cantidad que se consume por da de cada una de las fuentes alimenticias.



Variables (estructura matemtica)

Se requerirn dos variables, puesto que se desea determinar la cantidad que debe consumirse de dos fuentes alimenticias:

X1 = nmero de onzas de la fuente alimenticia No. 1 que debe consumirse diariamente

X2 = nmero de onzas de la fuente alimenticia No. 2 que debe consumirse diariamente



Funcin objetivo (estructura matemtica)

El objetivo de ste problema consiste en minimizar costos. El nico ajuste que es necesario hacer a los coeficientes

de costos es reconocer que en el esbozo del problema, los costos de las respectivas fuentes alimenticias se expresaran en libras y no en onzas.

Por tanto, c1 = $6.00/16 = $0.375 por onza y c2 = $8.00/16 = $0.50 por onza, puesto que existen 16 onzas en cada libra de las respectivas fuentes alimenticias.

Entonces, la funcin objetivo puede expresarse de la siguiente manera:

MINIMIZAR: Z = 0.375x1 + 0.50X2



Restricciones (estructura matemtica)

Se ha elaborado la tabla para ayudar a reestructurar las restricciones que le siguen.

TABLA. Datos de nutrientes



1. Restriccin del nutriente A:[(100 unidades del nutriente A)/(onza de la

fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(200 unidades del nutriente A)/(onza de la fuente No. 2)] x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 1000 unidades del nutriente A



2. Restriccin del nutriente B:[(400 unidades del nutriente B)/(onza de la

fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(250 unidades del nutriente B)/(onza de la fuente No. 2)] x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 2000 unidades del nutriente B



3. Restriccin del nutriente C:[(200 unidades del nutriente C)/(onza de la

fuente No. 1)] x (x1 onzas de la fuente No. 1) + [(200 unidades del nutriente C)/(onza de la fuente No. 2)1 x (x2 onzas de la fuente No. 2) >= 1500 unidades del nutriente C



Planteamiento matemticoMINIMIZAR: Z = 0.375x1 + 0.50x2

SUJETO A:

100x1 + 200x2 >= 1000400x1 + 250x2 >= 2000200x1 + 200 x2 >= 1500X1 ,X2 >= 0



Ejemplo. PEMEX



PEMEX

Comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal.

Cada gasolina debe satisfacer ciertasespecificaciones, tales como la presin de vapor aceptable y el octanaje mnimo.



Los requerimientos de manufacturason:

Gasolina Octanajemnimo

Presinmxima de vapor

Precio de venta (porbarril)

Normal 80 9 21

Extra 100 6 24



Se utilizan 3 tipos de gasolina parafabricar las gasolinas normal y extra.Gasolinabase

Octanaje Presinde vapor

Disponibilidad

mxima(barriles)

Costopor barril

1 108 4 32000 22

2 90 10 20000 20

3 73 5 38000 19



La compaa se ha comprometido con un comprador a proporcionar 30,000 barrilesde gasolina normal por semana.

No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra.

Le gustara determinar el plan de produccin para las 2 clases de gasolinaque maximicen las utilidades para la prxima semana.



Variables de Decisinx1 .

Nmero de barriles de gasolina 1 para fabricar gasolina normal

x2 .Nmero de barriles de gasolina 2 para fabricar gasolina normal.

x3 .Nemro de barriles de gasolina 3 para fabricar gasolina normal.

x4 .Nmero de barriles de gasolina 1 para fabricar gasolina extra.



para la prxima semana








Funcin Objetivo

Coeficientes

Max_Z x1 x2+ 2 x3+ 2 x4+ 4x5+ 5x5+Gasolina Octanaje mnimo Presin mxima

de vaporPrecio de venta(por barril)

Normal 80 9 21

Extra 100 6 24



RestriccionesX1+X2+X3



Ejemplo. Compaa Ferguson

Asignacin de capital



COMPAA FERGUSON La Ferguson enfrenta el problema de determinar que

proyectos de crecimiento debe emprender en losprximos 4 aos.

La compaa tiene una cantidad limitada de fondos parainversiones de capital; por tanto, no puede financiartodos los proyectos.

A cada uno de estos se Ie ha caracterizadodeterminando su valor presente y el requerimiento(costo) asociado de capital.

Cada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los prximos 4 aos.

En Ia tabla siguiente se muestran eI valor presenteestimada, los requerimientos de capital y el capital disponible proyectado para cada uno de ellos.



Desarrollar plan para la asignacin de fondos.

A los administradores de la Ferguson les gustara desarrollar un plan de asignacinde capital que muestre las erogaciones que deben hacer para cada uno de los 4 aosy qu proyectos se deben financiar bajo el plan general.



Variables de decisin

xj .valor proporcional que indica la medida en que se finanacia el proyecto

xj .1 indica que si se financia el proyecto

xj .0 indica que no se financia el proyecto

j 1 2, 3, 4,

DURANTE LOS 4 AOS



Funcin Objetivo

44332211 xcxcxcxcz +++=

Max_Z 18000x1 20+ 000x2 72000x3+ 80000x4+,180000



Restricciones

30 000x1 12+, 000x2 30+, 000x3 20+, 000x4 65, 000,40 000x1 8+, 000x2 30+, 000x3 30+, 000x4 85, 000,40 000x1 0x2+ 20+, 000x3 40+, 000x4 80, 000,30 000x1 4+, 000x2 30+, 000x3 10+, 000x4 50, 000,

x1 x2, x3, x4 1,xj 0> j 1, 2, 3, 4,

Ao 1:

Ao 2:

Ao 3:

Ao 4:

para garantizar que cada proyecto no sobrepase el 100% del mismo

X1+X2+X3+X4=



Ejemplo. Compaa B&ZBrewingTransporte



Datos

464



Variables de decisin

xij i 1, 2, 3, xij .numero de camiones qeu se envian de la planta i al almacen jj 1 2, 3, 4,

queEn un perodo de tiempo dado



Funcin ObjetivoMin ==

===

4_3

1

ji

jiijij xCz

34333231

24232221

14131211

685388682995791690416352

867654513464

xxxxxxxx

xxxxz

+++++++

++++=Min



Restricciones

xij 0 i 1 2, 3,j 1 2, 3, 4,

85706580

100

12575

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

++++++++

++++++

+++

xxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxxxxxx

=

=

=

=

1

2

3

3

2

1

4

464513

654867

352 416690

791

995 687

388685

Plantas de Produccin Almacenes de Depsito

Boulder Colorado(75)

Mineapolis,Minessota (125)

OlympiaWashington (100)

San Diego, Cal.(80)

Pravo, Utah (65)

Albuquerque,Nvo. Mxico (70)

Lincoln,Nebraska (85)

Planteamiento de problemas de programacin linealEjemplo. Fabricantes mueblerosTABLA. Tiempo (horas) y costos (dlares)SOLUCINRestriccionesVariables de decisinCoeficientes de la funcin objetivo (estructura matemtica)Funcin objetivo (estructura matemtica)Restricciones (estructura matemtica)Planteamiento matemticoEjemplo. Hospital de la MujerSOLUCIONObjetivoRestriccionesVariables (estructura matemtica)Funcin objetivo (estructura matemtica)Restricciones (estructura matemtica)Planteamiento matemticoEjemplo. PEMEXPEMEXLos requerimientos de manufactura son:Se utilizan 3 tipos de gasolina para fabricar las gasolinas normal y extra.Variables de DecisinFuncin ObjetivoRestriccionesEjemplo. Compaa FergusonCOMPAA FERGUSONDesarrollar plan para la asignacin de fondos.Variables de decisinFuncin ObjetivoRestriccionesEjemplo. Compaa B&Z BrewingDatosVariables de decisinFuncin ObjetivoRestricciones

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