Problemas de Funciones Reales de Variable Real

Captulo 3

Problemas de funiones reales de

variable real

(En los problemas marados on el iono es onveniente usar de un programa de

ordenador para la representain gra de funiones, por ejemplo Winplot).

3.1. Conepto de funin

1. En las siguientes situaiones se dene una variable independiente (VI) y una variable

dependiente (VD) que depende de la primera. Para ada una de ellas, se trata de:

Elegir una notain apropiada para ambas variables.

Enontrar el dominio de la VI y el rango de la VD.

Representar en sus diversas formas la dependenia entre ambas variables: analti-

a, gra, tabular y omo onjunto de R2.

a) VI: ngulo agudo de un tringulo retngulo de hipotenusa onstante. VD: rea

del tringulo.

b) VI: lado de un tringulo retngulo (el otro lado vale 2). VD: hipotenusa.

) VI: hipotenusa de un tringulo retngulo. VD: valor de un lado (el otro lado

vale 5).

d) VI: temperatura en grados entgrados. VD: temperatura en grados Fahrenheit.

INDICACIN: Utilizar os siguientes datos: la relain entra ambas variables es

lineal; la temperatura de ongelain del agua (0

C) orresponde a 32

F; la tem-

peratura de ebulliin del agua (100

C) orresponde a 210

F.

e) VI: un nmero real ualquiera x. VD: el mximo entre x y 1 x.

11

12 CAPTULO 3. PROBLEMAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

f ) VI: ngulo en un setor irular de radio onstante. VD1: rea del setor. VD2:

longitud del aro del setor.

2. Supongamos que f(x) es una funin peridia de periodo 3, f(2) = 0, f(1. 5) = 1,

ontinua, lineal entre 2 y 1. 5, lineal entre 1. 5 y 1.a) Representar en sus diversas formas f(x).

b) Para qu valores de x se tiene f(x) = 1?

) Para qu valores de x se tiene f(x) = 0. 5?

3. Supongamos que R es una variable que depende del tiempo t. Piensa en las siguientessituaiones:

a) R(t) es una urva de aprendizaje de una tarea. Es deir, en ada momento t, R(t)india la destreza que se ha adquirido en realizar la tarea hasta ese momento.

Supongamos que la tarea es muy menia, omo preparar hamburguesas en un

estableimiento de omida rpida, montar pinzas para la ropa o repartir el orreo.

b) Tambin R(t) es una urva de aprendizaje, pero ahora la tarea requiere mayoreshabilidades, por ejemplo, se trata de aprender a manejar un proesador de texto

o a onduir un vehulo.

) R(t) es la fra

in de la poblain que se ha enterado de ierta notiia que estsiendo difundida por los grandes medios de omuniain (prensa, TV, radio,

Internet).

d) R(t) tambin es la fra

in de poblain que se ha enterado de ierta notiia, peroahora se trata de un rumor que se extiende de forma hablada, nuna ha salido en

los medios de omuniain.

La gura adjunta muestra las gras A y B de dos funiones. Cul de ellas rees que

puede orresponder a ada una de las uatro situaiones anteriores?

4. Las siguientes gras muestran el beneio B que han tenido dos empresas a lo largo

de un perodo de tiempo. Inventa una posible historia que explique el omportamiento

de ada la funin beneio para un hipottio produto fabriado por la empresa.

Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

3.1. CONCEPTO DE FUNCIN 13

5. Usar la gra de y =x para esbozar la gra de:

a) y =x+ 2 b) y = x c) y = x 2

6. Sea f(x) una funin arbitraria. Las siguientes, son funiones denidas a partir def(x). Para ada una de ellas, se trata de:

a) Esribirla mediante omposiin de funiones.

b) Representarla gramente, a partir de la gra de f(x).

a) f(x) ) f(x k) e) f(ax+ b) g) f(x) + k i) f(|x|) k) ef(x)b) f(x) d) f(k x) f) f(kx) h) |f(x)| j) f2(x), f3(x) l) ln(f(x)), ln(ln(f(x)))

7. Elegir alguna funin f(x) y representar gramente las funiones denidasen el problema anterior, estudiando mo vara diha representain en funin de

los parmetros que aparezan. INDICACIN: Por ejemplo, si tomamos f(x) = x2,podemos representar gramente g(x) = f(x) + k, y estudiar mo ambia la grade g(x) segn el valor de k.

8. La imagen adjunta muestra la gra de y(x). Responder a las siguientes uestiones:

E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada


a) Cul es el dominio de y(x)?

b) Cul es el rango de y(x)?

) Tiene y(x) inversa en x / x0? Si es as, ul es el dominio y el rango de lainversa?

9. Para ada una de las siguientes funiones, se trata de:

a) Representarla gramente.

b) Elegir un dominio para el ual exista funin inversa.

) Obtener y representar gramente la funin inversa.

d) Comprobar que, si se representan sobre los mismos ejes, las gras de una funin

y de su inversa son simtrias respeto a la reta y = x.

a) y = ex ) y = tg(x) e) y = cos(x)

b) y = sen(x) d) y = senh(x) =ex ex

2f) y = cosh(x) =

ex + ex

2

10. Construir un modelo del meanismo de un barmetro (ver guras). Tirando del hilo

en P , la aguja ambia de posiin sobre la esala. El reorrido horizontal de P debeprovoar el reorrido de media irunferenia sobre la esala. Representar gramente

la funin.


3.2. LMITES 15

Luego, inventar un meanismo para onvertir el desplazamiento vertial provoado por

la presin atmosfria en el movimiento horizontal de P. Enontrar la funin que nos

da la posiin sobre la esala a partir del desplazamiento vertial. Tened en uenta

que los desplazamientos horizontal y vertial sern realmente pequeos.

3.2. Lmites

11. Demostrar la siguiente armain: Si el lmite L de y(x) en el punto x = a es distintode 0, entones existe un entorno de a en el que f(x) tiene el mismo signo que L. Quourre si el lmite es 0? Interpretar gramente estos resultados.

12. Supongamos que {an} onverge haia a. Disutir la onvergenia de la suesin {y(an)}para las siguientes funiones y(x):

a) b) )

a = /2 a = 3 a = 0

y = x3ex sen(x) y =

{1 x < 3

2 x > 3y =

{x2 x < 0

x x > 0



13. Para ada una de las siguientes funiones, se trata de estudiar la ondiin del siguiente modo:

a) Elegir un punto x=a.

b) Estudiar de forma experimental la ondiin . En aso de que no se veriqueesta ondiin, enontrar un valor de para el ual no exista .

) Enontrar el valor de (si existe) para ada algunos valores de . Haer una tabla

on dos olumnas /.

d) Elegir otro punto x = b. Fijndonos en la tabla anterior, para en mismo valor de, nos vale el mismo valor de ? Qu onlusin obtenemos?

a) b) )

y = sen(x) y =

{x3 5 x < 3x2 + 13 x > 3

y =

{x3 5 x < 3x2 + 12. 5 x > 3

3.3. Continuidad

14. Representar gramente las siguientes funiones y disutir su ontinuidad en funin

de los parmetros a y b.

a) b) )

z(y) =

{y3 y 2ay2 y > 2

u(r) =

{2 r 1ar + b r > 1

v(x) =

x2 a2x a x 6= a

8 x = a

15. Supongamos que el porentaje p de droga ilegal inautada anualmente por el Depar-tamento de Interior y el oste C en millones de euros que supone, estn relaionadosmediante el siguiente modelo:

p =100C

C + 500

Se pide:

a) Representar gramente p(C) y C(p).

b) Estudiar el omportamiento de C a medida que p se aera a 100.

) Es posible inautar ualquier porentaje p de droga ?

d) Supongamos que el Departamento se propone inautar en un ao entre el 60 y el65% de la droga. Demostrar formalmente que, de auerdo al modelo, este objetivopuede umplirse.

16. Demostrar que de entre todas las esferas uyo radio est omprendido entre 1 y 5 m,existe una uyo volumen es igual a 275 cm3.


3.4. DERIVABILIDAD 17

17. Demostrar que la funin y(x) = cos x senx se anula en un punto z del intervalo[0, 1]. Enontrar de forma aproximada el valor de z.

18. Tenemos un plato en el frigoro y otro en el horno. Despus de un rato, interam-

biamos la posiin de los platos. En algn momento ambos platos tendrn la misma

temperatura?

19. Considerar la funin p(r) = r5 4r2 +1. Trazamos una reta horizontal a una alturaR, siendo R un nmero ualquiera omprendido entre 1. 5 y 16. Demostrar que dihareta orta a la gra de p(r).

20. Supongamos que tenemos un depsito de agua y que lo estamos vaiando por un grifo

abierto. Llegar un momento en el que tendremos en el depsito la mitad de agua

que al prinipio? Supongamos ahora que el agua se ha ongelado en el depsito y

que lo estamos vaiando ortando y saando el hielo a trozos. Responder a la misma

pregunta. Construir un modelo gro de ambas situaiones.

3.4. Derivabilidad

21. Estimar los valores de y(x) en los puntos indiados, a partir de la gra de y(x).

a) x = 2b) x = 1

) x = 0

d) x = 1,5

e) x = 2

f ) x = 3



22. La gura muestra las gras de dos funiones z(r) y u(r). Representa gramentela funin v(r) = z(r) u(r). Cul es el ritmo de ambio de v(r)?

23. Dada la gra de la funin s(z), dibujar la gra de una funin u(z) que umplalas siguientes ondiiones:

1) s(z) = u(z) para todo z2) u(1) = 0

Es nia esta funin u(z)?

24. Seguidamente se muestran desordenadas diez gras que orresponden a ino fun-

iones y sus derivadas. Eres apaz de desubrir ul es la funin y ul la derivada?

Puedes enontrar una expresin analtia aproximada para ada funin?



25. En ada una de las siguientes desripiones, se trata de: (1) indiar el signiado de

las variables que intervienen; (2) dibujar una gra de la funin que satisfae la

desripin; (3) expliar lo que la desripin die aera de la derivada.

a) El preio de un produto disminuye uanto ms produto es fabriado.

b) La temperatura de un enfermo ha estado aumentando las ltimas tres horas, pero

en la ltima hora menos rpidamente porque se le administr un antibitio.

) El osto del seguro mdio aumenta a ritmo onstante.

d) El ohe ha ido frenando, hasta que se ha detenido.

26. Estamos llenando de agua un tanque esfrio, a ritmo onstante. En ada instante t,sea V (t) el volumen de agua en el depsito y H(t) la altura que alanza.

a) Interpretar dV/dt y dH/dt.



b) El valor de dH/dt, aumenta o disminuye?

27. Demostrar que una funin derivable en un punto x = a es ontinua en diho punto,pero que el reproo no es ierto en general. INDICACIN: Si existe

lmh0

f(a+ h) f(a)h

entones el numerador DEBE tender haia 0.

28. La Ley de Boyle establee que si la temperatura de un gas se mantiene onstante,

su presin es inversamente proporional a su volumen. Demostrar que la veloidad de

ambio de la presin es inversamente proporional al uadrado del volumen.

29. Un tren de poleas est onstruido omo muestra la gura. Cuando gira ualquiera de

ellas, transmite el giro a las otras dos. Calular la veloidad de giro de ada una de

las ruedas respeto a ada una de las otras. Supongamos que la rueda entral gira a

razn de 12 revoluiones por segundo. Calular la veloidad de giro respeto al tiempode las otras dos ruedas.

30. La veloidad S de la sangre a una distania r del entro de la arteria, medida en m/s,puede modelizarse mediante la funin S(r) = C(R2 r2) donde C es una onstantey R es el radio de la arteria. Se suministra un frmao y R se dilata a ritmo onstanterespeto al tiempo. Calular el ritmo de ambio de S respeto al tiempo. Apliarlo onlos siguientes datos: C = 1. 76 105, R = 1. 2 102, ritmo de dilatain de R = 105.

31. Se bombea aire en el interior de un globo a razn de 4. 5 litros por minuto. A quveloidad ambia el radio del globo en el instante en que el radio mide 20 m?

32. Se van a onstruir tres tramos de autopista, dos de ellos retos, on pendientes de

9% y 6% respetivamente, y un tramo entral parablio (ver gura). Calular laseuaiones de los tres tramos.



33. Para onstruir una autopista hay que salvar un valle uyas laderas son tramos retos

que tienen pendientes del 6% y del 4% (ver gura). En un prinipio se pens en

onstruir el tramo que une los puntos jos A y B mediante una trayetoria parablia,

omo en el problema anterior, pero se desart la idea. Explia por qu. As pues, en

qu se diferenia este problema del anterior? Finalmente se opt por una trayetoria

bia. Calula su euain.

34. Vamos a estudiar dos modelos diferentes para alular en ada instante t la veloidadv(t) de un objeto en ada libre. Son los siguientes:

a) v(t) = gt

b) v(t) = gk

(1 ekt) donde k > 0 es una onstante que depende de la densidad del

medio fsio en el que el objeto ae.

1) Representar gramente v(t) segn ambos modelos (representar el modelo(b) para varios valores de k).

2) Estudiar el signiado del parmetro k en el modelo (b). Cundo ambosmodelos pueden onsiderarse similares? Cundo rees que se podr utilizar

el modelo (a)? Cual es la predi

in del modelo (b) para k muy grande? Eslgio este resultado?

3) El modelo (b) no est denido si k = 0, pero s es posible averiguar haiadnde onverge este modelo si k se aproxima a 0. Realizar este lulo yanalizar el resultado.



4) En el apartado anterior has enontrado la relain que hay entre los modelos

(a) y (b) en trminos de onvergenia de (b) haia (a). Ahora vamos a obtener

qu diferenia hay entre ambos. Pare ello, utilizar el desarrollo en serie de la

funin ex:

ex =

n=0

xn

n! < x < + (Sustituir x por kt para obtener ekt)

Qu diferenia hay entre la predi

in de uno y otro modelo? Cmo in-

terpretas esa diferenia? Observa mo se onstruyen modelos ada vez ms

preisos a medida que se toman ms sumandos en la serie.

5) Cul de los dos modelos te paree ms ompleto? Crees que alguno de los

dos modelos representa de modo exato el fenmeno real de ada del objeto?

Por qu? En general, dado un fenmeno fsio ualquiera on objetos en

movimiento, fuerzas, gases, lquidos, et. Crees posible onstruir un modelo

matemtio apaz de predeir de modo exato mo evoluiona el fenmeno?

6) Averiguar qu valores de k orresponden a diversos medios fsios omo agua,aire o diferentes gases. Comparar las veloidades que predien ambos mode-

los.

7) Supongamos que el objeto en su ada pasa de un medio a otro ms denso. Por

ejemplo, dejamos aer una piedra en el agua. Crees que la funin veloidad

resultante ser ontinua? Y derivable? Esribe tus intuiiones al respeto y

despus haz el anlisis y la representain gra.

35. Si dos resistenias R1 yR2 se onetan en paralelo, el valorR de la resistenia resultantese puede modelizar mediante la siguiente relain:

1

R=

1

R1+

1

R2

mientras que si estn onetadas en serie, el modelo es:

R = R1 +R2

Para ambos tipos de onexin, realizar el siguiente anlisis. Supongamos que R1 y R2varan respetivamente a 50 y 75 /s: ul es el ritmo de ambio de R? Supongamosque R1 y R2 varan a la misma veloidad: estudiar el ritmo de ambio de R. Todavabajo sta ltima hiptesis, supongamos que se aplia un tensin senoidal V de 220 V y50 Hz (es deir, V (t) = 220 sen(100t)). Calular el ritmo de variain de la intensidadI (reordar que V = IR).



36. Dada la funin y =

{ln(x) 0 < x 1ax2 + bx a b x > 1 se pide:

a) Comprobar que y es ontinua en x = 1, independientemente del valor de a y b.

b) Determinar experimentalmente varios valores de a y b de modo que y seaderivable en x = 1.

) Determinar analtiamente la ondiin que deben umplir a y b para que seaderivable en x = 1.

37. Un avin iniia el desenso para tomar tierra desde 1 Km de altitud a 4 Km al oestede la pista de aterrizaje. Se ha pensado disear una trayetoria bia y(x) = ax3 +bx2 + cx + d o bien parablia y(x) = ax2 + bx + c para el avin, desde su posiinatual y hasta toar tierra.

a) Elige el tipo de urva que te pareza ms adeuado y alula sus oeientes.

b) Explia los signiados de dy/dx, dy/dt, dx/dt.

) Representa gramente en los mismos ejes las funiones y(x), dy/dx. Explia

mo evoluiona y(x) segn la informain que te proporiona dy/dx.

d) En qu punto desiende ms rpidamente y respeto a x? Supongamos que eneste punto la veloidad horizontal del avin es de 650 Km/h: alula en estemismo punto la veloidad vertial de desenso en relain al tiempo.

38. Te has preguntado alguna vez por qu las antenas de reepin de satlite se llaman

parablias? Resulta que un rayo paralelo al eje que inida en un punto de la parbola,

forma on la reta tangente el mismo ngulo que el rayo reejado. Vamos a alularen qu punto del eje intersea este rayo reejado (ver gura).



a) La parbola tiene omo euain y = ax2. Calula la pendiente de la reta tan-gente por el punto (p, ap2). Esa pendiente es m = tg().

b) Sabiendo que + = /2, ya tenemos .

) Con y alulamos . Demuestra que = 2 /2.d) As pues, la pendiente del rayo reejado es tg() = tg(2 /2).e) Demuestra que tg() = ctg(2) = 0. 5(m 1/m).f ) Calula la euain del rayo reejado.

g) Demuestra que la interse

in de este rayo on el eje OY es y = 0. 25/a. Aspues, la posiin de este punto interse

in siempre es el mismo, slo depende del

parmetro a de la parbola. Este punto se llama FOCO de la parbola.

h) Ahora supn que el rayo inidente es una seal del satlite que llega a nuestra

antena de se

in parablia. La antena se ha orientado de modo que el rayo

venga paralelo al eje. Dnde oloaras, en la antena, el reeptor?

i) Si la parbola mide 60 m de dimetro y 12 de profundidad, alula el lugardonde debe oloarse el reeptor.

j ) Observa que el mismo prinipio puede usarse para onstruir una linterna, y tam-

bin un sistema para alentar agua, on una hapa de se

in parablia que

reeja los rayos de sol haia una tubera metlia por la que irula el agua a

alentar.



k) Por ltimo, la misma propiedad nos sirve para distinguir lo que es una parbola

y lo que no. Una de las dos siguientes urvas no es una parbola. Esuadra,

artabn y transportador en mano, eres apaz de distinguir ual?

39. Construir un modelo de freno de mano. Un able de aero unido a la palana, llega

hasta el punto P a travs del pasador D (ver gura). Cuando se tira de la palana,el able se tensa y el punto P se aproxima, y se supone que a

iona el meanismo defreno.

a) Calular y representar la posiin de P respeto a la posiin de la palana.

b) Calular y representar la veloidad de P respeto a .

40. Construir un modelo de mquina de oser. Enontrar la trayetoria y del extremo Pde la aguja, onetada mediante una biela a un volante giratorio (ver gura). Hay

que dar valores a los diferentes parmetros del meanismo (radio del volante, longitud

de la biela y de la aguja, en m) y enontrar y(), siendo el ngulo de giro de la

irunferenia.



a) Representar gramente y() y dy()/d. Explia mo evoluiona y()segn la informain que te proporiona dy()/d .

b) Representar gramente la aelerain d2y()/d2. El valor de la aelerainen ada es importante porque est relaionada on la tensin que sufre el hilode ostura. Viendo la gra, ul es el valor mximo de la aelerain? En qu

punto se alanza? Disear la mquina de modo que la aelerain mxima nosupere el valor 1. 46 cm/rad2.

) Supongamos que el volante gira a 150 r.p.s. (es deir, (t) = 300 Rt). Cul es laaelerain de y respeto al tiempo?

d) Supongamos que el volante gira a 150 r.p.s. Representar gramente x(t)y alular la veloidad de x respeto a t. Generalizar el resultado, tomando unafunin ualquiera (t). Tomar diversas funiones (t) (p. ej. (t) = 2RKt,(t) = t3, (t) = et, et). Estudia mo resulta afetada la veloidad dx/dtsegn la funin (t) que tomes.


Problemas de Funciones Reales de Variable Real

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