UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

Portada

MONOGRAFÍA

DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas básicos.

Derivadas de las funciones trigonométricas. Derivadas de orden superior.

Máximos y mínimos. Teorema re Rolle y teorema del valor medio.

Problemas de máximos y mínimos. Puntos extremos y puntos de

inflexión. Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas.

Derivación implícita. Regla de L'Hospital. Diferenciales. Didáctica de las

derivadas y la resolución de problemas.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0724-2019-D-FAC

Presentada por:

Pezo Rojas, Wille Kervan

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e Informática

Lima, Perú

2019

ii

MONOGRAFÍA

DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas básicos.

Derivadas de las funciones trigonométricas. Derivadas de orden superior.

Máximos y mínimos. Teorema re Rolle y teorema del valor medio.

Problemas de máximos y mínimos. Puntos extremos y puntos de

inflexión. Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas.

Derivación implícita. Regla de L'Hospital. Diferenciales. Didáctica de las

derivadas y la resolución de problemas.

Designación de Jurado Resolución N° 0724-2019-D-FAC

__________________________________

Dr. Quispealaya Aliaga, Carlos

Presidente

__________________________________

Lic. Huaringa Flores, Herminia

Secretario

__________________________________

Lic. Giles Nonalaya, Modesto Isidoro

Vocal

Firma de jurados

Línea de investigación: Tecnología y soportes educativos

iii

Dedicatoria

A mi familia, por su genuina ayuda a lo largo de mi propia y

experta vida, a mis educadores, por darme los apoyo

fundamentales para triunfar, y a cada uno de los individuos que de

una u otra forma me urgen a sobresalir, a cada uno de ellos,

muchas gracias.

iv

Índices de contenidos

Portada............................................................................................................................... i

Firma de jurados ............................................................................................................... ii

Dedicatoria ...................................................................................................................... iii

Índices de contenidos ....................................................................................................... iv

Lista de figuras ................................................................................................................ vi

Introducción .................................................................................................................... vii

Capítulo I. Derivadas de funciones reales de variable real ................................................. 8

1.1 Historia ....................................................................................................................... 8

1.2 Derivadas de funciones reales de variable real ............................................................. 9

1.2.1 Teoremas básicos. .............................................................................................. 9

1.3 Derivadas de las funciones trigonométricas ............................................................... 10

1.4 Derivadas de orden superior ...................................................................................... 11

1.5 Máximos y mínimos .................................................................................................. 12

1.5.1 Teorema A: Hipótesis de máxima y menor presencia. ....................................... 13

1.5.2 Teorema B: Teorema de los puntos críticos....................................................... 14

1.6 Monotonía y concavidad ........................................................................................... 15

1.6.1 Monotonía y concavidad. .................................................................................. 16

Capítulo II. Teorema re Rolle y teorema del valor medio................................................. 20

2.1 El teorema re Rolle.................................................................................................... 20

2.1.1 La hipótesis re Rolle. ........................................................................................ 21

2.2 Hipótesis de estimación media para filiales ............................................................... 23

2.3 Teorema del valor medio ........................................................................................... 24

2.3.1 Definición del valor medio ............................................................................... 24

v

Capítulo III. Problemas de máximos y mínimos .............................................................. 26

3.1 Definición de máximos y mínimos ............................................................................ 26

3.2 Puntos extremos y puntos de inflexión..................................................................... 30

3.3 Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas ......................................... 31

3.4 Derivación implícita .................................................................................................. 36

3.5 Regla de L'Hospital ................................................................................................... 38

3.6 Diferenciales ............................................................................................................. 41

3.6.1 Enfoques. ......................................................................................................... 42

3.6.2 Error relativo. ................................................................................................... 42

3.6.3 Motivación para cambiar. ................................................................................. 43

3.7 Didáctica de las derivadas y la resolución de problemas ............................................ 44

Aplicación didáctica ........................................................................................................ 49

Síntesis ........................................................................................................................... 56

Apreciación crítica y sugerencias .................................................................................... 57

Referencias ..................................................................................................................... 58

vi

Lista de figuras

Figura 1. Teorema máximo y mínimos…………………………………………………....13

Figura 2. Concavidad……………………………………………………………………...15

Figura 3. Decreciente y creciente…………………………………………………………16

Figura 4. El diagrama de la capacidad…………………………………………………….18

Figura 5. Monotonía y extremos relativos de una función..................................................19

Figura 6. Interpretación geométrica…………………………………………………...…..20

Figura 7. El punto del teorema………………………………………………………….....21

Figura 8. El punto c del teorema…………………………………………………………..22

Figura 9. Estimación media para filiales…………………………………………………..23

Figura10. Teorema del valor medio……………………………………………………….24

Figura 11.Verticales de la ventana………………………………………………………...26

Figura 12. Definición de máximos y mínimo……………………………………………..28

Figura 13. Punto de inflexión en x………………………………………………………...30

Figura 14. Puntos extremos y puntos de inflexión………………………………………...32

Figura 15. Los signos de f (x)………………………………………………………..........33

Figura16. Los puntos de inflexión………………………………………………………...34

Figura 17. La curva, en el diagrama………………………………………………………35

Figura 18. Las señales en un eje numérico………………………………………………..35

Figura 19. Los puntos de inflexión………………………………………………………..36

Figura 20. Las diferenciales……………………………………………………………….41

Figura 21. El radio I guardabosque………………………………………………………..44

Figura 22. Un punto moldeado espesor…………………………………………………...45

Figura 23. El rango es de 50 m, si el espesor es h………………………………………...46

Figura 24. Nivel h1 y h2, se comparan individualmente………………………………….48

vii

Introducción

Las derivadas de funciones reales de variable real, son objeto de estudio del cálculo

diferencial y del análisis matemático la cual gestiona la representación y el examen de

cantidades, espacios y estructuras, cambios y conexiones, al igual que la vulnerabilidad.

En el caso de que revisemos ello, vemos que estos segmentos están disponibles en todas

las partes de la vida de las personas: en su trabajo diario, en los medios, etc.

En este trabajo monográfico se examina el tema de las derivadas y sus aplicaciones.

Es un conocimiento clave en las investigaciones de Física, Química y Biología, la derivada

es una de las tareas más importantes con respecto a elementos genuinos de variable

genuina, ya que demuestra el ritmo de variedad de la capacidad en un minuto dado o para

una estimación específica de la variable, si este no es el momento, de esta manera, la

derivada de una capacidad para un valor variable es el ritmo de variedad inmediato de esa

capacidad y para la estimación particular de la variable en ángulo significativo en la

investigación de la derivada de una capacidad es la inclinación o tendencia de la digresión

de línea a la curva en un punto que habla de la velocidad del cambio momentáneo de esta

manera, cuanto más notable sea la tendencia de la línea de digresión en un determinado

punto, más rápido será el ajuste en la estimación de la capacidad en la región del punto.

La relación que las derivadas de orden superior, tiene con los temas de las

metodologías más extremas y básicas, sin precedentes y acercamientos de tono, tabla de

límites que utilizan los criterios de las derivadas, determinación entendida, la regla de

clínica médica y diferenciales.

Presentamos en 3 capítulos, capítulo I. Derivadas de funciones reales de variable

real. Capítulo II. Teorema re Rolle y teorema del valor medio. Capítulo III. Problemas de

máximos y mínimos, al último presentamos. Aplicación didáctica.

8

Capítulo I

Derivadas de funciones reales de variable real

1.1 Historia

Para mantenerse alejado de la utilización de pequeñas cantidades, Newton piensa que las

cantidades numéricas están representadas. “Por un desarrollo constante las curvas se

representan y de esta manera se producen, no por un plan de juego de partes, sino por el

desarrollo incesante de enfoques” (Brinton, 2006, p.965).

Fernández (2008) afirma que:

El segundo pionero de las matemáticas diferenciales fue Leibniz, el

pensamiento original de Leibniz debía considerar las curvas como una relación

de la infinitud de porciones insolubles de minutos de término con la

perspectiva de la extensión de estas piezas que deambularían por las líneas

hacia la curva en los diversos procedimientos, Leibniz dice, una figura

curvilínea debería estar moderadamente iluminada a un polígono con un

número incesante de lados (p.12).

Tomaría 100 años adicionales hasta la repetición no estándar de A. Robinson, que es

la premisa extrema de la investigación leibniziana, se introdujo en 1960-70

9

1.2 Derivadas de funciones reales de variable real

La derivada de una función en un punto es esencialmente, el introducido por Cauchy en

1.823 en su libro "Lecciones de cálculo Infinitesimal"

La oportunidad de ser un interino abierto de reales, x un punto de I y ser el límite f: I

→ R, en ese punto. “Afirmamos que f es lógico en el punto x si hay lo más lejos posible y,

en tal caso, en su valor lo que queremos decir con f ′ (x)” (Martínez, 1999, p.5).

limh→0

f(x+h)-f(x)

h= lim

h→0

f(x)-f(x0)

x-x0

Nota: los dos últimos de prisión son correspondientes

1.2.1 Teoremas básicos.

El concepto de derivación se define al procedimiento para encontrar la derivada de

un función, para evitar. “Usar la definición y calcular ciertos límites que es muy laborioso,

Usaremos teoremas para ayudarnos a encontrar la derivada de muchas funciones de

una manera instantánea y sencilla, para no utilizar los conceptos de límites” (Martínez,

1999).

Potencias: 𝑦=xn → y,=n.xn-1 y=[f(x)]n → y,=n.[f(x)]n-1.f,(x)

Raíz cuadrada: y=√x → y,=1

2.√x y=√f(x) → y,=

1

2√f(x).f

,(x)

Inversa: y=1

x→ y,=

-1

x2 y=

1

f(x)→ y,=

-f,(x)

[f(x)]2

Exponenciales: y=ex → y,=exy=ef(x)→y,=ef(x).f,(x) y=ax → y,=ax.log(a)

𝑦=af(x) → y,=af(x).f,(x).log(a)

Logaritmos: 𝑦=lnx → y,= 1

x

𝑦= ln[f(x)] → y, =f,(x)

f(x)

y= loga

x →y, =1

x.lna(a)

10

y= loga

f(x) → y,=f,(x)

f(x).ln(a)

1.3 Derivadas de las funciones trigonométricas

La dereivacion de funciones trigonométricas es el ciclo numérico de encontrar la velocidad

a la que cambia una capacidad matemática en cuanto a la variable autónoma; en otras

palabras. "Los subordinados más ampliamente reconocidos de la capacidad geométrica son

las capacidades de infracción (x), cos (x) y tan (x)” (Carrasco, 2013, p.14).

Registre que el auxiliar se representa como df

dx= lim

h→0

f(x+h)-f(x)

h Sea la función

trigonométrica f(x) = sen(x), su subordinado viene dado por:

d

dxsen(x)= lim

h→0

sen(x+h)-sen(x)

h

Los caracteres trigonométricos particulares que:

sen(x+h) = sen(x). cos(h) +cos (x) sen(h)

Por lo tanto:

d

dxsen(x)= lim

h→0

sen(x). cos(h) +cos(x)sen(h)

h

Se factoriza y se separa d

dxsen(x)=sen(x) lim

h→0[

cos(h)-1

h] +cos(x) lim

h→0[

sen(h)

h]

Así que:

d

dxsen(x) = sen(x)[0]+ cos(x) [1]

d

dxsen(x) = cos(x)

d

dxsen(u) = cos(u)

du

dx

d

dxcos(u) = -sen(u)

du

dx

En conclusión tenemos:

11

d

dxsen(u) = cos(u)

du

dx

d

dxcos(u) = -sen(u)

du

dx

d

dxtan(u) = sec2(u)

du

dx

d

dxctg(u) = -CSC

2(u)

du

dx

d

dxsec (u) = sec (u)tan(u)

du

dx

d

dxCSC(u) =-CSC(u)ctg(u)

du

dx

Ejemplos:

d

dx(cos3x) = - sen(3x)

d

dx(3x)=-3sen3x

d

dx(

sen(x)

1-cos(x)) =

(1- cos(x))ddx

(sen(x))-(sen(x))ddx

(1- cos(x) )

(1-cos(x))2

(1- cos(x))(cos(x))-(sen(x))(sen(x))

(1-cos(x))2

cos(x) -cos2(x)-sen2(x)

(1-cos(x))2

=( cos(x) -1)

(1-cos(x))2

1

cos(x)-1

d

dx(tan.sen2x)=-sec2(senx2)cosx2.2x

d

dx(ctg.cos√x)=-CSC

2(cos√x)(-sen√x) (

1

2x1/2)

1.4 Derivadas de orden superior

Al ser un límite diferenciable, para entonces se dice que es el principio subordinado de f;

puede suceder que este nuevo límite sea en este sentido, para esta circunstancia, la copia de

12

seguridad de la subsidiaria principal f "se conoce como el segundo subordinado del trabajo

crudo F. “En consecuencia, la subsidiaria del segundo subordinado f ‴se conoce como la

tercera subsidiaria de f, etc., hasta el enésimo subordinado” (Ruiz, 2018, p. 28).

Como regla, en el caso de que n ∈ Ν, en ese punto f (n) significa que el enésimo se

obtuvo de la capacidad f. f (n) se determina deduciendo f, progresivamente, "n" veces se

denota:

f,(x), f

,,(x), f,,,(x), f

4(x),…………,fn(x)

Dx y; Dx2y;Dx

3y;Dx4y;…………….Dx

ny

dy

dx;

d2y

dx2

;d

3y

dx3

;d

4y

dx4

;………..;d

ny

dxn

y,, y,,,y,,,, y4,…….yn

Actividades resueltas, en las actividades que lo acompañan, ubique la primera y

segunda subsidiaria de las capacidades.

𝑓(x) = x6-5x2+3x

Solución:

f(x)=x6-5x2+3x→f,(x)= 6x5-10x+3

f,,(x)=30x4-10

1.5 Máximos y mínimos

Definición adivina que S, el territorio de f, contiene el punto

c, Pronunciamos que:

f (c) es la estimación más extrema de f en S, si para todo x en S

f (c) es la estimación base de f en S, si para todo x en S.

f (c) es el ajuste escandaloso de f en S, en caso de que valga la pena extremo o una

13

base de estima; (iv) la capacidad que necesitamos para aumentar o limitar es el

objetivo del trabajo.

¿F tiene un medidor más alto (o más bajo) en S? la respuesta adecuada depende, lo

más importante, del conjunto S. Piense en f (x) = 1 / x en S = (0,). No tiene el valor más

vergonzoso o menos significativo.

Por otra parte, un límite comparativo en S = [1, 3] tiene la mejor variedad de f (1) =

1 y la base de In S = (1, 3], f no tiene el valor más escandaloso y la base el valor es la base

que vale la pena es f(3)=1

3

1.5.1 Teorema A: Hipótesis de máxima y menor presencia.

En el caso de que sea sin parar en un período intermedio cerrado [a, b], en ese punto

f llega a un valor extremo y una base como incentivo en. “Este período intermedio, las

frases clave en la teoría; es esencial que f sea estable y que el conjunto S sea un intervalo

cerrado “(Leonard, 1993, p.9).

¿Dónde se introducen las cualidades escandalosas? normalmente, el límite objetivo

tendrá un I provisional como su área.

Figura 1.Teorema máximos y mínimos. Fuente: Sarmiento, 2000.

14

En el caso de que c sea donde f '(c) = 0, lo consideramos como un punto

estacionario el nombre agregado de la manera en que un punto estacionario en

el diagrama se establece a nivel, ya que la línea de digresión está nivelada,

estos tres tipos de enfoques (marginal, estacionario y particular) son los

enfoques clave en la hipótesis de altibajos, cualquier propósito de uno de estos

tres tipos, en el área de una capacidad f, se conoce como el propósito básico de

f (Leonard, 1993, p.78).

1.5.2 Teorema B: Teorema de los puntos críticos.

Otorgue a f la oportunidad de caracterizarse en un I intermedio que contiene el punto

c. “En el caso de que f (c) sea un valor escandaloso, en ese punto c debe ser un punto

básico; es decir, c es una parte de lo que va con” (Rogawski, 2018, p.78).

Una motivación mínima detrás de I

Una motivación estacionaria detrás de f; es decir, el lugar f '(c) = 0; o

Una motivación específica detrás de f; es decir, el lugar f '(c)

No existe.

¿Cuáles son las características escandalosas?

En el contexto de las teorías A y B, ahora podríamos desarrollar un procedimiento

excepcionalmente sencillo para elegir las características más escandalosas y menos

significativas de un trabajo estable f en un intermedio cerrado I.

Etapa 1: Fundamental crítico explícito de f en I.

Etapa 2: Evalúe f en cada una de estas metodologías fundamentales el lobby de la

ciudad pionero de estas características es el valor más sin precedentes; el más

pequeño es el valor base.

15

1.6 Monotonía y concavidad

De f la oportunidad de caracterizarse en un I intermedio (abierto, cerrado o no uno u otro).

Declaramos que:

x1< x2→f(x1)< f(x2), x1<x2→f(x1)>f(x2)

f llega a I si, para cada par de números x_1 y x_2 es I,

f es decreciente en I si, para cada par de números x_1 y x_2 en I,

f es cuidadosamente repetitivo en I, en el caso de que se expanda en I o disminuya en

I, el subordinado primario y la tristeza recuerden que la subsidiaria principal f '(x)

nos da la inclinación de la digresión de línea al diagrama de f en el punto x. En este

sentido, si fuera posible que f '(x) > 0, la línea de digresión asciende a un lado, que

debe expandirse.

Por lo tanto, si f '(x) <0, la línea de digresión se desploma a un lado, lo que compara

que f está disminuyendo, también podemos ver esto en cuanto al desarrollo a lo largo de

Figura 2. Concavidad. Fuente: Sarmiento, 2000.

16

Alinear. Anticipe que una cosa debería estar en la posición s (t) en el tiempo t y que

su velocidad está protegida de manera confiable, es decir, s '(t) = ds / dt> 0.

1.6.1 Monotonía y concavidad.

Ejemplo 1: 𝑓(x)=2x2-3

Solución: como la capacidad es polinómica, el espacio es todo genuino: X ∈ R el

subordinado es: f,(x)=0, entonces 4x = 0↔x = 0, buscamos los enfoques que abandonan al

subordinado, estudiamos si los enfoques básicos son indignantes. “La subsidiaria posterior

es f,(x)=4, la indicación del segundo subordinado en los focos que dejan a la subsidiaria

primaria es 𝑓 ,,(0) = 4 > 0, como es una parábola, la base, que se compara con el vértice,

es la menos plana” (Neuhauser, 2004, p.8).

En la monotonía estudiamos la indicación del subordinado principal en ]−∞, 0[ ∪

]0, +∞[ Elegimos cualquier motivación detrás de cada uno de los interinos es decreciente

porque: f,(-1)=-4<0 y creciente porque: f

,(1)=4>0.

La capacidad está disminuyendo en el interino principal y expandiéndose en el

segundo, el diagrama de la capacidad es:

Figura 3. Decreciente y creciente. Fuente: Simón, 2015.

17

Ejemplos 2: f(x)=(x-1)2(3x-2)

Solución: Como el límite es polinomial, la zona es absolutamente verdadera cierres:

Construimos el artículo para determinar el subordinado:

f(x) = (x2-2x+1)(3x-2)

f(x) = 3x3-2x2-6x2+4x+3x-2

f(x) = 3x3-8x2+7x-2

f,(x) = 9x2-16x+7

Buscamos los enfoques que contrarrestan la subsidiaria (enfoques básicos)

f,(x) = 0↔9x2-16x+7 = 0

𝑥=7

9 ; x=1

Estudiamos si las metodologías fundamentales son excepcionales, el subordinado

resultante es: f,,(x)=18x-16 estudiamos la señal del segundo derivada en los puntos que

anulan la primera derivada son:

Mínimo: f,, (

7

9) =18 (

7

9) -16=-2 < 0

Linés (1991) indica el:

Máximo: f,,(1)=18-16=2>0Los límites son límites (no directamente), ya que la

capacidad no es limitada (los puntos de ruptura de la capacidad son vastos).

Monotonía, a un lado de la base y a un lado del extremo, la capacidad está

disminuyendo (primer subordinado negativo). A un lado de la base y a un lado

del mayor, la capacidad se está expandiendo (primer subordinado positivo).

Podemos examinar el signo en el ínterin que separa las partes de los negocios

de la capacidad de confirmarlo (p.359).

18

Ejemplo 3: f(x)=1

4-x2

Solución: Dado que 4-x2=0↔x=±2 es un límite de nivel, el espacio es todas las

metodologías que no refutan el denominador.

Extremos: R-{-2, 2}, la derivada es: f,(x)=

2x

(4-x2)2 𝑏uscamos las metodologías que

salen del auxiliar: f,(x)=↔x=0 . 𝐸studiamos si los enfoques básicos son indignantes. El

subordinado posterior es:

f,,(x)=

2(3x2+4)

(4-x2)3

La indicación del segundo subordinado en los enfoques que abandonan la subsidiaria

principales son, f (0)=2.4

42 >0→Minimo.

Monotonía: La indicación del subordinado principal en los intermedios que

conforman el espacio junto a los creados al final: ]- ∞;-2 [∪]-2; 0⌈∪⌉0;2⌈∪⌉2;∞[

Figura 4. El diagrama de la capacidad. Fuente: Simón, 2015.

19

f(-3)=-23

(4-(-3)2)2<0→decreciente, f(-1)=

-2.1

(4-(-1)2)2<0

→decreciente f(1)=2.1

(4-12)2

>0→Creciente, f(3)=2.3

(4-32)2 >0→Creciente.

Figura 5. Monotonía y extremos relativos de una función. Fuente: Weir, 2006.

20

Capítulo II

Teorema re Rolle y teorema del valor medio

2.1 El teorema re Rolle

Sea f la posibilidad de ser una capacidad persistente en el ínterin cerrado [a, b],

justificación en el intervalo abierto] a, b [y con f (a) = f (b). En ese punto, prestando poca

atención al punto c del intervalo] a, b [que prescinde del subordinado de f, es decir, f '(c) =

0 “La filial de una capacidad se elimina en los límites del vecindario (mayor y menor). La

subsidiaria es la inclinación de la línea de digresión, 0 está en los cierres “(Weir, 2006, p.

243).

Figura 6. Interpretación geométrica. Fuente: Weir, 2006.

21

2.1.1 La hipótesis re Rolle.

Descubra b con el objetivo de que la capacidad g cumpla con. “Las especulaciones

de la hipótesis de Rolle en el ínterin [0, b] la consistencia y la defensa no son un problema,

ya que el punto de confinamiento es polinómico” (Weir, 2006, p. 253).

Calcule el número c de la hipótesis en: "g" ("x”)"=" "x" ^"2" "-4x+5"

Solución:

La otra condición es que g (0) = g (b). Como g (0) = 5, necesitamos buscar b> 0 con

a objetivo definitivo que g (b) = 5, comprenda la condición g (0) = g (b): g(b)=5

b2- 4b + 5 = 5→b

2- 4b = 0

b(b - 4) = 0→b = 0, b = 4

En este sentido, la b que estamos buscando es b = 4 y el ínterin que tenemos es [0.4].

Para obtener c, calcule el subordinado, equivalemos a 0 y comprendemos la condición:

g,(x)=2x-4

2x-4=0→2x=4→x=2

El punto c de la hipótesis es c = 2.

Figura 7. El punto del teorema. Fuente: Weir, 2006.

22

Ejemplo:

Compruebe si la capacidad de acompañamiento cumple con las teorías de la

hipótesis de Rolle en el ínterin [−1,1] [-1,1]: f(x)=x2, en el caso de que, de hecho,

descubra c del ínterin con el objetivo final de que f ′ (c) = 0.

Solución:

Como el límite es polinomial, es implacable en [−1,1] y viene en (−1,1). Del mismo

modo, se cumple f (−1) = f (1):

f(-1)=(-1)2=1

f(1)=12=1

La filial de la capacidad es: f,(x)=2x igualamos a 0 y resolvemos:

f,(x)=0

2x=0→x=0

En consecuencia, el punto principal en el ínterin donde se deja caer al subordinado es

x = 0. Este punto es el número c de la hipótesis.

Figura 8. El punto c del teorema. Fuente: Weir, 2006.

23

2.2 Hipótesis de estimación media para filiales

En lenguaje geométrico, la teoría del valor ordinario definitivamente no es difícil de

entender, definir, el diagrama de una capacidad constante tiene una línea de digresión, que

no es vertical, en cada punto. “Entre A y B, en ese punto hay en cualquier punto un punto

C en la tabla entre An y B donde la línea de desviación es paralela a la línea secante AB”

(Durán, 200, p.42).

Hipótesis A: Hipótesis de valor promedio para subordinados, en el caso de que sea

perseverante en un momento cerrado [a, b] y legítimo dentro (a, b), para entonces,

independientemente, hay un número c en (a, b) donde:

f(b) - f(a)

b-a = f

,,(c) o de manera equivalente, donde:

f(b)-f(a) = f,,(c)(b -a).

Teorema B: Si F '(x) = G' (x) para todo x en (a, b), en ese punto hay una C

consistente, tal que F(x)=G(x)+C para toda x en (a, b).

Figura 9. Estimación media para filiales. Fuente: Weir, 2006.

24

2.3 Teorema del valor medio

La f es oportunidad de ser incesante en el ínterin I y, lógico, en cada propósito interno de I.

“(i) Si f '(x)> 0 por cada x dentro de I, entonces f se extiende por I. (ii) Si f '(x) <0 para

cada x dentro de I, para entonces f está disminuyendo en I.

El límite de subordinación y concavidad a resultante puede crear para explorar el

desarrollo, debemos observar cómo pivota la línea de desviación en. “El punto en que nos

movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico, debido a la línea de desviación,

entregue constantemente sentido anti horario, indicamos que el diagrama está hacia

adentro o esencialmente hundido” (Apóstol, 1990, p.231).

Si la digresión gira de manera similar a las manecillas del reloj, el gráfico está

curvado hacia abajo o arqueado, las dos limitaciones se calculan mejor en cuanto a

capacidades y sus filiales

2.3.1 Definición del valor medio

Otorgue una posibilidad de ser resultante en un período intermedio abierto I.

Declaramos que f, como su gráfico. “Está hacia adentro (hundido) en I; en caso de que f se

expanda en I: y afirmamos que f está hundido (curva) en I. en el caso de que f disminuya

en I” (Escardó, 1991, p. 335).

Figura 10. Teorema del valor medio. Fuente: Escardó, 1991.

25

f la oportunidad de ser dos veces sólido en el tramo abierto I.

Si f "(x)> 0 para todo x en I, entonces f está en (arriba) en I.

Si f "(x) <0 para todo x en I, entonces f está hacia abajo (doblando) en I y termina

cerca en intervalo abierto.

Maroto (2011) afirma que:

En este sentido, para el punto de confinamiento f con el espacio S = [a, b] cuya

tabla se referencia en la figura 1, f (an) es el valor mundial más escandaloso,

sea como fuere, ¿qué es f (c)? mayor que no sea el señor de la nación, pero de

todos modos es el líder de su propia ciudad, lo llamamos barrio de mayor

valor, o relativo de mayor valor, obviamente, un valor más extremo del mundo

es, naturalmente, un valor más cercano (p.34).

S la oportunidad de ser el área de f que contiene el punto c, proclamamos que: (I) f

(c) es una estimación de vecindad más grande de f, si hay un intermedio (a, b) que contiene

c, con el objetivo final de que, f (c) es la estimación más extrema de f en (a, b) S; f (c) es

una estimación mínima cercana de f, si hay un intermedio (a, b) que contiene c, hasta el

punto de que f (c) es la estimación base de f en (a, b) S; f (c) es una estimación

extraordinaria cercana de f, independientemente de si es un vecindario de valor más

extremo o de valor más cercano, confirmación (base) del subordinado principal f

consistente en un tramo abierto, (a, b) que contiene un punto principal para entonces f (c)

es la región con el mejor si se completa, si f '(x)> 0 para todo x en (a, c) yf' (x) <0 para

todo x en (c, b), en ese punto f (c) es un relativo en cualquier tasa cerca de f, si f (x) de f,

prueba (estándar) del auxiliar resultante, suponga que f ' y f ' existen en cada razón de

tiempo abierta (a, b) que contiene c y suponga que f '(c) = 0, Si f '' (c) < 0, f (c) es una

estimación de vecindad más grande de f. Si f '' (c)> 0, f (c) es una estimación de vecindad

base de f.

26

Capítulo III

Problemas de máximos y mínimos

3.1 Definición de máximos y mínimos

Necesita fabricar un alojamiento para una ventana rectangular de 3 m2. “El costo de

material que se utilizará es de $ 3 por el metro recto de los segmentos de nivel y $ 4 por las

áreas ventanas verticales” (Leonhard, 1993, p. 245).

Encuentra los bits de la ventana con el objetivo de que cuesta borde sea insignificante.

¿Cuánto vale esto?.

Figura 11.Verticales de la ventana. Fuente: Recuperado de

https://www.google.com/search?q=Verticales+de+la+ventana&rlz=1C1SQJL_esPE843P

E843&source=l

27

Problema 1:

Solución:

Al hacer un diagrama como lo indica la circunstancia de la actividad, tiene: A=3m2,

las preguntas asignadas para esta actividad son:

x: Representante de la longitud de la ventana;

y: ancho de ventana representativo.

Se da cuenta de que la región de un punto es equivalente a:

A = base x altura, en este sentido, la zona de esta ventana es:

A = x. y = 3… (1)

El borde de esta ventana es equivalente al agregado de la considerable cantidad de

lados de la ventana:

P = x+ x + y + y =2x+2y

El gasto en el borde de la ventana es equivalente a la motivación de cada medidor

inmediato:

"C = 6x + 8y… (2)". Esta condición contiene más de una variable, se debe descubrir

otra condición que relacione las partes para mostrar la condición de requisito para una

variable solitaria.

Para esto, la copia de seguridad debe ser expulsada de (1) y reemplazada en (2):

C(x)=6x+8 (3

x) = 6x+

24

x, cuál es la condición que necesita limitar.

Actualmente, no puede ser 0, ya que no se caracteriza en C (x), y además al menos 0

ya que da un territorio negativo.

En este sentido, el espacio de esta capacidad es que se sabe que tener este tipo de

intermedio abierto tiene un valor relativamente extraordinario, para continuar con la

mejora de la actividad, continúe como sigue:

28

Primero: Derive la capacidad, cuando se utiliza el estándar de una constante para una

capacidad en el término primario y el estándar del resto en el término posterior, resulta:

dC

dx=C

,(x)=6(1)+x(0)-24(1)

x2=6+

24

x2

Segundo: Encuentre los cimientos de la capacidad estableciendo C '(x) equivalente a

cero, tenemos: x = ± 2, de lo largo de estas líneas en estas raíces x1=2 y x2=-2: y el límite

debe presentar el valor relativo más bajo, en cualquier caso, ver que sea cualquier cosa

menos una parte del tiempo intermedio, en este sentido, solo hay un único punto

fundamental en x1=2.

Joseph (2007) según que:

Actualmente, este valor debe ser contrastado y ser miembro de la familia base,

para la situación en la que x1=2, C '(2) = 0 puede tener un pariente en 2, de

todos modos, como C (2) = 24 años, 24 < C(x) cuando x < 2 o x > 2, eso

cumple con la importancia de una estimación generalmente más baja, al final:

la carcasa de la ventana tiene un gasto base de $ 24 si, es decir, los

componentes de la ventana deben tener 1,5 m de ancho y 2 m de largo (p.151).

Problema 2: Constantemente, una planta de procesamiento produce cosas que

pueden vender un costo de $ 200 por cada unidad, en caso de que sea el gasto de la

generación del día a día al crear cosas, decida la cantidad de unidades que deben

entregarse día a día para que la planta de fabricación adquiera la mayor adición.

Figura 12. Definición de máximos y mínimo. Fuente: Leonhard, 1993.

29

Solución:

En este número, la información realizada es:

Costo de cada artículo = $ 200. Lo oscuro de esta actividad es x: Número de cosas

entregadas todos los días, además, la capacidad del costo de generación diario

es:𝐶(x)=3x2+20x+1200, el beneficio es 𝐺=I-C (1) equivalente al ingreso menos el costo

de creación, en otras palabras.

De donde, I equivale al costo de cada unidad incrementado por la cantidad de

unidades entregadas.

I=200x G=I-C=200x-(3x2+20x+1200)

𝐺(x)=200x-3x2-20x-1200

G(x)=180x-3x2-1200

Es la capacidad que necesita para potenciar que el área que son los cimientos de esta

capacidad, dado que G (x) está ansioso en este espacio, comprende que por la

asombrosa hipótesis de un valor significativo, esto tiene un valor absoluto;

En el momento en que aplica el estándar para calcular los extremos más

extravagantes de un punto más lejano, tiene el Paso 1:

Derive el límite G (x); en el momento en que se utiliza el estándar de una constante

para un límite con respecto al primer y segundo término y la norma consistente para

el tercer término, resulta.dG

dx=G

,(x)=180(1)-6x-0

Al coordinar G '(x) a cero y descubrir sus fundamentos, obtienes:

180 - 6x=0→-6x=-180

x =180

6→x=30

Consecuencia, el propósito estacionario de G (x) será x = 30, se ve que solo hay tres

enfoques básicos: [(30-5√20);(30+5√20)], al evaluar los enfoques básicos en G (x), tiene:

30

G(30-5√20)=180(30-5√20)-3(30-5√20)2-1200=0$

G(30)=180(30)-3(30)2-1200=1500$

𝐺(30+5√20)=180(30+5√20)-3(30+5√20)2-1200=0$

Lo que resulta que el líder del ayuntamiento de estas cualidades es 1500, al final: la

cantidad de cosas que la planta de procesamiento debe entregar día a día es para el

aumento más extremo de 1500 $.

3.2 Puntos extremos y puntos de inflexión

Estrategia general para definir enfoques extraordinarios y enfoques de expresión, en el

caso de que para un límite f se afirma:

Joseph (2007) según el:

f '(x0); f '' (x0); f '' '(x0) = 0; •••; f (n - 1) (x0) = 0; autosuficientemente, f n (x0)

≠ 0, para entonces, para la situación en la n es par; f tiene un relativo en x0,

que es progresivamente un miembro de la familia poco común si f n (x0) <0 o

menos si f n (x0) > 0, para la situación en la que n es impar, f tiene un punto de

articulación esencial en x0, dado un punto de ruptura f (p.97).

Figura 13. Punto de inflexión en x. Fuente: Gonzales, 2008.

31

En el caso de que f '' (x0) = 0 y f '' '(x0) ≠ 0, se dice que tiene un punto de

verbalización en x0. El corte cambia su concavidad en ese punto.

3.3 Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas

Encuentre los puntos de confinamiento y/o la inflexión más allá del límite:

f (x) = x5 – 8

Numero 1

f,(x)=5x4;x=0→f

,(0)=0

Tenemos un punto básico en x = 0, ¿qué hay de ir más allá para saber si es un final

relativo o un punto de articulación?

f,,(x) = 20x3→f

,,(0) = 0

f,,,(x) = 60x2→f

,,,(0) = 0

f4(x) =120𝑥→f

4(0) = 0

f5(x)=120→f

5(0) = 120 ≠ 0

Razonamos que el límite tiene un punto de verbalización en x = 0.

Número 2

Encuentra

Los dispositivos de afectación del punto de ruptura: f (x) = sen x, f '(x) = cos x ⇒ f'

'(x) = - sin x ⇒ f' '' (x) = - cos x, el posible atractivo está cerca de los controles: f ''

(x) = 0 ⇒ - sen x = 0 x1 = 0 + 2 • π • k; x2 = π + 2 • π • k, garantizamos que la

tercera mano derecha en estas estrategias de pensamiento no es cero:

f '' '(x1) = - cos (0 + 2.π.k) = - 1 ≠ 0

f '' '(x2) = - cos (π + 2.π.k) = 1 ≠ 0 Solicitamos que el corte f (x) = sen x tenga

metodologías informativas en 0, π e impactos auxiliares de 2π de cosas.

32

De las capacidades que utilizan los criterios en subordinados, comenzamos por

recordar dos realidades fundamentales sobre la subsidiaria f ′ (x) de una capacidad f (x):

a. El valor f ′ (an) de f ′ (x) en x = an, es la inclinación de la digresión de línea al

diagrama de la capacidad f en el punto donde x = a.

b. f '(x) es un componente de x: la inclinación en un punto del diagrama se basa en la

facilidad x de ese punto, el diagrama de la capacidad inferida f ′ (x) nos da datos

interesantes sobre la primera capacidad f (x).

“El modelo adjunto nos dice la mejor manera de trazar el diagrama de f '(x) a partir

del aprendizaje de la tabla de f (x)” (Gonzales, 2008, p. 429).

Ejemplo:

Trazar la gráfica de la función y=x2

1-x.

Solución:

Dominio: R - {l), Intercepto con los coordenados:

Punto central de x: x2 = 0 x = 0. Para entonces, (0; 0)

Punto central Y: Si x = 0, y = 0 Entonces, (0; 0) asíntotas:

Figura 14. Puntos extremos y puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.

33

Asíntotas verticales: limx→1

-

x2

1-x=+∞ y lim

x→1+

x2

1-x=-∞

Entonces x = 1 es una asíntota vertical.

Asíntotas no verticales: 𝑦 = m x + n

m= limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

x2

1-x

x= lim

x→∞

x2

x-x2=-1, en ese punto, si n existe, tiene una asíntota

inclinada.

n= limx→∞

(f(x)-mx)= limx→∞

(x2

1-x+x) = lim

x→∞

x2+x(1-x)

1-x= lim

x→∞

x

1-x=-1

Luego, y = -x -1 es una Asíntota angulada;

Límites y repetitividad: f,(x)=

(1-x)2x-x2(-1)

(1-x)2 =

x(2-x)

(1-x)2

Ceros del numerador y denominador:

x(2-x)=0→x=0 ó x=2

(1-x)2=0→x=1

Observe los cambios de signo de )(xf en la figura.

Figura 15. Los signos de f (x). Fuente: Gonzales, 2008.

34

Se expande repetitivamente en los intervalos (0; 1) y en (1; 2) es repetitivo

disminuyendo en (−∞; 0) y en (2;+∞), en ese punto, en x = 0 hay un mínimo cercano, y

en x = 2 un extremo.

f(0)=02

1-0=0 valores mínimo(2)=

22

1-2=-4 Valor máximo.

Enfoques de propias y concavidad:

f,,(x)=

(1-x)2(2-2x)-(2x-x2).2(1-x).(-1)

(1-x)4 =

2

(1-x)3 𝑓"(x)≠0, Para todo x Domf, luego no hay

puntos de inflexión.

(1-x)3=0→x=1

Como f,,(x)>0 para todo x <1, en ese punto f se hunde por (-∞; 1), como f

,,(x)>0

para todo x> 1, en ese punto f se hunde para (1; +∞). (Véanse los signos de f,,(x) en la

figura controla los resultados obtenidos en este examen de la conducción de la curva, en el

gráfico.

Figura16. Los puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.

35

Ejemplo

Investigue la concavidad y descubra los propósitos de 𝑓(𝑥) = 6𝑥4 − 8𝑥3 + 1

Solución: f,,(x)=24(3x2-2x)luego f

,,(x)=0 en x=0, en x = 2

3 , que son momentos

definitorios concebibles.

Procedemos de una manera prácticamente idéntica a la disposición de una

irregularidad, como ya hemos visto, deberíamos poner las señales en un eje numérico para

observar el ajuste en la indicación del subordinado posterior.

2 2 4x

20

15

10

5

5

10

15

y

Figura 17. La curva, en el diagrama. Fuente: Gonzales, 2008.

Figura 18. Las señales en un eje numérico. Fuente: Gonzales, 2008.

36

En (-∞; 0) f, está curvada hacia arriba, como en ( 2

2 ; + ∞), pues en estos intervalos f”

es positiva. En (0; 2

3) f” es Hundido, es negativo, en ese punto, x = 0 y x = 2/3 son

ocasiones fundamentales, ya que hay una distinción en el signo de la segunda subsidiaria

en torno a estos enfoques. Tenga en cuenta que son momentos decisivos, en el caso de que

sea constante en esos enfoques y haya una diferencia en la indicación del segundo

subordinado a su alrededor, verifique este resultado en la figura.

3.4 Derivación implícita

Capacidades expresas y verificables, en los cursos de sustancias, una gran parte de los

límites con los que trabajamos se imparten de manera inequívoca, como en. “La condición

en la que la variable y se hace inequívocamente como un componente de x.

Independientemente, ciertas capacidades, en toda actualidad, son válidas en una

condición” (Canals et al. 2008, p.294).

dy

dx=-x-2=-

1

x2

El límite y = 1 / x las opciones están representadas por la condición:

Figura 19. Los puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.

37

xy = 1, en el caso de que tengamos que encontrar el auxiliar para esta última

condición, lo hacemos iluminando para y, posteriormente, y = 1 / x = x - 1, obteniendo su

subsidiaria sin ningún problema:

García (2006) afirma que:

La técnica se completa siempre que podamos despejar y en la condición, el

problema es que en el caso de que esté más allá del ámbito de la imaginación

esperar despejar y esta técnica no tiene sentido, por ejemplo, ¿cómo descubrir

dy / dx para la condición x² - 2y³ + 4y = 2, donde es difícil excluirlo como una

restricción inequívoca de x?, La estrategia de la regla de la cadena para

capacidades entendidas, definitivamente, nos damos cuenta de que cuando se

infieren términos que solo contienen x, la inferencia será la típica, sea como

fuere, cuando necesitemos determinar un término donde será importante

aplicar la regla de la cadena (p.150).

Ejemplo: dy

dx(y3)=3y2 dy

dx. Aquí los factores no se coordinan: se utiliza la regla de

la cadena.

Ejemplo:

Hallar dy

dx, de la función implícita ax6+2x3y-y7x = 10, aplicando la notación

𝑑

𝑑𝑥, a

cada término y extrayendo las constantes;

𝑎d

dx(x6)+2

d

dx(x3y)-

d

dx(y7x)=

d

dx(10).

En el término esencial, los componentes coinciden, por regla general están

asentados; en el segundo término se aplica el subordinado de una parte (primer territorio

de separadores cuadrados), lo indistinguible en el tercer término.

6ax5+2 [d

dx(x3)y+x3 dy

dx] - [

d

dx(y7)+

d

dxxy7] =

d

dx(10). La regla de la cadena aplica el

término d

dx(x7), como se puede ver claramente en la ecuación 6ax5+2 [3x2y+x3 dy

dx] −

38

[7y6 dy

dxx+y7] =0, refiriéndose a mezclar y solicitando los términos, 6𝑎𝑥5 + 6𝑥2𝑦 + 2x3 dy

dx-

7xy6 dy

dx-y7=0, dejando algunos términos a un lado correcto 2x3 dy

dx-7xy6 dy

dx=y7-6ax5-6x2y,

extrayendo el factor común dy

dx, (2x3-7xy6)

dy

dx=y7-6ax5-6x2y, en el último despeje,

obtenemos la reacción necesaria: dy

dx=

y7-6ax5-6x

2y

(2x3-7xy6)

, dy / dx con derivadas parciales.

Una gran parte del trabajo pasado podría excluirse si se utilizara la ecuación adjunta:

dy

dx=-

df

dxdf

dy

3.5 Regla de L'Hospital

La regla de L'Hospital es el resultado de la hipótesis de valor normal de Cauchy que

ocurre solo debido a las indeterminaciones de tipo 0

00

∞

∞ , otorgue a f y la

posibilidad de ser dos capacidades persistentes caracterizadas en el ínterin [a, b],

resultante en (a, b) y ser c teniendo un lugar con (a, b) hasta tal punto que f (c) = g

(c) = 0 y g '(x) ≠ 0 si x ≠ c. “En el caso de que exista el punto de confinamiento L de

f '/ g' en c, en ese punto hay el máximo de f / g (en c) y es equivalente a L” (Rivera,

2014, p.49).

De esta manera:

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f,(x)

g,(x)=L

Demostración

La afirmación que la acompaña puede tomarse como una "exposición" de la regla de

L'Hospital, a pesar del hecho de que, en realidad, un espectáculo completo requiere

contenciones de tipo Ɛ-δ cada vez más frágil, dado que g (c) = 0 y g '(x) ≠ 0 si x ≠ c,

tenemos que planificar si g (x) ≠ 0 si x ≠ c debido a la hipótesis de Rolle.

39

Dado que f (c) = g (c) = 0, aplicando la teoría del valor habitual de Cauchy, para

todo x en (a, b), con x único en relación ac, hay x en el alcance de los límites an y b, la

medida en la que el resto de (x) / g (x) se puede crear de la siguiente manera:

f(x)

g(x)=

f(x)-f(c)

g(x)-g(c)=

f,(tx)

g,(tx).

En el punto en que x se mueve hacia c, coordinando las cualidades de las uniformes

anteriores, tx también se mueve hacia c, entonces limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f,(x)

g,(x)=L.

Nota: el último avance en la medida de lo posible, aunque genuino, requiere una

defensa cada vez más completa.

Ejemplos

La regla de L'Hospital se aplica a los caprichos excedentes que eluden el incentivo

numérico al establecer el límite de los límites dados. El estándar dice que el numerador y

el denominador se resuelven explícitamente; en otras palabras, para ser los límites

principales f (x) / g (x), cuando se aplica el estándar se necesita: f '(x) / g' (x).

Aplicación sencilla:

limx→0

sin(x)

x=

0

0

l`Hóspital limx→0

sin(x)

x→ lim

x→0

cos(x)

x=

1

1

limx→0

ex-e-x-2x

x-sin(x)

l´Hóspital limx→0

ex-(-e-x)-2

1-cos(x)

l´Hóspital limx→0

ex-e-x

sin(x)

l´Hóspital limx→0

ex-(-e-x)

cos(x)=

e0+e0

cos(0)=

1+1

1=2

40

Aplicación consecutiva, si bien la capacidad es n veces persistente y resultante, el

estándar se puede resolver n veces:

limx→0

ex-e-x-2x

x-sin(x)

limx→0

ex-(-e-x)-2

1-cos(x)

limx→0

ex-e-x

sin(x)

limx→0

ex-(-e-x)

cos(x)=

e0+e0

cos(0)=

1+1

1=2

Ajustes logarítmicos

Dado el valor del estándar, es sensato cambiar diferentes tipos de indeterminaciones

para escribir 0/0 a través de cambios aritméticos:

Cocientes inconsistentes.

Las indeterminaciones de tipo ∞ / ∞ pueden cambiar debido a la doble inversión del

restos:

limx→∞

x4

x= lim

x→∞

1

x1

x4

En este sentido, tiende a indicarse muy bien que los acabados de tipo cierra / ∞,

también pueden resolverse mediante la utilización de la regla de L'Hospital directamente,

sin el uso de una doble empresa.

Indeterminaciones no restantes.

De vez en cuando algunos límites peligrosos que no se caracterizan como puntos de

corte pueden resolverse con este estándar, lo que provoca cambios pasados que conducen a

un resto del tipo 0

00

∞

∞

Tipo 0 ∙ ∞

41

Está relacionado con hacer un cambio como: 0.∞=01

∞

=0

0 ó 0.∞=

∞1

∞

=∞

∞

3.6 Diferenciales

Los pensamientos de los diferenciales y subordinados se han expresado enigmáticamente.

“Esto se debe a que hay muchos artículos determinados que se pueden desear, y cada uno

de ellos se obtiene con una separación programada particular, que se puede desear

esencialmente” (Rona, 2016, p. 105).

El subordinado del programa, tanto más precisamente, las fuentes de información y

los rendimientos del programa son vectores, el subsidiario es un entramado, en general

conocido como el Jacobiano, cada componente (I, j) del Jacobiano es el incompleto

subsidiario

∂yi

∂xj

Del rendimiento Yi respecto a la información Xj. En el momento en que se exhiben

las cualidades, el objeto inferido se convierte en un grupo. Esto impulsa a hacer partial

Jacobiano junto con el flujo principal del programa. Esto suele ser exorbitante en memoria

y tiempo. Esta carga se puede aliviar un poco si las representaciones de determinados

elementos están dispersas.

Figura 20. Las diferenciales. Fuente: Gonzales, 2008.

42

f(x + h) = f(x)+h t g θ + h

f(x+h) = f(x) + hf,(x) + h∅(x, h)

limh→0

h(∅(x,h)) = 0

f(x + h) = f(x) + h(f,(x))

Ejemplo:

E=√81.2√81.2

E=f(x)=√x√x=x34

f,(x)=

3

4x

-14

f(x+h)=f(x)+h(f,(x))

f(81+0,2)=8134+0,2(

3

481

-14)

f(81.2)=27,05

3.6.1 Enfoques.

El diferencial del punto de ruptura es prácticamente indistinguible de la suma

posible. f(x+h)-f(x)≈ h(f'(x))∆y = dy.

3.6.2 Error relativo.

En el punto en que una cantidad y0 = f (x0). “Yo lo se aproxima por la cantidad f (x0

+ h) con un error ∆y=f(x+h)-f(x). La pifia comparativa con el valor se caracteriza”

(Vivanco, 2005, p.71).

Tasa de error, está relacionado con mostrar en tasa el error introducido, que es:

d(f(x0))

f(x0).100%

43

Ejemplo:

La expansión de la oposición eléctrica de una asociación está cerca con el aumento

de su longitud y, por el contrario, corresponde al cuadrado de la proporción de su distancia

a través, espere que la obstrucción de un cable de longitud determinada se fije a partir de la

estimación de ancho con un error potencial del 2%. Localice el error de tasa concebible en

la oposición que vale la pena encontrar.

Solución:

R.D2

L=K→R=

KL

D2

R(D)=LK

D2=LKD-2

R(D)=KL(-2)D

-3,

R(D)=-2KLD

-3,

∆D=0,02D

R(D+x)=R(D)+R(D),

R(D+x)-R(D)=xR(D),

Piden: dR

R.100%=

0,02DKL(-2)D-3

KLD-2 =-4%

3.6.3 Motivación para cambiar.

Se conoce como la tasa de cambio normal o. “el ritmo normal de progreso de la

estimación de una capacidad y = t (x) respeto de una variable su X en el intervalo [x0; x0 +

h]” (Manes, 2014, p. 44).

cambio de ordenada

cambio de abcisas=

dy

dx , motivo de cambio instantáneo, se define:

limh→0

f(x0+h)-f(x0)

h=f

,(x0)= lim∆x→0

dy

dx

44

Figura 21. El radio I guardabosque. Fuente: Gonzales, 2008.

Ejemplo: Hay un círculo de metal con una abertura redonda concéntrica. Si el rango

del espacio cambia a un ritmo de 0.08 pulgadas / s con la velocidad, la zona del espacio

cambia cuando la placa de la rotonda se extiende si su envergadura se estima en 32.4

pulgadas y es perpetuamente a la derecha.

Ahora, en eso su radio estima un cuarto de su radio externa.

R=32.4 pulg

dr

dt= -0.08 pulg/s

A=πr2→dA

dt=

dA

dr.dr

dt=2πr

dr

dt

dA

dt=

2πr(-0,08)pul

s=-4,071pulg

2/s

3.7 Didáctica de las derivadas y la resolución de problemas

Repoblación forestal, para medir. “La medida de la madera creada por el compartimento

de almacenamiento de un árbol se acepta que tiene el estado de un cono truncado”

(Rodríguez, 1993, p.325).

Como se muestra en la figura.

45

Siendo: r la circunstancia de la base superior; R el alcance de la base de la base y h la

altura, recordando que el volumen V de un cono abreviado viene dado por la articulación:

V = 1 / 3.π.h. (R2 + R.r + r2) preguntamos:

¿Cuál es la velocidad de la variedad de volumen? V concluyentemente cuando: r =

60 cm, R = 90 cm yh = 15 m, si la mejora en r es de 10 cm / año, ¿el avance de R es de 15

cm / año y el de h es de 25 cm / año?

Arreglo:

El volumen del compartimento de acopio de conos al que ajustamos el grado de

madera que se puede quitar del árbol es: V = 1/3 .π.h. (R2 + R.r + r2) (1).

Tenemos que determinar, siendo h, R y r componentes del tiempo t, en ese punto

determinamos la relación (1) que se satisface ∀ t ≥ 0.

Adquirimos:

Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm, R=90 cm, r= 60 cm, en:

dV

dt=

π

3[dh

dt(R2+rR+r2)+h (2.R

dR

dt+r

dR

dt+R

dr

dt+2r

dr

dt)]

Resulta: dV

dt=

π

32,71≅2,83

m3

año

Contaminación, un punto moldeado como una cámara de rotonda recta se enmarca

cuando se derraman 100 m3 de petróleo en el océano.

Figura 22. Un punto moldeado espesor. Fuente: Gonzales, 2008.

46

Determine qué tan rápido aumenta el barrido de la mancha cuando ese rango es de

50 m si el grosor de la recurrencia de 10 cm / hora en el momento en que R = 50 m.

Solución:

Puede informar que la sustancia escogida es más pequeña que la hoja: haga clic en

Aceptar y pegaremos la tabla con un enfoque como el que teníamos en Word. Si no

tenemos que utilizar el borde de la tabla, podemos descargarlo utilizando las alternativas.

Al llevar una sola palabra a la información de Excel sin considerar lo que

hemos visto de antemano, podemos hacer que la información se asocie, es

decir, innumerables duplicados de información supere las expectativas en un

registro de palabras en caso de que si alguna mejora en la hoja supere los

deseos. , el cambio se percibirá en el archivo de Word (Rodríguez, 1993, p.83).

Para jugar este sistema:

Seleccionamos los datos a replicar de la hoja de excel;

Copie la información elegida presionando Ctrl + C o desde la pestaña Inicio y

llegando a la captura de copia;

Presionamos Ctrl + V o desde la pestaña de Inicio y contactamos la captura para

pegar;

Figura 23. El rango es de 50 m, si el espesor es h. Fuente: Gonzales, 2008.

47

Después de pegar la información en palabras, aparece un marcador de pegamento

donde podemos ver las otras opciones diferentes.

V = π.R2.h ∀t≥0 (1)

Inferimos los dos individuos de la correspondencia (1) con respecto a (t):

dV

dt=π (2R

dR

dt.h+R2

dh

dt)

Como V es estable, es decir, libre de t, nos damos cuenta de que, 𝑑𝑉

𝑑𝑡 =0, lo que nos

permite concluir (2) que:

2RdR

dt.h+R2

dh

dt=0

Despejando dR

dt obtenemos:

dR

dt=

-R

2h.

dh

dt

Como tenemos que la forma en que la altura de los confinamientos de manchas a un

ritmo de 10 cm / hora es:

dh

dt=-10-2m/hora, de la relación (1), h=

V

πR2 , h=

100

πR2 =

0,04

πm, como V = 100 m3, R =50

m, sustituimos las estimaciones en la condición (3), por fin tienes:

dR

dt=

50π

2(0,04).10-2=6,25π

m

hora.

La velocidad con la que la eliminación de manchas aumenta cuando ese rango

es de 50 m, en ese punto llega a alrededor de 20 m / hora el poder del agua, un

contenedor rotativo moldeado en forma de cono con un rango de base R y una

estatura H se está cargando con fluido a un costo constante Q = 0.5 m3 en cada

momento. A medida que se crea el fluido, aumenta el grado del fluido en el

recipiente (Rodríguez, 1993, p.89).

En caso de que R = 2 my H = 3 m:

¿Te imaginas que el nivel sube con velocidad constante?

48

Legitima tu reacción sin alteraciones expresas.

Solución:

a. La respuesta a la consulta es no.

¿Qué tal si intentamos legitimarlo, por lo que suponemos dos minutos distintos?

t1 y t2.

A qué niveles h1 y h2 se comparan individualmente, como se demuestra en la figura,

considere tiempos intermedios equivalentes "dt" en los dos minutos.

Los volúmenes que ingresan serán equivalentes, ya que son el costo de información

constante; además, aparecerán los volúmenes.

Los troncos cónicos disminuyen su altura "dh" a medida que aumenta y, por tanto, la

velocidad de la superficie controlada a medida que aumenta.

Figura 24. Niveles hl y h2, se comparan individualmente. Fuente: Gonzales, 2008.

49

Aplicación didáctica

SESIÓN DE APRENDIZAJE

I.- DATOS INFORMATIVOS

1.-1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA: I.E.P. “Elías Aguirre”

1.2. ÁREA / CURSO: Ciencia y Tecnología / Física

1.3. NIVEL / CICLO / GRADO: Secundaria / VI / 5°

1.4. DURACIÓN: 2 horas pedagógicas

1.5. FECHA: 26/6/2019

1.6. PROFESOR: Bach. Wille K. Pezo Rojas

TÍTULO DE LA SESIÓN

SESIÓN 01 (2 horas pedagógicas)

Título: “Aplicación de la derivada en el Movimiento de Caída Libre”

II.-PROPÓSITO DE APRENDIZAJE

COMPETENCIAS

DELÁREA Y

COMPETENCIAS

TRANSVERSALES

CAPACIDADES DESEMPEÑOS

EVIDENCIA

S

INSTRUMEN-

TO DE

EVALUACIÓN

Investiga utilizando

técnicas lógicas para

ensamblar su

conocimiento.

Problematiza

situaciones

Haga preguntas y

teorías de

preguntas que

dependen de

información

lógica y

percepciones

pasadas.

Resolución de

preguntas

Rúbrica

Trate su adaptación de manera autónoma

Define metas de aprendizaje

Aseguramiento de objetivos de

aprendizaje

adecuados que

dependen de su

potencial,

información,

estilos de

Cumplimiento de las

actividades

encomendadas.

Lista de cotejo

50

aprendizaje,

aptitudes y

mentalidades para

lograr la tarea

directa o

compleja.

Crea en condiciones

virtuales, producido por las TIC.

Gestiona

información del entorno virtual.

Utilice los datos y

los avances de correspondencia

(ICT) de manera

confiable para

cooperar con los

datos, lidiar con

su

correspondencia y

aprendizaje.

Utilización de

activos TIC en la introducción

de pruebas.

Lista de cotejo

ENFOQUE

TRANVERSAL

VALORES ACTITUDES

OBSERVABLES

Mantiene la limpieza del

hogar y la sala

de estudio.

Lista de cotejo

Enfoque ambiental

Justicia y

solidaridad

Disponibilidad

para evaluar los

efectos y gastos ecológicos de las

actividades y

ejercicios

ordinarios, lo que

representa una

ventaja

sorprendente, al

igual que los

marcos, las bases

y los medios

compartidos de

los que dependen.

III. MOMENTOS DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

MOMENTOS SECUENCIA DIDÁCTICA RECURSOS TIEMPO

INICIO

El instructor comienza la clase dando la

bienvenida e invitando a los suplentes al nuevo

día escolar. En ese momento, registre algunas

consultas en la pizarra para recuperar el

aprendizaje anterior:

¿Qué tan importante es la organización de

objetivos y metas en nuestro trabajo diario?

¿Qué objetivos te gustaría lograr en este día?

¿Qué estudia la ciencia de los materiales como

ciencia?

¿Cuáles son los desarrollos realizados por los

cuerpos?

¿Cuál es la unidad de proporción de velocidad

que conocemos?

Pizarra

Plumones

Mota

10 minutos

51

¿Qué recetas de desarrollo conoces?

A continuación, el instructor presentará, los

que se muestran en la unidad educativa, los

criterios de evaluación, los campos temáticos y

los elementos que se exhibirán. Del mismo

modo, presentamos los instrumentos de

evaluación que se utilizarán en la sesión de clase

y proponemos la circunstancia de la prueba que

la acompaña.

¿Cómo comprender el movimiento de caída

libre desde la percepción y la experimentación?

DESARROLLO

El educador solicita que los estudiantes

suplentes cumplan con nuestros objetivos y vivan

sólidos, necesitan crear pautas fundamentales de

concurrencia o trabajo en el territorio y exigir

interesarse por sus sentimientos para crear

diferentes modelos identificados con deferencia,

obligación y confiabilidad. Estas pautas se

compondrán y animarán con hojas de colores en

su diario y se observará su uso durante las clases

y fuera de él.

1.- Demostramos respeto a nuestro educador y

compañeros de clase constantemente.

2.- Mantengo la mía propia y estudio la

limpieza de la sala.

3.- Somos conscientes de la satisfacción de los

ejercicios de la región, para lograr nuestros

objetivos.

4.- Tengo la oportunidad de ir a clases a

tiempo.

El instructor tiene 2 círculos, uno de madera y

otro de metal y, junto con la exposición de los

suplentes, ve que se van soltando al mismo

tiempo de una estatura al suelo. A continuación,

construimos la parte teórica y los destinos de las

ocurrencias del Movimiento de Caída Libre.

La acción se completa para desarrollar la

percepción y la aptitud de experimentación y

proporciona un documento con preguntas

identificadas con el punto del Movimiento de

Plumones

Hojas de

colores

Ficha de

preguntas

70 minutos

52

caída libre, las respuestas esenciales con el

respaldo del instructor, primero por separado, en

ese punto a través de grupos de trabajo.

En ese punto, cada grupo mezcla sus

respuestas en su totalidad y el educador ingresa

cualquier pregunta o consulta, para la siguiente

clase de investigación en Internet y examina el

tema del Movimiento Compuesto.

CIERRE

Evaluación

El instructor plantea una progresión de consultas

para verificar el progreso del estudiante, por

ejemplo:

¿Con qué método debería aclararse el poder de la

gravedad?

¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento de

caída libre?

¿Cómo podría reconocer los diversos desarrollos

de un cuerpo?

El educador completa la clase ayudándoles a

recordar algunos sistemas para problematizar las

circunstancias.

Fichas de

evaluación

10 minutos

IV. Recursos y materiales:

Pizarra, plumones, mota, plumones, hojas de colores y ficha de preguntas

_______________________

Bach. Wille K. Pezo Rojas

53

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 01: Rúbrica

NÚ

ME

RO

Apellidos y

nombres

COMPETENCIA: Indaga mediante métodos científicos para construir

sus conocimientos

CA

LIF

ICA

CIÓ

N

CAPACIDAD: Problematiza situaciones

DESEMPEÑO: Indaga a partir de preguntas y plantea hipótesis en base

a conocimientos científicos y observaciones previas.

EN INICIO

(0-10)

EN

PROCESO

(11-12)

LOGRO

ESPERADO

(13-16)

LOGRO

DESTACADO

(17-20)

La especulación

propuesta no

tiene una

premisa lógica y

reconoce los

factores.

Postula

teorías con

premisa

lógica, pero

no reconoce

factores.

Plantea teorías de

base en

percepciones

pasadas e

información

lógica, averigua

cómo distinguir

los factores de

manera laxa.

Trae

especulaciones

básicas en

percepciones

pasadas e

información

lógica, y

descubrieron

cómo construir

decisivamente

las conexiones

causales entre

los factores..

1

2

3

4

5

6

7

54

DOCENTE: Bach. Wille K. Pezo Rojas

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 02: lista de cotejo N

ÚM

ER

O

Apellidos

y

nombres

DESEMPEÑOS TRANSVERSALES

CA

LIF

ICA

CIÓ

N

Desarrolla su

autogobierno

adaptándose para

siempre, buscando una

mejora constante de sus

ciclos y sus resultados.

Utilización capaz de

avances de datos y

correspondencia (TIC)

para interactuar con los

datos, supervisar la

correspondencia y el

aprendizaje.

Avanza en la salvaguarda

de las condiciones

sonoras, para la limpieza

de los espacios

instructivos que

comparten, así como la

limpieza y las buenas

propensiones dietéticas.

Siemp

re

A

Poca

s

vece

s

B

Nunca

C

Siempre

A

Poca

s

vece

s

B

Nunca

C

Siempre

A

Poca

s

vece

s

B

Nunca

C

1

2

3

4

5

6

7

DOCENTE: Bach. Wille K. Pezo Rojas

55

Ficha de actividades

Punto de corte: caracterizar los objetivos de aprendizaje, ejecución, aseguramiento de los

objetivos de aprendizaje que dependen de su capacidad latente, información, estilos de

aprendizaje, aptitudes y mentalidades para realizar el recado básico o complejo, curso: leer

y ver cada uno de los ingresados, localizar la respuesta correcta y ocupar en los espacios.

Se resuelve el desarrollo de caída libre, desde lo alto del edificio "Tres Marías",se

deja caer una pelota y llega al piso en 8 s.

¿Cuál es la altura del edificio “Tres Marías”?

¿Cuál es la velocidad final de la pelota con la cual toca el piso?

Si se deja caer una manzana desde lo alto de la torre “Elías Aguirre”, y se comprueba

que tarda 9 s en llegar al suelo, calcular:

¿Cuál es la altura de la torre “Elías Aguirre”?

¿Cuál es la velocidad final de la manzana con la cual toca el suelo?

¿Cuál es la altura de la que cae una bola de hierro que tarda 5 s en llegar al suelo?

Una piedra realiza una caída libre desde un globo aerostático que viaja a 210 m de

altura. ¿Cuánto tiempo demora en tocar el suelo?

Una pokebola realiza una caída libre partiendo desde el reposo. Hallar:

La altura que recorre en 7 s.

La velocidad que adquiere después de haber caído 80 m.

El tiempo que demora para tener una velocidad de 60 m/s.

Se deja caer un cuerpo esférico desde un helicóptero, y después de 12 s llega al suelo.

¿A qué altura se encuentra el helicóptero?

56

Síntesis

La comprensión del pensamiento de las derivadas presenta problemas para los estudiantes

de educación avanzada en los cambios analíticos primarios largos en la universidad u

organización, en esta circunstancia única, trabajo sustitutivo, revisión y relación de

deberes.

De la investigación realizada en el estudio de las Matemáticas, para reconocer la

producción de aprendizaje y los territorios donde es importante contribuir con datos. La

auditoría ha sido organizada y verificada en:

Lo que se contempla es la comprensión del auxiliar de un límite en cierto punto

arreglado por los marcos de representación, las cualidades del avance de la disposición de

la derivada.

Por fin, se percibe que importantes líneas de investigación acumulan nuestra

comprensión de lo poco que considera contribuir con importancia y utilizar la plausibilidad

de subordinarse en general y como lo demuestra el llamado donde podría ser incipiente.

Esta monografía ha intentado cubrir los problemas más importantes sobre derivadas,

destacando los factores más esenciales que, por fin, son los más utilizados.

57

Apreciación crítica y sugerencias

Como cuestión de hecho y percepción, se afirma que la información de los Derivados en

los estudiantes que terminan la escuela secundaria es casi cero, lo que implica un problema

cada vez más importante para su realización, al tomar el curso de análisis en el negocio de

la formación de vanguardia.

También podríamos destacar que algunos maestros no tienen la estrategia de

orientación, para hacer llegar todo su conocimiento.

Lo requerido para la educación de la ciencia cuando todo está dicho; lo que se llama

conversacionalmente "darse cuenta de cómo llegar al educando". Esto, adicional a la

mayoría de las personas, tenemos una comprensión numérica extremadamente

fundamental.

Este trabajo de monografía ha sido fascinante, ya que me ha dado más investigación

para el aprendizaje de la computación y particularmente en el tema de Derivados.

Mi recomendación es abordar la utilización de derivadas en organizaciones

instructivas de nivel auxiliar; para llegar a la educación avanzada con un poco de

aprendizaje de este tema.

Las derivadas tienen aplicaciones en aspectos financieros en cifras insignificantes

(pago, gastos o utilidad), en ciencia de materiales, en la velocidad con que ocurre un

cambio (velocidad rápida, velocidad ordinaria), cada vez más extraordinaria y menos en

matemáticas, y así sucesivamente.

58

Referencias

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