Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Derivadas de una función en un punto. Derivadas.

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Derivadas de una función en un punto.

Derivadas


Habilidades

1. Describe el concepto de derivada.2. Interpreta geométricamente la derivada.3. Define la derivada de una función en un punto.4. Interpreta la derivada como una razón de cambio.


La Pendiente de una Curva

¿Una curva tiene pendiente?

¿y cuál es esta recta?

Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva.


El problema de la recta tangente

x

yy = f(x)

a

P

Q

x

Pendiente de la recta secante:

a-xafxf

mPQ


a x

yy = f(x)

P

Q

x


a-xafxf

mPQ



a x

yy = f(x)

P

Q

x



a-xafxf

mPQ



a x

yy = f(x)

P

Pendiente de la recta tangente:

a-x

afxfm

axP

lim


La recta tangente

a-x

afxfm

ax

lím

Definición:La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente:

siempre que exista este límite.

Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como:

Observación:

h

afhafm

0h

lím


El problema de la velocidad instantánea

so

Velocidad media en (a, a + h):h

ashasv

)()(media

s(a)

t = a

s(a + h)

t = a + h


s(a) so s(a + h)

t = a t = a + h


ashasv

)()(media



s(a) so s(a + h)

t = a t = a + h



ashasv

)()(media


s(a) so s(a + h)

t = a t = a + h


ashasv

)()(media



s(a) so

Velocidad instantánea en t = a:

hashas

avh

)()(lim)(

0

t = a



Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de la torre de Eiffel, a 300 m arriba del suelo.

a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?

b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?

Ejemplo


La velocidad instantánea

Definición:

La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias:

siempre que exista este límite.

hashas

avh

)()(lim)(

0


La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento ,

donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y la rapidez después de 2 segundos.

1

1

t

tfs

Ejemplo

Nota:

• Desplazamiento de una partícula = Posición Final- Posición Inicial.

•Recorrido = Distancia recorrida.

•Velocidad =

•Rapidez =

ts

ts


Definición:

La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como:

si el límite existe.

hafhaf

a' f0h

lim

1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a.2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a.3. La derivada de una función es un límite.4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto.

Observación:

Pag. 156


Derivadas laterales

a x

y y = f(x)

(a)'fm (a)'fm -

Derivada por la derecha de a h

afhaf

0hlima' f

Derivada por la izquierda de a h

afhaf

0ha

-' f

lim

f ’(a) existe si y solo si

(a)' f(a)' f -

Teorema:

Pag. 168


Cálculo de derivadas por la definición

Si , obtenga f´(1)

Ejemplo :

1 1 1

2 1

x , xf x

x , x

Considere la función definida por tramos

¿Existe f´(1)?

Ejemplo :

1 xxf


Interpretaciones de la derivada

Geométrica:

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a.

)(af

Mecánica:

Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a.

v(a)

General:

Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.

)(af

xaf

a' f0Δx

lím

Pag. 157


Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Sección 2.7. Ejercicios Pág. 154: 2-14, 17-20.Sección 2.8. Ejercicios Pág. 161: 1-26, 33, 34.

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