Problemas De Física Resueltos - Burbano- 27ª Edición, Madrid -Tébar, 2007.pdf

7/22/2019 Problemas De Fsica Resueltos - Burbano- 27 Edicin, Madrid -Tbar, 2007.pdf

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CAPTULO IICLCULO VECTORIAL *.SISTEMAS DE REFERENCIA

A) ALGEBRA VECTORIALFORMULARIO

Diversas formas de expresar un vector en funcin de sus componentes coordenadas:v=X+Y+Z v (x, y, z) v = xi + yj + zk

Mdulo y cosenos directores:xcosa=- v cosfJ=l!..v 1\ COS2 a + COS2 fJ+ COS2 y = 1

zcosy=-vSuma de vectores: nS = VI + V2 + v3 + oo. + vn= I. V,1=1

siendo:VI =Xl + Yl + ZlV2=X2 + Y2+ Z2 s=X+Y+Z x = Xl + X2 + oo. + xn = I.XIY=Yl+Y2+"'+Yn =I.YI

z = zl + z2 + oo.+ zn = I. Zl..........................................

Producto de un escalar por un vector: es un vector: ab=a a=ab

Vectores unitarios: Son los que tienen de mdulo uno: V xi+yj+zku=-=v ~X2+y2+z2

Producto escalar de dos vectores: Es un escalar:v(x,y,z)

I' (x', y', Z/) => V' v' = vv' cos I{J= v proyv V'

en funcin de las componentes de los vectores: V . v' =xx' + yy' + zz'Propiedades:

a) Goza de las propiedades conmutativa y distributiva.b) Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.c) Si dos vectores tienen la misma direccin y sentido su producto escalar es igual al

producto de sus mdulos.Producto vectorial de dos vectores: Es un vector: A =V X V' A = VV'sen I{J = vhlo que nos indica que el mdulo es el rea del paralelogramo que tiene V y V' como lados.

En funcin de las componentes de los vectores:

z

y

Componentes coordenadas de unvector.Vectoresunitariosen los ejescoordenadas.-+V

3v-3v ...Multiplicacindel vector v por losescales3 y-3.

Producto escalar de dos vectores.

A

Propiedades:a) Goza de las propiedades anticonmutativa y distributiva.b) Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo. Productovectora!.

Producto mixto: Es un escalar cuyo valor es el volumen del paraleleppedo que tiene los tres vectores como lados.

Propiedad:V=a'~x~

V=a.~x~=c.~x~=b.~x~

. Los problemas referentes a operadores (grad, rot, div,etc.)severn en Teorade Campos (~ptulo VII).

j kV X v' = I x y z

x' y' Z'


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r28 CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

En funcin de las componentes coordenadas de los vectores:axa . (b x e)=Ibx ayby

Cy

azbz

Propiedad:Doble producto vectorial: Es un vector: p =a x (b x e)

a x (b x e) =(a . e) b - (a . b) e

z->z

a=4Problema 11-1.

y

o

Problema 11-2.

->A-> -> ->A=bxc-> ->V=a'A

h

;Producto mixto.

Problema 11-1. Si un vector forma con los ejes X e Y ngulos de 60 y tiene de mdulo 4 unida-des. Calcular:1. Sus componentes coordenadas.2. ngulo que forma con el eje Z.SolucinLe, MTODO1) Sea a (x, y, z) el vector que nos piden, entonces:

I x=acosa=4~ =2/y como:

2) cosy=~=..[2a 22.0 MTODO:

1 1 2-+-+cos y=l4 4

COMPROBACfON:

cos y =R =if ~ I y =45 II z=acosY=4if =2..[2/

~ = 4 + 4 + 4 x 2 = 16 a=4Problema 11-2. Se tienen dos fuenas coplanarias y concurrentes cuyos mdulos son: F=5 kp yF2 = 7 kp, que forman respectivamente los siguientes ngulos con el eje OX: 60 y -30. Calcular:1. La fuerzaresultante.2. Su mdulo.3. nguloque formacon el eje Ox. Solucin

I Fx :Fx + F2xFy - Fy + F2yx

SFx =F cOS'P=-kp2sJ3Fy=F sen'P =-kp27J3F2x=F2COSP2= --y kp7F2y=F2sen 'P2= - - kp2

'P2= -300

S+7J3k2 P

Fy=SJ3-72 kp


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Problema 11-3. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos mdulos son: F = 6 kp, F2= 3 kp,F3= 4 kp, que forman, respectivamente, los siguientes ngulos con el eje OX: 45, 30 Y-60. Lastres fuerzas estn en el mismo plano. Calcular el mdulo de la resultante y el coseno del nguloque forma con el eje Ox. Solucin

Fxcos cp=F./2

Fx =F coscp =62=3./2kp./2Fy=F sencp=62=3./2kpJ3F2x=F2 COScp23-kp21F2y= F2sen '1'2= 3 - kp21F3x= F3COS1'3 = 4 - = 2 kp2

F3y= F3sencp3= 4 (- "7) = -2 J3kp

=> Fx = 3./2 + 3 J3 + 2= 8,84 kp2Fy= 3 ./2 + 3 .!..- 2 J3 = 2,28 kp2

F=8,84i+2,28 jkp I F = ~8,842 + 2,282 = 9,1kp Icoscp= 8,84 = 0,979,1=>

Problema 11-4. Teniendo en cuenta que la fuerza de interaccin Newtoniana entre dos partculasde masa m y m' que distan entre s r, es:

F=-G mm'yrresolverel siguiente problema: supongamos que en el espacio intergalctico (fuera de toda influen-cia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares. Tres partculas de masa 4 kglas colocamos en (O,O), (2,2), (2, -2) medidas estas coordenadas en metros. Calcular la fuerzaque ejercern sobre una partcula de masa 1 kg colocada en (4, O)m.

Solucin1\ r =4m

Los mdulos de las fuerzas que actan sobre la partcula de masa m = 1 kg son:F = G mm = 6 67 X 10-11 1 x 4 = 1667 X 10-11N r/' 16'F2=G m~2 = 6,67 x 10-11 1X8 4 = 3,335 X 10-11 Nr2F3 = G m~3 = 6,67 x 10-11 1 X8 4 = 3,335 X 10-11 Nr3

siendo:

obtenemos:I

Fx = F cos 'P= -F1 = -1,667 x 10-11NF1y = F1 sen cp1 = O

F2x = F2 COScp2 = -3,335 X 10-11 f2 = -2,358 X 10-11 N2F2y= F2sencp2= 2,358 X1O-1N

I

F3x = F3 COScp3= -2,358 X 10-11 NF3y = F3 sen '1'3= -2,358 X 10-11 N

LGEBRA VECTORIAL 29

y FlFlY tm mmm__m__Ji

!i::ii! X....F2yo -+ 1-+- -+

F3x iF2x FxIIi!i'....n_': F3....F3y

Problema 11-3.

y

x

Problema 11-4.


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30 CLCUW VECfORIAL. SISTEMASDE REFERENCIA

y

q--;D r

Problema U-5.

Problema U-6.

Problema U-6-1a.

B

Fx : Fx + Fzx + F3x ~-6,384 X 10- NIy - Fy + Fzy + F3y - O => I F =- 6384 X 1O- i N I

La fuerza resultante est en el eje X y su sentido es hacia el origen.

Problema 11-5. Si la expresin de la ley de Coulomb es:F =K qq'o-rr3

Calcular la fuerza que acta sobre una carga de 1 LCcolocada en el punto (6, O)m debida a las i-guiente distribucin: En el origen de coordenadas una carga q =2 LC,en elpunto (0,3) munacarga q2 = 3 LC y en el punto (O,-3) m una carga q3= -3 LC (suponemos las cargas en elvaco).r =6m

X

Siendo: 'P= 0

Soluciny los mdulos de las fuerzas que actan sobre q son:

Fz =Ko q~z =9 X 109 10-6 X 3 x 10-6~ 45F3 =Ko q~3 =9 X 109 10-6 X 3 X 10-6~ 45

6 2cos '1'2=.[45=J53 1sen '1'2 =- .[45=- J5

6 2cos '1'3 = - .[45 = - J53 1sen'P3 =- .[45=- J5

Fx = Fx+ Fzx + F3x= 5 x 10-4 N12 -4

Fy = Fy + Fzy + F3y= - J5 ION

Problema 11-6. Descomponerla fuerzade mdulo F = 20,0 N en las direccionesa y b indicadasen la figura. Solucin

a En el tringulo DAB de la Fig. P conocemos los tres ngulos y el lado DA =20 N, aplicndole el teore-ma de lossenos,obtenemos:~-~-~sen 60 - sen 75 - sen 45 16,3 N

F = 20 sen 75sen 60 22,3 N=>Fz = 20 sen 45sen 60

Problema 11-7. Si tienen tres vectores no coplanarios OA =a, 08 =b Y OC=c. Designa-mos por M el punto medio del segmento rectilneo AB y por G el baricentro del trangulo ABC; sepide obtener razonada y sucesivamente:1. Expresin de OM en funcin de a y b.2. Expresin de MC en funcin de OM y C, as como la de GC en funcin de MC.3. Expresin de OG en funcin de a,b y c.

a


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Solucin1) a=OM+MAb=OM+MB

MA=-MB

2) IMC=C-OM=C-T I3) I OG=c-GC=c-j[c-T] =a+~+c I

(coordenadas del centro de gravedad de un tringulo).Problema 11-8. Dados los vectores: a =31 - 2j y b =-41 +j, calcular:1. Elvectorsumay su mdulo.2. Elvectordiferenciay elngulo que forma con eleje Ox.3. El vector e =2a - 3b y el vector unitario que define la direccin y sentido de c.

Solucin1) I s =a + b =- i - j I2) Id=a-b=7i-3)1 3tgtp=-y I tp= -230 11' 55" I3) 2a= 6i-4)

I3b =12i - 3) I e =18i - 7j I e 18 7~= .J373 i - .J373Problema 11-9. Dadoslosvectores:ademduI03ycosenosdirectoresproporcionalesa2,ly-2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el punto 0(-1, -2,1) y de extremo el puntoP (3, 0,2) y el vector e (2, O, -3). Calcular:1. 2a - 3b + e2. 13a-2b+2cl Solucin

Calculamos primero las componentes coordenadas de a y b: si a (Xl' Y,2), como:~= cosf3= cosy=K2 1 -2

cosa =2KcosfJ=Kcosy=-2K A COS2 a + COS2 f3 + COS2y =1nosqueda:

K=!.. ~3

2cosa=3 1cosfJ=3 2cosY=-3

~ a (2, 1,-2)x=acosa= 2Y= a cos fJ= 12 =acosy=-2Si b (X2'Y2' 22) entonces:

X2=3-(-1)=4Y2=O-(-2)=222=2-1=1 b(4,2,l)

1) 2a= 4i+2)-4k-3b =-12i - 6 ) - 3ke = 2i - 3k 12a-3b +c=-6i-4)-lOk 12) 3a= 6i+3)-6k

-2b= -8i-4)-2k2c= 4i -6k 3a - 2b + 2c = 2i -) -14k

113a-2b-2cl=.J4+1+196 =.J2Oi IProblema 11-10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referenciael puntoO (-1,2, O) y de extr~mo P (3,-1,2). Calcular:

LGEBRAVECTORIAL 31A

oe

Problema 11-7. ,


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32 CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA1. Componentes del vectorOP.2. Mduloy cosenos directores.3. Un vectorunitarioen la direccinde l pero de sentido contrario.

Solucin1) OP(x, y,z) x=3-(-1)= 4

y=-1-2 =-3z=2-0 = 2 => IOp =4i-3j+2k I

Problema 11-11. Dados los vectores a (2,4,6) y b (1, -2, 3). Calcular:1. Elvectorsuma a + b, su mdulo y cosenos directores.2. El vector diferencia a - b Yel vector unitario que define su direccin y sentido.Solucin

1) I a + b =s (2 + 1, 4 - 2, 6 + 3) = s (3,2,9) I => I s = .J9 + 4 + 81 =./941

2) I a - b =d (2 -1, 4 + 2, 6 - 3) = d = (1,6,3) I => d =.J1 + 36 + 9 = .J7[6

Problema 11-12. Dados losvectores: a (1, -1, 2)1. Elproducto escalar de ambos vectores.2. Elngulo que forman.3. La proyeccinde b sobre a.y b (-1,3,4). Calcular:

Solucin1) I a'b=l(-l)+(-l) 3+2x4=412) a' b = ab cos =>

.Problema 11-13. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directoresson: cosa =1/3,cos{3=2/3 Y cosy> 0, es perpendicular al vector b (6,-9, 6).

Solucin"Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar tiene que ser cero.Siendo: COS2 a + COS2 fJ + cos2 i' = 1

Iosi '>O =>>

y como: la. b = ~ 6 + J (-9) + J 6 = 2 - 6 + 4 = O I a y b son perpendiculares.

=>

..~


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Problema 11-14. Demustrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo m-dulo entonces son perpendiculares., SolucinSean: v=X;+y)

Iz=xzI+yz) I V+Vz =(x +xz)~+(y + Yz)~V - Vz =(x - xz) I + (y - yz) Jv y Vz son perpendiculares.

Problema 11-15. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular al vectorv =21 + j - 3k. Solucin

Sea: u = ux' +Uy}+ uzk el vector buscado.Por ser paralelo a OYZ, se tiene Ux= O, es decir:y por ser perpendicular a v:Elvedar u es unitario, luego:

u' v=O ~ Uy- 3uz=Ou; + u;=1 (a)(b)Resolviendo (a) y (b) se obtienen como solucin los vectores:

- .J1O (3) + k)u- 10

Problema 11-16. Dado el vector v =41 - j + 2k, calcular su proyeccin sobre la recta que pasapor lospuntos A (O,1,2) y B (2,2,1). SolucinSi llamamos u a un vector unitario en la direccin determinada por AB, la proyeccin pedida ser el valorabsoluto del producto v. u. Calculamos u:

AB - 2; + j - k =-.!.. (21+ ) - k)u = AB - .J4+ 1 + 1 .J6y la proyeccin buscada es: v.u - 1 I-.J6 4x2+(-1)1+2(-1)I= 5.J6

Problema 11-17. Se tienen los vectores v=21 - 2j + k y Vz=1- 2j. Calcularlas componentesdel vedar unitario u, perteneciente al plano determinado por v y Vz y perpendicular al vectorv=v -2vz. SolucinEl vedar buscado tiene por componentes: ux. Uy. uzo Por pertenecer al plano de v y Vz verifica:

u = (2a + {J) 1- (2a + 2{J)j + ak (a)(b)or ser perpendicular a v = v - 2vz =2) + k: u' v=O

y por ser unitario: (e)Sustituyendo (a) en (b) y (e): 2(-2a-2{J)+a=0

I2a + {J)z + (-2a - 2{J)z + aZ =1que corresponden a dos soluciones para u:) - 1U- 3./5 (51-2)+4k)

Problema 11-18. Demostrar que las alturas de un tringulo se cortan en un punto.Solucin

1.er MTODO:Hay que demostrarque oe es perpendiculara ABo sea que OC' AB =O. Teniendo en cuenta quedos de las alturas se cortan en O. CA=OA-OC

AB=OB-OABC=OC-OB

(1)(2)(3)

.

LGEBRA VECTORIAL 33

..


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de (3):de (1):

34 CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

C

QProblema II-18-1a.

y

A (0,0)x-P (X3' O) B (X2' O)

Problema Il-18-2a.

de (2):

BC . OA=O=OC .OA - OB .OACA. OB=O=OA. OB-OC. OB

OC . OA - OB . OA + OA . OB - OC . OB = O =:}OA-OB=-AB

OC. (OA-OB)=OOC. (-AB) =0 OC.AB=O c.q.d.

2 . MTODO:Tomamos como hiptesis que la alturas AP y CQ (figura P) se cortan en O. Si demostramos queOB .AC =O tendremos demostrado lo que queremos; en efecto:y como:

OB .AC= (AB-AO). (AO +OC) =AB .AO+AB. OC-A02-AO. OCAB. AO =AO proYAOAB=AO xAP=AO (AO+OP)AB . OC =O (por hiptesis)

Sustituyendo:AO. OC =AO proYAOOC =AO x OPOB. AC=AO (AO+OP) -A02 -AOxOP=O c.q.d.

3 .er MTODO:Supongamos que las alturas que parten de B y C se cortan en O (x, y); tendremos que demostrar queBC es perpendicular a AO, o lo que es lo mismo BC. AO =O; en efecto:En la figura 2a se ve que: yy tambin:

BC=(X3-X2)I+Y31X3AO=x3'+(x2 -x3)-1Y3

luego: c.q.d.

Problema 11-19. Dados dos vectores a (2, 1, -3) Y b (1, O, -2) hllese un vedar unitario quesea perpendicular a ambos. SolucinAl ser a x b un vector perpendicular a ambos, el vector que nos piden tendr la misma direccin queaxb:

1axb=12 1

k-31 = - 21+ 1 - k-2

11Oel vector unitario es: u - ax b - -21+1- k - - ~ 1+ .l.- - .l.- k-Iaxb'- .J4+1+1 -..[6 ..[61..[6o su opuesto:

Problema 11-20. Dados los siguientes vectores:1a =-(21 +3) + 6k)7 e =.!(61 + 2} -3k)7demustrese:1. Que sus respectivosmdulosvalen la unidad.2. Que son perpendicularesentre s.3. Que e es el producto vedarial de a por b.Solucin

I(f)\(~)\(~r1(~)\(f)\(-~r1

2) Ser verdad si:En efecto: a. b=O c. a=O. c=O


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Problema 11-21. Dados los vectores a (1,3, -2) Y b (1, -1, O). Calcular:1. Su producto vedoria!.2. El rea del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.3. Unvedar e, de mdulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.

Solucin

1)

2) IA=laxbl=.J4+4+16 =.JN =2../6 Ia x b -21 - 2} - 4k 17 I ( 17 17 17) I3) c=6Iaxb,=6 2../6 ",,6(-I-}-2k) ::} c= -",,6, -",,6, -2,,6 o su opuesto.

Problema 11-22. Los tres vrtices de un tringulo son:Calcular:1. readel tringulo.2. nguloA.

A (2, 1,3), B (2, -1,1) Y C (O,-2,1).

Solucin

AB=B-A= -2}-2kIC=C-A =-21-3} -2k

1ABxAC=1 O-2

k-21=-21+4}-4k-2

}-2-3IAB x ACI = .J4 + 16 + 16 = J36 = 6 s =.! IABx ACI =3 unidades cuadradas2

AB.AC2) AB. AC =IABIIACIos A ::} cos A = IABIIACI

AB. AC = O(-2) + (-2) (-3) + (-2) (-2) =10 IIABI =.J4+4 =2 J2IACI=.J4+9+4=m

10cos A= 2.J34 I A=30 57' 49" I

Problema 11-23. Tresvrticesde un paralelogrmoABCD tienen por coordenadas: A (2, 0,2),B(3,2, O)Y D (1,2, -1). Calcular:1. las coordenadasdel vrticeC.2. readelparalelogramo.3. nguloenB. Solucin

1) AB =B - A = 1 + 2} - 2kAD =D - A =- 1 + 2} - 3kAC =C - A =AB + AD = 4 j - 5k x-2=0 ::} x=2y-0=4 ::} y=4z - 2 =-5 ::} z =-3 le (2,4,-3) I

12) ABXAD=ll -1

k-21 = -21 +5}+ 4k-3

}22s = IAB x AD I= .J4 + 25 + 16 =.J45 = 3 -15unidades cuadradas

3) AB'AD= 1(-1)+ 2 x 2+(-2)(-3)= 9

LGEBRAVECTORIAL 35

e (O,-2, 1)

".4(2,1,3)Problema 11-22.

A(2,0,2)Problema 11-23.

/I

1 } kaxb= 1 3 -2 =-21- 2} - 4k1 -1 O


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36AB.AD 3

cosA IABIIADI =.JI4

CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

-+eProblema 11-25-1a.

D

EProblema 11-25-2a.

y

o U2xProblema 11-26.

A =36 41' 57" =>>.Problema 11-24. Si el producto vectorial de dos vectores es a x b =31 - 6j + 2k y sus mdulosson 4 y .fj , respectivamente, calcular su producto escalar.

Solucin laxbllaxbl=absen

senProblema 11-25. 1. Deducir el teorema del coseno para un tringulo utilizando el productoescalar.2. Dedudir el teorema de los senos para un tringuloutilizandoel productovectorial.

Solucin1) En laf igura1a: a =b + e, multiplicndola escalarmente por s misma:a . a = (b + e) . (b + e) =>

y como: b. e = be cos (.n - a) = -be cos a =>NOTA.- Si a = 90 (tringulo rectngulo): (TEOREMA DE PITGORAS)

2) 1.e, MTODO:El mdulo del producto vectorial de los vectores v y v' es el rea del paralelogramo que tiene v yv' como lados. Las reas de los paralelogramos ACBE y ABFC son iguales (igual base y altura)con lo que:

laxbl=lbxcl a e---sen Asen C

(1)b sen C =be sen A> =>tambin las reas de los paralelogramos ABCD y ABFC son iguales, luego:

a b--sen Asen Baxcl=lbxcl ae sen B = be sen A (2)> =>

igualando (1)y (2) nos queda: a b esen A = sen B = sen C2 MTODO:

Los mdulos de los productos vectoriales de dos cualesquiera de los lados son iguales, pues repre-sentan el doble del rea del tringulo:laxbl =Ibxcl =Icxal => ab sen C = bc sen A = ea sen B

dividiendo por abc: ab sen C- abe => a b esen A = senB = senebcsenAabc easen B-- abcProblema 11-26. Definido un sistema de referencia cartesiano en el plano: OXY; y en l dos vec-tores unitarios cualesquiera u y U2que forman los ngulos a y 13respectivamente con la direccinpositiva del eje Ox. /1. Demostrar que: u =cos a 1+ sen a j t\ U2 =cos 13 i + sen 13 j2. Calcular, por aplicacin del producto escalar de u y U2,la expresin de cos (a -13).3. Calcular, por aplicacin del producto vectorial de Uy U2,la expresin de sen (a -13).

Solucin1) "1=Ulcos a i + Ul sen a j =cos a i + sen a j

"2 = U2 cos {3 i + U2 sen {3 j = cos {3 i + sen {3jx 2) "1'"2 =UIU2 cos(a - 13)= cos (a - {3)I'"2 =cos a cos {3+sen asen {3 => I cos (a - {3)=cos a cos 13 + sen asen {3 I

3) I"z x "11 =UIUZsen (a - 13)= sen (a - 13),


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1U2XU=lcosf3cosa

jsen f3sena

kO I=(sena cos f3- cosasen f3)kO ',-

luego:I sen (a - f3)=sen a cos f3 - cos asen f31

NOTA.-Para calcular el cos (a + f3) y sen (a + f3), sustituir f3 por -{J; es decir:cos (a + f3) = cos la - (-{J)] = cos a cos (-{J) + sen asen (-{J) = cos a cos f3 - sen asen f3sen (a + f3) =sen [a - (-{J)]= sen a cos (-{J) - cos asen (-{J) =sen a cos f3 + cos asen f3

Problema 11-27.Calcular el volumen del paraleleppedo de la figurasabiendo que O (1, 0,2),A (3,2,4), B (2, 6, 8) Y e (2,-3,1), expresadasen metros.Solucin

a =OA =A - O =21 + 2j + 2kb =OB =B - O = 1 + 6j + 6ke =oe =e - O = 1- 3j - k

Problema 11-28. Dados dosvectores1. (a+ b ) . e3. (ax b) . e (productomixto)=abe5. (ax b) x e (dobleproductovectorial).

a (2, -1, O), b (3, -2,1) Y e (O,-2,1). Calcular:2. (a-b) x e4. (a' b) e

Solucin1) a + b =51 - 3j + k

1 (a + b). e =5 x O+ (-3) (-2) + 1 x 1 =712) a - b =-1 + j - k

3) (axb)=123j-1

-2kO1=-1-2j-k1 I (axb)'e=(-1)O+(-2)(-2) +(-1)1=31

o tambin:

4) a'b=2x3+(-1)(-2)+Oxl=8 I (a.b) e=8e=-16j+8k I

5) Teniendo en cuenta 3):

Problema 11-29.cular:1. (a. b) (e . d)3. (a. b) (e x d)

Dados dos vectores a (1, O,-1), b (1,3,O), e (2, -1,1) Y d (O,-2, -1). Cal-2. (a x b) . (e x d)4. (a x b) x (e x d)

Solucin1) a. b =1 x 1 + O x 3 + (-1) 0=1

I. d =2 x O + (-1)(-2) + 1 (-1) =1 I (a. b) (e. d) =111

2) (axb)=1111

(exd)=12 O

k-1 1=31- j + 3kOk11=31+2j-4k-1

jO3j-1-2

I (a x b). (e x d) =3x 3+(-1)2+3(-4)=-51

LGEBRA VECTORIAL 37

....a....b

Problema 11-27.

ax ay az 2 2 2V = a . (b x e) = bx by bz = 1 6 6 =20m3

Cx Cy Cz 1 -3 -1

1 j k(a-b)xe= -1 1 -1 =-1+ j+ 2kO -2 1

2 -1 O(a x b). e = 3 -2 1 =3O -2 1

1 J k(ax b ) x e = -1 -2 -1 =-41 + j + 2k

1 3 O


12/24

383) a. b =1

Ix d =31 + 2} - 4kCLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

I (a. b)(e x d) =31+ 2} - 4k I4)

Problema 11-30. Demustrese que si 0+ b + e = O, se verificaque o x b =b x e =e x a.Solucin

a+b+e=Ol

b x e =b x [- (a + b)] = (a + b) x b =a x b + b x b =a x bc x a =[-(a +b)]x a =a x(a +b)=a xa+ a xb =a x b

Problema 11-31. Demostrar la identidad de Lagrange: (a x b)2 + (o . b2 = a2b2, siendo:(o x b)2=(oxb) . (a x b) y (o. b)2=(o . b) (a. b).Solucin1.er MTODO:Calculemos: (a x b) . (e x d) (Producto escalar de cuatro vectores)Uamando m =e x d y empleando las propiedades del producto mixto y del doble producto vedo-rial:

(axb). (e x d)=m.(a x b)= a. (b xm)=a .[b x(ex d)]== a. [(b. d) c - (b . e )d]=(a .e ) (b. d) - (a. d) (b. c)

Si se hace e =a y d =b se obtiene:2 . MTODO:

a .b =ab cos tpy como: (a x b)2 = (a x b) . (a x b) = (la x bi)2ya que el producto escalar de un vector por s mismo es igual al cuadrado de su mdulo; obtenemos:

3.er MTODO: (a x b)2 = (a x b) . (a x b) = (ab sen rp)2=a2b2 sen2 rp(a. b)2 = (a . b) (a. b) = (ab cos rp)2 = a2b2 co~ rp

sumando:

Problema 11-32. Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica:(a x b) x (e x d) =(abd) e - (abe) d

SolucinUamand~: m =a x b, tendremos:(axb)x(exd)=mx( e x d)= (m. d)c - (m. e) d = [(ax b). d] e -[(a x b). c] d =(abd) e -(abe)d

B) TEORA DE MOMENTOSFORMULARIO .......~~(8\,\

Momento de un vector con respecto a un punto: Esunvector:

v(vx, Vy,vz)P(x, y, z)O(xo,Yo,zo)

N = r x v = OP x v = (P - O) x v

Momento de un vector con respecto a un eje: Es un escalarNe = prOYe(r x v) Momento de un vector respecto deun punto.

1 } k(a x b) x (e x d) = 3 -1 3 =-21 + 21} + 9k3 2 -4

j k=} N = r x v = Ix - Xo y- Yo z - ZoVx Vy Vz


13/24

(, vector de posicin de v respecto a cualquier punto del eje).Si cos a, cos p, cos y son los cosenos directores del eje, entonces:

Resultante de un sistema de vectores deslizantes. Momento resultante del sis-tema:R= f VI1= 1 nN = L 'i x VI1=1

Cambio de centro de reduccin (de O a O'): N'=N+O'OxREje central: Esel lugar geomtrico de los puntos del espacio para los cuales el momentodel sistema es mnimo, o lo que es lo mismo, el momento del sistema tiene la misma direc-cin que R.

TEORA DE MOMENTOS 39

Ne = proYe(1x v)

-+-+r, v e1C

Momento de un vector respecto deun eje.

Nx + Ryz - RzY - Ny + Rzx - Rxz = Nz + RxY - RyxRx Ry Rz

Torsor: Se define as al conjunto de vectores (R, NR) en el que R es la resultante del sistema de vectores y NR el momento m-nimo (que como ya hemos dicho tiene la direccin de R) cuyo valor es:

Su ecuacin es:

Sistemas de vectores ligados y paralelos: Supongamos n vectores aplicados VI' V2, .oo,Vn, todos ellos paralelos y cuyospuntos de aplicacin vienen definidos por '1 (Xl' Yl' Zl)' r2(x2' Y2,Z2), ..., 'n (Xn,Yn,Zn). SiR es la resultante de todos ellos y Nel momento resultante, stos sern siempre perpendiculares, y su torsor se reducir a R.Si llamamosu al vectorunitario que tiene la direccinde losvectores, tendremos: VI= vlu, siendoVIun nmero real, cuyovalor absoluto es igual al mdulo del vedar VI' con signo positivo o negativo, segn que el sentido del vedar VIsea el mismo oel contrario al del vedar unitario u. Obsrvese que en estas condiciones el mdulo del vector resultante R ser: R = k VI.

Si consideramos al sistema de vectores paralelos al eje 02, la ecuacin del eje central es:

Coordenadas del centro del sistema de vectores ligados y paralelos:LVIYi

1]=---

Problema 11.33. Elorigen de un vector es el punto A (3,-1,2) Ysu extremo B (1,2, 1); cal-cularsu momentorespectoa e (1,l, 2). Solucin

v=AB=B-A=-2i+3j-kI=CA=A-C= 2i-2j =>

Problema 11.34. Dados los vectores VI (-2,3,1) Y V2(-1, 3,2) ambos aplicados en el puntop (2,3, 2), calcular el momento del sistema respecto del punto A (-1, 0,2) Y comprubese quelaSUmade los dos momentos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicada en P.Solucin

r=AP=P-A=3i+3j

Problema 11-33.

'tt


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40 CLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REfERENCIA

-

Siendo la resultante: R = v + V2 =-3; + 6J + 3k

Problema 11-35. Hallarel valor de la expresin: a x Nc siendo: a (2, -1, 2), b (1, -2, 1) YNcel momento del vector b aplicando en el punto B (2,3,1) con respecto al punto e (1, 1, 1).Solucinl e' . MTODO: r = CB = B - C = i + 2J

Nc=rxb=11 1J2-2

kO1=2i - ) - 4k1

2. MTODO:Por la propiedad del doble producto vedorial:

a x Nc =a x (r x b) =r (a " b) - b (a . r)a (2, -1,2)b (1, -2, 1)r(l,2, O) l

a' b =2 xl + ( -1) (-2)+2 x 1=6a"r =2x 1+(-1)2+ 2x 0= O

Sustituyendo: IaxNc =(;+2)) 6-(i-2J+k)0=6i+12) IProblema 11-36. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionalesa 1, 5 y a, ysus componentes lo son al, a y p. Adems, sus momentos respecto de los ejes de coordenadas,son proporcionalesa 1, 2 Y3. Calcularlos valores de a yp.

SolucinSea v = (x, y, z) el vedor y A (a, b, c) su origen. Las coordenadas del origen verifican:

Ib= 5ac=aa (a)>

Por otro lado, sus componentes cumplen: ~-~-~1-a-{3 Iy=axz = {3x (b)>

Calculamos el momento del vedor v respecto del origen de coordenadas:N=I a Jb

Yke 1= (bz - cy); + (ex - az)) + (ay - bx) kx z

con lo que: bz - cy - ex - az - ay - bx--y- - z- --:3 (c)1 2bz - 2cy = ex - az3bz - 3cy =ay - bx=>sustituyendo (a) y (b) en (c), obtenemos:

10a{3x - 2a2ax =aax - a{3xI5af3x - 3a2ax =aax - 5ax / 1l{3 - 2a2 - a =O15{3 - 3a2 - a + 5 =O

que resuelto da las dos parejas de valores:y

Problema 11-37. Dado el vector v (3, -6, 8) cuyo origen es el punto P (2, 1, -2); calcular sumomento respecto al eje:

fI~:.i

i J kN=rxR= 3 3 O =9; - 9J + 27k-3 6 3

; J ka x Nc = 2 -1 2 =6;+12)2 -1 -4


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SolucinLa direccin de una recta en el espacio viene determinada por sus cosenos directores (cos a, cos 13,cos y)que son las componentes coordenadas del vector unitario e que perteneciendo al eje nos define su direc-cin. Si el eje pasa por un punto O (xo,Yo,zo) Ysu direccin viene definida por e su ecuacin ser:

x - Xo- y - Yo- z - Zocosa - cosf3 - cosy

La ecuacin de la recta dada es de la forma: x - Xo - y - Yo- z - Zo~ ;--~cos a C-:JS3 COSy JcOS2 a + COS213+ COS2y 1---;-=---;-=~ = ~a2 + b2 + C2 =~a2 + b2 + C2

luego en nuest ro problema: 2cosa=-: 3cosf3=-:Como el punto 0(2,5,3) pertenece al eje, entonces:

Problema 11-38. Calcular el momento del vedar v (1, -3, 2) de origen P (1, 1, O) respecto aleje que pasa por los puntos A (1, O, -1), y B (2, 1, 1).Solucin

La ecuacin del eje es: x-1 y-O z+le: 2-1 = 1-0 = 1+1luego:

cosa cosf3- cosy - 11=----Y- J61

cosa =J61cos 13=J62cosy= J6

Problema 11-39. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es RI =21+ j + 3k y queelmomentorespectodel origentiene por mdulo 2..f6 y es paraleloal vedar d =21+J - k. Alaadir un nuevo vedar v, el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el ejeOl. Obtener las componentes de v y su recta soporte.

SolucinEl momento del sistema original es:(d d d ) 17 (2. 1 1 )I =N d l+iJ+ dk =2'16 J6 r+ J6 J- J6 k =41+2J-2kLa nueva resultante ser de la forma: R = ak, por tener como recta soporte al eje OZ, y verificar:

R = R + v =} v = ak - 21- J - 3k = -21 - j + (a - 3) kSi llamamos (x, y, z) a las coordenadas de un punto de la recta soporte de 11,por ser el momento totalnulo, tendremos:

N=N+Nu=41+2J-2k+1 x-2jy-1

k y(a - 3)+z + 4=0-2z + x (3 - a)+ 2 =O2y- x - 2 = Oza- 3 =0

despejando x en la tercera y susti tuyendo en las otras dos, se obtiene:y (a - 3) + z + 4 = O

I2z + (3- a)(2y- 2)+ 2= Oay - 3y + z + 4 = O

Iay - 6y + 2z + 4 - 2a =O a=-2

TEORA DE MOMENTOS 41

2 3 6cosa cos 13 cosy 7 7 7 97N = x-xo y- Yo Z-Zo = O -4 -5 - 7IIx IIv IIz 3 -6 8

1 1 2J6 J6 J6 4N = 1-1 1-0 0-(-1) =J61 -3 2


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I v =-2' - j - 5k I

~ ~~~titi.~~(!f!......e(!f!..~;1.......f..;!.;!ti....ff!~...~e".-..ffIffe-...'"tif'f'L~I .

42 CLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

P (3, - 6, 2)

Problema 11-40.

Con este valor de a el sistema se soluciona para cualquier y, en particular para y = O, resultando x = -2,z = -4. Con todo ello, la recta soporte de v, paralela a v y que pasa por el punto (-2, O, -4), es:

I~=L=~I2 -1 -5Problema 11-40. Elpunto de aplicacindelvector v (6, -3, 4)sistemaOXYZ.Calclese:1. Momentodel vectorrespecto al origenO.2. Momentodel vectorrespectoal punto O' (2,3,1).

es el P (3, -6, 2) referidosa un

Solucin1) r=OP=3.-6j+2k

2) 1"'. MTODO: N'=N+O'OxR

0'0=0-0'=-2'- 3)-kI=v

.0'OxR=I-2 6

k-11=-lSI+2)+24k4

)-3-3luego: I N'=-33'+2) +Slk I

2. o MTODO:

r'=r-OO' r' = . - 9) + k

Problema 11-41. Dados los vectores deslizantes: VI (3,2, -3) Y V2 (6, -3, 2)puntos P1(2, -6, 4) Y P2(4,-1, -1), respectivamente,calclese:1. La resultantedelsistemade losdos vectores.2. Elmomento resultantecon respectoal origen.3. Elmomento resultantereferidoal punto O' (2,-1, 5).

que pasan por los

Solucin1) IR=VI + V2 =9. -) - k I2) r =2.- 6)+ 4k

I. =>r2=4, - ) - k3) N'=N+O'OxR

0'0= O -O' =-21 +) - Sk1 J k

0'OxR=I-2 1 -SI=-61-47)-7k9 -1 -1I N'=-I-43) +9k I

Problema 11-42. Dado el sistemade vectores: V (3, -6, 2) de origen P1(1,3, -2), V2(2,4, -6)de origen P2 (3, -2,1) y V3(1, -1,1) de origen P3(1, 3,O), encontrar la ecuacin el eje centraly el momento mnimo.Solucin

El vector resultante ser:Elmomento resultante respecto del origen de coordenadas ser:

. j kN=rxv= 3 -6 2 = -18' + 27k6 -3 4

. ) kN' = r' x v = 1 -9 1 = -33' + 2) +Slk6 -3 4

. ) k . ) kN =rl x vI + r2 x V2 = 2 -6 4 + 4 -1 -1 =S. + 4) + 16k3 2 -3 6 -3 2


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sustituyendo en la ecuacin del eje central nos quedar:

15 - 3~ + 3y - 11- :;- 6z -3 +~ + 3x IN.R RNR= R2 I

N, R =5 x 6 + 11 (-3)+(-3)(-3)= 61

R2 =36+9+9=54

Problema 11-43. Dado el sistema de vectores deslizantes:v (1,2, O) que pasa por el punto p (1,1,1)V2(-1, -1, 1) que pasa por el punto P2 (2,2,2)V3(O,1, 1) que pasa por el punto P3 (O,1,2)V4(2,2,2) que pasa por el punto P4 (1, O,1)

calcularel torsor del sistema. SolucinElvedor resultante del sistema es:

Calculemos el momento resultante del sistema respecto del origen de coordenadas:

corno:N. R= 2(-1)+4(-3)+ 4 x 3= -2

1R2 = 4 + 16 + 16 = 36 I NR = N.R R=-J R=-l:.,-~)-~k IR2 18 9 9 9

Problema 11-44. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres vectores de la fi-gura. Calcular:1. La resultante general.2. Elmomento del sistema respecto al origen.3. La ecuacin del eje central.

Los tres vectores considerados son:Solucin

v (a, O, O) de origen: p (O, 0, a)V2 (O, a, O) de origen: P2 (a, O, O)V3 (O, O, a) de origen: P3 (O, a, O)

1) La resultante general es: R = v + V2 + V32) Momento resultante respecto a O:

IR = a (i + j + k) I

N=N+N2+N3=10 a)OO

k )a~H~kOjO

I N =a2 (i + j + k) Ial+laO o O a

TEORADE MOMENTOS 43

)

zoII9L-----------.......

ayx

Problema11-44.

1 j kr x V= 11 3 -21=-61- 8j-15k3 -6 2

1 j kr2 x V2= I3 -2 11= 81+20)+16k I

=> N =51+11) - 3k2 4 -61 j k

r3 x V3= /1 3 O I= 31- )- 4k1 -1 1

1 j k 1 j kN =11 1 1 = -21 + ) + k N2= 2 2 21 = 41- 4)1 2 O -1 -1 11 )

; 1=-; N4 =1) k

N3=10 1 O 11=-2i+2kO 1 2 2


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44 CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA3) Calculemos el momento respecto de un punto P (x, y, z):

1 ka 1=a [(a+ z - y)i + ( a+ x - z)J + (a+ y - x)k]zN' = N + R x OP = a2 (i + 1 + k) + I a ax y

Si P pertenece al eje central se verifica que N' es palelo a R; la condicin de paralelismo nos da laecuacin del eje central:

a+z-y=a+x-z=a+y-x IZ-y=x-z=y-Xl>Problema 11-45. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales Rj =10; y R2=6; +8);los respectivos momentos mnimos tienen por mdulos 15 y 25. Calcular:1. El eje central del sistema total.2. El momento mnimo resultante.

1) La resultantegenerales:Solucin

R =R + R2 = 16i + 81Si N es paralelo a R, entonces NJ = 15iSi N2 es paralelo a Rz' cuyos cosenos directores son:

6 -~cos a =162 + 82 - 58 4cosp= 10=5

=> N2 =~25i + i251= 15i + 20j2 5Con todo ello: N=N +Nz=30i+20jSustituyendo en la expresin del eje central:

N x + Ryz - RzyRx

Ny -Rzx-Rxz =Nz +Rxy-RyxRy Rz

Ix =2y I14z =11=>

2) El momento mnimo es:N. R (30i + 20j). (16i + 8]) (16i + 8])NR=:rR 162+82 => I N R =32i + 16] 1

Problema 11-46. Dados los vectores deslizantes Vj (a, 1, O), V2(1, 1, 1) Y V3(O,-1, 2), cuyasrectas soporte pasan, respectivamente, por los puntos Pj (1,2,1), P2 (1, 1, 2) y P3 ( 1, 1, 1); cal-cular el valor de a tal que el sistema se reduzca solamente a su resultante, y encontrar la ecuacindel eje central.La resultante general es:

SolucinR =V + Vz+ V3=(a + 1) i +j + 3k

y el momento resultante respecto del origen:

N=11 121 ~H: k~I+I~k1 I=i + (a - 1)J - 2ak2

j11

11-1Si elsistema ha de ser reducible a un vector, el momento resultante ser perpendicular a R, y el momentomnimo ser nulo, es decir:

N.R=O (a + 1)+ 1(a -1)+3(-2a)= O =>>Para obtener la ecuacin del eje central , supongamos que P (x, y, z) es uno de sus puntos. El momentoN' respecto de P es nulo: N' = N + R x OP, y como: N = i - j y R = i + j + 3k, obtenemos:

N' = i - j + 11xj1Y

k31 = ( 1+ z - 3y) i + (-1 + 3x - z) j + (y - x) k =Oz

de donde: 1 + z - 3y = O-1+3x-z=O

y-x=O=> que es la ecuacin del eje central .

Problema 11-47. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos, Vj (2,1, -1), V2(8,4, -4) yV3(-4, -2, 2), aplicados en los puntos Pj (0,1,2), P2 (1, -1, O) y P3 (2,2, O), respectivamente.

r: ;e

..~f5~f5.,..~f5(I~~1f1rJt!.,~e-.,"~f!~e


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1. HaUarsu centro.2. Obtenerlaecuacindel eje centraldel sistema.Solucin1) Las coordenadas del centro (C) se obtienen de: LV,y,1]= --

(.CLCUW INFINITESIMAL VECTORIAL 45

{;=LV,Z,R

2) Si los vectores son paralelos el eje central pasa por el centro y es paralelo a la resultante, luego suecuacin es:

dvdt

siendo:R=LV,=61+3j-3k => R=..j36+9+9=3.../6 V= .../6

dvzdt

Consecuencia: La condicin que cumple un vector de direccin constante es tambin que: dvvx-=OdtEn efecto:si v = vu tendremos que: dv dv-=-udt dt => dv dv dvvx-=vu x-u=v-(u xu)=Odt dt dt c.q.d.Integracin: 1=fbV(t)dt= lm L v(t)~ta M~O i

obtenemos 5=.../6xO+4.../6 xl-2.../6 x2 -o3.../6.../6x 1+4.../6(-l)- 2.../6x 2 71]= 3.../6 --3

{; /6 x2+4.../6 x 0-2.../6 xO-~- 3.../6 3=> C(O,_?.. ~)' 3

en funcin de sus componentes coordenadas:

=>

C) CLCULO INFINITESIMALVECTORIALFORMUlARIO

Derivada de un vector respecto a un escalar: 1 ~v 1 v(t + M) - v(t)1m -= 1ml>I->OM /->O Mlas componentes coordenadas de dv/dt sern:Propiedades:

a) Si v =v (s) y s =s (t) obtenemos que: dv dv dsdi= ds dib) Si v (t)=a (t)+ b (t) tendremos: dv da db-=-+-dt dt dtc) Si a (t)=f(t) b (t) tendremos:

d) Derivada del producto escalar: d(aob)dt db daa.-+-obdt dte) Derivada del producto vedor: d(axb)dt db daax-+-xbdt dt


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46 CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIAProblema 11.48. Demostrar aplicando el concepto de lmite de un vector las frmulas:

d(a.b)dtdb dba.-+-.bdt dt d(axb)dt

db daax-+-xbdt dtSolucin

Tendremosen cuenta que la derivada de una funcin y=f (x) con respecto a la variable es por defi.nicin:dy = lm Lly= lm f(x+ Llx)- f(x)dx ""-+OLlx ""-+0 Llx

y que la derivada de un vector v =v (t) con respecto a la variable escalar t es por definicin:dv = lm Llv= lm v(t + Llt)- v(t)dt i>t-+OM i>t-+O Llt

Supongamosque a = a (t) y b = b (t). Si llamamosp al escalar a' b:dp =d (a. b) = lm Llp = lm a(t + Llt). b(t + Llt)- a(t). b(t)dt dt dI -+o Llt i>t+o Llt

Sumando y restando al numerador a (t+ Llt) .b (t) nos queda:1 a(t + Llt). b(t + Llt)- a(t + M' b(t) + a(t + M' b(t) - a(t). b(t)1mi>t+o Llt

= lm a(t+M).b(t+M-b(t)+ lm a(t+M)-a(t).b(t)i>t-+O Llt i>t-+O LltAl tender M ~ O la funcin a(t + M) tender a a(t) luego: d (a .b) =a . db + da . bdt dt dtEl clculo para el producto vectorial es el mismo sin ms que sustituir el . por x.

Problema 11-49. Dado elvector: a =A (cosmt 1+senmtj)variable escalar independiente, se pide:1. Hallarsu mduloy la derivadade ste.2. da/dt y Ida/dt I3. Demostrarque a y da/dt son perpendiculares.Solucin

donde A Ym son constantes y t esla

Siendo el mdulo del vedor a constante, la derivada del mdulo ser nula.2) da =A (-w sen wt i + w cos wt J)=Aw (-sen wt i + cos wt J)dt

I ~: I =~A2w2 sen2 wt + A2w2 COS2wt =Awa .da =Odt) Sern perpendiculares si:

en efecto: a' da =_A2W sen wt cos wt + A2w sen wt cos wt =Odtlo cual tena que ocurrir , puesto que todo vedor de mdulo constante es siempre perpendicular a suvedor derivada.

Problema 11-50. Si v es un vectorfuncinde un parmetro t demostrarque:1. Si v es constante en direccin, entonces v x dv/dt = O.2. Si v es constante en mdulo, entonces v' dv/dt = O.Solucin

En general: v=vu dv d (vu) du dv-=-=v-+-udt dt dt dtu=- v=>

1) Si v es constante en direccin u no vara: dv dv-=-udt dt>luego la derivada del vedor v es un vedor en la direccin de v en consecuencia:


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cLcuLO INFINITESIMAL VECTORIAL 472) Si v constanteen mdulo ,/ tambin lo ser, luego:

0= d (U2) = d (v . v) = v' dv + dv . v =2v . dvdt dt dt dt dt =>Problema 11-51. Dados los vectores: a (2t, sen t, O), b (0,2 cos t, t2). Calcular:1. d(a+b)dt4. dlaxbldt

2 d(a.b). dt5. !!...( da. b)t dt

3. d(axb)dt6. !!...( a X'b)t a.b

Solucin1) a + b =2tl + (sen t + 2 cos t) j + t2k d(a+b) =2i+(cost-2sent)j+2tkdt=>2) a' b = 2 sen t cos t = sen 2t d(a.b) =2cos2tdt=>

i3) axb=12tO

kO I=t2 sen t i - 2t3j + 4t cos t kt2

jsen t2cost

d (a x b) =(2t sen t + t2 cos t) i - 6t2 j + (4 cos t - 4t sen t) kdt

dlaxbldt

4t3 sen2t + 2t4 sen t cos t + 24tS +32t cos2t - 32t2 cos t sen t2 ~t4 sen2t + 4t6 + 16t2 cos2t

12t4 + 2e sen2t +16cos2t + t (~t2 - 8)sen 2t~t2sen2t+4t4+16cos2tda5) -=2i+costjdt

da. b = 2 COS2dt=> d (da )-.b =-4costsent=-2sen2tdt dt

6) axb = t2 sent i-~j+ 4tcost k=~i-~j+~ka .b sen 2t sen 2t sen 2t 2 cos t sen 2t sen td ( x b)t a.b 4t cos t + 2t2 sen t i - 6t2 sen2t - 4t3 cos2t j + 2 sen t - 2t cos t k4cos2t sen22t sen2t

Problema 11-52. Dados los vectores: a (t2,t, 1), Y b (1, t, t + 1). Calcular:1. f(a+b)dt 2. f(a'b)dt 3. f(aXb)dt

Solucin1) a + b =(t2 + 1) f + 2t} + (t + 2) k

=>i3) a x b =It21

k1

t+1

jtt

-


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48 CLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Problema 11-53. Dado el escalar (funcin de punto): a =X2yZ + 3X2Z - y; calcular la integralde lnea:fcadr

a lo largo de la curva y =X2, Z=2, cuando se pasa desde el punto A (1, 1,2) al B (2,4,2).(dr = dx i + dy j + dz k)

Solucin

como:

i 1 14' 12 [ 2 3 5 2 ]4 159ady = (X2yz+ 3X2z - y)dy = (2y2 +6y - y)dy = (2y2 + 5y)dy = ...L..+...L.. =-c 1 1 1 3 2 1 2r d =361 i 159 jJca r 15 + 2or tanto:

Problema 11-54. Dado el vector (Vector campo): v =(x + y)2 i + xyj; calcular la integral (circu-lacin):(dr =dx i + dy j)

a lo largo de la recta y =x + 1 desde elpunto A (0,1) al B (1,2).Solucin

como:1 1

111

11

[4X3

]1 13vxdx= (x+y)2dx= (2x+1)2dx= (4X2 +4x+1)dx= _+2X2 +x =-e o o o 3 03

1 12

12

[3 2

] 2 5vydy= xydy= (y2 -y)dy= L_L =-e 1 1 3 2 1 6Problema 11-55. Dado el vector: v =(x - Z)2i + xj + (y - Z)2k; calcular la integral de lnea:

(dr =dx i + dy j + dz k)a lo largo de la curva x =i, z =O, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, O) al B (4,2, O).

Solucin

como:

i 14 14 [X2 ] 15lJ.dx= (y-z)2dx= xdx= - =-e 1 1 212

....ef!.....t!f!f!~..e..""f!f~..~~e.."(ttfff","e(\


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por tanto:I rvxdr=_Z-i+1S 1_13klc 3 2 10

D) COORDENADAS POLARES PLANASFORMULARIO

y

Ur = cos cpi + sen cpju", = -sen cpi + cos cpj

r =~Xz + yZi = cos cpUr - sen cpu",j = sen cpUr + cos cpu",

x = reos cpcp= arctg ~

xy = r sen cp

EJE POlAR .Coordenadas polares planas. Vecto-res unitarios perPendiculares.

Problema 11-56. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud p, y forma con el se-miejeOXpositivo un ngulo a. Tomando el origen como polo y el eje OX como eje polar, obtenerlaecuacin de la recta en coordenadas polares.

SolucinLa ecuacin cartesiana de la recta es: y =x tg a + OBel segmento OB mide: OB = P P PA. --cosQOB cos(n- a) cosacon lo que sustituyendo x e y por sus expresiones: x = r cos '{I, y = r sen 'P, obtenemos:

sen a prsen '{I=rcos'{l---cosa cosa p = r (cos 'Psen a - sen 'Pcos a) => Ip =r sen (a - '{I)I>Problema 11-57. Dos puntos estn definidos por sus coordenadas polares (rl' CPI)y (rz,!{Jz).Obtener la expresin de la distancia entre ambos.

SolucinDe la figura, y aplicando el teorma del coseno, tenemos directamente:

Id -= ~rl +rf - 2rrZ cos ('{Iz- 'PI) ISe puede obtener la ~isma expresin partiendo de la distancia en cartesianas y pasando stas a polares;es decir, si las coordenadas cartesianas de ambos puntos son p (x, VI) y Pz (xz, yz), obtendremos lamisma expresin anterior operando con las siguientes igualdades: .

I

XI =rl cos 'PYI=rl sen 'PI I Xz =rz cos 'PzYz = rz sen 'Pz

Problema 11-58. Obtener la ecuacin en polares de una elipse, considerando un foco como poloy el eje mayor como eje polar. S l . ,o uClon

Laelipsees el lugarqeomtricode lospuntos cuyasuma de distanciasa dos fijoses constante:PF + PF' = 2a

En polares, las coordenadas de los focos son: para F; r = O, 'P=O, YparaF'; r =2c, '{I= n. .Utilizando la expresin obtenida en el problema anterior para la distancia entre dos puntos, tenemos:r + ~rz + (2c)z - 2r2c cos (n - '1') =2a ~rz + 4cz + 4cr cos '{I=2a - r =>

COORDENADAS POLARES PlANAS 49

y

x

Relac~n entre (ur' iZ, ,) y los cartesia-nos (i, j).

yB

xProblema 11-56.

EJE POLAR

Problema 11-57.


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50C2+ cr cos 'P= a2 - ar

CLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Problema 11-58.

dP'

Problema 11-59.

r (a + ecos 'P)=a2 - C2teniendo en cuenta que a2 - c2 =b2 y haciendo da =e (excentricidad) y b2/a=p se obtiene:

r= pl+ecos'PSi hubisemos considerado el foco F' como polo, las coordenadas de F seran r =2c, tp=O y la ecua.cin resultante tendra en el denominador una diferencia en lugar de una suma. As pues, la ecuacin sepuede poner en la forma general siguiente:

I r= H~ostp Isegn que el corte ms prximo al foco,de la curva con el eje polar,corresponda a tp= O o a tp=n.

Problema 11-59. Obtener la ecuacin de una parbola en coordenadas polares, considerando elfoco como polo y el eje polar perpendicular a la directriz.Solucin

En la parbola las distancias de un punto al foco y a la directriz son iguales: PF =PP'.PF=r

IP' = p - r cos tp r=p-rcostppr=-

l+costpque coincide con la ecuacin de la elipse (y se puede demostrar que tambin con la de la hiprbola), yaque en la parbola es e =1.Si el punto de corte de la curva en el eje es en tp=7C, el signo del denominador es menos en lugar dems. En general:

Problema 11-60. Cambiar a cartesianas o polares, segn corresponda, las expresiones de las cur-vas siguientes:1. (X2 + y2)2 =4 (X2 - y2). 2. r=sen cp/(l + tg cp)Solucin1) Con elcambio x=r cos tp, y =rsen tp. obtenemos:

I r2 =4 cos 2'P I ......f!..-....'"f!.-.-C~IJ!...-......'"

2) Teniendo en cuenta que: sen 'P=fr' ygtp=.fxy~ l+fx

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