TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Hay varias razones por las cuales la Hay varias razones por las cuales la trisección del ángulo difiere de los otros trisección del ángulo difiere de los otros problemas clásicos griegos. Primero, no problemas clásicos griegos. Primero, no hay una historia real que relate la hay una historia real que relate la manera cómo el problema llegó a ser manera cómo el problema llegó a ser estudiado por primera vez. Segundo, es estudiado por primera vez. Segundo, es un problema de otro carácter; no es un problema de otro carácter; no es posible cuadrar un círculo ni duplicar un posible cuadrar un círculo ni duplicar un cubo; sin embargo, sí es posible trisecar cubo; sin embargo, sí es posible trisecar ciertos ángulos. ciertos ángulos.

HIPÓCRATESHIPÓCRATES

Hipócrates Hipócrates , hizo la primera , hizo la primera contribución principal a los problemas contribución principal a los problemas de ajustar un círculo y de doblar un de ajustar un círculo y de doblar un cubo, también estudió el problema de cubo, también estudió el problema de la trisección de un ángulo.la trisección de un ángulo.

Hay una manera bastante directa al Hay una manera bastante directa al trisectar cualquier ángulo que era trisectar cualquier ángulo que era conocido por Hipócrates .conocido por Hipócrates .

Funciona de la siguiente manera. Dado un ángulo Funciona de la siguiente manera. Dado un ángulo CABCAB dibujamos dibujamos CDCD perpendicular a perpendicular a ABAB que corta este segmento que corta este segmento en en DD. Completamos el rectángulo . Completamos el rectángulo CDAFCDAF. Prolongamos . Prolongamos FCFC hasta hasta EE y dibujamos la línea y dibujamos la línea AEAE que corta que corta CDCD en en HH. . Determinaremos el punto Determinaremos el punto EE de manera que se cumpla que de manera que se cumpla que HEHE = 2 = 2ACAC. De esta forma el ángulo . De esta forma el ángulo EABEAB es 1/3 del ángulo es 1/3 del ángulo CABCAB. . Veamos que Veamos que GG es el punto medio de es el punto medio de HE HE de manera que de manera que HGHG = = GEGE = = ACAC. Ya que . Ya que ECHECH es un ángulo recto, es un ángulo recto, CGCG = = HGHG = = GEGE. . Así, el ángulo Así, el ángulo EABEAB = ángulo = ángulo CEACEA = ángulo = ángulo ECGECG. También . También como como ACAC = = CGCG tenemos el ángulo tenemos el ángulo CAGCAG = ángulo = ángulo CGACGA. Pero . Pero el ángulo el ángulo CGACGA = ángulo = ángulo GECGEC + ángulo + ángulo ECGECG = 2 × = 2 × CEGCEG = 2 × = 2 × EABEAB como se solicitaba. como se solicitaba.

ArquímedesArquímedes

Arquímedes (287-212 a.C.), notable Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánicay del espacio, aritmética y mecánica..

Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto.Alejandría, Egipto.

Arquímedes plantea una solución de tipo Arquímedes plantea una solución de tipo

mecánico:mecánico: Dado un ángulo Dado un ángulo CABCAB dibujamos un círculo con el dibujamos un círculo con el centro en centro en AA de manera que de manera que ACAC y y ABAB son radios del son radios del círculo. Desde círculo. Desde CC dibujamos una línea que corta la dibujamos una línea que corta la extensión de extensión de ABAB en en EE. Vemos que esta línea corta el . Vemos que esta línea corta el círculo en círculo en FF y tiene la propiedad que y tiene la propiedad que EFEF es igual al es igual al radio del círculo. De nuevo esto puede hacerse de radio del círculo. De nuevo esto puede hacerse de forma mecánica marcando una longitud igual al radio forma mecánica marcando una longitud igual al radio del círculo en la regla y moviéndola teniendo una del círculo en la regla y moviéndola teniendo una marca en la extensión de marca en la extensión de BABA y la segunda marca en el y la segunda marca en el círculo. Movemos la regla manteniendo una marca en círculo. Movemos la regla manteniendo una marca en la línea y otra en el círculo hasta que la línea pase por la línea y otra en el círculo hasta que la línea pase por CC. Entonces la línea . Entonces la línea ECEC ya está construida. Finalmente ya está construida. Finalmente dibujamos desde dibujamos desde AA el radio el radio AXAX del círculo con del círculo con AXAX paralelo a paralelo a ECEC. Así . Así AXAX triseca el ángulo triseca el ángulo CABCAB. . Es bastante sencillo de ver. El ángulo Es bastante sencillo de ver. El ángulo XACXAC = ángulo = ángulo ACFACF = ángulo = ángulo CFCF = ángulo = ángulo FEAFEA + ángulo + ángulo FAEFAE = 2 × = 2 × ángulo ángulo FEAFEA = 2 × ángulo = 2 × ángulo XABXAB

NicomedesNicomedes

Vivió aproximadamente en el tiempo de Arquímedes (en Vivió aproximadamente en el tiempo de Arquímedes (en el segundo siglo a.C.) y produjo su famosa curva el segundo siglo a.C.) y produjo su famosa curva concoide. De hecho, Nicomedes inventó precisamente concoide. De hecho, Nicomedes inventó precisamente esta curva para formalizar el proceso que hemos esta curva para formalizar el proceso que hemos descrito de rotar una regla manteniendo un punto en una descrito de rotar una regla manteniendo un punto en una línea. La regla tiene una distancia fija marcada en sí línea. La regla tiene una distancia fija marcada en sí misma y se mantiene una marca en una línea dada misma y se mantiene una marca en una línea dada mientras los otros puntos definen una curva concoide. mientras los otros puntos definen una curva concoide.

Ésta es exactamente la curva necesaria para solucionar Ésta es exactamente la curva necesaria para solucionar el problema de trisecar el ángulo mencionado el problema de trisecar el ángulo mencionado anteriormente y es así como Nicomedes consiguió anteriormente y es así como Nicomedes consiguió resolverlo. El método de Nicomedes fue de un interés resolverlo. El método de Nicomedes fue de un interés más teórico que práctico más teórico que práctico

Trisección de un ángulo agudo usando la Concoide de Trisección de un ángulo agudo usando la Concoide de

NicomedesNicomedes Trazamos un ángulo agudo, en nuestro caso Trazamos un ángulo agudo, en nuestro caso

el el ángulo (AOB)ángulo (AOB).. Trazamos una rectaTrazamos una recta perpendicular al lado perpendicular al lado AOAO. .

Esta recta cortará a lado Esta recta cortará a lado AOAO en en AA y al lado y al lado OBOB en en BB..

Construimos la Concoide de Nicomedes con Construimos la Concoide de Nicomedes con los siguientes elementos:los siguientes elementos:

Como Polo el punto Como Polo el punto OO.. Como constante la distancia de Como constante la distancia de OO a a BB, es , es

decirdecir k=dist(O,B). k=dist(O,B). Usaremos como Usaremos como directrizdirectriz, la recta que , la recta que

trazamos perpendicular al lado trazamos perpendicular al lado AOAO

Trazamos una recta perpendicular a la Trazamos una recta perpendicular a la directrizdirectriz que que pase por pase por BB, y que cortará a la concoide de Nicomedes , y que cortará a la concoide de Nicomedes en el punto en el punto QQ..

Como se puede comprobar en la escena (recuerda, Como se puede comprobar en la escena (recuerda, comprobar no es demostrar), el comprobar no es demostrar), el ángulo (AOQ) ángulo (AOQ) es la es la tercera parte del tercera parte del ángulo (AOB)ángulo (AOB)..

Hipías Hipías

Nació en Elis (Peloponesio) sobre el 430 a.C, Nació en Elis (Peloponesio) sobre el 430 a.C, fue un estadista y filósofo que viajó de un lugar a fue un estadista y filósofo que viajó de un lugar a otro cobrando por sus servicios. Disertó sobre otro cobrando por sus servicios. Disertó sobre poesía, gramática, historia, política, matemáticas y poesía, gramática, historia, política, matemáticas y astronomía. astronomía.

Cuadratriz de HipíasCuadratriz de Hipías

Después de la recta y la circunferencia, esta es la primera recta Después de la recta y la circunferencia, esta es la primera recta que se dibujo (siglo V a.C.), apareció incluso antes que las que se dibujo (siglo V a.C.), apareció incluso antes que las cónicas. Esta curva se define como el lugar geométrico de los cónicas. Esta curva se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que son intersección de dos recta que puntos del plano que son intersección de dos recta que cumplen las siguientes condiciones:cumplen las siguientes condiciones:

Una recta es horizontal y se mueve a velocidad constante en Una recta es horizontal y se mueve a velocidad constante en dirección vertical.dirección vertical.

Otra gira con velocidad constante.Otra gira con velocidad constante. En el instante inicial ambas rectas son perpendiculares y en el En el instante inicial ambas rectas son perpendiculares y en el

instante final coinciden.instante final coinciden.

Aunque su nombre es Cuadratriz, para nosotros debería ser Aunque su nombre es Cuadratriz, para nosotros debería ser Trisectriz, ya que la vamos a utilizar para trisecar un ángulo Trisectriz, ya que la vamos a utilizar para trisecar un ángulo agudo. En realidad con esta curva se puede dividir un ángulo agudo. En realidad con esta curva se puede dividir un ángulo en un número cualquiera de partes iguales.en un número cualquiera de partes iguales.

Su ecuación es la siguiente:Su ecuación es la siguiente:

Trisección de un ángulo agudo Trisección de un ángulo agudo con la Cuadratriz de Hipías.con la Cuadratriz de Hipías.

Construimos el cuadrado de vértices (0,0);(1,0);(1,1) y Construimos el cuadrado de vértices (0,0);(1,0);(1,1) y (0,1).(0,1).

Trazamos el ángulo, colocando su vértice sobre el Trazamos el ángulo, colocando su vértice sobre el Origen y lado sobre el eje horizontal, el otro lado Origen y lado sobre el eje horizontal, el otro lado cortara a la cuadratriz en el punto Q.cortara a la cuadratriz en el punto Q.

Por Q trazamos una recta horizontal que cortará al Por Q trazamos una recta horizontal que cortará al lado del en el punto D, como se muestra en la escena lado del en el punto D, como se muestra en la escena de abajo.de abajo.

Se divide el segmento AD en tres partes iguales Se divide el segmento AD en tres partes iguales usando el teorema de Tales, consiguiendo los puntos usando el teorema de Tales, consiguiendo los puntos B,C.B,C.

Trazando una horizontal por B, se obtienen en la Trazando una horizontal por B, se obtienen en la Cuadratriz el punto P que nos proporciona la trisección Cuadratriz el punto P que nos proporciona la trisección del ángulo. del ángulo.

Que el ángulo así obtenido es la tercera parte es Que el ángulo así obtenido es la tercera parte es evidente pues las rectas horizontal y la otra se evidente pues las rectas horizontal y la otra se desplazan a la misma velocidad que además es desplazan a la misma velocidad que además es constante, y por lo tanto cuando la horizontal constante, y por lo tanto cuando la horizontal recorre dos tercios del segmento AD, la otra recorre dos tercios del segmento AD, la otra recta gira los dos tercios del recta gira los dos tercios del ángulo (AOQ)ángulo (AOQ) . .

Trisectriz de MacLaurin (año 1742)Trisectriz de MacLaurin (año 1742)

Es una curva que fue Es una curva que fue estudiada por Colin estudiada por Colin MacLaurin (1698 a MacLaurin (1698 a 1746) en 1742 cuatro 1746) en 1742 cuatro años antes de morir, años antes de morir, para intentar dar para intentar dar solución al problema solución al problema de la trisección del de la trisección del ángulo, de ahí su ángulo, de ahí su nombre de Trisectriz. nombre de Trisectriz.

Hay que decir que efectivamente consiguió trisecar un ángulo Hay que decir que efectivamente consiguió trisecar un ángulo pero no como los antiguos griegos querían, pues la curva que pero no como los antiguos griegos querían, pues la curva que inventó no se puede trazar sólo con regla y compás, y aunque inventó no se puede trazar sólo con regla y compás, y aunque hoy en día con las nuevas tecnologías es realmente fácil hoy en día con las nuevas tecnologías es realmente fácil dibujarla con mucha precisión, debemos reconocer el mérito dibujarla con mucha precisión, debemos reconocer el mérito

de este hombre para dibujarla en susde este hombre para dibujarla en sus tiempos.tiempos.

  

Trisección de un ángulo agudo con la Trisección de un ángulo agudo con la

Trisectriz de MacLaurinTrisectriz de MacLaurin.. Colocamos el vértice del ángulo en el punto Colocamos el vértice del ángulo en el punto

(2*a , 0) (2*a , 0) y un lado sobre el eje y un lado sobre el eje OXOX en sentido en sentido positivo.positivo.

El lado del ángulo cortará a la Trisectriz de El lado del ángulo cortará a la Trisectriz de MacLaurin en el Punto MacLaurin en el Punto QQ..

El El ángulo (AOQ)ángulo (AOQ) es un tercio del es un tercio del ángulo ángulo (ABQ)(ABQ)

La cicloide de Ceva (1699)La cicloide de Ceva (1699)

Tommaso Ceva jesuita y filósofo, nació en Milán el 21 de diciembre Tommaso Ceva jesuita y filósofo, nació en Milán el 21 de diciembre de de 1648 y murió también en Milán el 23 de Febrero de 1737.Era de de 1648 y murió también en Milán el 23 de Febrero de 1737.Era hermano de Giovanni Ceva que es mas conocido por su teorema hermano de Giovanni Ceva que es mas conocido por su teorema (El teorema de Ceva).(El teorema de Ceva).

Tommaso Ceva enseñó matemáticas en Milán en el colegio Brera y Tommaso Ceva enseñó matemáticas en Milán en el colegio Brera y a él se debe la construcción de un aparato mecánico par trazar la a él se debe la construcción de un aparato mecánico par trazar la

cicloide de Ceva (su cicloide), con la cual pudo trisecar un ángulo. cicloide de Ceva (su cicloide), con la cual pudo trisecar un ángulo.  La ecuación de cicloide de Ceva es la siguiente:La ecuación de cicloide de Ceva es la siguiente:

Trisección de un ángulo usando la Trisección de un ángulo usando la cicloide de Ceva.cicloide de Ceva.

El punto A define el ángulo AOB.El punto A define el ángulo AOB. Trazamos por A una paralela al lado OB, es decir paralela al eje OX.Trazamos por A una paralela al lado OB, es decir paralela al eje OX. Si G se sitúa en la intersección de la recta anterior con el lazo mayor Si G se sitúa en la intersección de la recta anterior con el lazo mayor

de la cicloide de Ceva , el ángulo BOG es la trisección del ángulo de la cicloide de Ceva , el ángulo BOG es la trisección del ángulo AOB.AOB.

Para cada ángulo que definas moviendo el punto A sitúa el punto G en Para cada ángulo que definas moviendo el punto A sitúa el punto G en el lugar correspondiente para obtener la trisecciónel lugar correspondiente para obtener la trisección..

Apolonio de PergaApolonio de Perga

Era conocido como 'el Era conocido como 'el gran geómetra'. Nació: gran geómetra'. Nació: alrededor del 262 a. de C. alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Jónica (ahora Murtina, Antalia,Turquía) Antalia,Turquía) Murió: alrededor del 190 Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, a. de C. en Alejandría, Egipto. Egipto.

Pappo escribe sobre cómo el problema Pappo escribe sobre cómo el problema de trisecar un ángulo fue resuelto por de trisecar un ángulo fue resuelto por Apolonio usando las cónicas, da las dos Apolonio usando las cónicas, da las dos soluciones que involucran dibujar una soluciones que involucran dibujar una hipérbola. hipérbola.

La primera muestra que si La primera muestra que si ABAB es una es una línea fija, entonces tenemos un punto línea fija, entonces tenemos un punto geométrico geométrico PP de manera que 2 × ángulo de manera que 2 × ángulo PABPAB = ángulo = ángulo PBAPBA es una hipérbola. La es una hipérbola. La hipérbola tiene excentricidad 2, foco en hipérbola tiene excentricidad 2, foco en BB y su directriz es la perpendicular de la y su directriz es la perpendicular de la bisectriz bisectriz ABAB. La hipérbola se muestra en . La hipérbola se muestra en la izquierda de los dos diagramas. El la izquierda de los dos diagramas. El diagrama de la derecha muestra cómo la diagrama de la derecha muestra cómo la hipérbola puede usarse para trisecar el hipérbola puede usarse para trisecar el ángulo ángulo AOBAOB. . Fijémonos en que, debido a la propiedad Fijémonos en que, debido a la propiedad de la hipérbola vista anteriormente, 2 × de la hipérbola vista anteriormente, 2 × ángulo ángulo PABPAB = ángulo = ángulo PBAPBA. Pero 2 × . Pero 2 × ángulo ángulo PABPAB = ángulo = ángulo POBPOB (el ángulo en (el ángulo en el centro del círculo es dos veces el el centro del círculo es dos veces el ángulo en la circunferencia que hay en el ángulo en la circunferencia que hay en el mismo arco) Así, 2 × ángulo mismo arco) Así, 2 × ángulo POBPOB = = ángulo ángulo POAPOA como se solicitaba. como se solicitaba.

Pappus de AlejandríaPappus de Alejandría

Pappus (Papo) de Alejandría nació Pappus (Papo) de Alejandría nació alrededor del año 290 en Alejandría, alrededor del año 290 en Alejandría, Egipto. Fue el último gran geómetra Egipto. Fue el último gran geómetra griego que al parecer vivió siempre griego que al parecer vivió siempre en Alejandría. Dedicó muchos de sus en Alejandría. Dedicó muchos de sus trabajos a Pandrosion, Megethion y trabajos a Pandrosion, Megethion y Hermodorus, éste último al parecer Hermodorus, éste último al parecer fue su hijo. En los escritos de Proclus fue su hijo. En los escritos de Proclus se menciona a Pappus como el que se menciona a Pappus como el que encabezaba la Escuela de Alejandría.encabezaba la Escuela de Alejandría.

Trisección dada por papusTrisección dada por papusDado el ángulo recto Dado el ángulo recto CABCAB dibujamos un dibujamos un círculo que corta círculo que corta ABAB en en EE. Dibujamos un . Dibujamos un segundo círculo (con el segundo círculo (con el mismo radio) con el mismo radio) con el centro en centro en EE hasta que hasta que corta el primer círculo corta el primer círculo en en DD. Entonces . Entonces DAEDAE es es un triángulo equilátero un triángulo equilátero y el ángulo y el ángulo DAEDAE es de es de 60° y 60° y DACDAC es de 30°. es de 30°. Ya tenemos el ángulo Ya tenemos el ángulo CABCAB trisecado. trisecado.