Problemas Clásicos de Grecia

Duplicado del Cubo

Problema de la duplicación del cubo

Si el volumen del cubo original es a3, el problema equivale a construir un segmento de longitud x, tal que x3=2 a3.

X

X

Historia del problema En el año 429 a. C.,

Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la peste que atacaba muy severamente la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Délos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber como poder detener la epidemia.

Historia del problema La respuesta a la consulta

del Oráculo es que debían elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplique el del altar que ya existía. Lo intentaron, pero no lograron evitar el desastre por este medio. La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.

Historia del problema Eratóstenes, es su obra titulada

Platonicus relata que, cuando el dios anunció a los delianos a través del oráculo que, para deshacerse de una plaga, debían construir un altar del doble del que había, sus artesanos fueron a preguntarle al respecto a Platón, quien respondió que el oráculo quería decir que el dios, al imponerles la tarea, quería avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio por la geometría.

Historia del problema Eutocio, en su comentario Sobre la esfera y el

cilindro de Arquímedes, dio otra versión. Esta se supone que es una carta escrita por Eratóstenes al Rey Tolomeo y, aunque la carta es una falsificación, el escritor sí cita algunos escritos genuinos de Eratóstenes .

Historia del problema

La anécdota dice que uno de los poetas trágicos antiguos representaba a Minos haciendo construir una tumba para Glauco y que, cuando Minos descubrió que la tumba medía cien pies de cada lado, dijo 'Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. Sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba. Esto claramente era un error. Ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho.

Historia del problema Esta anécdota relata un episodio de la

mitología griega más que hechos históricos. Sin embargo, los descubrimientos en Cnosos, en Creta, en tiempos relativamente recientes han mostrado que, al menos parcialmente, estos cuentos de la mitología están basados en acontecimientos históricos.

Los orígenes del problema

No queda duda de que los griegos sabían desde mucho antes cómo resolver el problema de duplicar el cuadrado.

Así, tomar un cuadrado ABCD y dibujar la diagonal DB. Construir un cuadrado BDEF usando BD. De ahí es fácil ver que BDEF es el doble de ABCD.

¿Un problema sin solución?

Aunque el objetivo original de la construcción se ha demostrado imposible, el problema ha dado lugar a interesantes construcciones y los griegos introdujeron numerosas curvas como instrumento para su solución. Entre ellas cabe destacar a las cónicas de Menecmo y la cisoide de Diocles

Los primeros intentos El primero en abordar el problema sin éxito

fue el griego Hipócrates de Quíos. Basándose en el mismo planteamiento lo intentaron otros matemáticos posteriores, tales como Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, pero todos ellos presentan soluciones aproximadas, en ninguna de las cuales puede resolverse el problema en forma exacta.

Hipócrates de Quíos Fue un matemático griego del siglo V a. C.

Nació en la isla de Quíos, enfrente de las costas de la actual Turquía. Fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamarlos, se trasladó a Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la  ingenuidad que suponía en un extranjero creer que se le iba a hacer justicia.

Hipócrates de Quíos

Otros historiadores opinan que la presencia de Hipócrates en la capital del Ática obedeció al intento de recuperar las mercancías de uno de sus barcos apresados por piratas atenienses en las proximidades de Bizancio, lo cual era también una tontería .

Asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.

Solución de Hipócrates Demostró que el problema de

duplicar el volumen de un cubo puede reducirse a encontrar dos medias proporcionales entre la arista dada y el doble de la misma. Con la notación actual resulta y a partir de ellas x2 = a y ; y2 = 2a x

Si consideramos a = unidad podemos obtener el valor de la arista del cubo buscado mediante la intersección de las parábolas x2 = y e y2 = 2 x tal como aparece en la gráfica

EuclidesSu vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría,

Egipto. Algunos autores árabes afirman que Euclides era hijo de

Naucrates y se barajan tres hipótesis: Euclides fue un personaje histórico que escribió Los

Elementos y otras obras atribuidas a él. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que

trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides.

Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

EuclidesEn los Elementos demuestra que los siguientes dos problemas son equivalentes: 1. Encontrar un cuadrado cuya razón a un cuadrado dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas. 2. Dadas dos líneas, encontrar una media proporcional entre ellas, es decir, dadas las líneas a, b encontrar x tal que a : x = x : b. De nuevo, un argumento moderno dice a 2 : x 2 = (a : x) 2 = (a : x)(x : b)= a : b, lo que demuestra que dado un cuadrado de lado a entonces, si construimos un cuadrado de lado x, este tiene un área igual a b : a veces la del cuadrado de lado a. Euclides, en el Libro VI de los Elementos no solo muestra la equivalencia ente (1) y (2) sino que muestra cómo puede usarse (2) para resolver (1)

Menecmo

En el siglo IV a.C ya había hallado la solución mediante la intersección (con el lenguaje actual) de una parábola y una hipérbola (y = 2/x) al considerar los miembros primero y tercero de la proporción a : x = y : 2a

y primero y segundo a : x = x : y que para a = unidad Su resolución se reduce a hallar la intersección de la curva x2=ay con xy=ab y es así como aparecen lo que nosotros llamamos parábola e hipérbola equilátera

Arquitas

(428 a. C. en Tarento, Magna Grecia (hoy Italia)—347 a. C.) fue un filósofo, matemático, astrónomo, estadista y general contemporáneo de Platón.Fue hijo de Hestiaios o Mneságoras. Arquitas perteneció a la escuela pitagórica. A través de la construcción de memoriales, templos y otros edificios le dio lustre a la ciudad. Fue amigo de Platón, al que conoció en 361 a. C. en Sicilia. Arquitas influyó la filosofía platónica, y en La séptima carta Platón asegura que Arquitas trató de rescatarle en sus dificultades con Dionisio II de Siracusa.

ArquitasFue el primero en usar el cubo en la geometría y a acotar las matemáticas a las disciplinas técnicas como la geometría, aritmética, astronomía y acústica. Es muy probable que Arquitas tuviera acceso a algún tratado anterior sobre los elementos de la matemática, y de hecho, el proceso iterativo para el calculo de raíces cuadradas que se conoce a veces con el nombre de Arquitas había sido utilizado mucho antes en Mesopotamia. Según Horacio, Arquitas naufragó en el Mar Adriático.

Solución de Arquitas

La solución de Arquitas es la más notable de todas, especialmente cuando se considera su fecha (primera mitad del siglo IV a.C.), ya que no es una construcción plana sino una atrevida construcción en tres dimensiones la cual determina un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución: un cono, un cilindro y un toro.

Solución de Arquitas

Solución de Arquitas

EUDOXO

Nacido en Cnido, vivió entre el 408 y el 355 a. C. Fue discípulo de Platón y se convirtió en el matemático y astrónomo más importante de su época. El descubrimiento de los números irracionales provocó una crisis en las matemáticas, al quedar sin sentido todas las demostraciones que se habían basado en el concepto de proporción hasta entonces utilizado.

Aportes de Eudoxo Con el descubrimiento por Eudoxo de la

teoría de proporciones que encontramos en el libro V de "Los Elementos" de Euclides se salvó el obstáculo creado por los irracionales.

Esto quiere decir que si y sólo si, dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ma ≤ nb entonces mc ≤ nd o si ma = nb

entonces mc = nd , o bien si ma ≥ nb entonces mc ≥ nd.

Solución de Eudoxo Otro problema importante que supo resolver

Eudoxo fue el de la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas. Que también uso en la solución del problema de la duplicación del cubo.

Eudoxo dio un lema que ahora lleva el nombre "Axioma de Arquímedes", que constituye la base del método de exhaución. La solución del problema de la duplicación del cubo desgraciadamente se pierde. En una de las obras de Eratóstenes aparece una explicación de tal solución

Solución de Eudoxo Eratóstenes nos da a entender que la solución

del problema de la duplicación del cubo expuesta por Eudoxo es de alguna manera incorrecta. Pero parece inconcebible que un matemático del calibre de Eudoxo puede haber cometido tal equivocación. Donde realmente se pudo dar el error es cuando su solución fue copiada por alguien que no disponía de conocimientos suficientes y cometió algún error. Y este fue el manuscrito que nos ha llegado hasta nuestros días.

Eratóstenes

(Cirene, 276 a. C.1 - Alejandría, 194 a. C.), fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen probablemente caldeo. Era hijo de Aglaos, según Suidas, o de Ambrosio según otros escritores. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en Atenas y fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y gran amigo de Arquímedes.

Eratóstenes

En 236 a. C. Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días, ocurrido durante el gobierno de Ptolomeo Epífanes. Vivió aproximadamente 82 años.

Solución de Eratóstenes Una fuente de información bastante

sorprendente respecto de Eratóstenes proviene de una carta falsificada que describe la historia del problema de la duplicación del cubo y en particular, describe el objeto mecánico inventado por Eratóstenes para encontrar los segmentos de línea x e y para unos segmentos dados de a y b, a : x = x : y = y : b.

Solución de Eratóstenes Su contribución a la duplicación del cubo se

basó en el empleo de un método de triángulos. Es una construcción demasiado mecánica para la época. El dispositivo consiste en un marco rectangular a lo largo del cual deslizan tres paralelogramos o los triángulos en los cuales se dividen los paralelogramos. Los paralelogramos o los triángulos se mueven siempre de forma que sus bases describan una trayectoria recta.

Solución de Eratóstenes

La figura muestra el resultado de deslizar todos los triángulos exceptuando el primero (que permanece estacionario) a lo largo de sus posiciones originales. Entonces lo que ocurre es la superposición de los 3 triángulos como AMF, M'NG, N'QH.

Por lo tanto: AE, BF,CG, DH están en proporción continua y BF,CG son las medias proporcionales buscadas.

Nicomedes Nació sobre el año 280 a.C. en Grecia.

Murió: sobre el año 210 a.C. Se sabe muy poco de la vida de Nicomedes, incluso para establecer el período en el que vivió hay que hacerlo con referencias indirectas. Se sabe que criticó la duplicación del cubo de Eratóstenes (276 a. C.-194 a. C.) y que Apolonio (262 a.C.-190 a.C.) también habló de Nicomedes, así con estos datos apócrifos se establece el período en el que vivió.

Solución de Nicómedes

La forma con que Nicómedes resuelve el problema de la duplicación del cubo es por medio del uso de una curva llamada concoide.

Solución de NicómedesPara dibujar la Concoide de Nicomedes necesitamos los siguientes elementos: Dibujamos una recta r (la directriz). Un punto exterior a la recta O (origen o polo). Un segmento con una longitud determinada k (constante).

Solución de Nicómedes

Solución de NicómedesY procedemos de la siguiente manera: Desde O se traza una recta cualquiera s que corta a r ( la directriz) en el punto P. Con centro en P y radio k se traza una circunferencia que corta a la recta s en los punto Q1 y Q2, es decir Q1 y Q2 verifican d(Q1,P)=k;   d(Q2,P)=k. El lugar geométrico de los puntos Q1 y Q2 cuando P recorre la recta r es la concoide de r con respecto al polo O y constante k.Su fórmula implícita es la siguiente, donde la directriz es y=b y la constante (radio de la circunferencia es r=k): 

Apolonio de Pérgamo Nació : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora

Turquía)  Falleció : Alrededor del 190 A.C en alejandría, Egipto.

Apolonio fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral.

Estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejandría.

Mientras, Apolonio, "El gran geómetra", estuvo en Pergamo escribió la primera edición de su famoso libro "Secciones Cónicas". que consta de 8 libros

Solución de Apolonio Tenemos dos segmentos de línea recta que

forman ángulo recto, son AB y AC. Completamos el rectángulo ABCD obtenemos

E que es el punto en que se cruzan las diagonales del rectángulo

Solución de Apolonio Entonces traza un circulo de radio AB y de

centro E el cual circunscribe el rectángulo ABCD. Este circulo corta a las líneas AB y produciendo dos puntos F y G respectivamente. Entonces podremos unir con una línea recta los puntos F, D, G.

Solución de ApolonioLo primero que tenemos que probar es que AF * FB = AG * GCCon la construcción de Apolonio tenemos que si K es la mitad de AB:AF * FB + BK = FK2

Si añadimos KE2 a ambos: AF * FE + BE2 = EFTenemos una expresión similar:AG * GC + CE2 = EG2

Pero: EG = EG BE= CEEntonces:AF * FG = AG * GC

Herón (aproximadamente año 10 dC. - alrededor del

año 70) fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto). Como matemático, escribió la obra La Métrica, donde estudia las áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolla también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones. Pero sin duda su logro más famoso en el campo de la geometría es la conocida como la fórmula de Herón, que relaciona el área de un triángulo con la longitud de sus lados.

Solución de HerónCon la construcción de Heron GH = FDHF * FD = DG * GHPero el circulo BDHC pasa a través de A,

entonces:HF * FD = AF * FBDG * GH = AG * GCPor lo que:AF * FB = AG * GC

Solución de HerónEl resto del desarrollo se halla por semejanza de

triángulos:

Entonces:

Por lo tanto:

PHILON

Filón de Bizancio vivió en el siglo III a.C., y fue discípulo de Ctesibio de Alejandría (h. 310-240 a.C.), científico al que se atribuye la intuición sobre la compresibilidad del aire. De sus escritos, recogidos en un obra de nueve libros, el Tratado de mecánica, sólo quedan algunos fragmentos: uno sobre las máquinas de guerra y otro sobre neumática.     Las investigaciones de Filón sirvieron sin duda como punto de partida para las elaboraciones teóricas más ricas y complejas de Herón de Alejandría (siglo I a.C.)

Solución de PhilonDado un punto P y un ángulo RCS, tendremos una línea AB que pasa por P, siendo A el punto en que la línea corta al lado CR del ángulo y B el punto en que la línea corta al lado CS, esta línea será la línea de Philon cuando cumpla unas propiedades.

Solución de PhilonExista un punto Q que sea la base de una perpendicular a AB que pase por C.Que este punto Q tenga la cualidad de dividir la línea AB en unas determinadas proporciones:AP = QBAhora considerar el rectángulo CGPH mostrado en el dibujo y suponer que la línea AP ha sido desplazada teniendo presente que AP = QB

Solución de Philon Donde Q es la intersección de AB con su perpendicular que

pasa por C. Se observa que C, G, P, Q y H están situados en la línea de

un círculo y además: AP.AQ = BQ.BP Pero:

También:

Por semejanza de triángulos BCA, PGA y BHP:

Solución de PhilonO también:

BH, AG son las dos medias proporcionales entre GC, HC

Para el caso particular de la solución del problema de la

duplicación del cubo:GF = 2(HC)Entonces:AG = 2(HC)2

Diocles

Diocles (~250-~100 aC) inventó esta curva para solucionar el problema de la duplicación del cubo (problema de Delian). El nombre de cisoide (forma de hiedra) proviene de la forma de la curva

Solución de DioclesLa cisoide es el lugar geométrico de los puntos M, tal que OM = PQ. Su ecuación, en coordenadas polares es:

Y en cartesianas:

Consecuencias del problema de la duplicación del cubo

La historia sobre la resolución del problema de la duplicación del cubo está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ello surgió:

➪ Sección de cónicas. ➪ Descubrimiento de los

inconmensurables. Números irracionales ➪ Método de exhaución. Cálculo

aproximado del número π

La solución

Desgraciadamente, lo único que se pudo comprobar al cabo del tiempo y ya en 1837 fue que el problema no tiene solución, hecho demostrado gracias a los trabajos del geómetra francés Pierre Wantzel.