PROBLEMAS CAPÍTULO 8 impares (1)

1. Una compañía de bienes raíces desea evaluar las formas que se le entregan empleadas en los convenios de venta, y recurre al plan de muestreo sencillo en el que N=1500, n=110 y c=3. Construya la curva CO correspondiente empleando unos siete puntos.

100Po Po nPo Pa1 0,01 1,1 0,97432 0,02 2,2 0,81943 0,03 3,3 0,58034 0,04 4,4 0,35945 0,05 5,5 0,20816 0,06 6,6 0,10587 0,07 7,7 0,0524

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2

-1.66533453693773E-16

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Curva CO

100Po

Pa

3. Obtenga la ecuación de la curva CO correspondiente al plan de muestreo N=10000, n1=200, c1=2, r1=6, n2=350, c2=6 y r2=7. Construya la curva empleando unos cinco puntos.

(Pa)I = (P2 o menos)I ( 3 nc ) I y (3 o menos nc ) II ó ( 4 nc ) I y (2 o menos nc ) II ó ( 5 nc ) I y (1 o menos nc ) II

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II(Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II

o Aplicando estas ecuaciones para hallar la curva CO tenemos:o N=10000, n1=200, c1=2, r1=6, n2=350, c2=6 y r2=7

p0=0.01(np0)I = 2 (np0)II = 3,5(Pa)I = (P2 o menos)I = 0,6767

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.1791)(0.5366) + (0.0902)(0.3208) +

(0.0361)(0.1359) = 0.1299

(Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.8066

p0=0.015(np0)I = 3 (np0)II = 5.25(Pa)I = (P2 o menos)I = 0.4232


(0.1008)(0.035) = 0.0855


p0=0.02(np0)I = 4 (np0)II = 7(Pa)I = (P2 o menos)I = 0.2381


(0.1563)(0.0073) = 0.0229


p0=0.025(np0)I = 5 (np0)II = 8.75(Pa)I = (P2 o menos)I = 0.1247(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o

menos) II = (0.1403)(0.0256) + (0.1755)(0.00775) + (0.1755)(0.0015) = 0.0052 (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.1299

p0=0.03(np0)I = 6 (np0)II = 10.5(Pa)I = (P2 o menos)I = 0.0620


(0.1606)(0.00045) = 0.0012


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.15

0.3

0.45

0.6

0.75

0.9

1.05

1.2

Curva CO para planes de muestreo doble

100Po

Pa

5. Para el caso del plan de muestreo del problema 1, obtenga la curva CMS y el LCMS

N= 1500, n=110, c=3

po 100po n npo Pa CMS0.0025 0.25 110 0.275 0.99975 0,24993750.005 0.5 110 0.55 0.9974 0,049870.0075 0.75 110 0.825 0.9898 0,74235

0.01 1 110 1.1 0.9743 0,97430.0125 1.25 110 1.375 0.94895 1,18618750.015 1.5 110 1.65 0.914 1,3710.0175 1.75 110 1.925 0.8703 1,523025

0.02 2 110 2.2 0.8194 1,63880.0225 2.25 110 2.475 0.7628 1,71630.025 2.5 110 2.75 0.703 1,75750.0275 2.75 110 3.025 0.6416 1,7644

0.03 3 110 3.3 0.5803 1,74090.0325 3.25 110 3.575 0.52055 1,69178750.035 3.5 110 3.85 0.46335 1,6217250.0375 3.75 110 4.125 0.4095 1,535625

0.04 4 110 4.4 0.3594 1,43760.0425 4.25 110 4.675 0.3137 1,3332250.045 4.5 110 4.95 0.27215 1,2246750.0475 4.75 110 5.225 0.239395 1,1371263

0.05 5 110 5.5 0.2081 1,04050.0525 5.25 110 5.775 0.176805 0,92822630.055 5.5 110 6.05 0.14726 0,809930.0575 5.75 110 6.325 0.12559 0,7221425

0.06 6 110 6.6 0.1058 0,63480.0625 6.25 110 6.875 0.0893 0,5581250.065 6.5 110 7.15 0.07499 0,4874350.0675 6.75 110 7.425 0.062505 0,4219088

0.07 7 110 7.7 0.05242 0,36694

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

Curva CMS

Porcentaje de no conformidad

Ca

lid

ad

me

dia

de

la

sa

lid

a

1,7644 LCMS

LCMS = 1.7644 %

7. Un importante fabricante del ramo automotriz utiliza un plan de muestreo de n=200 y c=0, en lotes de cualquier tamaño. Construya las curvas CO y CMS. Calcule gráficamente el valor NCA correspondiente α=0.05 y el valor del LCMS. Por la tabla c, sabemos que el valor de np es de 0.051, entonces ya podemos proceder a graficar.

p0 np0 n pa CMS0.001 0.2 200 0,8187 0,081870.003 0.6 200 0.5488 0,164640.005 1 200 0,3679 0,183950,01 2 200 0.1353 0,1353

0,015 3 200 0.0498 0,07470,02 4 200 0.0183 0,0366

0,025 5 200 0.0067 0,016750,03 6 200 0.0025 0,0075

0,035 7 200 0.0009 0,003150,04 8 200 0.0003 0,0012

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

Curva CO

100Po

Pa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.05

0.1

0.15

0.2

Curva CMS

100Po

CM

S

LCMS=0,18

LCMS= 0.18395%

9. Construya las curvas CMM del plan de muestreo sencillo n=200 y c=5 y para el igualmente eficiente plan de muestreo doble n1=125, c1=2, r1=5, n2=125, c2=6 y r2=7.

SOLUCION:

100Po = 1Po = 0.01nPo= (0.01)(125) = 1.25Po= 0.8683.P 5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.9908 = 0.0092

P1 = Po + P5 o mas

CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P5 o mas))CMM = 125 + 125 (1 – (0.8683 +0.0092))CMM = 140.3125

100Po =2Po = 0.02nPo= (0.02)(125) = 2Po= 0.6767

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.9473 = 0.0527

P1 = Po + P5 o mas


100Po = 4Po = 0.04nPo= (0.04)(125) = 5Po= 0.1247

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.4405 = 0.5595

P1 = Po + P5 o mas


100Po = 8Po = 0.08nPo= (0.08)(125) = 10 Po= 0.0028

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.0293 = 0.9707

P1 = Po + P 4 o mas

CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P 4 o mas))CMM = 125 + 125 (1 – (0.0028 +0.9707))CMM = 128.3125

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

75

150

Curva CMM

Muestra Doble

Muestra Sencilla

Fraccion de no conformidad

Ca

nti

da

d m

ed

ia d

e m

ue

str

a

Comparadas con la grafica 8.17 con c = 2 el comportamiento de la curva es muy similar.

11. Construya la curva ITM para N=500, n=80 y c=0

Po= 0.01 Pa= = 0.4493ITM= 80 + (1 – 0.4493)(500-80)= 311.294

Po= 0.02 Pa= 0.2019ITM= 80 + (1- 0.2019)(500-80)= 415.202

Po= 0.03 Pa= 0.0907ITM= 80 + (1 – 0.0907)(500-80)= 461.906

Po= 0.04 Pa= 0.0408ITM= 80 + (1 – 0.0408)(500-80)= 482.864

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

100

200

300

400

500

600

Curva ITM

ITM

10

0P

o

13. Calcule la curva CMS y el LCMS del plan de muestreo sencillo N=16000, n=280 y c=4

po 100po n npo Pa CMS0.005 0.5 280 1.4 0.9857 0,492850.01 1 280 2.8 0.8477 0,84770.015 1.5 280 4.2 0.5898 0,88470.02 2 280 5.6 0.3473 0,69460.025 2.5 280 7 0.1730 0,43250.03 3 280 8.4 0.0794 0,23820.035 3.5 280 9.8 0.0337 0,117950.04 4 280 11.2 0.0225 0,090.045 4.5 280 12.6 0.0145 0,065250.05 5 280 14 0.0066 0,033

0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Curva CMS

Series2

100Po

CM

S

0,8847 LCMS

LCMS= 0.8847%

ANEXO (ejercicio 15……..)

Valores np para valores c y riesgos tipicos de productores y consumidores:

15. En el caso de c = 3, c = 6, c = 12, calcule los planes de muestreo correspondientes a un valor del NCA = 1.5% y α =0.01.

Pa = 0.99 P0.99 = 0.015

Para c = 3, np0.99 = 0.823 (de anexo (ejercicio 15...)) y



17. Para un riesgo de consumidor de 0.10 y un NCL de 6.5% defina los planes de muestreo correspondientes a c = 2 , 6 y 14.

Pa = 0.10 P0.10 = 0.065

CPα=0.99

( α=0.01 )Pα=0.95

( α=0.05 )Pα=0.90

( α=0.10 )Pα=0.10

( β=0.10 )

Pα=0.05( β =0.05

)

Pα=0.01( β =0.01

)

RATIO OFP0.10 / P0.95

0 0.010 0.051 0.105 2.303 2.996 4.605 44.8901 0.149 0.355 0.532 3.890 4.744 6.638 10.9462 0.436 0.818 1.102 5.322 6.296 8.406 6.5093 0.823 1.366 1.745 6.681 7.754 10.045 4.8904 1.279 1.970 2.433 7.994 9.154 11.605 4.0575 1.785 2.613 3.152 9.275 10.513 13.108 3.5496 2.330 3.286 3.895 10.532 11.842 14.571 3.2067 2.906 3.981 4.656 11.771 13.148 16.000 2.9578 3.507 4.695 5.432 12.995 14.434 17.403 2.7689 4.130 5.426 6.221 14.206 15.705 18.783 2.61810 4.771 6.169 7.021 15.407 16.962 20.145 2.49711 5.428 6.924 7.829 16.598 18.208 20.490 2.39712 6.099 7.690 8.646 17.782 19.442 22.821 2.31213 6.782 8.464 9.470 18.958 20.668 24.139 2.24014 7.477 9.246 10.300 20.128 21.886 25.446 2.17715 8.181 10.035 11.135 21.292 23.098 26.743 2.122

n=np0.99

p0 .99

=0.8230.015

=54 .86 o 55

n=np0.99

p0 .99

=2.2300.015

=148 .66 o 149

n=np0.99

p0 .99

=6 .0990.015

=406 .6 o 407




19. Un fabricante de bocinas decide la aceptación del 2% de producto no conforme con una probabilidad de 0.01. Defina planes de muestreo sencillo para c= 1, 3 y 5.

Pa = 0.99 P0.99 = 0.02




21. Se desea un plan de muestreo sencillo, con un riesgo de consumidor de 0.10 de aceptar 3.0% del producto no conforme y un riesgo del productor de 0.05 de rechazar de 0.7% del producto no conforme. Elija un plan con el menor tamaño de muestra.

n=np0.10

p0 .10

=5 .3220 .065

=81 .87 o 82

n=np0.10

p0 .10

=10.5320 .065

=162 .03 o 162

n=np0.10

p0 .10

=20.1280 .065

=309 .66 o 310

n=np0.99

p0 .99

=0.1490.020

=7 .45 o 7

n=np0.99

p0 .99

=0.8230.020

=41.15 o 41

n=np0.99

p0 .99

=1.7850.020

=89 .25 o 89

p0.10

p0.95

= 0 .030 .007

=4 ,2857

Esta entre c = 3 y 4 de ( anexo (ejercicio 15...) ).

Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCL = 3% cuando β = 0.10 son:



Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCA =0.7% cuando α = 0.05 son:



23. Con la información del problema 21, elija el plan que satisfaga exactamente las condiciones del consumidor y se aproxime lo mas posible a las condiciones del productor.

+ Los dos planes que satisfacen con exactitud con exactitud las condiciones del consumidor son c = 3, n = 223 y c = 4, n = 266. Los calculos para determinar cual de los planes se aproxima mas a las condiciones del productor de NCA = 0.7%, α = 0.05 son:

Para c = 3, np0.95 = 1.366 y n = 223

n=np0.10

p0 .10

=6 .6810 .030

=222 ,7 o 223

n=np0.10

p0 .10

=7 .9940.030

=266 .46 o 266

n=np0.95

p0 .95

=1.3660.007

=195 .14 o 195

n=np0.95

p0 .95

=1.9700.007

=281 .42 o 281

p0 .95=np0.95

n=1 .366223 =0 ,0061

Para c = 4, np0.95 = 1.970 y n = 266

Puesto que p0.95 = 0.0074 es el valor mas cercano al valor estipulado de 0.007, el plan c = 4, n = 266 es el que se elige.

25. Para los valores p0.10 = 0.053 y p0.95 = 0.014, defina el plan de muestreo sencillo que satisfaga con exactitud las condiciones del consumidor y se aproxime lo mas posible a las condiciones del productor.

Esta entre c = 4 y 5 de ( anexo (ejercicio 15...) ).

Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCL = 5.3% cuando β = 0.10 son:



Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCA =1.4% cuando α = 0.05 son:


p0 .95=np0.95

n=1 .970266 =0 ,0074

n=p0.10

p0.95

=0 .0530.014

=3.7857

n=np0.10

p0 .10

=7 .9940.053

=150.83 o 151

n=np0.10

p0 .10

=9 .2750 .053

=175

n=np0.95

p0 .95

=1.9700.014

=140.71 o 141


+ Los dos planes que satisfacen con exactitud con exactitud las condiciones del consumidor son c = 4, n = 151 y c = 5, n = 175. Los cálculos para determinar cual de los planes se aproxima mas a las condiciones del productor de NCA = 1.4%, α = 0.05 son:

Para c = 4, np0.95 = 1.970 y n = 151

Para c = 5, np0.95 = 2.613 y n = 175

Puesto que p0.95 = 0.0149 es el valor mas cercano al valor estipulado de 0.014, el plan c = 5, n = 175 es el que se elige.

27. Si se desea un plan de muestreo sencillo, con un LCMS de 1.8% con una calidad de entrada de 2.6%, ¿Cuál es el punto comun de las curvas CO correspondiente a una familia de planes de muestreo que satisfacen las condiciones del LCMS y de 100p0?

El punto en comun sera: LCMS =100 p0∗ pa → 1 .8 = 2,6∗ pa → pa= 0 .69

n=np0.95

p0 .95

=2.6130.014

=186 .64 o 187

p0 .95=np0.95

n=1 .970151 =0 ,013

p0 .95=np0.95

n=2.613175 =0 .0149

PROBLEMAS CAPÍTULO 8 impares (1)

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