UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CENTRO NACIONAL DE ESTUDIOS GENERALES MODALIDAD SABATINA UNIDAD II CINEMATICA: MOVIMIENTO DE CADA LIBRE. MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL GUIA DE TRABAJO CLASE PRCTICACAIDA LIBRE 24. A que velocidad debe ser lanzada una bo la verticalmente desde el nivel del piso para elevarse a una altura mxima de 50,0 m? b) Cunto tiempo estar en el aire? Y y1 V1 t1 a=- g En el intervalo de tiempo t 1 t1 t 0 la bola alcanza la mxima altura, pasa de y 0 a y1 Ya que conocemos el desplazamiento vertical y que la velocidad en la mxima altura es instantneamente cero, utilizamos la tercera relacin cinemtica. 2 12 0 2 g y , 1 0 m / s la altura mxima es H y y1 y 0

0 2 gy

0 19,6

m m 50,0 m 31,3 s2 s

y0

V0 O

t0 V2 t2 X

El tiempo que permanece en el aire la bola puede calcularse como 2t1 esto es dos veces el tiempo de subida. Lo calculamos con la relacin velocidad tiempo.

1 0 g t 1 t1

0 ; 2t1 6,39 s g

O evaluando el movimiento completo, ascenso y descenso hasta el mismo punto de lanzamiento. En el cual la velocidad final es igual en modulo a la inicial, pero con signo menos: 2 0 Y y0 v0 25. Una roca se deja caer desde un risco de 100 m de alto cunto tiempo tarda en caer a) los primeros 50,0 m y b) los segundos 50,0 m? Determinamos el tiempo requerido para el desplazamiento y1 y1 y 0 50 m conociendo la velocidad que adquiere, 1 v12 12 0 2 g y1 0 0 m / s

2 0 g t

2

t2

0 2 6,39 s g

a=- g

y1

1 2 g y

1 2 g y 31,3 m / s

Esta velocidad se evala en la relacin velocidad -tiempo y2 O v2

1 3,19 s g X Tambin se puede calcular t1 utilizando la ecuacin del 1 0 g t 1 t1 movimiento, la relacin velocidad tiempo.

1 1 2 2 y1 y 0 0 t1 g t1 y1 y 0 0 g t1 t1 2 2

2( y 0 y1 )

g

Para hallar el tiempo t 2 t1 requerido para el desplazamiento y 2 y1 50 m podemos repetir el procedimiento previo, que involucra un calculo intermedio. Pero veamos otra via:

1 y 2 y1 1t g t 2 2 1 3,194 s g y y1 2 2 10,204 s 2 g

t 2 2(

1 y y1 )t 2 2 0 g g

t 3,194 s (3,194 s ) 2 ( 10,204 s 2 ) 1,32 s26. Un estudiante ocioso suelta una sanda desde una azotea y oye que la sanda se estrella 3,00 s despus. Qu altura tiene el edificio? La rapidez del sonido es de 340 m/s. Ignore la resistencia del aire. Y Y Vs

V0 y0 = H a=- g

y=H

Vs O y=0 m X O y0 X

El tiempo de t 3,00 s es la suma del tiempo de cada libre t1 y el que le toma al sonido en alcanzar al estudiante t 2 La primera ecuacin que escribimos es: Ec 1. t t1 t 2 Para el movimiento de cada libre la ecuacin del movimiento, la relacin velocid ad tiempo es:

1 2 y y 0 0 t1 g t1 2 1 2 Ec 2. H g t1 2 y y0 S t 2 Ec 3. H S t2

1 2 0 H g t1 2

Para la propagacin del sonido la ecuacin del movimiento es la del MRU.

S t t1 2 S 0 g g La solucin de la ecuacin cuadrtica no proporciona t1 2,88 s S t2 1 1 2 2 g t1 S (t t1 ) g t1 2 2 t1 22

Sustituyendo en la ecuacin 1 obtenemos la altura del edificio.

H

1 m 2 g t1 4,9 2 (2,88 s ) 2 40,7 m 2 s

27. Si una pulga salta una altura de 0.640 m; Determine: a) la rapidez en el instante que abandona el terreno y b) el tiempo permanece en el aire. Y t1 a=- g El mximo desplazamiento vertical y (la altura de 0,640 m) se realiza sin contacto con el terreno, es decir, en cada libre con una velocidad inicial hacia arriba y al completar este desplazamiento instantneamente pasa por el reposo, 1 0 m / s . Entre t 0 y t1 evaluamos la relacin rapideces - desplazamiento2 12 0 2 g y1 2 0 2 g y1

y

V1

0

2 gy 3,54 m / s

V0 y0 O t0

El tiempo se evala de la relacin velocidad -tiempo

1 0 g t 1 t1 X

0 ; t 2 t1 2 0 0,72 s g g

28. Un objeto cae libremente a partir del reposo. Halle: (a) su aceleracin, (b) la distancia que recorre en 3.0 s; (c) su rapidez despus de descender 70.0 m; (d) el tiempo necesario para alcanzar una rapidez de 25.0 m/s; (e) el tiempo que tarda en caer 300 m. Y y0 = 300 m y1 y2 v2 y3 v3 a=- g v0 v1

El desplazamiento recorrido, a partir del reposo, 0 0 m / s entre

t 0 y t1 3,0 s se puede obtener de la ecuacin del movimiento 1 1 y1 y 0 0 t g t 2 y1 y 0 g t 2 44,1 m 2 2La distancia recorrida es 44,1 m Despus de descender 70 m i.e. un desplazamiento y 70 m a partir de que se deja caer, alcanza una velocidad 22 2 2 0 2 g y 2 2 g y 37 m / s

El

que requiere para alcanzar una rapidez 1 25,0 m / s se obtiene de la relacin velocidad tiempo.

tiempo

1 0 g t1 t1

1 2,55 m / s g

Igual se puede determinar el tiempo que tarda en caer 300 m i.e. y 300 m pero usaremos la ecuacin del movimiento. y4 O v2 X

y y0 1 1 y3 y0 0 t g t 2 y3 y0 g t 2 t 2 3 7,8 s 2 2 g

29 Un joven lanza una pelota de billar verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20.0 m/s. (a) cul es el tiempo de subida? (b) qu altura mxima alcanza? (c) c unto tiempo estuvo en el aire desde que se lanz? (d) en qu tiempo adquiere una rapidez de 6.00 m/s y a que altura se encuentra?

Y y2 = H y1 = y3 v2

El tiempo de subida se puede determinar a partir de la relacin velocidad tiempo, donde 2 0 m / s 0 20,0 m / s v3 a=-g

2 0 g t2 t2

1 2,04 s g

La altura mxima, como no se conoce el tiempo en que la alcanza, la determinamos de la tercera relacin:2 2 2 2 2 0 2 g y 0 2 g ( H 0) H 0 / 2 g 20,04 m

v0 O

t0 X

La piedra adquiere, durante el ascenso y el descenso, la rapidez de 6,00 m/s una vez positiva y la otra negativa. Al primer tiempo llammoslo t1 as como a la velocidad, 1

1 0 g t1 t1

0 1 14,0 m / s 1,43 s g 9,8 m / s 2

Ahora yendo hacia abajo el tiempo ser t 3 as como a la velocidad, 3 6,00 m / s

3 0 g t3 t3

0 3 26,0 m / s 2,65 s g 9,8 m / s 2

La altura en la que se encuentra, esto es la posicin al tiempo t1 o al tiempo t 3 se determina evaluando ya sea uno u otro tiempo en la ecuacin del movimiento.

1 y1 y 0 0 t g t 2 2 m m y1 0 m 20,0 1,43 s 4,9 2 (1,43 s ) 2 s s y1 18,6 m

Y y1 v1 v0 y0 t1

30. Desde lo alto de un edificio, una persona tira una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 12.5 m/s. la piedra llega al suelo 4.25 s despus. Qu diferencia hay entre la altura que alcanz la piedra y la del edificio? Cul es la velocidad de la piedra cuando llega al nivel del suelo? Siendo que en el punto de mxima altura la velocidad es instantneamente nula, calculamos la diferencia de altura como el desplazamiento vertical, entre t 0 y t12 2 2 12 0 2 g y 0 2 gy y 0 / 2 g 7,97 m

t2 O v2

La velocidad con que la piedra llega al nivel del suelo la calculamos de la relacin velocidad tiempo, evaluando como tiempo inicial t 0 y como X tiempo final t 2

2 0 g t 2 2 12,5

m m m 9,8 2 4,25 s 2 29,15 s s s

33. Desde lo alto de un edificio se deja caer un objeto y, simultneamente, se lanza hacia abajo otro con una rapidez inicial de 1.0 m/s. En qu instante la distancia entre ellos es 18 m? Y y0 t0 v02 v01 Para cada objeto debe escribirse su ecuacin del movi miento, esto es su relacin posicin tiempo. Por qu? Tienen diferente velocidad inicial, pero la razn de crecimiento de la rapidez (aceleracin= g)es la misma. Ecuacin del movimiento de 1. Parte del reposo 01 0 m / s .

1 y1 y 0 01t g t 2 2 1 y1 y 0 g t 2 2y2 y1 t v2 t v1 Ecuacin del movimiento de 2. Velocidad inicial 02 1,0 m / s .

1 y 2 y 0 02 t g t 2 2La distancia entre ellos es la diferencia de sus posiciones, d 18,0 m

O

X

y 2 y1 d

1 1 d d ( y 0 02 t g t 2 ) ( y 0 g t 2 ) d 02 t t 18 s 2 2 02

36. La ventana de un edificio tiene una altura de 2.5 m. Si una piedra tarda 0.30 s en pasar desde la parte superior a la inferior de la ventana, desde qu altura se solt la piedra? Y y0 t0 v0 La altura de la ventana es y1 y 2 2,5 m el tiempo que la piedra recorre esa distancia, t 0,30 s depende de la velocidad inicial 1 en ese intervalo. La altura desde la cual se solt la piedra condiciona el valor de esa velocidad inicial, as que calculamos primero 1 utilizando la ecuacin del movimiento: v1

y1

t1

1 y 2 y1 1t g t 2 2 1 y 2 y1 g t 2 1t 2

y2

t2 v2

1 ( y 2 y1 ) g t 2 ( y y1 ) 1 2 1 2 gt 6,863 m / s t t 2Calculamos la altura y 0 y1 con la relacin cinemtica:

O

X

2 12 0 2 g y 12 2 g y

12 y 2,40 m 2gPero este es el desplazamiento vertical, negativo, la altura es H y0 y1 y 2,4 m

MOVIMIENTO CIRCULAR 38. La rbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular, con un radio medio de 3.84 x 10 8 m. Se requieren 27.3 das para que la Luna complete una revolucin alrededor de la Tierra. Encuentre la velocidad orbital media de la Luna y su aceleracin centrpeta. El intervalo de tiempo para completar una revolucin se llama periodo, T. En la conversin de da a segundo dejaremos la operacin indicada.

T 27,3 dia

86400 s dia

La velocidad media orbital es espacio recorrido en una revolucin dividido por el periodo.

S LC 2 R 2 * 3,84 x10 8 m m km 1023 1,02 T T T 27,3*86400 s s s m (1023 ) 2 2 mm s La aceleracin centrpeta es aC 2,72 2 dirigida hacia el centro de la 8 R 3,84 x10 m strayectoria

39. La rapidez de una partcula que se mueve describiendo una circunferencia de 2.00 m de radio, aumenta a una razn constante de 3.00 m/s. En cierto instante el mdulo de la aceleracin total es 5.00 m/s. En ese instante, determine: (a) la aceleracin centrpeta de la partcula (b) su rapidez. La aceleracin de 3,00 m/s2 es la componente tangencial de la aceleracin total, ya que se dice que es la razn de aumento de la rapidez de la partcula.

at 3,00

m s22 2

Y

2

La aceleracin total es

a

2

TOTAL

a

C

a

att

La aceleracin centrpeta es

aC aC

1

aC a 2 TOTAL a 2 t m m aC (25,0 9,00) 4 4,00 2 s sLa rapidez se determina de la definicin de aceleracin centrpeta.2

atX

aC

2 m m aC R 4,00 2 * 2,00 m 2,83 R s s

TIRO HORIZONTAL 41. Un chorro de agua sale horizon talmente de una manguera con una rapidez de 12.0 m/s. Cae al suelo 500 ms ms tarde. A qu altura sobre el suelo se encuentra la boca de la manguera? Cul es la distancia horizontal recorrida por el agua? Con qu velocidad llega el agua al suelo? La velocidad inicial en el T.H. tiene componente vertical nula 0Y 0 m / s as que 0 X 12,0 m / s La altura de la boca de la manguera la obtenemos de la ecuacin del movimiento para la vertical.

1 y y 0 0Y t g t 2 2 1 m 0 H g t 2 H 4,9 2 * 0,250 s 2 1,225 m 1,23 m 2 sYa que en el movimiento horizontal conocemos la componente de la rapidez, con el tiempo de vuelo obtenemos la distancia horizontal recorrida por el agua.

x x0 0 X t

R 0 X t 12,0

m * 0,500 s 6,0 m s

La velocidad con que llega al suelo tiene componente X constante, 0 X 12,0 m / s y componente Y

Y 0Y g t Y g t 9,8La velocidad resultante es

m m 0,500 s Y 4,9 2 s s m2 m2 m 24,01 2 12,3 2 s s s

2 2 0 X y 144

44. Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil que tarda 4,00 s en chocar contra el agua en un punto que dista 60,0 m de la base del acantilado. Calcular: (a) qu altura tiene el acantilado? (b) con qu velocidad se lanz el proyectil? (c) con qu velocidad llega al agua? La altura del acantilado la obtenemos con el tiempo de vuelo sustituido en la ecuacin del movimiento, componente Y.

1 1 1 m y y 0 0Y t g t 2 0 H g t 2 H g t 2 4,9 2 *16,0 s 2 78,4 m 2 2 2 sCon el tiempo de vuelo y el alcance horizontal hallamos la velocidad inicial, 0 X utilizando la ecuacin del movimiento, componente X.

x x0 0 t 0 X

x 60,0 m 15,0 m / s t 4,00 s

La velocidad final tiene componente X 0 X 15,0 m / s y componente Y

Y 0Y g t Y g t 9,8La velocidad resultante es

m m 4,00 s Y 39,2 2 s s 2 y

2

0X

m2 m2 m 225 2 1536,6 2 42 s s s

Y y0=HA

0 X

B

0YX

O

tan 0Y oX 0Y oX 69,10

tan 1