CAÍDA LIBRE

Integrantes:

Freddy Díaz Ruíz

Jonatan Ruíz Contreras

Carlos Genes Quintero

Gabriel López Montalvo

Rafael Toscano Negrette

César Cordero Cordero

Tutor:

Msc. Emiro Arrieta Jiménez.

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

FÍSICA EXPERIMENTAL I

Programa de Física y Electrónica

MONTERÍA

2012

OBJETIVOS

2.1 Objetivo general

Comprobar experimentalmente que dos cuerpos de igual forma que se deja caer libremente tendrá la misma aceleración independientemente de la masa de cada uno.

2.2 Objetivos específicos

Estimar la magnitud de la aceleración gravitacional en Montería a partir de los datos obtenidos en el laboratorio.Encontrar la relación funcional entre la altura y el tiempo empleado por un cuerpo que cae libremente cerca de la superficie terrestre.Explicar el significado físico de las constantes que se obtiene de la regresión cuadrática.

3. MATERIALES

En la elaboración del experimento se contó con los siguientes materiales:

Tabla (3.0) Material de la experimentación en la Caída libre.

MATERIALES REFERENCIA CANTIDAD

Esfera de cristal (masa m1=4.74gr) …………… 1

Esfera de goma (masa m2=2.30gr) …………… 1

Barrera óptica compacta P11207.20 5

Contador 4-4 P13605.99 1

Cinta métrica …………… 2

4. TEORIA RELACIONADA

Caída libre

Fue el italiano Galileo Galilei (1564 – 1642) quien origino las ideas contemporáneas en relación con la caída de los objetos. Según cuenta la leyenda, el demostró la ley de los objetos que caen al observar que al dejar caer simultáneamente dos diferentes pesas desde la inclinada torre de pisa ambas golpeaban en el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este particular experimento se haya realizado esta perfectamente establecido que Galileo efectuó muchos experimentos sistemáticos con objetos que se movían sobre planos inclinados.

Galileo verifico su posición de que la velocidad de las esferas a descender por planos inclinados se aumentaba uniformemente con el tiempo. Encontró que las esferas adquirían la misma cantidad de rapidez en cada intervalo sucesivo de tiempo; esto es, las esferas rodaban con aceleración uniforme o constante.

Figura 4.0. Estudio de los planos de Galileo; a mayor pendiente del plano inclinado corresponde a una mayor aceleración de las esferas. ¿Cuál es su aceleración si el plano inclinado está en posición vertical?.

Él encontró mayores aceleraciones para planos inclinados mas empinados. Las esferas adquieren su máxima aceleración cuando el plano no indicado se levanta en la posición vertical; esto es, la aceleración de caída libre (figura 4.0) galileo descubrió que sin importar el peso o tamaño, en ausencia del aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante.

En la tabla 4.0 se muestra lo que se puede observar cuando la resistencia de aire tiene poco o ningún efecto sobre un cuerpo en caída. Lo más importante que se debe advertir en estas cifras es la forma en que cambia la velocidad. Durante cada segundo de caída, el cuerpo gana una velocidad de 10 metros por segundo. Esta ganancia por segundo es la aceleración, de los cuerpos es aproximadamente igual a 10 metros por segundo cuadrados, o más exactamente, 9,8 metros por segundos cuadrados, es costumbre emplear la letra g para representar la aceleración (dado que está es debida a la gravedad). Aunque el valor de la g varia ligeramente en diferentes partes de mundo.

Tabla 4.0 Velocidad adquirida en caída libre

Tiempo en caída (segundos)

Velocidad (metros/ segundo)

0 01 102 203 304 405 50. .. .. .t 10t

Obsérvese la tabla 4.0 que la velocidad adquirida por un cuerpo en caída es igual a la aceleración multiplicada por el tiempo en el que cae. El valor de la gravedad es 10 m/s².

v = g*t (Ecuación (4.0))

Galileo verifico una segunda suposición razonada con sus planos inclinados. Él llegó a la conclusión que la distancia que viaja un objeto uniformemente acelerado es proporcional al cuadrado del tiempo. La distancia recorrida por un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo es:

d=12g t 2 (Ecuación (4.1))

El valor de la gravedad que se emplea es de 10 m/s². La distancia de caída para diferentes tiempos será como se muestra en la tabla 4.1.

Tabla 4.1 Velocidad adquirida en caída libre

El cuerpo empieza a caer a cero metros por segundo, cuando ha pasado el primer segundo su velocidad es de 10 metros por segundo, solo en el último instante del

Tiempo en caída (segundos)

Distancia de caída (metros)

0 01 52 203 454 805 125. .. .. .t 1

210 t2

intervalo de un segundo, haciendo el cálculo de de la Ecuación 4.1 tenemos que para un segundo la distancia es 5 metros, al continuar el objeto su caída en los segundos subsecuentes, recorrerá distancia siempre en incremento, a su vez se eleva continuamente su velocidad.[1]

Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia por fuerza a un objeto que se soltó desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo o los que se sueltan desde el reposo todos caen libremente una vez que sean liberados. Cualquier objeto que cae libremente experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, independientemente del movimiento inicial del objeto.

Se denotara la magnitud de la aceleración de caída libre con el símbolo g. el valor de g cerca de la superficie de la tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También hay ligeras variaciones en la latitud.

Figura 4.1 a) Desplazamiento contra el tiempo, y b) la velocidad contra el tiempo para una partícula que cae libremente, donde y y v se consideran como positivas hacia arriba. Observe la simetría en a) en torno de t = t1

Considere el caso de una partícula lazada verticalmente hacia arriba desde el origen con una velocidad v0.

En este caso, v0 es positiva e y0 = 0. En la figura 4.1 se muestra la grafica de desplazamiento y la velocidad en función del tiempo.

Observe que la velocidad es positiva al principio pero disminuye en el tiempo que se hace 0 en el punto máximo de la trayectoria. En la ecuación 4.2 se ve que este máximo ocurre en el tiempo t1 = v0/g. en este tiempo el desplazamiento tiene su valor positivo mas grande, el cual puede calcularse de la ecuación 4.4 con t = t1 = v0/g. Esto produce ymáx = v0

2 / 2g.

En él tiempo t2 = 2 t1 = 2v0/g vemos, según la ecuación 4.4 que el desplazamiento otra vez es 0, es decir, la partícula ha regresado a su punto de partida. Además en el tiempo t2 la velocidad es v = -v0 (esto se deduce directamente de la ecuación 4.2.) por consiguiente, hay simetría en el movimiento. En otras palabras, tanto el

desplazamiento como la magnitud de la velocidad se repiten en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2v0/g. [2]

Las ecuaciones de movimiento con aceleración constante también se aplican de igual forma para caída libre cerca de la tierra, es decir, aplican a un objeto en vuelo vertical, ya sea hacia arriba o hacia abajo.

Nótese que:Para caída libre

1) Las direcciones de movimiento ahora son a lo largo de un eje vertical “y”, en lugar de “X” hacia arriba es positiva.

2) La aceleración en caída libre ahora es negativa, es decir, hacia abajo en el eje “y”, hacia el centro de la tierra por lo que tiene el valor de –g en la ecuación sin embargo, la velocidad cambia como lo indica las ecuaciones durante el ascenso decrece la magnitud de la velocidad positiva hasta que momentáneamente se hace cero. Durante el descenso aumenta la magnitud de la velocidad (ahora negativa) [3].

Las ecuaciones para movimiento con aceleración constante son aplicables a este caso. Simplemente reemplazamos “x” por “y” en las ecuaciones obteniendo:

v f=v0−¿ (Ecuación (4.2))

y=v0+v f

2∗t (Ecuación (4.3))

y=v0∗t−12g t 2 (Ecuación (4.4))

v2=v02−2gy (Ecuación (4.5))

Y ponemos a=−g para problemas de caída libre. Además y=0 para t=0 y g es la

magnitud de la aceleración de la aceleración debida a la 9,80 m /s2 ((32,0pies

s2)¿[4].

La aceleración de los cuerpos debida a la gravitación terrestre puede encontrarse usando la 2ª ley de newton “la ley del inverso del cuadrado” como

F=GM tm

d2=ma (Ecuación (4.6))

Así que

a=GM t

d2 (Ecuación (4.7))

Pero sobre la superficie de la tierra la ecuación puede escribirse como

g=GM t

R t2 (Ecuación (4.8)).

Entonces,

a=g(Rt

d)2 (Ecuación (4.9)).

A medida que nos alejamos del centro de la Tierra, se reduce la aceleración debida a la gravedad de acuerdo con la relación del inverso cuadrado [5].

5. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO

Para la realización de este experimento realice el montaje de acuerdo con el diagrama de la figura 1. Asegúrese que las barreras ópticas se encuentren alineadas para evitar dañarlas al dejar pasar los objetos por ellos luego determine las alturas que hay entre cada una de las barreras ópticas. A continuación tome una esfera de cristal de masa m1 y déjela caer a través de las barreras ópticas, registre en su cuaderno los tiempos que indique el contador. De igual forma, repita esta acción con una esfera de goma de masa m2; ejecute esta operación tres veces para cada esfera, obtenga los promedios de los tiempos y construya una tabla de altura contra tiempo.

Imág. 5.0 Montaje realizado en el laboratorio para los cuerpos en caída libre.

6. TABLA DE DATOS Y ANALISIS FISICO

Sabemos que todo cuerpo que cae libremente a la tierra, sometido solo a la influencia de la atracción gravitacional y en ausencia de la resistencia del aire, experimenta una aceleración constante, que se representa con la letra g, y su valor teórico promedio es de 9.8m/s2.

Se realizo este experimento con dos cuerpos de igual forma, pero de distintas masas. Cada uno de ellos se dejo caer libremente y posteriormente se hizo el registro de las alturas medidas con la cinta métrica y los tiempos mostrados por el contador como se ve en la tabla #1 y la tabla #2, para m1 y m2 respectivamente.

Tabla #1: datos experimentales de posición (m) vs tiempo (s) para la masa m1.

Y(m) T1 T2 T3 Tpromedio

0 0 0 0 0-0.180 0.174 0.179 0.176 0.177-0.402 0.271 0.277 0.272 0.273-0.589 0.330 0.335 0.332 0.332-0.795 0.387 0.392 0.338 0.389

Tabla #2: datos experimentales de posición (m) vs tiempo (s) para la masa m2

Y(m) T1 T2 T3 T4

0 0 0 0 0-0.180 0.179 0.178 0.179 0.179-0.402 0.275 0.275 0.276 0.275-0.589 0.335 0.335 0.336 0.335-0.795 0.391 0.391 0.392 0.391

Nótese que las posiciones en las tablas son negativas, esto se debe a que en el sistema de coordenadas o sistema de referencia que se tomo, las partículas se mueven por el eje negativo de las “y”. Si llevamos los datos de “y” vs “t” a una grafica, veremos que la ecuación que se ajustaría mejor al conjuntos de puntos (ver grafica #1 y #2 en preguntas y respuestas) resulta ser una cuadrática. Así, si realizamos una regresión cuadrática a los datos de la tabla #1 y #2, con ayuda de la calculadora, obtendremos las siguientes expresiones:

Para m1

y=−7,31×10−5−0,15 t−4.87 t2 (Ecuación [9])

Para m2

y=−2.34×10−4−0.12t−4.88 t2 (Ecuación [10])

Si comparamos estas expresiones con la ecuación [3], podemos ver que, el significado físico de las coeficientes de las ecuaciones [9] y [10] es:

Para m1

y=−7,31×10−5 M, v0 = 0,15 m/s y 12g=−4,87m /s2 , de donde g=−9,74m /s2

que es el valor de la aceleración de la gravedad que experimentó la masa m1.

Para m2

y=−2.34×10−4M, v0 −0,12m /s y 12g=−4,88m /s2, de donde g=−9,75m /s2

que es el valor de aceleración gravitacional que experimento la masa m2.

Si observamos detalladamente, la diferencia que hay entre el valor de la aceleración gravitacional de cada masa es poca, casi nula; por lo que se podría decir que ambos cuerpos experimentan la misma aceleración. Esto quiere decir que independiente de la masa de un cuerpo, todo cuerpo que cae libremente experimenta la misma aceleración. A partir de este análisis se concluye que la magnitud de la aceleración gravitacional en Montería es aproximadamente g=9,75m /s2.

Análisis de errores

Para este análisis necesitamos el valor teórico de la gravedad en Montería, para esto utilizamos la ecuación [7].

Si M T=(masade latierra )=5,98×1024Kg

G= (constantede gravitación universal )=6,674×10−11N .m2

Kg2

RT=(Radiode la tierra )=6,37×106m

RT+18m=AlturadeMontería respecto al niveldelmar

Reemplazando en la ecuación [7]

gT=(6,674×10−11N .

m2

Kg2 )(5,98×1024Kg)

(6,37×106m+18m)2

gT=9,83m /s2

El error relativo cometido en el experimento de calcula mediante la expresión:

Er=|gteorico−gexperimetal

gteorico|×100%

Para la masa m1, el error relativo cometido es:

Er=|9,83m /s2−9,74m /s2

9,83m / s2 |×100%=E r=9,15×10−3

Para la masa m2, el error relativo cometido es:

Er=|9,83m /s2−9,75m / s2

9,83m /s2 |×100%=8,14×10−3

Como el error cometido con ambas masas fue menor del 6% decimos que a la hora de realizar el experimento se cometieron pocos errores.

7. PREGUNTAS Y RESPUESTAS

Para cada caso:

1) Realice una regresión cuadrática con los datos y vs t.

2) Estime el valor de la gravedad usando los datos de la regresión.

3) Realice una grafica de y vs t en una hoja milimetrada ( y=V . t –g . t2

2+ y0 ¿

Para masa m1

1) Puesto que el movimiento que estamos tratando para este informe es uniformemente acelerado (caída libre), una ecuación de y en función de Tpromedio que mejor se ajustaría a nuestros datos seria una ecuación cuadrática ¿). Entonces, realizando una regresión cuadrática con los datos de la tabla, # se obtiene la siguiente expresión:

y=−7,31×10−5−0,15 t−4.87 t2 Donde a¿−7,31×10−5, b¿0,15, c¿−4,87.

Al comparar los coeficientes de la anterior expresión con los de la ecuación (), tenemos:

y0=−7,31×10−5 ǩ (m ), V0 ¿−0.15 (m /s ) y ½ ¿−4.87 ĵ (m /s2)

De donde ĝ =-- 9.74ĵ (m/s2) ≃ -- 9.75 ĵ (m/s2)

2) A partir de la información obtenida de la regresión, estimamos que el valor experimental de la aceleración de la gravedad para la esfera de masa m1 fue de g = 9.74 (m/s2)

Para la masa m2

1) Como se hizo con m1, para m2 la ecuación de Y en función de T promedio que presenta el mejor ajuste a los datos de la tabla #, se obtiene realizando una regresión a estos datos. Con la ayuda de la calculadora se obtiene lo siguiente:

y=−2.34×10−4−0.12t−4.88 t2 , donde a=−2.34×10−4b=--0.12 y c=--4,88

Si comparamos la anterior expresión con la ecuación #, podemos ver que:

y=−2.34× 10-4ǩ (m), v0=-- 0.12ῐ (m/s) y ½ ĝ = --4.87ĵ (m/s2) donde ĝ=--9.75ĵ (m/s2)

2) Basados en la información anterior, podemos estimar que nuestro valor de la aceleración de la gravedad, para la masa m2 fue aproximadamente g=9.75 (m/s2)

8. CONCLUSION

Después de la práctica de laboratorio y realizado este informe, concluimos que:

Dos cuerpos de igual forma que se dejan caer libremente experimentaran la misma

aceleración de la gravedad independientemente de la masa de cada uno. Además,

los valores experimentales obtenidos acerca de la gravedad para las dos masas (g1=

9,74 m/s2 y g2=9,75m/s2) tienen un acercamiento bastante alto al valor teórico de la

aceleración de la gravedad (g= 9,8 m/s2) lo que nos indica el porcentaje de error en

el experimento es bastante significativo.

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Hewitt G. 1992, Conceptos de Física, 1a edición, Editorial: Limusa ; Grupo Noriega Editores, México D.F, pág. 40-43.

[2] Serway R.A. Beichner R.J, 2002, Física para ciencias e ingenierías, Tomo I, 4ª edición, Editorial McGraw- Hill interamericana S.A, México D.F, pág. 37 y 38.

[3] Halliday D. Resnick R., Walker J, 2001, fundamentos de física, volumen I, 6ª edición, compañía editorial continental, México D.F, pág. 26 y 27.

[4] Resnick R. Halliday D., 1993, Física para estudiantes de ingenierías, Vol. 1 Cecsa 4ª Edición, Compañía Editorial Continental L, S. A. de C. V. México, D. F. pág. 28-30

[5] Zitzewitz P.W. Neff R.S, 1995, Física I principios y problemas, Editorial Mcgraw – Hill interamericana S.A, Santafé de Bogotá D.C.