Problema Viga 2GDL Voladizo

5/9/2018 Problema Viga 2GDL Voladizo - slidepdf.com

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Universidad Central de Venezuela

Facultad de IngenieríaDepartamento de Comité Académico de Postgrado.

Elementos Finitos aplicado al Diseño de Sistemas de TuberíasFecha: 11/07/2011Prof. Asdrúbal Ayestarán

Para la viga mostrada en la f igura, determine:

a) Desplazamientos nodales ante el estado de cargas planteadob) Esfuerzos máximo en el empotramiento.

c) Desplazamiento vertical en el punto más alejado del empotramiento.

Nota: Desprecie el efecto por peso propio de la viga.

Numeración nodal global y elemental propuesta para resolver el problema: 2 elementos tipo viga

La numeración de los grados de libertad se obtienen con la expresión:

GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( )

Donde "NumeraciónNodal" es el número del nodo, "GDLN" es el número de grados de libertad global por nodo en

el modelo (en este problema = 2, 1 desplazamiento vertical y 1 rotación) y kk es un coeficiente que varía desde 1

hasta GDLN (en este problema = 2)

Ejemplo: Como asignar los Grados de libertad GLOBAL para el nodo #3

GDLN 2 Grado de libertad "kk=1" local para el nodo 3

GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( ) 2 3( ) 2 1( )= 5=

Grado de libertad "kk=2" local para el nodo 3

GDLN NumeracionNodal( ) GDLN kk ( ) 2 3( ) 2 2( )= 6=



Al nodo #3 le corresponden los grados de libertad 5 y 6, siendo estos los desplazamientos horizontales y verticales

respectivamente.

Recuerde que el orden de los grados de libertad por convención es:

1) Desplazamiento x 2) Desplazamiento y 3) Desplazamiento z

4) Rotación x 5) Rotación y 6) Rotación z

Datos de entrada del problema

Nnode 3 Número de nodos globales

Nelem 2 Número de elementos

GDLN 2 Grados de libertad global por nodo NNELEM 2 Número de nodos por elemento

Coordenadas X-Y de los nodos Exponente del

coeficiente de

penalización

Dimensiones de

la sección

transversal

Vector Módulo de Young de

cada elemento

b 50mmE 200

1

1

GPaX

0

1

2

m Y

0

0

0

mTol 10 h 100mm

Vector de áreas e Inercia de cada

elementoArea b h

1

1

5 103

5 103

m

2 Inercia

1

12b h

3

1

1

4.167 106

4.167 106

m

4

Carga Puntual P 1000N

Matriz de conectividadCada fila representa los nodos globales en su posición 1 y 2 respectivamente para cada

elemento. Fila "i" corresponde a la conectividad del elemento "i". Revisar esta información

con dibujo de la malla seleccionada para este problemas

CN1

2

2

3

Se eliminan las unidades de "TODOS" los valores de entrada, definiéndolos nuevamente igual a su valor original divididos

entre la unidad correspondiente del sistema que deseamos trabajar.

En nuestro caso MKS: m, kg, s,N

bb

m h

h

m X

X

m Y

Y

m Area

Area

m2

InerciaInercia

m4

EE

Pa P

P

N

En Mathcad 15 se tiene que hacer esto, pues este software no acepta componentes dentro de una matriz con unidades

diferentes: La matriz de rigidez de un elemento viga tiene componentes de rigidez angular con rigidez por

desplazamientos. En un paso posterior luego de resolver, las unidades se reasignan a las variables



Matrices elementales y ensamblaje

he

hei

XCNi 1 X

CNi 2 2

YCNi 1 Y

CNi 2 2

he

i 1 Nelemfor1

1

Determina la longitud de

los elementos (en m)

Matriz de rigidez elemental

pp 18/26 de teoríak x( )

Inerciax

Ex

hex

3

12

6 hex

12

6 hex

6 hex

4 hex

2

6 hex

2 hex

2

12

6 hex

12

6 hex

6 hex

2 hex

2

6 hex

4 hex

2

Matriz de rotación (Función) elementos vigas con 2 GDL/nodo. Para este problema NO es necesaria y no se utiliza

R x( )

YCNx 2 Y

CNx 1

hex

0

0

0

XCNx 2 X

CNx 1

hex

0

0

0

0

1

0

0

0

0

YCNx 2 Y

CNx 1

hex

0

0

0

XCNx 2 X

CNx 1

hex

0

0

0

0

1

kxy x( ) R x( )T

k x( ) R x( ) Función para obtener la matriz de rígidez de cada viga rotada

kxy x( ) k x( ) Para este problema y para no alterar el algoritmo Kt, cada matriz elemental

es la matriz elemental sin rotar

Ejemplo: Matriz de rigidez de los elementos 1 y 2

Matrices de rigidez elemental 1 y 2. En N/mkxy 1( )

12.5

6.25

12.5

6.25

6.25

4.17

6.25

2.08

12.5

6.25

12.5

6.25

6.25

2.08

6.25

4.17

8 105

En este problema se llaman kxy(x) en lugar de k(x) solo como

un cambio de variable. Revisar algortimo Kt

kxy 2( )

12.5

6.25

12.5

6.25

6.25

4.17

6.25

2.08

12.5

6.25

12.5

6.25

6.25

2.08

6.25

4.17

8 105



Kt

Kti j

0N

m

j 1 GDLN Nnodefor

i 1 GDLN Nnodefor

Nodo

ii

CN

elem ii

ii 1 NNELEMfor

p 1

GDLGp

GDLN Nodoii

GDLN kk ( )

p p 1

kk 1 GDLNfor

ii 1 NNELEMfor

m GDLGiii

n GDLG jjj

Ktm n

Ktm n

kxy elem( )iii jjj

jjj 1 GDLN NNELEMfor

iii 1 GDLN NNELEMfor

elem 1 Nelemfor

Kt

Algoritmo general para el ensamblaje de la

matriz de rigidez global

Nótese que es igual al algoritmo empleado en

problemas de elementos tipo barra. Este

algoritmo se utiliza hasta que se diga lo

contrario

Matríz de rigidez ensamblada, sin

modificación por condiciones de borde.

En N/m

Kt

12.5

6.25

12.5

6.25

0

0

6.25

4.17

6.25

2.08

0

0

12.5

6.25

25

0

12.5

6.25

6.25

2.08

0

8.33

6.25

2.08

0

0

12.5

6.25

12.5

6.25

0

0

6.25

2.08

6.25

4.17

8 105

Funciones de forma

A diferencia de los elementos barra, las matrices de interpolación con las funciones de forma se utilizan

posteriormente para la aplicación de las cargas y para el postprocesamiento.

Se listas las componentes "H" sin derivar, primera derivada Hp (ver pp 12/26 de teoría) y segunda derivada Hpp

H1 ξ( )1

4

2 3 ξ ξ3

Hpp1 ξ( )1

4

6ξ( )H

p1ξ( )

1

43 3ξ

2

Hpp2 ξ( )1

42 6ξ( )

H2 ξ( )1

41 ξ ξ

2 ξ

3 Hp2 ξ( )

1

41 2ξ 3ξ

2

Hpp3 ξ( )1

4 6ξ( )

H3 ξ( )1

42 3ξ ξ

3 Hp3 ξ( )

1

43 3ξ

2

Hpp4 ξ( )1

42 6ξ( )

H4 ξ( )1

41 ξ ξ

2 ξ

3 Hp4 ξ( )

1

41 2ξ 3ξ

2



Matriz H sin derivar. Se utiliza para interpolar lo

desplazamientos verticales. Ver pp 11/26 de teH elem ξ( ) H1 ξ( )

heelem

2H2 ξ( ) H3 ξ( )

heelem

2H4 ξ( )

Matriz H derivada 1 vezHp elem ξ( ) Hp1 ξ( )

heelem

2Hp2 ξ( ) Hp3 ξ( )

heelem

2Hp4 ξ( )

Matriz H derivada 2 veces. Se utiliza para

obtener el momento flector.Hpp elem ξ( ) Hpp1 ξ( )

heelem

2Hpp2 ξ( ) Hpp3 ξ( )

heelem

2Hpp4 ξ( )

Hppp elem ξ( )6

4

heelem

2

6

4

6

4

heelem

2

6

4

Matriz H derivada 3 veces. Se utiliza para

obtener la carga cortante.

NN ξ( )1 ξ

2

1 ξ

2

Matriz de con funciones de forma, parametrización de la geometría.

Se usa para la fase de postprocesamiento. pp 8/26 de teoría

Vectores de cargas externas no ensamblados por cada elemento. Ver pp 15/26 de teoría

Fp elem ξ P( ) H elem ξ( )T

P Función de vector de fuerzas de cargas concentradas

Fm elem ξ M( ) Hp elem ξ( )T

M Función de vector de fuerzas por momentos puntuales

Nota : Se pueden definir los vectores de carga distribuida y carga por peso propio. En este problema no se definen

dichos vectores por existir solo una carga puntual "P" y el peso se desprecia.

El elemento 2 tiene una carga

puntual de valor "P" en su nodo

local (ξ=+1).

Comprobar con mallado y matri

de conectividad.

El elemento 1 no tiene cargas

puntuales ni momentos

F1

0

0

00

F

2

F

p

2 1 P( )

0

0

10000

Fxy x( ) Fx

Vector de fuerzas de cada viga.Cambio de variable para no modificar el algortimo de ensamble Ft de la siguiente página.



Ft

Fti

0N

i 1 GDLN Nnodefor

Nodoii

CNelem ii

ii 1 NNELEMfor

p 1

GDLGp

GDLN Nodoii

GDLN kk ( )

p p 1

kk 1 GDLNfor

ii 1 NNELEMfor

m GDLGiii

Ftm

Ftm

Felem

iii

iii 1 GDLN NNELEMfor

elem 1 Nelemfor

Ft

Ensamble de vector de carga global.

Nótese que es igual al algoritmo empleado

en problemas de elementos tipo barra. Este

algoritmo se utiliza hasta que se especifíque

lo contrario o requiera ser modificado.

Ft

0

0

0

0

1000

0

Aplicamos penalización a los grados de libertad 1, 2 (ver dibujo)Condiciones de borde

a1 0m a2 0m

Constante de rigidez para penalización, sin unidadesC max Kt( ) 10Tol

2 1017

Kt2 2

Kt2 2

C Modifiación de las componentes de la

matríz de rigidez ensamblada donde

aplican las condiciones de borde.

Kt1 1

Kt1 1

C

Ft2

Ft2

C a2Ft1

Ft1

C a1

Matrices elementales y ensamblaje

Solución

Q Kt1

Ft mVector de grados de libertad (Solución). Multiplicamos por "m"

por que hemos sido consistentes con las unidades empleadas y

los resultados ya están en metros.Q

0

0

0.001

0.0018

0.0032

0.0024

m

Se asignan las unidades a los valores de entrada y poder postprocesar directamente con unidades.

Crot C N Nueva rígidez angular para obtener las reacciones de momentos

b b m h h mC CN

m E E Pa Inercia Inercia m

4 A A m

2 he he m

X X m Y Y m P P N

Reacciones en los vínculos

R1 C Q1

a1 1000N Reacción vertical en [N] GDL 1

Reacción momento en [N m] GDL 2R2 Crot Q

2a2 2000 N m



q

Nodoii

CNelem ii

ii 1 NNELEMfor

p 1

GDLGp GDLN Nodoii GDLN kk ( )

qlocalp

QGDLGp

p p 1

kk 1 GDLNfor

ii 1 NNELEMfor

qelem

qlocal

elem 1 Nelemfor

q

Vector elemental de grados de libertad.

Toma los valores de Q y los distribuye (ordena) en vectores

individuales.

Esto es para facilitar la obtención de los resultados por

elemento

q

1

0

0

0.0010.0018

m Vector de grados de libertad

locales del elemento 1.

q2

0.001

0.0018

0.0032

0.0024

m Vector de grados de libertad

locales del elemento 2.

Desplazamiento vertical. Ver pp 11/26 de la teoría

v elem ξ( ) H elem ξ( ) qelem Función para obtener los desplazamientos del elemento "elem" en un punto "ξ"que comprende entre -1 y +1.

Como hemos sido consistente con las unidades obtenidas, podemos multiplicar

por "m" para que nos muestre los resultados con unidades.

v 2 1( ) 3.2 103

m Desplazamiento vertical [m] en el punto extremo en voladizo ( Nodo 2, ξ=+1) del

elemento 2. El signo indica el sentido (hacia abajo en este problema)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pteor 1000 N Lteor 2m Eteor 200GPa I Inercia1

4.167 106

m4

Pteor Lteor3

3 Eteor I

3.2 10 3 m Verificación por teoría: deflexión en el punto más alejado del empotramiento

(este problema se encuentra resuelto en libros de mecánica de sólidos)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se define un rango de ξ desde -1 hasta +1, con incrementos de 1. Se pueden obtener más puntos si

se coloca en el rango de ξ lo siguiente:

-1,-0.9...1 (el incremento es de 0.1 en 0.1). Esto es solo para visualización de resultados

elementales

ξ 1 1

Desplazamientos verticales del elemento 1, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1Mitad del elemento -> ξ=0

Nodo 2 -> ξ=+1

v 1 ξ( )

0

0.00028

0.001

m

Desplazamientos verticales del elemento 2, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1

Mitad del elemento -> ξ=0

Nodo 2 -> ξ=+1

v 2 ξ( )

0.001

0.00203

0.0032

m



Momento Flector ξ 1 1 Se define un rango de ξ desde -1 hasta +1, con incrementos de 1. Se pueden

obtener más puntos si se coloca en el rango de ξ lo siguiente:

-1,-0.9...1 (el incremento es de 0.1 en 0.1).

M elem ξ( )

4 Eelem

Inerciaelem

heelem

2Hpp elem ξ( ) q

elem

Momento flector del elemento 1, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1


Nodo 2 -> ξ=+1

M 1 ξ( )

2000

1500

1000

N m

Momento flector del elemento 2, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1


Nodo 2 -> ξ=+1

M 2 ξ( )

1000

500

0

N m

Carga Cortante

V elem ξ( )

8 Eelem

Inerciaelem

heelem

3Hppp elem ξ( ) q

elem

Carga cortante del elemento 1, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1


Nodo 2 -> ξ=+1

V 1 ξ( )

1000

1000

1000

N

Carga cortante del elemento 2, en tres puntos:

Nodo 1 -> ξ= -1


Nodo 2 -> ξ=+1

V 2 ξ( )

1000

1000

1000

N

Esfuerzos por flexión

Matriz B. Ver pp 14/26 de la teoría.

"y" es la distancia desde el eje neutro de la sección hasta el punto de

medición del esfuerzo. Para este caso el esfuerzo máximo está en

y=h/2=100mm /2 = 50 mm

B elem ξ y( ) y4

heelem

2 Hpp elem ξ( )

σf elem ξ y( ) Eelem

B elem ξ y( ) qelem

Función para los esfuerzos normales por flexión de un elemento viga

"elem", ubicación longitudinal "ξ", en un punto "y" sobre la sección

transversal. Ver pp 15/26 de la teoría.

σf 1 1h

2

24MPa Esfuerzo por flexión del elemento 1, en el nodo 1 (ξ=-1) con y=50 mm

El resultado es positivo, la fibra superior en el punto del

empotramiento está en tracción.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



velem p 1

ξ 1 j( ) Incremento

velemp

v i ξ( )

p p 1

j 0 N puntos 1for

i 1 Nelemfor

velem

0

0.00

0.000.00

0.00

0.00

Melem p 1


Melemp

M i ξ( )

p p 1

j 0 Npuntos 1for

i 1 Nelemfor

Melem

2000

1500

1000

1000

500

0

N m

Mmax P N 2 m 2 103

NN m

οteoria

Mmaxh

2

Inercia1

24NMPa Esfuerzo obtenido por formulación clásica (teoría) en el empotramiento

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gráficas

Npuntos 3 Número de puntos por interpolación elemental

Incremento2

Npuntos 11

α 3 Factor de amplificación de desplazamientos verticales para la gráfica

Interpolación del momento flector "Melem", deflexión vertical "velem" y carga cortante "Vcorte"

Interpolación de coordenadas nodales iniciales en "x" y "y"

Vcorte p 1


Vcortep

V i ξ( )

p p 1

j 0 Npuntos 1for

i 1 Nelemfor

Vcorte

1000

1000

10001000

1000

1000

N



Xelem p 1

X1 XCNi 1

X2 XCNi 2


Xelemp

NN ξ( )X1

X2

p p 1

j 0 N puntos 1for

i 1 Nelemfor

Xelem

0

0.5

1

1

1.5

2

m Yelem p 1

Y1 YCNi 1

Y2 YCNi 2


Yelemp

NN ξ( )Y1

Y2

p p 1

j 0 Npuntos 1for

i 1 Nelemfor

Yelem

0

0

0

0

0

0

Se modifican las coordenadas "Y" originales con la deflexión

correspondiente.

Ynew Yelem α velem

0

0.000830.003

0.003

0.00608

0.0096

m

Estos factores son OPCIONALES y se usan solo para

adecuar los límites máximos y mínimos del rango de

puntos a mostrar en las gráficas posteriores

Xmin 1.2 min Xelem( ) 0 m

Xmax 1.1 max Xelem( ) 2.2m

Ymin 1.1 min Ynew( ) 0.011 m

Ymax Ymax0.1

αm max Ynew( ) 10

3mmif

Ymax 1.1 min Ynew( ) otherwise

0.011 m

Mmax Mmax 1N m max Melem( ) 103N mif

Mmax min Melem( ) otherwise

2 103

N m

Mmin Mmin 1.1 min Melem( ) min Melem( ) 0N mif

Mmin max Melem( ) otherwise

2.2 103

N m



0 1 2

0.01

0

0.01Original

Deformada

Posición original Vs. Deformada

Longitud de la viga [m]

D e s p l a z a m i e n t o s v e r t i c a l e s [ m ]

0 1 2

2000

1000

0

1000

3000

2000

1000

0

1000

2000

Original

Momento Flector

Carga cortante

Diagrama Momento Flector

Longitud de la viga [m]

M o m e n t o f l e c t o r [ N m

]

C a r g a c o r t a n t e [ N ]

Y

MelemVcorte

X Xelem Xelem

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