Flexión de Viga - Análisis de un Voladizo

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Deflexin de Vigas-Voladizo

Deflexin de Vigas-Voladizo2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAE.A.P Ingeniera CivilDeflexin de VigasAnlisis de Un Voladizo - Modelado

Curso:Ecuaciones Diferenciales.

Docente: Enrique Zelaya de los Santos.

Alumno: Gonzles Olrtegui, Cristian Enrique.

Grupo:CCajamarca, Diciembre del 2012

INDICEIntroduccin3Objetivos4Justificacin5Marco Terico6Anlisis Numrico8Desarrollo de la Prctica12Conclusiones16Bibliografa 17Infografa.17Fotos de Edificio18

INTRODUCCINLas Matemticas son una parte fundamental de nuestra sociedad y de nuestra vida diaria. Han estado presentes en la historia de la humanidad, y forman parte del ncleo central de su cultura y de sus ideas. Las Matemticas se aplican en las otras ciencias, de la naturaleza y sociales, en las ingenieras, en las nuevas tecnologas, as como en las distintas ramas del saber. El desarrollo econmico, cientfico y tecnolgico de un pas sera imposible sin las Matemticas. Adems, stas intervienen, aunque estn ocultas, en casi todas las actividades de nuestra vida diaria. As, las comunicaciones por telefona mvil, las cmaras digitales, el uso de los cajeros automticos de un banco, la prediccin del tiempo, la televisin va satlite, los ordenadores, Internet, la gestin de fondos de inversin, de seguros de vida y de los planes de pensiones, la construccin de obras pblicas, el scanner y TAC de los mdicos, y un largo etctera, son imposibles sin las Matemticas.En lo que respecta a las ecuaciones diferenciales, en la actualidad, son una conquista grandiosa, ya que a travs de ellas se puede representar diferentes modelos que observa en la naturaleza para plantear soluciones a diferentes problemas que se puedan presentar. Si bien muchas veces no se logra capturar en estas todas las variables, los resultados se aproximan bastante.Fueron muchos los matemticos que las estudiaron y las estudian, unos de los ms importantes fueron Newton y Leibnis. Con estos dos genios va a hacer irrupcin en la historia de la ciencia una de las herramientas matemticas ms potentes, el clculo diferencial y el clculo integral. Con ellos nacer un nuevo paradigma cientfico: la Naturaleza puede ser explicada a base de ecuaciones diferenciales. En la actualidad la construccin de modelos matemticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos ms importantes en el desarrollo terico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuacin en la que una funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos. Pero, adems, las ecuaciones diferenciales son fundamentales en Ingeniera, con las cuales se plantean modelos, se resuelven operaciones, se gestan proyectos, y un largo etc. ms.Uno de los campos dentro de los cuales ms se las aplica es dentro de la rama de ingeniera civil, campo que nos compete y que en esta oportunidad ser motivo de nuestro estudio.Las estructuras hoy en da construidas implican un gran nmero de elementos estructurales, los cuales son diseados a travs de la evaluacin para su resistencia por medio de las ecuaciones diferenciales.

OBJETIVOS

GENERALES

Analizar y demostrar la importancia de las ecuaciones diferenciales en Ingeniera Civil.

Analizar el elemento estructural (viga en voladizo), haciendo un modelado a travs de las ecuaciones diferenciales.

ESPECFICOS

Analizar la deflexin en una viga en voladizo mediante las ecuaciones diferenciales

Determinar la ecuacin de la curva clsica de deformacin

Determinar la flecha producida en una viga en voladizo por efecto de las cargas y su peso propio.

JUSTIFICACIN

En el campo de la ingeniera civil nos vemos involucrados a relacionarnos con diferentes elementos estructurales, los cuales reaccionan de una forma muy particular dependiendo de su naturaleza, lo que hace necesario y a la vez obliga a realizar una evaluacin utilizando diferentes mtodos, uno de los cuales es la utilizacin de ecuaciones diferenciales.Estos elementos sufren diferentes cambios, en relacin a la carga que soportan, el material de los cuales estn hechos, el medio ambiente, temperatura, entre otros. Estos elementos antes mencionados vienen a ser las variables, las cuales son evaluadas e inter relacionadas a fin de poner un determinado sistema e equilibrio, y a la vez pueda soportar las cargas para lo cual fue diseada.Esto es motivo suficiente para que el presente trabajo se centre en evaluar las cargas y la reaccin que tendr en la viga (en voladizo) mediante la utilizacin de ecuaciones diferenciales. El presente trabajo se relaciona directamente con los cursos de Mecnica de Slidos y Estructuracin y Cargas, en los cuales las ecuaciones diferenciales son de suma importancia para su resolucin

MARCO TERICOConsideremos una viga delgada de seccin rectangular constante de material elstico lineal para el cual la relacin tensin-deformacin viene dada por la ley de Hooke: (1)Dnde: representa la tensin, la deformacin unitaria y E es el mdulo de elasticidad o mdulo de Young del material.

En primer lugar suponemos que la hiptesis de Bernoulli-Euler es vlida, es decir, que las secciones planas de la viga perpendiculares al eje neutro antes de la deformacin permanecen planas y perpendiculares al eje neutro despus de la deformacin. Adems suponemos que las secciones planas de la viga no cambian su forma y superficie.La relacin momento-curvatura de Euler-Bernoulli para una viga de seccin constante de material elstico lineal puede escribirse en la forma (2)Dnde: momento flector en una seccin dada de la viga. momento de inercia de la seccin de la viga respecto al eje neutro k curvatura de la elstica.

Para una viga de seccin rectangular de base b y altura h, el momento de inercia de la seccin es: (3)

Derivando la ecuacin (2) respecto a s se obtiene la ecuacin diferencial:

(4)

La Imagen 1 muestra un esquema de una viga empotrada por un extremo, sometida a una carga vertical concentrada F en su extremo libre y a una carga uniformemente distribuida w a lo largo de su longitud, junto con la definicin de distintos parmetros geomtricos. En esta figura son los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre, respectivamente, y tiene en cuenta la mxima pendiente de la viga que se obtiene en el extremo libre de la misma. Tomamos el origen de coordenadas en el empotramiento de modo que (x,y) son las coordenadas de un punto A de la lnea neutra de la viga y s es la longitud de arco a lo largo de la viga flexionada.

Figura 1. Esquema de la viga flexionada y definicin de los parmetros geomtricos.El momento flector M en el punto A puede calcularse fcilmente en coordenadas cartesianas y su valor es: (5)Siendo la distancia desde la seccin de la viga en el punto A al extremo libre y F es la fuerza puntual aplicada. Derivando la ecuacin (5) respecto a s y teniendo en cuenta la relacin , se obtiene:

Sustituyendo la ecuacin (6) en la ecuacin (4) queda:

Donde se ha tenido en cuenta la relacin entre la curvatura k y el ngulo :

(8)

Las condiciones de contorno de la ecuacin (7) son las siguientes.

Donde A partir de las relaciones y , las coordenadas (x,y) de los puntos de la elstica de la viga pueden calcularse, una vez conocidos los valores de en funcin de s, mediante las ecuaciones: (11) (12)

Analizando la Imagen 1 puede verse como los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre de la viga pueden calcularse utilizando las ecuaciones (11) y (12) evaluadas para el caso s = L:

(13)

(14)

ANLISIS NUMRICOPara resolver numricamente la ecuacin diferencial no lineal de segundo orden (7), se transforma sta en un sistema de dos ecuaciones diferenciales a travs de las variables x1 y x2 definidas mediante las ecuaciones:

(15)

Con lo cual la ecuacin (7) puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma:

(16)

Con las condiciones de frontera:

(17)

Considerando las ecuaciones (16) y (17) se tiene un problema no lineal con condiciones de frontera. Es bien conocido que la solucin numrica de este tipo de problemas es mucho ms complicada que un problema de condiciones iniciales, para los cuales pueden aplicarse los algoritmos numricos del tipo Runge-Kutta. Otra estrategia de solucin para las ecuaciones (16) y (17) podra ser la aplicacin del mtodo de las diferencias finitas. Sin embargo, al ser las ecuaciones no lineales se obtiene un sistema de ecuaciones algebraico no lineal cuya solucin puede ser muy complicada.

Las consideraciones anteriores han llevado a reducir la solucin de un problema de condiciones de frontera a otro de condiciones iniciales. Para ello se utiliza el mtodo de disparo, en el que el valor inicial de la variable x2 en s = 0 se supone conocido y se aplica un mtodo de integracin para el problema de condiciones iniciales dadas por:

(18)

Donde x20 es el valor supuesto. En este trabajo se ha utilizado el mtodo de Runge-Kutta- Fehlberg, el cual tiene la posibilidad de estimar el error en cada paso de integracin y se comporta muy bien con pasos de int