Probabilidad

Utilizar información extraída de una muestra para elaborar conclusiones respecto de las características de una población, implica un riesgo basado en la incertidumbre.

La Estadística provee una manera racional de cuantificar esa incertidumbre, denominada probabilidad.

Contenidos

Concepto de probabilidad Variable aleatoria Función de distribución Función de densidad Modelos probabilísticos

Probabilidad: medida de la incertidumbre sobre la ocurrencia de un evento o suceso.

La probabilidad de un evento A, P(A), es un número que se encuentra en el intervalo [0,1]:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Si un evento no puede suceder tendrá probabilidad 0, pero sucesos con probabilidad 0 pueden ocurrir.

La probabilidad de 1 indica que algo va a suceder siempre.

Evento: uno o más de los posibles resultados de un “experimento”.

Al tirar una moneda, si cae cara es un evento y si cae cruz es otro.

Experimento: es la actividad que origina dichos eventos.

Ejemplos: tirar una moneda, tirar un dado, etc. Espacio muestral: todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio.

Experimento: observar 3 semillas en un cierto orden y registrar su estado sanitario.

Cada semilla puede estar: sana ( + ) o enferma ( - )

Hay 8 resultados posibles que conforman el siguiente espacio muestral:  

= {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}

Evento elemental - Evento

= {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}

Evento elemental

Un evento elemental o evento simple es cada uno de los posibles resultados contenidos en un espacio muestral.

Evento elemental - Evento

= {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}

Evento

A = { + - - , - - + , - + - } representa el evento “observar una sola semilla sana”.

Un evento es un subconjunto de eventos elementales, que constituyen un espacio muestral.

EjemplosSe arroja un dado de seis caras

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Se arroja una moneda = {C, X} (donde C: cara y X: cruz)

Un subconjunto puede ser A: {1, 3, 5}

Un subconjunto puede ser B: {CX, XC, XX}

Se arroja una moneda dos veces = {CC, CX, XC, XX}

Probabilidad es una medida de la incertidumbre asociada a la ocurrencia de eventos o resultados.

Probabilidad (enfoque clásico)

Cada uno de los resultados debe ser igualmente posible.

EjemplosSe extrae un naipe de una baraja inglesa de 52 cartas. A es el evento “corazón”. Considerar que hay 13 corazones en el mazo. Así:

Se extrae un naipe de una baraja inglesa de 52 cartas. B es el evento número menor a 6. Hay 5 cartas menores a 6 en cada uno de los 4 palos, entonces 5x4=20. Así:

13 1( )

52 4P A

20 5( )

52 13P B

Probabilidad (enfoque frecuencial)Para responder a preguntas tales como:¿Cuál es la probabilidad que llueva mañana?¿Cuál es la probabilidad que una persona viva hasta los 85 años?

La frecuencia relativa de un evento debe registrarse durante un gran número de experimentos.

La probabilidad es la proporción de veces que un evento se presenta en un gran número de experimentos, cuando las condiciones experimentales son estables.

EjemploSe sabe, por registros históricos, que de los hombres de más de 40 años, 60 de cada 100.000, mueren por enfermedades cardíacas.

Mayor número de intentos implican mayor precisión.

¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de esa edad sufra de una enfermedad cardíaca?

60( ) 0.0006

100000P A

Variable Aleatoria

Variable Aleatoria

En Estadística, interesa asignar probabilidades de ocurrencia a los distintos valores, o subconjuntos de valores, de la variable en estudio.

Por ello interpretaremos a las observaciones de una variable como valores realizados de una variable aleatoria.

En el análisis de la información proveniente de experimentos aleatorios, se trabaja con variables definidas desde los espacios muestrales.

Dichas variables se denominan variables aleatorias.

Las variables aleatorias tienen asociada una medida de probabilidad.

¿Qué es una variable aleatoria?

• Discretas

• Continuas

(pueden tomar sólo un número limitado o ilimitado pero numerable de valores)

(pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado)

Variables aleatorias

Experimento: Observar 3 semillas en un cierto orden y registrar su estado sanitario.

Cada semilla puede estar: sana ( + ) o enferma ( - )

Hay 8 resultados posibles que conforman el siguiente espacio muestral:  

= {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}

Variable aleatoria discreta

Dado el espacio muestral:

= {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}

Definiendo una variable aleatoria:

X = número de semillas sanas

¿Cuál es la probabilidad de hallar 3 semillas sanas?

P (X = 3) = 1/8

Variable aleatoria continua

-

( ) = 1f y dy

Notar que:

- +

Distribución de probabilidades

X P(x) o f(x) F(x)

0 1/8 1/8

1 3/8 4/8

2 3/8 7/8

3 1/8 8/8

8/8=1.0

Función de densidadFunción de densidad Función de distribución Función de distribución

acumuladaacumulada

Variable discreta

Esperanza

X P(x) o f(x) x f(x)

0 1/8 0 1/8 = 0

1 3/8 1 3/8 = 3/8

2 3/8 2 3/8 = 6/8

3 1/8 3 1/8 = 3/8

Total 8/8=1.0 12/8 = 1.5

( ) ( )i ii

E X x f x

Variable discreta

Varianza

X P(x) o f(x) (x-)2 f(x)

0 1/8 (0-1.5)2 1/8 = 0.28

1 3/8 (1-1.5)2 3/8 = 0.094

2 3/8 (2-1.5)2 3/8 = 0.094

3 1/8 (3-1.5)2 1/8 = 0.28

Total 8/8=1.0 0.75

2( ) ( - ) ( )i ii

V X x f x

Variable discreta

Variable aleatoria continua

2

1

( ) ( )x

x

P A f y dy

Variable aleatoria continua

2 1 2

1

2 1

- -

( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( )

x x x

x

P A F x F x

f y dy f y dy f y dy

Medidas resumen de una distribución

¿Cuál es la diferencia?

Distribución 1 Distribución 2

Variable continua

Medidas resumen de una distribución

¿Cuál es la diferencia?

f (x)1

f (x)2

Variable continua

Medidas resumen de una distribución

-

( ) ( ) E X x f x dx

22

-

( ) - ( ) ( )V X x f x d x

Esperanza

Varianza

Variable continua

Medidas resumen de una distribución

100

CV

2 Desviación estándarDesviación estándar

Coeficiente de variaciónCoeficiente de variación

Variable continua