VARIABLES ALEATORIASVariables Aleatorias Continuas

DISTRIBUCIÓN DE ERLANG

Es una generalización de la distribución exponencial donde la variable de interés es la longitud hasta que ocurran r conteos en un proceso de Poisson.

DISTRIBUCIÓN GAMMALa distribución de Erlang es un

caso especial de la distribución gamma con fdp:

Los momentos

EJEMPLO 4La duración en años de un repuesto es una

variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 2 años, una maquina consume un repuesto tras otro, ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina dure mas de 5 años trabajando con 2 repuestos?

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADA

Es un caso especial de la distribución gamma en la que =1/2 y r=n/2. Ésta distribución se usa ampliamente en la estimación de intervalos y en las pruebas de hipótesis. También se encuentra tabulada.

EJEMPLO 5X ~ X2

(5) hallar P(X< 7,289)P(3<X<15,086)

TABLA

DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Se usa con frecuencia para modelar el tiempo hasta que ocurre una falla. Los parámetros de la distribución son muy eficientes para modelar sistemas en los que el número de fallas aumenta, disminuye o permanece constante con el tiempo. La fdp es

La función acumulada

Los momentos

EJEMPLO 6

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA MEDIA

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA VARIANZA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS

Con frecuencia resulta conveniente definir más de una variable aleatoria en un experimento aleatorio. Por ejemplo la dureza H y la resistencia a la tensión de una pieza manufacturada de acero, se definen (h,t) como un resultado experimental.

INTRODUCCION

DOS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

La función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X yY, denotada como satisface

1.

2.

3.

EJEMPLO 1

Se seleccionan al azar dos balotas de una bolsa que contiene 3 balotas de color blanco y 2 de color negro, si X= # de balotas blancas y Y= # de balotas negras

1. Encuentre la fdp conjuta f(X,Y)

2. P[(X,Y)/ X+Y<2]

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MARGINAL

Es la distribución de probabilidad individual de una variable aleatoria. Para el caso discreto la distribución de probabilidad marginal es:

Dadas las variables aleatorias X, y Y con función de probabilidad conjunta

la función de probabilidad condicional de Y dado que X=x, es

Cumple que1. 2.

3.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea que denote el conjunto de todos los puntos del rango (X,Y) donde X=x. La media condicional de Y dado que X=x, denotada por es

La varianza

MOMENTOS

Para las variables aleatorias discretas X y Y, si cualquiera de las propiedades siguientes es válida, entonces las demás también lo son, y X y Y son independientes

PROPIEDADES DE INDEPENDENCIA

EJEMPLO 2Dos líneas de producción manufacturan cierto

tipo de piezas que finalmente se ensamblan en un articulo para luego pasar a un proceso de inspección en el cual se evalúan 5 componentes de las piezas de la línea 1(X) y 3 componentes de las piezas de la línea 2(Y).

(X,Y) es una variable aleatoria bidimensional1. Calcular la dist. de probabilidad marginal de X2. P(Y=2/X=5)3. Probabilidad de no encontrar mas de 3

componentes defectuosos en el articulo.

DOS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASLa función de densidad de

probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y, denotada como satisface

1.

2.

3.

EJEMPLO 3Supóngase que una variable

aleatoria bidimensional tiene la siguiente f.d.p conjunta

a. Verificar que f(x,y) es una f.d.p conjunta

b. Encontrar

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MARGINAL

Es la distribución de probabilidad individual de una variable aleatoria. Para el caso continuo la distribución de probabilidad marginal es:

PROBABILIDAD CONDICIONALDadas las variables aleatorias X, y Y

con función de probabilidad conjunta la función de probabilidad condicional de Y dado que X=x, es

Cumple que1. 2.

3.

Sea que denote el conjunto de todos los puntos del rango (X,Y) donde X=x. La media condicional de Y dado que X=x, denotada por es

La varianza

MOMENTOS

Para las variables aleatorias continuas X y Y, si cualquiera de las propiedades siguientes es válida, entonces las demás también lo son, y X y Y son independientes

PROPIEDADES DE INDEPENDENCIA

EJEMPLO 4Supóngase que una variable aleatoria

bidimensional tiene la siguiente f.d.p conjunta

Encontrar las Distribuciones marginales y probar si son independientes.

Dado un X=0.5, encontrar la función de distribución condicional de Y, y calcular la media, la varianza…

COVARIANZA Y CORRELACIÓN

COVARIANZA: Medida de la relación entre las variables, se denota

CORRELACIÓN: Escala la corvarianza por la desv est., es adimensional

EJEMPLO 5Supóngase que una variable

aleatoria bidimensional tiene la siguiente f.d.p conjunta

Hallar covarianza y correlacion entre las variables X y Y.